Тема. Решение задач по теме "Гармонические, вынужденные, затухающие колебания. Резонанс".


Цели:

Ход занятия

  • Проанализируйте силы, действующие на тело, совершающее гармонические, затухающие или вынужденные колебания.
  • Поскольку рассматриваются только одномерные колебания, то для их описания достаточно одной координаты. В зависимости от характера движения используется либо линейная, либо угловая координата. Следует записать уравнения, описывающие зависимость координаты от времени при различных колебаниях.

Качественные задачи

  1. Сохранится ли период колебаний часов-ходиков, если их с Земли перенести на Луну?
  2. Будут ли продолжаться колебания маятника при свободном падении?
  3. Материальная точка совершает незатухающие гармонические колебания. Какие из величин, характеризующих это движение: смещение, амплитуда, период, частота, фаза, скорость, ускорение - являются постоянными и какие - переменными?
  4. Каким образом с помощью математического маятника можно определить ускорение свободного падения в данном месте?
  5. Чтобы отвести качели с сидящим на них человеком на большой угол, необходимо приложить значительную силу. Почему же раскачать качели до такого же угла отклонения можно с помощью значительно меньшего усилия?
  6. Один и тот же камертон один раз закреплен в тисках, а другой раз - на резонаторном ящике. В обоих случаях камертон возбуждается одинаковыми по силе ударами. В каком случае камертон будет звучать дольше? Ответ : в случае, когда камертон зажат в тисках, так как он звучит слабее, а, следовательно, теряет энергию медленнее.

Примеры решения расчетных задач


Задача 1. На идеально гладкой поверхности лежит груз массой m , растянутый пружинами 1 и 2 с коэффициентами упругости соответственно k 1 и k 2 (рис. 1). Если груз вывести из положения равновесия (отклонить в сторону), он начнет колебаться с периодом Т . Изменится ли период колебаний, если те же пружины закрепить не в точках А 1 и А 2 , а в В 1 и В 2 ?

Решение:

Уравнение движения груза, выведенного из положения равновесия, если пружины закреплены в А 1 и А 2 имеют вид

ma = -(k 1 +k 2)x ,
или

.
В этом уравнении - собственная частота колебаний груза. Как видно, она не зависит от смещения груза. Период колебаний связан с собственной частотой соотношением . Следовательно, период также не зависит от смещения груза. Так как при изменении растяжения пружин зависимость силы, действующей на груз m , от смещения не изменяется, то и период колебаний не будет зависеть от этого растяжения. Перемещение точек закрепления из А 1 и А 2 в В 1 и В 2 приведет лишь к изменению положения равновесия, около которого будет колебаться груз.

Ответ : период колебаний не изменится.

Задача 2. Концы недеформированной пружины жесткости k = 13 Н/м закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на ее длины, укрепили небольшое тело массы m = 25г. Пренебрегая массой пружины, найдите период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.

Решение:

Коэффициент жесткости зависит от размеров недеформированного тела, следовательно, коэффициенты жесткости для участков 1 и 2 - k 1 и k 2 будут различны (рис. 2). Тело будет совершать колебания под действием двух квазиупругих сил и . Уравнения движения тела можно записать так:

ma = k 1 x - k 2 x = -x (k 1 + k 2). (1)
Здесь учтено, что в любой момент времени силы и направлены в одну сторону. Поделим обе части уравнения (1) на m и преобразуем его к следующему виду:

.
Из последнего уравнения видно, что собственная частота колебаний будет равна

. (2)
Чтобы найти k 1 и k 2 , воспользуемся тем, что для пружины коэффициент жесткости и модуль Юнга Е связаны между собой соотношением

,
где l 0 - длина недеформированной пружины. Тогда

.
Подставим значения k 1 и k 2 в (2), тогда получим

.
Период колебаний будет равен


Ответ :

Задача 3. Определите период малых колебаний математического маятника, имеющего длину l и массу m .

Решение:

Маятник совершает вращательное движение, которое можно описать уравнением

I β = M ,
где М - результирующий момент сил относительно оси вращения, действующих на маятник. На маятник действуют сила тяжести и упругая сила деформированной нити (рис. 3). Ось вращения проходит через точку подвеса. Линия действия упругой силы проходит через ось вращения, следовательно, ее момент относительно этой оси равен нулю. Момент силы тяжести относительно оси вращения M = mgl sinφ. Момент инерции маятника будет равен I = ml 2 . Для малых углов отклонения
sinφ≈φ. С учетом всего сказанного уравнение движения примет вид

ml 2 β = -mgl φ. (3)
Знак минус означает, что момент силы тяжести всегда возвращает систему в положение равновесия. Уравнение (3) можно переписать следующим образом:

. (4)
При колебаниях маятника периодически изменяется угол отклонения φ. Уравнение (4) представляет собой типичное уравнение колебаний для переменной φ с собственной частотой , а следовательно, период колебаний математического маятника будет равен .

Ответ: .

Задача 4. ;

Как будет меняться период колебаний маятника, состоящего из сосуда, подвешенного на длинной нити, если сосуд наполнен водой, которая постепенно вытекает из отверстия в дне сосуда (рис. 4)?

Решение:

По мере вытекания жидкости из сосуда центр тяжести жидкости, а значит и центр тяжести маятника, будет понижаться, то есть будет увеличиваться длина маятника. Поскольку период колебаний математического маятника связан с длиной соотношением , то период будет увеличиваться. Но так будет, если центр масс сосуда без воды лежит в дне сосуда. Если же центр масс пустого сосуда расположен выше дна сосуда, то такой монотонной зависимости периода колебаний от уровня жидкости в сосуде наблюдаться не будет. В этом случае, когда воды в сосуде окажется мало, центр масс начнет повышаться, и период будет уменьшаться.

Задача 5. Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой, амплитудами x 01 = 5см и x 02 = 10 см и сдвигом фаз . Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебательного процесса.

Решение:

Для решения этой задачи целесообразно воспользоваться графическим способом представления колебаний. Законы движения для рассматриваемых колебательных процессов запишутся следующим образом:

x 1 = x 01 cosωt ,

x 2 = x 02 cos(ωt + Δφ)

где x 01 и x 02 - смещение колеблющейся частицы из положения равновесия, вызванные каждым колебательным процессом. Начальная фаза первого колебательного процесса выбрана равной нулю. Так как частоты колебаний одинаковы, то угол между векторами, изображающими колебания, со временем не меняется. Поэтому векторную диаграмму можно построить для момента времени t = 0 (рис. 6). Из рис. 6 видно, что

x 0 2 = x 01 2 + x 02 2 + 2x 01 x 02 cosΔφ.

Последнее выражение следует из теоремы косинусов. Подставив численное значение, получим x 0 = 13 см . Начальная фаза результирующего колебания будет равна углу ψ между направлением вектора результирующего колебания и осью Х . Из геометрических соображений ясно, что

.
Отсюда ψ = 0,23.
Окончательно результирующее колебание запишется следующим образом:

x = 13 cos(ωt + 0,23π).

Ответ: x 0 = 13 см ; .

Задача 6. Определите период малых колебаний шарика, подвешенного на нерастяжимой нити длины l = 20 см, если он находится в жидкости, плотность которой в η = 3,0 раз меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало.

Решение:

На шарик, колеблющийся в жидкости, действует сила тяжести , сила Архимеда и упругая сила деформированной нити (рис. 7). Шарик вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса маятника. Движение маятника будет описываться уравнением

, (5)
где I - момент инерции маятника, β - угловое ускорение.

Поскольку линия действия силы упругости проходит через ось вращения, то ее момент относительно этой оси равен нулю. Момент силы тяжести будет равен M 1 = mgl sinα, момент силы Архимеда - (здесь l - длина нити). Моменты силы тяжести и силы Архимеда раскручивают шарик в противоположные стороны, поэтому в уравнение движения (5) они войдут с противоположными знаками. Момент инерции шарика относительно оси вращения будет равен. С учетом всего сказанного уравнение движения шарика запишется в виде

ml 2 β = (mg - F A )l sinα. (6)

Сила Архимеда будет равна , где ρ ж - плотность жидкости, V - объем шарика. Масса шарика равна m = ρV , где ρ - плотность материала, из которого изготовлен шарик. Подставим значение силы Архимеда, массы шарика в уравнение (6) и учтем, что в случае малых значений угла отклонения sinα ≈ α, тогда уравнение (6) можно переписать в следующем виде:

.

Последнее уравнение представляет собой типичное уравнение колебательного процесса с частотой .

Следовательно, период колебаний шарика будет равен с.

Ответ: .

Задача 7. К невесомой пружине подвесили грузик, и она растянулась на Δх = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания λ = 3,1.

Решение:

Поскольку колебания будут затухающими, их период можно посчитать по формуле

, (7)
где ω 0 - собственная частота колебаний в отсутствие затухания. Коэффициент затухания β связан с периодом Т соотношением . Собственная частота колебаний пружинного маятника , где k - коэффициент жесткости пружины. Коэффициент жесткости можно найти из условия, что под действием грузика массой m пружина растянулась на Δх .

Условие равновесия грузика имеет вид k Δx = mg .

Из этого соотношения видно, что .

Следовательно, собственная частота колебаний грузика будет равна

.
Подставляя значения ω 0 и β в формулу (7), после несложных математических преобразований получим

Ответ:

Задача 8. Деревянный брусок массой m = 3,2 кг с площадью основания S = 400 см 2 плавает в воде. Брусок слегка погрузили в воду глубже и отпустили. Найдите частоту колебаний бруска. Силой трения пренебречь. Плотность воды ρ= 1 г/см3.

Решение:

На брусок действуют две силы: сила тяжести и сила Архимеда (рис. 8). Так как брусок плавает на поверхности, то есть находится в состоянии равновесия, то действующие на него силы уравновешивают друг друга, следовательно,

Спроецируем это уравнение на вертикально направленную ось Х

mg = ρgV 1 , (8)
где V 1 - объем погруженной части бруска. Если глубину погружения бруска увеличить на х , то сила Архимеда станет равной . Равновесие нарушится, и на брусок будет действовать сила , проекция которой на ось Х будет равна

F = mg - ρg (V 1 + xS ).
Подставив из (8) значение силы тяжести, получим

F x = -ρgSx ,
то есть на брусок будет действовать сила, пропорциональная смещению бруска из положения равновесия, и уравнение его движения примет вид

.
Следовательно, собственная круговая частота колебания бруска будет равна

,
а период колебаний

.
Частота колебаний бруска

Гц.

Ответ:

Задача 9. К верхнему концу цилиндрического сосуда, в который постепенно наливают воду, поднесли звучащий камертон. Звук, издаваемый камертоном, заметно усиливается, когда расстояние от поверхности жидкости до верхнего края сосуда достигает значений h 1 = 25 см и h 2 = 75 см . Определите частоту колебаний камертона. Скорость звука принять равной 340 м/с.

Решение:

Когда частота колебаний камертона совпадает с частотой собственных колебаний воздушного столба, в сосуде возникает явление резонанса, и звучание камертона усиливается. Собственные колебания воздушного столба в закрытой с одного конца трубе способствуют установлению в ней стоячей волны. При этом длина волны λ должна быть такова, чтобы у закрытого конца был узел смещенных частиц воздуха, а у открытого - пучность. Это означает, что в свободной части трубы укладывается ,

850. Свойством повторяемости обладают качания маятника часов, сезонные изменения температур, движение стрелки часов, колебания струны, вибрация крыльев самолета, движение Земли вокруг Солнца, колебания напряжения в сети электрического тока. Какие из перечисленных процессов можно назвать механическими колебательными процессами?
К механическим колебаниям относятся: качание маятника, движение стрелки часов, колебания струны, вибрация крыльев самолета, движение Земли вокруг Солнца.

851. Будут ли возможны колебания шарика, закрепленного на пружине, если вся система придет в состояние невесомости?
Да, поскольку колебания этой системы не зависят от силы тяжести.

852. Маятник часов совершает незатухающие гармонические колебания. Какие из величин - смещение, амплитуда, период, частота, скорость, ускорение - являются постоянными и какие переменными?
Постоянные: амплитуда, период, частота.
Переменные: смещение, скорость, ускорение.

853. Шарик, подвешенный на нити, совершает вращение в горизонтальной плоскости, описывая окружность диаметром d (рис. 244). Если наблюдение производится в плоскости вращения, то движение шарика воспринимается как гармоническое колебание. Чему равна амплитуда колебаний? Что можно сказать о частоте обращения шарика и частоте колебаний?
Амплитуда равна d/2; частота обращения равна частоте колебаний шарика.

854. Частота колебаний напряжения в электрической сети равна 50 Гц. Определите период колебания.

855. При измерении пульса человека было зафиксировано 75 пульсаций крови за 1 мин. Определите период сокращений сердечной мышцы.

856. У вала электрической швейной машинки частота вращения равна 1200 об/мин. За один оборот игла совершает одно колебание. Определите период колебания иглы.

857. Фреза имеет частоту вращения с 600 об/мин. Число зубьев на фрезе равно 40. С какой частотой вибрирует станок? Определите период вибраций.

858. Какова частота колебаний поршня двигателя автомобиля, если за 0,5 мин поршень совершает 600 колебаний?

859. Частота колебаний крыльев вороны в полете равна в среднем 3 Гц. Сколько взмахов крыльями сделает ворона, пролетев путь 650 м со скоростью 13 м/с?

860. Для тела, совершающего свободные колебания, график зависимости смещения от времени представлен на рисунке 245. Определите период, частоту и амплитуду колебаний.

861. Колебания материальной точки описываются следующим уравнением: х =70 sin 0,5 t. Определите амплитуду колебаний и смещение точки от положения равновесия в следующие моменты времени: t1 = π/2 и t2 = π/3. При каких фазах смещение по модулю равно половине амплитуды?

862. Чему равна разность фаз свободных колебаний рук человека при ходьбе?
Разность фаз составляет π.

863. Гармоническое колебание описывается уравнением х = 2 sin (π/2t + π/4). Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?

864. Можно ли предположить, что одно и то же колебание может быть описано с помощью следующих уравнений:
х = 3 sin (π/4 t+π/6), х = 3 cos(π/4 t + π/3), х = 3 cos (π/4 t – π/3)?
Да.

865. В какие моменты времени скорость колеблющейся материальной точки равна нулю, если колебание описывается уравнением х = 4 sin π/2 t ?

866. Максимально или минимально ускорение в те моменты времени, когда скорость колеблющегося пружинного маятника равна 0?
Максимально.

867. Что можно сказать об ускорении, которое испытывает колеблющийся груз, подвешенный на пружине, в момент прохождения положения равновесия?
Ускорение максимально.

868. В момент начала наблюдения нить маятника длиной l (рис. 246) образует с вертикалью малый угол α, а груз находится в крайнем положении. Можно ли считать угол α начальной фазой колебаний? Как вычислить амплитуду колебаний?
α нельзя считать начальной фазой. А =l sin α, где А - амплитуда колебаний.

869. Каково направление равнодействующей сил, приложенных к грузу маятника (рис. 246), когда этот груз находится в крайних положениях; проходит положение равновесия?
При нахождении груза в крайних положениях равнодействующая сил направлена по касательной к дуге, описываемой грузами. В положении равновесия она равна 0.

870. Почему на доску качелей встать в полный рост труднее всего в тот момент, когда качели проходят положение равновесия?
Потому что в этот момент доска имеет наибольшую скорость.

871. Чему равен период колебания математического маятника, если длина нити равна 9,8 м?

872. Два математических маятника совершают свободные колебания. Графики зависимости смещения от времени представлены на рисунке 247. Определите период колебания каждого из маятников и отношение длин маятников.

873. Математический маятник длиной 0,99 м совершает 50 полных колебаний за 1 мин 40 с. Чему равно ускорение свободного падения в данном месте на поверхности Земли?

874. Во сколько раз надо изменить длину математического маятника, чтобы период колебания изменился в 2 раза?
Так как период пропорционален корню квадратному из длины, то для удвоения периода длину следует увеличить в 4 раза.

875. Из двух математических маятников в одном и том же месте Земли один совершает 40 колебаний за некоторое время, а другой за то же время - 20 колебаний. Определите длину каждого из маятников, если один из них длиннее другого на 90 см.

876. В покоящейся ракете колеблется математический маятник. При движении ракеты вверх с некоторым ускорением период колебания маятника уменьшился вдвое. Во сколько раз ускорение, с которым движется ракета, больше ускорения свободного падения?

877. Груз массой 50 г, прикрепленный к пружине, жесткость которой равна 0,49 Н/м, совершает колебания. Какой длины надо взять математический маятник, чтобы его частота колебаний была равна частоте колебаний пружинного маятника?

878. Как изменится период и частота колебаний упругой доски, установленной на вышке для прыжков в воду, если после взрослого человека на доске раскачивается мальчик, готовясь к прыжку?
Период уменьшится, частота увеличится.

879. Когда груз неподвижно висел на вертикальной пружине, ее удлинение было равно 5 см. Затем груз оттянули вниз и отпустили, вследствие чего он начал колебаться. Каков период колебания?

880. Шарик с отверстием, прикрепленный к легкой пружине жесткостью 250 Н/м, может совершать незатухающие колебания вдоль стержня (рис. 248). Чему равно ускорение, испытываемое шариком (Рис. 248) в положении равновесия и в крайних положениях, если амплитуда колебаний равна 4 см, а масса 50 г?

881. Опишите превращения механической энергии, совершающиеся в процессе свободных незатухающих колебаний пружинного маятника в горизонтальном направлении; в вертикальном направлении. Сохраняется ли полная механическая энергия в процессе колебаний?
В горизонтальном направлении: в положении равновесия: Еп пр = 0; Екин – мах. В крайних положениях: Екин = 0; Еп пр – мах. В вертикальном направлении: положение равновесия сместится вниз от точки подвеса маятника за счет потенциальной энергии груза, скомпенсированной потенциальной энергией пружины. Превращения энергии осуществляются точно также, как и в горизонтальном направлении. Полная механическая энергия остается неизменной.

882. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний равна 15 см. Чему равны полная механическая энергия колебаний и наибольшая скорость движения груза?

883. По условию задачи 880 определите полную энергию колебаний шарика, а также потенциальную и кинетическую энергии в тот момент, когда шарик находится в точке с координатой х = 2 см. За начало отсчета примите положение равновесия шарика.

884. Груз, подвешенный на пружине жесткостью 1 кН/м, колеблется с амплитудой 2 см по закону: х = A sin (ώt + φ0). Определите кинетическую и потенциальную энергии при фазе π/6 рад.

885. Почему легче идти в обуви на толстой упругой подошве при определенной частоте шагов? Объясните с точки зрения превращения энергии.
При определенной частоте шагов циклическая частота со вынуждающей силы приближается к циклической частоте со0 колебательной системы - упругой подошвы. Возникает резонанс.

886. Как изменяется амплитуда и какие превращения претерпевает энергия при колебаниях дерева при одиночном порыве ветра; автомобиля при работе двигателя на холостом ходу; коромысла весов при взвешивании?
При колебании дерева, при одиночном порыве ветра, и коромысла весов при взвешивании амплитуда и энергия уменьшаются с каждым последующим колебанием.

887. Вода, которую мальчик несет в ведре, начинает сильно расплескиваться. Мальчик меняет темп ходьбы или просто «сбивает ногу», и расплескивание прекращается. Почему так происходит?
Мальчик меняет фазу своих колебаний. Колебания воды гасятся за счет колебаний мальчика.

888. Максимальную амплитуду вертикальных колебаний мячика, подвешенного на тонкой резинке, можно получить, если его нести, делая за 1 мин 48 шагов. Определите коэффициент упругости резинки, если масса мячика равна 60 г.

12.1 Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A = 5 см, если за время t = 1 мин совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний π/4. Начертить график этого движения.
РЕШЕНИЕ

12.2 Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A = 0,1 м, периодом T = 4 с и начальной фазой 0
РЕШЕНИЕ

12.3 Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A = 50 мм, периодом T = 4 с и начальной фазой π/4 . Найти смещение колеблющейся точки от положения равновесия при t = 0 и t = 1,5 c. Начертить график этого движения.
РЕШЕНИЕ

12.4 Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А = 5 см и периодом Т = 8 c, если начальная фаза колебаний равна 0;vπ/2; π; 3π/2; 2π. Начертить график этого движения во всех случаях
РЕШЕНИЕ

12.5 Начертить на одном графике два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами A1 = A2 = 5 см и одинаковыми периодами T1 =T2 = 8 c, но имеющими разность фаз, равную π/4; π/2; π; 2π
РЕШЕНИЕ

12.6 Через какое время от начала движения точка, которая выполняет гармонические колебания, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний T = 24 c, начальная фаза 0
РЕШЕНИЕ

12.7 Начальная фаза гармонического колебания 0. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости
РЕШЕНИЕ

12.8 Через какое время от начала колебания точка, которая выполняет колебательное движение по уравнению x = 7sin π/2t, проходит путь от положения равновесия до максимального смещения
РЕШЕНИЕ

12.9 Амплитуда гармонического колебания A = 5 см, период T = 4 c. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение
РЕШЕНИЕ

12.10 Уравнение движения точки дано в виде x = 2sin(п/2t + п/4). Найти период колебаний, максимальную скорость и максимальное ускорение точки
РЕШЕНИЕ

12.11 Уравнение движения точки дано в виде x = sin п/6t. Найти моменты времени, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение
РЕШЕНИЕ

12.12 Точка выполняет гармонические колебания. Период колебаний Т = 2с, амплитуда А = 50 Гц, начальная фаза 0. Найти скорость в момент времени, когда смещение точки от состояния равновесия x = 25 мм
РЕШЕНИЕ

12.13 Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с2, период колебаний T = 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени x0 = 25 мм.
РЕШЕНИЕ

12.14 Начальная фаза гармонического колебания φ = 0. При смещении точки от положения равновесия x1 = 2,4 см скорость точки v1 = 3 см/с, а при смещении x2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найти амплитуду и период этого колебания
РЕШЕНИЕ

12.15 Уравнение колебания материальной точки массой m = 16 г имеет вид x = 0,1sin(π/8t + π/4) м. Построить график зависимости от времени t в пределах одного периода силы F, действующей на точку. Найти максимальную силу
РЕШЕНИЕ

12.16 Уравнение колебаний материальной точки массой m = 10 г имеет вид x = 5sin(π/5 t + π/4) см. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки
РЕШЕНИЕ

12.17 Уравнение колебания материальной точки массой m = 16 г имеет вид x = 2sin(π/4t + π/4) см. Построить график зависимости от времени в пределах одного периода кинетической потенциальной и полной W энергий точки
РЕШЕНИЕ

12.18 Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени t = T/12; T/8; T/6. Начальная фаза колебаний φ0 = 0
РЕШЕНИЕ

12.19 Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов, когда смещение от положения равновесия составляет x = A/4; A/2; A, где A амплитуда колебаний
РЕШЕНИЕ

12.20 Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, W = 30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, F max = 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний T = 2 с и начальная фаза π /3
РЕШЕНИЕ

12.21 Амплитуда гармоничных колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия W = 0,3 мкДж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 22,5 мкН
РЕШЕНИЕ

12.22 Шарик, подвешенный на нити, длиной l = 2 м, отклоняют на угол a= 4 и наблюдают его колебания. Полагая колебания незатухающими гармоническими, найти скорость шарика при прохождении им положения равновесия. Проверить полученное решение, найдя скорость шарика при прохождении им положения равновесия из уравнений механики.
РЕШЕНИЕ

12.23 К пружине подвешен груз массой m = 10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы F = 9,8 Н растягивается на l = 1,5 см, найти период вертикальных колебаний груза
РЕШЕНИЕ

12.24 К пружине подвесили груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза 1 Дж. Амплитуда колебаний A = 5 см. Найти жесткость пружины
РЕШЕНИЕ

12.25 Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному
РЕШЕНИЕ

12.26 Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса
РЕШЕНИЕ

12.27 К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний T1 = 0,5 c. После того как на чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебании стал равным T2 = 0,6 c. На сколько удлинилась пружина от прибавления добавочного груза
РЕШЕНИЕ

12.28 К резиновому шнуру длиной l = 40 см и радиусом r = 1 мм подвешена гиря массой m = 0,5 кг. Зная, что модуль Юнга резины E = 3 МН/м2, найти период вертикальных колебаний гири
РЕШЕНИЕ

12.29 Ареометр массой m = 0,2 кг плавает в жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом T = 3,4 c. Считая колебания незатухающими, найти плотность жидкости, в которой плавает ареометр. Диаметр его вертикальной цилиндрической трубки d = 1 см
РЕШЕНИЕ

12.30 Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных, колебаний с одинаковым периодом T = 8 с и одинаковой амплитудой A = 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями π/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю.
РЕШЕНИЕ

12.31 Найти амплитуду и начальную фазу гармоничного колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями x1 = 0,02sin(5πt + π /4) и x2 = 0.03sin(5πt + π/4) м.
РЕШЕНИЕ

12.32 В результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и одинаковыми периодами получается результирующее колебание с тем же периодом и той же амплитудой. Найти разность фаз складываемых колебаний
РЕШЕНИЕ

12.33 Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями x1 = 4sin πt и x2 = sin(πt + π/2). Написать уравнение результирующего колебания. Дать векторную диаграмму сложения амплитуд
РЕШЕНИЕ

12.34 На рис. дан спектр результирующего колебания. Пользуясь данными этого рисунка, написать уравнения колебаний, из которых составлено результирующее колебание. Начертить график этих колебаний. Принять, что в момент t = 0 разность фаз между ними 0. Начертить график результирующего.
РЕШЕНИЕ

12.35 Уравнения двух гармонических колебаний имеют вид x1 = 3sin4πt и x2 = 6sin10πt см. Построить график этих колебаний. Сложив графически, построить график результирующего колебания. Начертить его спектр
РЕШЕНИЕ

12.36 Уравнение колебаний имеет вид x = Asin(2 π ν1 · t), причем амплитуда изменяется со временем по закону A = A0(1 + cos2πν2t). Из каких гармонических колебаний состоит колебание? Построить график слагаемых и результирующего колебаний для A0 = 4 см, ν1 = 2 Гц, ν2 = 1 Гц. Начертить спектр результирующего колебания
РЕШЕНИЕ

12.37 Написать уравнение результирующего колебания получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой 5 Гц одинаковой начальной фазой π /3. Амплитуды колебаний равны A1 = 0,10 и A2 = 0,05 м.
РЕШЕНИЕ

12.38 Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны A1 = 3 и A2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если колебания совершаются в одном правлении; в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
РЕШЕНИЕ

12.39 Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = 2sin ωt и y = 2cos ωt м. Найти траекторию результирующего движения точки
РЕШЕНИЕ

12.40 Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебания x = cos(πt) и y = cos(π/2t). Найти траекторию результирующего движения и начертить ее с нанесением масштаба
РЕШЕНИЕ

12.41 Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = sin(πt) и y = 2sin(πt + π/2). Найти траекторию результирующего движения точки
РЕШЕНИЕ

12.42 Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = sin(πt) a y = 4sin(πt + π). Найти траекторию результирующего движения точки и начертить ее с нанесением масштаба
РЕШЕНИЕ

12.43 Период затухающих колебаний T = 4 c; логарифмический декремент затухания N = 1.6; начальная фаза 0. При t = T/4 смещение точки x = 4,5 см. Написать уравнение движения этого колебания. Построить его график в пределах двух периодов.
РЕШЕНИЕ

12.44 Построить график, затухающего колебания, данного уравнением x = 5e-0,1tsi*
РЕШЕНИЕ

12.45 Уравнение затухающих колебаний дано в виде x = 5e-0,25t sin(π/2t). Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени, равные 0, T, 2 T, 3 Т и 4 T
РЕШЕНИЕ

12.46 Логарифмический декремент затухания математического маятника N = 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно его полное колебание
РЕШЕНИЕ

12.47 Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за время t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина l = 1 м.
РЕШЕНИЕ

12.48 Математический маятник длиной l = 24,7 см совершает затухающие колебания. Через какое время энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания N = 0,01; 1
РЕШЕНИЕ

12.49 Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания N = 0,2 . Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание
РЕШЕНИЕ

12.50 Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t = 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится амплитуда за t = 3 мин
РЕШЕНИЕ

12.51 Математический маятник длиной l = 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на x1 = 5 см, а при втором (в ту же сторону) - на x2 = 4 см. Найти время релаксации, т.е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз (основание натуральных логарифмов)
РЕШЕНИЕ

12.52 К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская, его заставляют совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания, чтобы колебания прекратились через время t = 10 с (считать, что они прекратились, если амплитуда упала до 1% от начальной); груз возвращается в положение равновесия апериодически; логарифмический декремент затухания колебаний был равным 6
РЕШЕНИЕ

12.53 Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой A max = 7 см, начальной фазой 0 и коэффициентом затухания 1,6 см-1. На тело начала действовать внешняя периодическая сила F, под действием которой установились вынужденные колебания, Уравнение которых имеет вид x = 5sin(10πt - 3π/4) см. Найти с числовыми коэффициентами уравнение собственных колебаний и уравнение внешней периодической силы.
РЕШЕНИЕ

12.54 Гиря массой m = 0,2 кг, висящая на вертикальной пружине, совершает затухающие колебания с коэффициентом затухания 0,75 см-1. Жесткость пружины k = 0,5кН/м. Начертить зависимость амплитуды A вынужденных колебаний гирьки от частоты внешней периодической силы, если максимальное значение внешней силы F0 = 0,98 Н. Для построения графика найти значение A для частот ω = 0, 0.5, 0.75, ω0, 1.5ω0 и ω = 2ω0, где ω0 частота собственных колебаний подвешенной гири
РЕШЕНИЕ

12.55 По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублении, находящихся на расстоянии l = 30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на x0 = 2 см под действием груза массой m0 = 1 кг. С какой скоростью катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски M = 10 кг
РЕШЕНИЕ

12.56 Найти длину волны колебания, период которого T = 10-14 c. Скорость распространения колебаний c = 3·10^8 м/c.
РЕШЕНИЕ

12.57 Звуковые колебания, имеющие частоту v = 500 Гц и амплитуду A = 0,25 мм. распространяются в воздухе. Длина волны λ = 70 см. Найти скорость распространения колебаний и максимальную скорость частиц воздуха
РЕШЕНИЕ

12.58 Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x = 10sin(π/2·t) см. Найти уравнение волны, если скорость распространения колебаний c = 300 м/с. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии l = 600 м от источника колебаний. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t = 4 с после начала колебаний.
РЕШЕНИЕ

12.59 Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x = 4sin(600πt) см. Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, для момента времени t = 0,01 с после начала колебаний. Скорость их распространения c = 300 м/с.
РЕШЕНИЕ

12.60 Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x = sin(2,5πt). Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии l = 20 м от источника колебаний, для момента времени t = 1 с после начала колебаний. Скорость их распространения c = 100 м/с.
РЕШЕНИЕ

12.61 Найти разность фаз колебаний двух точек, которые находятся от источника на расстояниях l1 = 10 м и l2 = 16 м. Период колебаний T = 0,04 c, скорость распространения волн = 300 м/с.
РЕШЕНИЕ

12.62 Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии l = 2 м друг от друга, если длина волны 1 м
РЕШЕНИЕ

12.63 Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l = λ/12, для момента времени t = T/6 . Амплитуда колебаний A = 0,05 м.
РЕШЕНИЕ

12.64 Смещение от положения равновесия точки, отстоящей источника колебании на расстоянии l = 4 см. в момент времени t = T/6 равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны
РЕШЕНИЕ

12.65 Найти положение узлов и пучностей и начертить график стоячей волны, если отражение происходит от менее плотной среды; от более плотной среды. Длина бегущей волны λ = 12 см
РЕШЕНИЕ

12.66 Найти длину волны колебаний, если расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны l = 15 см