Интеграл энергии. Отрывок, характеризующий Обобщённый интеграл энергии

После интегрирования получим:

Четвёртый интеграл, который называется интегралом энергии.

h – постоянная интегрирования, которая называется постоянной энергии.

m – масса спутника

Полная энергия;

Кинетическая энергия;

Потенциальная энергия.

Знак « – » = «притяжение».

h – характеризует полную энергию спутника.

18. Будем брать попарно уравнения из системы (1) и исключать из них второе слагаемое:

Получили систему уравнений с разделяющими переменными:

После интегрирования этой системы получим:

Система уравнений (2) называется интегралы площадей.

С 1 , С 2 , С 3 – постоянные площадей.

Физический и геометрический смысл постоянных площадей. Возьмём систему уравнений (2) умножим её составляющие на X, Y, Z и сложим между собой:

Получим уравнение плоскости, в которой движется спутник. Она перпендикулярна некоторому вектору , модуль которого равен: .

Направляющие косинусы этого вектора равны:

Рассмотрим интегралы площадей в орбитальной с.к.:

Соотношение между полярной и прямоугольной с.к.

Поскольку с.к. находятся в плоскости орбиты, то С 1 =0 и С 2 =0, а С = С 3 . Следовательно интеграл площадей записывается одним уравнением: .

19. Запишем данное уравнение в полярных координатах:

То уравнение примет следующий вид:

Интеграл площадей в орбитальной полярной с.к.

Из вида этого уравнения следует, что - это вектор кинетического момента движения. Мы получили физический смысл интеграла площадей.

Рассмотрим радиус вектор спутника в некоторый момент времени t и через малый промежуток времени Δt. Найдём площадь сектора ΔS, который описал за этот промежуток времени радиус-вектор.

ΔS = ½*r 2 *Δu

Если перейти к пределу, то получим: - площадь сектора при повороте радиус-вектора на угол Δu.

Т.к. , то S = ½*C. А следовательно С = 2S.

Постоянная площадей С – есть двойная площадь, которую радиус-вектор спутника описывает за единицу времени. Мы получили геометрический смысл постоянной площадей

21.Интеграл орбиты. Пятый интеграл определяет геометрию орбиты и его называют интегралом Лапласа.

f 1 x + f 2 y + f 3 z = - μr + c 2

f 1 , f 2 , f 3 – компоненты постоянного вектора, который называют вектором Лапласа

Этот вектор лежит в плоскости орбиты на линии абсид.

f – постоянная интегрирования;с – постоянная площадей;μ – гравитационная постоянная.Эта постоянная интегрирования связанна с другими

f 2 = μ 2 + hc 2

h – постоянная энергии.Само уравнение орбиты получается из решения системы уравнений:

с 1 x + с 2 y + с 3 z = 0 – уравнение плоскости, в которой движется спутник;

f 1 x + f 2 y + f 3 z = - μr + c 2 – уравнение поверхности вращения 2ого порядка.

22 .Найдём уравнение орбиты спутника в орбитальной системе координат.

f 1 ξ = - μr + c 2

f*r*cos u = - μr + c 2

f*r*cos u + μr = c 2

r*(f*cos u + μ) = c 2

Уравнение орбиты в полярной орбитальной с.к.

где р – фокальный параметр; е – эксцентриситет.В геометрии уравнение такого вида называют фокальное уравнение конического сечения. Вид этого уравнения зависит от величины эксцентриситета:0 ≤ е < 1 – эллипс;е = 1 – парабола;е > 1 – гипербола.

23.Энергия спутника при различных видах движения. Беремформ.(5-вторая форм), p=c 2 / μ и e=f/ μ. f 2 = e 2 *μ 2 ; e 2 *μ 2 = μ 2 + hc 2 ; e 2 *μ 2 – μ 2 = hc 2 ; μ 2 *(e 2 – 1) = hc 2 ; e 2 – 1 = hc 2 /μ 2

а) 0 ≤ е < 1 => h < 0 – эллипс

=> при эллипсоидальном движении спутника кинетическая энергия W кин < потенциальной энергии W потен.

Рассмотрим частный случай эллиптического движения когда е = 0 – круговое движение.

1ая космическая скорость.

б) е = 1 => h = 0 – парабола

=> при параболическом движении спутника кинетическая энергия W кин = потенциальной энергии W потен.

2ая космическая скорость.

в) е > 1 => h > 0 – гипербола

=> при гиперболическом движении спутника кинетическая энергия W кин > потенциальной энергии W потен.

24. Для нахождения 6ого интеграла понадобится уравнение орбиты:

и интеграл площадей в орбитальной системе координат:

Для интегрирования надо произвести разделение переменных:

t – текущее время;υ – текущая истинная аномалия.

Интегрировать будем по времени от 0 до t и по истинной аномалии от 0 до υ:

τ – произвольная постоянная интегрирования. Она означает некоторый начальный момент времени, в который спутник находился в перегее.

Интеграл в правой части можно решить путём замены переменной, т.е. переменную интегрирования υ (истинная аномалия) меняют на другую переменную Е – эксцентрическую аномалию.

После замены переменной интегрирования получим:

n*(t – τ) = E – e*sinE

M = n*(t – τ) – средняя аномалия

M = E – e*sinЕ – шестой интеграл уравнения Кеплера

Если известная средняя аномалия, то из решения уравнения Кеплера можно найти эксцентрическую аномалию.

Уравнение Кеплера является трансцендентным, т.е. его решают методом приближений:

Е 1 = M + е*sin (E 0);

Е 2 = M + е*sin (E 1);

Е 3 = M + е*sin (E 2);

М – в радианах.

25.Расчёт координат спутника для любого момента времени. Для вычисления координат спутника необходимо знать его Кеплеровы элементы орбиты, т.е. а, е, Ω, ω, ι, τ.Порядок расчёта координат:

1. находим среднее движение:

2. находим среднюю аномалию: M = n*(t – τ)

t – текущий момент времени

3. решаем уравнение Кеплера и находим эксцентрическую аномалию M → E

Е 1 = M + е*sin (E 0);

Е 2 = M + е*sin (E 1);

Е 3 = M + е*sin (E 2);

_________________

Е к = M + е*sin (E к-1)

4. находим истинную аномалию

5. находим фокальный параметр р = а*(1 - е 2)

6. находим радиус-вектор

производим преобразование координат из орбитальной системы в гринвичскую или инерциальную z (r; υ) → (X; Y; Z)

26.27.Возмущенное движение ИСЗ. Поле тяготения Земли в действительности не является центральным поскольку форма Земли отличается от сферической, а плотность в теле Земли распределена не равномерно. По этому в действительности движение спутника нельзя считать Кеплеровым. Небесной механике всякое движение, которое отличается от Кеплерова называют возмущённым. А силы, которые вызывают это движение называют возмущающими. Эти силы бывают гравитационного и негравитационного характера.Возмущающие силы гравитационного характера.

В случае не зависящей от времени функции Лагранжа . Также называется интегралом Якоби. Всегда существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени не зависит .

Формулировка

Уравнения Лагранжа голономной механической системы c независящей от времени функцией Лагранжа

$$

имеют обобщённый интеграл энергии :

$h\; =\; \backslash sum\_\{m=1\}^\{s\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; -\; L$

Вывод

$$

Рассмотрим голономную систему, имеющую $s$ степеней свободы, с функцией Лагранжа

$L=L(q\_\{m\},\; \backslash dot\{q\}\_\{m\},\; t)$,

зависящей от обобщённых координат $q\_\{m\}$, обобщённых скоростей $\backslash dot\{q\}\_\{m\}$ и времени $t$, здесь и ниже всюду $m=1,\; 2,\; ...,\; s$.

Дифференцируя по времени функцию $L(q\_\{m\},\; \backslash dot\{q\}\_\{m\},\; t)$, получаем

$\backslash frac\{dL\}\{dt\}=\backslash sum\_\{m=1\}^\{s\}\backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_\{m\}\}\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash ddot\{q\}\_\{m\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; t\}$.

Из уравнений Лагранжа

$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash right)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_\{m\}\}\; =0$

следует, что

$\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_\{m\}\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash right)$.

Тогда получаем:

$\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_\{m\}\}\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash ddot\{q\}\_\{m\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash right)\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash ddot\{q\}\_\{m\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; \backslash right)$.

Пользуясь этим, имеем:

$\backslash frac\{dL\}\{dt\}=\backslash sum\_\{m=1\}^\{s\}\backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_\{m\}\}\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash ddot\{q\}\_\{m\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash sum\_\{m=1\}^\{s\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; t\}$

$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left\; (\backslash sum\_\{m=1\}^\{s\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; -\; L\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; 0$.

Если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то $\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; 0$ и $\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left\; (\backslash sum\_\{m=1\}^\{s\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; -\; L\; \backslash right)\; =\; 0$

Из этого следует:

$\backslash sum\_\{m=1\}^\{s\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\}\; \backslash dot\{q\}\_\{m\}\; -\; L\; =\; h$

Это выражение называется обобщённым интегралом энергии, или интегралом Якоби .

Напишите отзыв о статье "Обобщённый интеграл энергии"

Примечания

Литература

• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. - М .: Наука, 1971. - 264 с.

Отрывок, характеризующий Обобщённый интеграл энергии

Когда Пьер, иногда пораженный смыслом его речи, просил повторить сказанное, Платон не мог вспомнить того, что он сказал минуту тому назад, – так же, как он никак не мог словами сказать Пьеру свою любимую песню. Там было: «родимая, березанька и тошненько мне», но на словах не выходило никакого смысла. Он не понимал и не мог понять значения слов, отдельно взятых из речи. Каждое слово его и каждое действие было проявлением неизвестной ему деятельности, которая была его жизнь. Но жизнь его, как он сам смотрел на нее, не имела смысла как отдельная жизнь. Она имела смысл только как частица целого, которое он постоянно чувствовал. Его слова и действия выливались из него так же равномерно, необходимо и непосредственно, как запах отделяется от цветка. Он не мог понять ни цены, ни значения отдельно взятого действия или слова.

Получив от Николая известие о том, что брат ее находится с Ростовыми, в Ярославле, княжна Марья, несмотря на отговариванья тетки, тотчас же собралась ехать, и не только одна, но с племянником. Трудно ли, нетрудно, возможно или невозможно это было, она не спрашивала и не хотела знать: ее обязанность была не только самой быть подле, может быть, умирающего брата, но и сделать все возможное для того, чтобы привезти ему сына, и она поднялась ехать. Если князь Андрей сам не уведомлял ее, то княжна Марья объясняла ото или тем, что он был слишком слаб, чтобы писать, или тем, что он считал для нее и для своего сына этот длинный переезд слишком трудным и опасным.
В несколько дней княжна Марья собралась в дорогу. Экипажи ее состояли из огромной княжеской кареты, в которой она приехала в Воронеж, брички и повозки. С ней ехали m lle Bourienne, Николушка с гувернером, старая няня, три девушки, Тихон, молодой лакей и гайдук, которого тетка отпустила с нею.
Ехать обыкновенным путем на Москву нельзя было и думать, и потому окольный путь, который должна была сделать княжна Марья: на Липецк, Рязань, Владимир, Шую, был очень длинен, по неимению везде почтовых лошадей, очень труден и около Рязани, где, как говорили, показывались французы, даже опасен.
Во время этого трудного путешествия m lle Bourienne, Десаль и прислуга княжны Марьи были удивлены ее твердостью духа и деятельностью. Она позже всех ложилась, раньше всех вставала, и никакие затруднения не могли остановить ее. Благодаря ее деятельности и энергии, возбуждавшим ее спутников, к концу второй недели они подъезжали к Ярославлю.

Рассмотрим свойства функции фазовой плотности звёздной системы в рамках звёздной динамики . При этом звёзды рассматриваются как точечные тяготеющие массы. Определим функцию фазовой плотности как плотность распределения вероятности найти звёзду в элементе шестимерного фазового пространства:

Пусть Ф(x,y,z,t) есть гравитационный потенциал системы. Движение материальной точки описывается уравнениями:

Рассмотрим группу звёзд в движущемся элементе фазового пространства. Неизменность числа звёзд в группе позволяет приравнять значения функции фазовой плотности в моменты t и t+dt, т.е. Ψ(t) = Ψ(t + dt) . Разложив правую часть этого равенства в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми степенями приращений, получим линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, которому должна удовлетворять функция фазовой плотности:

При выводе этого уравнения производные от скоростей по пространственным координатам заменены на частные производные от потенциала в силу уравнений движения (15-8). Уравнение (15-9) является фундаментальным уравнением бесстолкновительной звёздной динамики и, по сути, представляет собой уравнение неразрывности для функции фазовой плотности, являясь аналогом уравнения Больцмана для газа невзаимодействующих частиц. В случае заметной роли взаимодействия между звездами, вместо нуля в правой части (15-9) появляется так называемый столкновительный член, резко усложняющий анализ уравнения.

Решением уравнения в частных производных является произвольная функция от независимых интегралов соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений Лагранжа:

Если мы располагаем выражением для гравитационного потенциала, то в принципе можем найти шесть интегралов системы (15-10) и записать выражение для функции фазовой плотности. При этом следует помнить, что вместо потенциала мы можем использовать распределение плотности массы в Галактике, так как она связана с гравитационным потенциалом уравнением Пуассона.

Задача несколько упрощается, если звёздная система обладает симметрией. Известная теорема теоретической механики, доказанная в начале ХХ-го века Э. Нетер, в упрощенной формулировке гласит, что каждому непрерывно зависящему от одного параметра преобразованию, не меняющему функционал действия, соответствует закон сохранения - некий интеграл уравнений движения. Такими преобразованиями являются преобразования симметрии. При этом отметим, что Джинс в 1915 году доказал теорему, которая гласит, что для хорошо перемешанного звёздного населения функция фазовой плотности может быть записана только как функция интегралов движения: Ψ = Ψ(I 1 ,...,I 6 ). Нас обычно интересует вид функции Ψ в зависимости от пространственных координат и компонентов пространственной скорости, так что необходимо подставить в выражение для Ψ явный вид интегралов движения. Конкретный вид функции фазовой плотности можно найти только из наблюдений, при этом некоторую информацию о свойствах функции Ψ можно получить из самых общих соображений о симметрии рассматриваемой звёздной системы. Рассмотрим несколько примеров.

1 ) Пусть потенциал и функция фазовой плотности не зависят явно от времени, т.е. ∂Ψ/∂t и система стационарна. Перепишем три пары уравнений из (15-10) в виде:

Слева и справа в (15-12) стоят полные дифференциалы, что позволяет легко проинтегрировать эти выражения и записать:

V 2 = 2Ф + const .

Если перенести потенциал в левую часть, мы получим всем известную запись выражения для интеграла энергии : I 1 = V 2 - 2Ф. Если бы больше не нашлось интегралов системы (15-10), функция фазовой плотности описывалась бы выражением Ψ = Ψ(V 2 - 2Ф), а распределение скоростей получилось бы сферически симметричным. Из обсуждавшихся в предыдущих лекциях наблюдательных данных ясно, что этот случай в Галактике не выполняется.

Отметим, что если скорость звезды такова, что V 2 - 2Ф > 0 , то V > (2Ф) 1/2 и звезда покинет систему. Условие V = (2Ф) 1/2 определяет критическую скорость или скорость отрыва в звёздной системе. Вспомним, что грубую оценку критической скорости из наблюдений мы получили, рассматривая движения звёзд и не находя звёзд с очень большими скоростями. Так из наблюдений можно оценить значение потенциала тяготения для окрестностей Солнца в предположении, что самая большая наблюдаемая скорость близка к скорости отрыва.

2 ) Если потенциал имеет сферическую симметрию, то кроме I 1 получим еще три независимых интеграла площадей (интегралы сохранения вращательных моментов относительно трех осей):

Отсюда I 2 2 + I 3 2 + I 4 2 = r 2 (V Θ 2 + V φ 2 ). Функция фазовой плотности в этом случае есть Здесь мы имеем эллипсоид скоростей с одинаковыми осями по угловым переменным, но сжатый или растянутый в радиальном направлении.

3) Рассмотрим случай цилиндрической симметрии, что, как показывают наблюдательные данные, с хорошей степенью приближения выполняется в нашей Галактике. В этом случае кроме интеграла энергии можно найти только один интеграл площадей:

I 2 = xv - yu = const .

В цилиндрической галактоцентрической системе координат I 2 = RV Θ Новым частным решением основного уравнения будет, следовательно, Здесь компоненты скорости по r и z входят в выражение для фазовой плотности симметрично, так что эллипсоид скоростей имеет две равные оси (эллипсоид вращения), и только сжат или растянут в направлении галактического вращения.

Ни в одном из перечисленных случаев нельзя получить полный набор интегралов. Отметим, что мы получили для осесимметричной Галактики интегралы, управляющие движениями по осям, лежащим в плоскости Галактики, и должен существовать интеграл, управляющий движением по оси z. Ясно также, что общего решения нельзя получить без знания точного выражения для гравитационного потенциала Галактики.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ОДЕССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Кафедра землеустройства и кадастра

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к расчётно-графической работе по спутниковой геодезии

тема: Форма орбиты и движение искусственного спутника земли по законам Кеплера.

ОДЕССА 2011

Цель работы: ознакомить студентов с теоретическими основами невозмущённого движения искусственных спутников Земли и расчётами основных параметров их орбит.

Расчётно-графическую работу выполняют индивидуально по исходным данным варианта задания, выданного преподавателем.

Выполненная работа должна содержать:

Пояснительные рисунки.

Рабочие формулы.

Результаты вычислений.

Теоретические сведения.

Использование искусственных спутников Земли (ИСЗ) (с 4 октября 1957 года) для решения научных и технических задач геодезии обусловило возникновение космической геодезии и позволило решать их в более сжатые сроки а также с большей полнотой и точностью.

Если рассматривать методы космической геодезии в последовательности их развития, то вначале получил широкое распространение геометрический метод. Этот метод основывается на одновременных (на начальном этапе преимущественно фотографических) наблюдениях определённого ИСЗ с нескольких наземных пунктов. Так многократное синхронное фотографирование ИСЗ на фоне звёздного неба минимум с двух пунктов позволяет определить направление хордового вектора, проходящего через эти пункты. Множество таких векторов, вычисленных между определённым количеством геодезических пунктов, составляет векторную пространственную сеть – космическую триангуляцию. Для расчёта периодов возможных синхронных наблюдений ИСЗ с отдалённых пунктов, необходимо знать параметры его орбитального движения. Следующий, общий метод, - динамический, с помощью которого находят параметры внешнего гравитационного поля Земли (геопотенциал) вместе с уточнением координат пунктов наблюдения у единой обзеземной геоцентрической системе координат. Для этого на основе длительных наблюдений периодически рассчитывают орбиту ИСЗ и исследуют постепенные изменения её параметров, т.е. её эволюцию во времени. В орбитальном методе, зная параметры геопотенциала, измеренные с наземных пунктов или непосредственно с борта спутника определяют и уточняют элементы орбиты ИСЗ. Таким образом применение любого спутникового метода требует зхнания теории движения ИСЗ.

Инерциальное движение спутника в околоземном пространстве определяется многими факторами: притяжением гравитационных полей Земли, Луны, Солнца и планет Солнечной системы, лунно-солнечными приливами, торможением в атмосфере, давлением солнечного света, воздействием магнитного поля Земли. Из названных факторов влияние гравитационного поля Земли является доминирующим, и в свою очередь достаточно сложным. Поэтому движение спутника рассчитывают с помощью приближений. Сначала рассматривают наипростейшую модель движения: 1) ИСЗ и Земля – материальные точки, т.е. тела, размерами которых пренебрегают, а реальная масса каждого тела сосредоточена в его центре масс (центре притяжения), или планету считают шаром с массой равномерно распределённой по его телу (в таком случае притяжение ею спутника соответствует притяжению материальной точкой, масса которой равна массе Земли). 2)Влиянием массы спутника на движение планеты как незначительной пренебрегают (т.е. спутник –пассивно действующая масса), 3)Рассчитывают движение спутника по инерции около Земли как неподвижного центра под влиянием только одной силы – силы их взаимного притяжения, которая определяется законом всемирного тяготения Ньютона, а направление направлено к центру масс Земли (поэтому её называют центральною). Все другие силы вызывают в движении ИСЗ значительно меньшие ускорения, чем центральное, их называют возмущающими и ними в этой модели пренебрегают. В небесной механике такую задачу называют ограниченной задачей двух тел, планета – притягивающее тело, спутник – притягиваемое, движение спутника называется невозмущённым или Кеплеровым, потому что оно строго подчиняется законам Кеплера, сформулированных ним эмпирично по наблюдениям за движением планет вокруг Солнца. Современная аналитическая теория невозмущённого движения основывается на законах небесной механики Ньютона, и включает в общих чертах такие части: вывод дифференциальных уравнений движения, методов их решения, анализа решений, и получение системы формул для расчёта элементов орбиты, координат и скоростей ИСЗ и параметров их движения.

Инерциальная система координат: начало – в центре масс Земли, ось ОZ совпадает со средней осью вращения Земли в пространстве, ось ОХ – направлена на среднюю точку весеннего равноденствия , ось ОУ – лежит в плоскости среднего экватора на 90˚ от оси ОХ так, чтобы система была правою.

Точка весеннего равноденствия  есть точка пересечения небесного экватора с эклиптикою.

Эклиптика – видимый годичный путь солнца по небесной сфере, или это приблизительно усреднённая орбита Земли вокруг Солнца.

Дифференциальные уравнения невозмущённого движения ИСЗ . На основе второго закона Ньютона вектор силы F равняется:

где
вектор ускорения какого-либо космического аппарата, в частности ИСЗ, точками сверху принято обозначать производные по времени, в данном случае вторую;
масса ИСЗ. Модуль силы согласно закону всемирного тяготения составляет

(2)

где
универсальная гравитационная постоянная, М – масса Земли,
масса спутника,
расстояние между центрами масс Земли и космического аппарата. Силам притяжения принято приписывать знак минус, силам отталкивания – плюс. Тогда вектор силы взаимодействия между массою Земли и массою спутника, на основе закона (2) выразится так:
(3)

где
вектор положения ИСЗ (геоцентрический радиус-вектор), а его составляющими в принятой геоцентрической системе являются текущие координаты аппарата, то есть: (4)

Уравнивая правые части (1) и (3), получаем дифференциальное уравнение невозмущённого движения космического аппарата в векторной форме:

(5)

где
гравитационный параметр Земли (геоцентрическая гравитационная постоянная). В координатной форме (5) даёт три дифференциальных уравнения такого вида:

(6)

где
и
составляющие вектора ускорения спутника. Интегрированием дифференциальных уравнений движения космического аппарата прогнозируют его положение, вектор (см.(4)), и составляющие
вектора скорости на другие моменты времени от начального моменту .

Интегрирование дифференциальных уравнений движения . Полное решение системы (5) или (6) должно состоять из шести независимых интегралов и иметь такой общий вид:

(7)

где
текущее время,
произвольные постоянные интегрирования, которые определяются начальными условиями движения – параметрами орбиты ИСЗ
на начальный.

Интегрируют дифференциальные уравнения (5) или (6) разными способами. В результате интегрирования получают важные для теории невозмущённого движения выражения, которые называются первыми интегралами и кроме, того имеют собственные названия.

Интеграл площадей. Еслиуравнение движения (5) умножить векторно на ,получаем
(8)

Это уравнение тождественно такому:
(9)

Интегрируя уравнение (9), получаем интеграл площадей в векторной форме:

(10)

где постоянная интегрирования является вектором интеграла площадей. Векторное произведение (10) в матричной форме имеет такой вид:

, (11)

Вычёркивая первый ряд в матрице (11) и колонку соответствующего орта, получаем определители второго порядка, вычисляя которые, получаем три интеграла площадей в координатной форме: (12)

Название интеграла площадей происходит из сущности векторного произведения, результатом которого есть вектор , модуль которого равен площади параллелограмма со сторонами и . Направление вектора перпендикулярно к площади, в которой лежат вектора и .

Интеграл энергии. Векторное дифференциальное уравнение невозмущённого движения (5) умножим скалярно на 2, получим:

(13)

Левая часть уравнения (13) тождественна выражению:
(14)

Кроме того, справедливо тождество:
(15)

Подставляя (14) и (14) в (13), получаем:

(16)

Известно, что:
(17)

Подставив тождества (17) в (16) и проинтегрировав, имеем:
(18)

где
постоянная интегрирования. Умножив (18) на получаем
запас кинетической энергии,
потенциальная энергия полный запас механической энергии системы. Таким образом
характеризует распределение энергии на кинетическую и потенциальную, в зависимости от положения спутника на орбите, а также постоянство общей алгебраической суммы кинетической и потенциальной энергии в системе Земля – спутник. Поэтому (18) называют интегралом энергии, а его постоянную
постоянной энергии.

Интегралы Лапласа. Дифференциальные уравнения невозмущённого движения умножим векторно на интеграл площади получим:

(19)

Интеграл площадей с в соответствии с (10) является результатом векторного произведения векторов и В правой части (19), заменив вектор с , получим:

(20)

Векторное произведение трёх векторов можно заменить скалярным в соответствии с правилом:

Сделав эту замену в уравнении (20), имеем:

После преобразований имеем:

Это выражение тождественно такому:

(21)

Интегрируя (21), получаем интеграл Лапласа в векторной форме:

(22)

где
постоянная интегрирования, которая называется вектором Лапласа. Обозначив его составляющие через
(22) можно записать в виде, который раскрывает векторное произведение:

Записывая векторное произведение через определители, и приравнивая выражения при одинаковых ортах, получаем интегралы Лапласа в интегральной форме:

(23)

где составляющие вектора Лапласа
являются постоянными этих интегралов или постоянными Лапласа. Формулами (12), (18) и (23) записаны семь первых интегралов невозмущённого движения ИСЗ. Но они не составляют общее решение системы (7), потому, что во-первых не являются независимыми и, во-вторых, не содержат в явном виде время Зависимость между этими интегралами можно выразить через произвольные постоянные уравнениями:

(24)

Что свидетельствует про взаимную перпендикулярность векторов и и

(25)

где

Исследования невозмущённого движения. Если векторные уравнения интеграла площадей (10) скалярно умножить на вектор и осуществить преобразования, получим выражение

(26)

которое оказывается уравнением плоскости, проходящей через начало координат. В координатной форме оно имеет такой вид:

(27)

Уравнения (26) или (27) показывают, что невозмущённое движение осуществляется в неизменной плоскости, которая определяется только начальными условиями задачи и, как следствие, орбита ИСЗ есть плоская кривая. Отсюда, невозмущённое движение происходит в плоскости, которая перпендикулярна (ортогональна) к вектору площади с . Из математики известно, что положение плоскости в пространстве определяется перпендикулярным (ортогональным) к ней вектором. Таким образом, вектор площади с определяет ориентацию плоскости орбиты спутника в пространстве.

Теперь на вектор умножим скалярно вектор Лапласа (22), выполним преобразования и получим такое уравнение:

(28)

а в координатной форме оно имеет такой вид:

(28´)

Уравнения (28) или (28´) описывает поверхность на которой находится спутник во время движения. Эта поверхность является поверхностью второго порядка, образованная вращением вокруг оси, которая задана вектором один из фокусов которого совпадает началом координат. Это может быть эллипсоид, параболоид или гиперболоид вращения. Решение системы, составленной с уравнений (27) и (28´),

геометрически является сечение плоскостью поверхности вращения. В результате сечения получается плоская кривая второго порядка.

В соответствие с первым законом Кеплера невозмущённая орбита искусственного небесного тела является плоскою кривой второго порядка в одном из фокусов которой размещено центральное тело (для искусственных спутников Земли центральным телом является Земля). В зависимости от вида эксцентриситета орбита этого тела может принимать форму одной из таких плоских кривых второго порядка:

Круга, если эксцентриситет е = 0;

Эллипса, если эксцентриситет 0 < е < 1;

Параболы, если эксцентриситет е = 1;

Гиперболы, если эксцентриситет е > 1.

Орбита ИСЗ может быть также кругом. Форма, размеры, ориентация эллиптической орбиты спутника определяются 6-ю параметрами (элементами отбиты), а именно:

большей полуосью орбиты;
эксцентриситетом орбиты,

долготой восходящего узла орбиты,

углом наклона плоскости орбиты,

аргументом перицентра,

моментом прохождения спутника через перицентр.

Рис.1. Угловые элементы орбиты

Размеры и форму орбиты задают большей полуосью и эксцентриситетом орбиты. Ориентацию плоскости орбиты в пространстве определяет долгота восходящего узла орбиты
и угол наклона

Орбита спутника пересекает экватор в двух точках. Эти точки называются узлами: восходящий , в котором спутник пересекает экватор, двигаясь из южного полушария в северное; нисходящий , в котором спутник пересекает экватор, двигаясь из северного полушария в южное.

Долгота восходящего узла измеряется от точки весеннего равноденствия по экватору от 0˚ до 360˚, а угол наклона от плоскости экватора до плоскости орбиты от 0˚ до 180˚.

Аргумент перицентра (для ИСЗ – перигея) ориентирует большую полуось орбиты (линию аспид, которая соединяет точки апогея и перигея) в её плоскости, и измеряется от точки восходящего узла от 0˚ до 360˚. Апогей является наиболее удалённой точкой орбиты от Земли, а перигей – ближайшей.

Положение спутника на орбите определяется угловым параметром
истинной аномалией – углом между направлением на перигей и положением спутника (см. рис.1).

Прямая, соединяющая фокусы – линия аспид, совпадает с направлением вектора Лапласа, а вектор площадей перпендикулярен к плоскости орбиты (рис.2)

Времени.
Пусть, напр., в ограниченной области с кусочно гладкой границей 5 для уравнения гиперболич. типа

Где

поставлена

Классич. задачи (2), (3) - . ( х, t )класса удовлетворяющая уравнению (1) в цилиндре начальным условиям (2) на нижнем основании и граничным условиям (3) на боковой поверхности цилиндра.
Справедливо соотношение

Где


Интегралом энергии наз. величина

При F= 0равенство (4) принимает

Физич. смысл Э. и. состоит в том, что полная энергия колеблющейся системы при отсутствии внешних возмущений не меняется со временем (закон сохранения энергии).

Лит. : Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981.
А. Б. Иванов.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ЭНЕРГИИ ИНТЕГРАЛ" в других словарях:

Континуальный интеграл, функциональный интеграл, интеграл, областью интегрирования к рого служит то или иное функциональное пространство. Чаще всего И. по т. определяется как обычный интеграл Лебега от функционала, заданного на пространстве… … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения). INTEGRAL (International Gamma Ray Astrophysics Laboratory) Организация … Википедия

интеграл энергии - energijos integralas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. energy integral vok. Energieintegral, n rus. интеграл энергии, m pranc. intégrale d’énergie, f … Fizikos terminų žodynas

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости: Здесь плотность жидкости, скорость потока, высота, на которой находится рассматриваемый… … Википедия

В механике любая функция называется интегралом движения, где q обобщённые координаты, обобщённые скорости системы. Интегралы движения, обладающие аддитивностью или асимптотической аддитивностью, называются законами сохранения. Содержание 1… … Википедия

Закон сохранения энергии фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и… … Википедия

ГОСТ Р 52320-2005: Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока. Общие требования. Испытания и условия испытаний. Часть 11. Счетчики электрической энергии - Терминология ГОСТ Р 52320 2005: Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока. Общие требования. Испытания и условия испытаний. Часть 11. Счетчики электрической энергии оригинал документа: 3.5.1.2 базовый ток* (Iб): Значение… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Величина Z, обратная нормирующему множителю в каноническом распределении Гиббса в статистич. физике классич. систем и равная интегралу по всем фазовым переменным р, q системы: где Н(р, q) Гамильтона функции, системы, зависящая от всех координат q … Физическая энциклопедия

облучение от скрытой энергии альфа-излучения - Интеграл по времени концентрации скрытой энергии альфа излучения в воздухе в интервале времени, в течение которого на отдельное лицо воздействуют дочерние продукты радона или дочерние продукты торона. Это облучение не является формой… … Справочник технического переводчика

J-интеграл - параметр (критерий Черепанова Раиса) изменение потенциальной энергии в упругом континууме в процессе распространения трещины в металлах и сплавах при статическом нагружении. Использование J интеграла значительно расширяет возможность … Энциклопедический словарь по металлургии