График функции – это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х , а ординаты - соответствующими значениями функции y .

Если буквально следовать определению, то для построения графика некоторой функции нужно найти в с е пары соответствующих значений аргумента и функции и построить все точки с этими координатами. В большинстве случаев это сделать практически невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому обычно исследуют функцию, что даёт возможность найти область определения и область изменения функции, области её убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и т. д.; находят несколько точек, принадлежащих графику, и соединяют их плавной кривой. Однако при построении графиков многих функций часто можно избежать проведение подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика. Изложению именно таких методов и посвящается эта статья, которая может служить практическим руководством при построении графиков многих функций.

1 .Параллельный перенос

1.1. Перенос (сдвиг) вдоль оси ординат

Пусть требуется построить график функции y=f(x)+b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений аргумента на b единиц больше соответствующих ординат графика y=f(x) при b>0 и на b единиц меньше при b<0. Следовательно, график функции y=f(x)+b можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вверх при b>0 или вниз при b<0.

Рассмотрим это на примере построения графика функции y= x2 +1. Воспользуемся уже хорошо известным нам графиком функции y=x2 (рис.1), назвав его исходным графиком. Сравнивая функцию y=x2 +1 с функцией y=x2 , видим, что ординаты y графика заданной функции на 1 больше ординат исходного графика. Следовательно, исходный график надо перенести на 1 вверх, как это и показано на рисунке 2.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Однако перемещение графика связано с его перерисовыванием, что бывает затруднительно, особенно в случае сложных графиков. Перенос же графика на b единиц вверх или вниз вдоль оси ординат эквивалентен соответствующему, противоположному переносу оси абсцисс на столько же единиц.

Вернёмся к нашему примеру и покажем, что график функции y=x2+1 можно построить ещё проще, если воспользоваться тем же исходным графиком y=x2, но вместо перенесения всей кривой вверх на 1 перенести ось x-ов на ту же единицу вниз, как показано на рисунке 3. Тем самым относительно новой оси x-ов все ординаты кривой увеличиваются на 1, и получается график заданной функции.

Именно этим способом и следует пользоваться, поэтому сформулируем следующее правило.

Для построения графика функции y = f (x )+ b (где y = f (x ) - простейшая функция, график которой нам известен) следует построить график функции y = f (x ), причём горизонтальную ось начертить штриховой линией и затем сдвинуть её на b единиц вниз, если b >0 и на b единиц вверх, если b <0. Это и будет истинная ось х-ов; полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f (x )+ b .

Пример 1. Построить график функции y=2x+3.

Р е ш е н и е:

https://pandia.ru/text/80/051/images/image005_20.gif" width="128" height="214">
Рис.4 Рис.5

Пример 2. Построить график функции

Р е ш е н и е:

Строим график функции и переносим ось абсцисс на https://pandia.ru/text/80/051/images/image006_17.gif" width="67" height="41"> (рис.5). Прямая является горизонтальной асимптотой. График пересекает ось абсцисс в точке ( ;0).

1.2 Перенос вдоль оси абсцисс

Пусть тебуется построить график функции y=f(x+a). Рассмотрим функцию y=f(x), которая в некоторой точке x=x1 принимает значение y1=f(x1). Очевидно, функция y=f(x+a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2+a=x1, т. е. x2=x1-a, причём рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений x из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(x+a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y=f(x) вдоль оси абсцисс влево на a единиц при a>0 или вправо на a единиц при a<0. Параллельное же перемещение графика вдоль оси абсцисс на a единиц эквивалентно переносу оси ординат на столько же единиц, но в противоположную сторону. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y=f(x+a) следует построить график функции y=f(x) и перенести ось ординат на a единиц вправо при a>0 или на a единиц влево при a<0 .Полученный в новой системе координат график является графиком функции y=f(x+a).

Пример 3. Построить график функции y=log2(x+2).

Р е ш е н и е:

Строим график функции y=log2x. Переносим ось ординат на 2 единицы вправо, и в полученной таким образом новой системе координат имеем график функции y=log2(x+2).

Прямая x=-2 (первоначальная ось y) является вертикальной асимптотой. График пересекает ось абсцисс в точке x= -1, а ось ординат - в точке y=1 (рис.6).

Рис.6 Рис.7

Пример 4. Построить график функции y=sin(x-).

Р е ш е н и е:

Строим график функции y=sin x. Переносим ось ординат на единиц влево и во вновь полученной системе координат имеем график функции y=sin(x-) (рис 7). Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс находим из условия sin(x-)=0, откуда x=+pk, где k=0, ±1, ±2, … .

2 .Отражение

2.1.Построение графика функции вида y = f (- x )

Очевидно, что функции y=f(-x) и y=f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y=f(-x) в области положительных (отрицательных) значений x будут равны ординатам графика функции y=f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях x. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y=f(-x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y=f(-x).

Рис.8 Рис.9

Пример 5. Построить график функции y=https://pandia.ru/text/80/051/images/image016_9.gif" width="40" height="24 src=">.gif" align="left" width="231" height="223">Строим график функции y= cos x (рис. 9 – пунктирная кривая) и, отражая его относительно оси абсцисс, получаем график функции y= - cos x.

Пример 7. Построить график функции y= - https://pandia.ru/text/80/051/images/image018_11.gif" width="16" height="41 src="> и, отражая его относительно оси абсцисс, получаем график функции y= - 100%">

2.3.Построение графиков чётной и нечётной функций

Как уже отмечалось, для чётной функции y=f(x) во всей области изменения её аргумента справедливо соотношение f(x)=f(- x). Следовательно, функция такого рода принимает одинаковые значения при всех значениях аргумента, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку. График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Для построения графика чётной функции y=f(x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента x. График функции y=f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением её относительно этой оси.

Пример 8. Построить график функции y=https://pandia.ru/text/80/051/images/image018_11.gif" width="16" height="41 src=">. График функции y= в области отрицательных значений x получаем отражением относительно оси ординат (рис.11).

Для нечётной функции y=f(x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f(-x)= - f(x). Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечётной функции равны по величине, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях x. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Для построения графика нечётной функции y=f(x) следует строить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (x).

График функции y=f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений x относительно оси абсцисс.

Пример 9. Построить график функции y=xhttps://pandia.ru/text/80/051/images/image019_9.gif" width="25" height="19">), где она имеет вид y=x2..gif" width="20" height="47 src="> .

Р е ш е н и е: Данная функция является нечётной, поэтому строим её график лишь в области x>0 (точка x=0 не входит в область определения функции), где она имеет вид y=1. Ветвь графика данной функции при x<0 получаем отражением относительно начала координат построенной ветви кривой (рис.13). Стрелки означают, что точки (0,1) и (0,-1) не принадлежат графику.

2.4. Построение графика обратной функции

Прямая и обратная функции выражают одну и ту же зависимость между переменными x и y, с тем только отличием, что в обратной функции эти переменные поменялись ролями, что равносильно изменению обозначений осей координат. Поэтому график обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы I и III координатных углов, т. е. относительно прямой y=x. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y=https://pandia.ru/text/80/051/images/image028_3.gif" width="25" height="24 src=">.

Р е ш е н и е: Чтобы построить график данной функции, рассмотрим график параболы y=x2 (рис.14 – пунктирная кривая) и график обратной к ней функции y=, получаемый отражением параболы относительно прямой y=x. Обратная функция является двузначной. В силу того, что исходная функция y= однозначна и область её изменения есть полуинтервал 0https://pandia.ru/text/80/051/images/image032_3.gif" width="16 height=13" height="13">, графиком функции y= является верхняя ветвь отражённой параболы (сплошная кривая)..gif" width="262" height="213 src=">

Пример 12. Построить график функции y= .

Р е ш е н и е: Данная функция является обратной по отношению к функции y=xhttps://pandia.ru/text/80/051/images/image036_2.gif" height="20"> y=x и отражаем его относительно прямой y=x (рис.15).

3. Деформация (сжатие и растяжение)

3.1 Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат

Рассмотрим функцию вида y=A, где A>0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в A раз больше ординат графика функции y=f(x) при A>1 или в https://pandia.ru/text/80/051/images/image037_3.gif" width="41" height="21"> следует построить график функции y=f(x) и увеличить его ординаты в A раз при A>1 (произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в раз при A<1 (произвести сжатие графика вдоль оси ординат). Полученный график является графиком функции y=A.

Пример 13. Построить график функции y=2cos x.

Р е ш е н и е: Строим график функции y=cos x (рис.16 – пунктирная кривая) и растяжением этого графика вдоль оси ординат в 2 раза получаем график функции y=2cos x (сплошная кривая).

Пример 14. Построить график функции y=https://pandia.ru/text/80/051/images/image039_3.gif" width="15" height="41">x2 (рис.17).

3.2. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс

Пусть требуется построить график функции y=f(wx), где w>0. Рассмотрим функцию y=f(x), которая в произвольной точке x=x1 принимает значение y1=f(x1).

Очевидно, что функция y=f(wx) принимает такое же значение в точке x=x2, координата

https://pandia.ru/text/80/051/images/image043_3.gif" width="20" height="41 src=">, причём это равенство справедливо для совокупности всех значений x из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(wx) оказывается сжатым (при w>1) или растянутым (при w<1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y=f(x). Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y=f(wx) следует построить график функции y=f(x) и уменьшить его абсциссы в w раз при w>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в раз при w<1 (произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс). Полученный график является графиком функции y=f(wx).
Пример 15. Построить график функции https://pandia.ru/text/80/051/images/image046_3.gif" align="left" width="241" height="182 src=">Р е ш е н и е: Строим график функции x (рис..gif" width="25" height="41 src=">=2. График пересекает ось абсцисс в точках x=0,… .

Исследование функции дает возможность найти область определения и область изменения функции, области ее убывания или возрастания, асимптоты, интервал знакопостоянства и др. Однако при рассмотрении графиков многих функций часто можно избежать проведения подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика. Изложению именно таких методов посвящается эта глава, которая может служить практическим руководством при построении многих функций.

Параллельный перенос

Перенос вдоль оси ординат

f (x) => f (x) - b

Пусть требуется построить график функции у = f (х) - b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на ЅbЅ единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f (х) при b>0 и на ЅbЅ единиц больше - при b<0. Следовательно, график функции у = y (х) - b можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции у = f (х) на ЅbЅединиц вниз при b>0 или вверх при b<0. Перемещение графика связано с его перерисовыванием, что бывает затруднительно, особенно в случае сложных графиков. Перенос же графика на ЅbЅединиц вниз или вверх вдоль оси ординат эквивалентен соответствующему противоположному переносу оси абсцисс настолько же единиц. Именно этим способом мы будем пользоваться. Тогда представив исходную функцию в виде у + b = f (х), сформулируем следующее правило.

Для построения графика функции y + b = f (x) следует построить график функции y = f (x) и перенести ось абсцисс на ЅbЅ единиц вверх при b>0 или наЅbЅ единиц вниз при b<0. Полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f (x) - b.

Перенос вдоль оси абсцисс

f (x) => f (x + a)

Пусть требуется построить график функции у = f (x + a). Рассмотрим функцию y = f (x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f (x1). Очевидно, функция у = f (x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f (x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f (x) вдоль оси абсцисс влево наЅaЅ единиц при a>0 или вправо на ЅaЅ единиц при a<0. Параллельное же перемещение вдоль оси абсцисс на ЅaЅ единиц эквивалентно переносу оси ординат на столько же единиц, но в противоположную сторону. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = f (x + a) следует построить график функции y = f (x) и перенести ось ординат на ЅaЅ единиц вправо при a>0 или наЅaЅ единиц влево при a<0. Полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f (x + a).

Отражение

Построение графика функции вида y = f (-x)

f (x) => f (-x)

Очевидно, что функции y = f (-x) и y = f (x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f (-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f (x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = f (-x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f (-x)

Построение графика функции вида y = - f (x)

f (x) => - f (x)

Ординаты графика функции y = - f (x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f (x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = - f (x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Построение графиков четной и нечетной функций.

Как уже отмечалось, для четной функции y = f (x) во всей области изменения ее аргумента справедливо соотношение f (x) = f (-x). Следовательно, функция такого рода принимает одинаковое значение при всех значениях аргумента, равных по абсолютной величин, но противоположных по знаку. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Для построения графика четной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0). График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением ее относительно этой оси.

Для нечетной функции y = f (x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f (-x) = - f (x). Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечетной функции равны по величин, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях х. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для построения графика нечетной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0). График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений относительно оси абсцисс.

Построение графика обратной функции

Как уже отмечалось, прямая и обратная функции выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, с тем только отличием, что в обратной функции переменные поменялись ролями, что равносильно изменению обозначений осей координат. Поэтому графиком обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы I и III координатных углов, т.е. относительно прямой y = x. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = j (x), обратной по отношению к функции y = f (x), следует построить график y = f (x) и отразить его относительно прямой y =x

Применение производной в формате ЕГЭ .

Выполнили: Плачковская Катерина, Леонова Юлия 11Б класс Научный руководитель: Солуян Надежда Николаева, учитель математики, «Почетный работник общего образования Российской Федерации»


Введение

Производная-это одна из сложнейших тем в математике, при ее помощи решаются задачи по физике, химии, биологии и даже географии. Многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют их решать. Изучение производной продиктовано еще и тем, что многие задания ЕГЭ содержат применение производной.

Поэтому мы решили изучить эту тему более подробно.


Цель работы : сделать классификацию задач на применение производной в материалах ЕГЭ и рассмотреть способы их решения.

Задачи:

  • поиск исторических фактов
  • сбор информации о задачах на применение производной в материалах ЕГЭ
  • анализ взаимосвязи задач со способами их решения
  • изучить основные типы задач на применение производной
  • решить задачи включенные в материалы ЕГЭ
  • провести статистическое исследование.

История производной

Задачи на нахождения экстремума, проведение касательных к кривым и вычисление скорости постоянно возникали в практической деятельности.

В древности и в средние века такие задачи решались геометрическими и механическими способами. Позже было обнаружено, что все эти задачи можно решить единым методом, используя бесконечно малые величины. Развитие этого метода в трудах Ньютона и Лейбница привело к созданию математического анализа, появление которого широко раздвинуло границы применения математики.


Теоретические сведения

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращённому аргументу, при последнем стремящемся к нулю.


Физический смысл производной

Если тело движется прямолинейно по закону y=S’(t) , то мгновенная скорость (U) есть производная пути по времени.

U=S’(t)

Ускорение - есть производная скорости a=U’ (t)


Геометрический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент касательной), проведенный к графику функции y=f(x) в точке x 0 равен производной функции y=f"(x) в этой точке:




Производная сложной функции

Функция, заданная в виде y=f(g(x)) ,называется сложной, составленной из функций g и f . (функция, аргументом которой служит функция, называется сложной)

элементарная функция сложная функция

аргумент


Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке

1. Найти область определения функции

2. Найти производную f’(x)

3. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка (y’=0)

4. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет y наим)


Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы

1. Найти область определения

2. Найти производную f’(x)

3. Найти стационарные (f’(x)=0) и критические (f’(x) не существует) точки функции y=f(x)

4. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках

5. Сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума



Статистическое исследование.

1 этап работы:

Проанализировав результаты опроса 11-ых классов, выявила темы, вызывающие наибольшие затруднения у учеников:

Тригонометрические уравнения - техника дифференцирования - Задачи на физический и геометрический смысл производной -Исследование функций при помощи производной - Текстовые задачи - Решение задач на определение площадей - Иррациональные уравнения и выражения - Рациональные уравнения и выражения.

Вывод: тема «Применение производной» содержится в первых 3-х темах, значит, она вызывает наибольшее затруднения.


2 этап работы :

изучение основных видов задач по теме «Применение производной в заданиях единого государственного экзамена»

Применение производной формате в

формате ЕГЭ

Геометрический смысл

Аналитический смысл

Физический смысл





Задачи на применение физического смысла производной

Задача 1.

x(t) = (½)×t² - t – 4 . Определите в какой момент времени t -- скорость V = 6м/с.

Решение.

1) (x(t))‘ = ((½)×t² ­ t - 4)’

2) V(t) = (s(t))’; (s(t))’ = (x(t))’;

V(t) = ((½)×t² – t – 4)’

V(t) = ((½)×t²)’– (t)’– (4)’

3) V(t) = 6м/с (по условию)

Ответ: 7 с.


Задача 2.

Материальная точка движется по закону

х(t) = 15 + 16×t – 3×t². Каким будет ускорение через 2 секунды после начала движения?

Решение .

V(t) = 15 + 16×t – 3×t²

(V(t))’ = (15 + 16×t – 3×t²)’

Т.к (V(t))’ = a (t)

a (t) = 16 – 6×t

a(t) = 16 – 6 ×2

a(t) = 4

Ответ: 4 м/с².


Задачи на применение геометрического смысла производной

Задача 1

Прямая y = 5 x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 2 x − 4. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Прямая параллельная касательной имеет одинаковый с ней угол наклона к оси абсцисс. Т.е., угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) равен 5, как у заданной прямой. С другой стороны, мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Найдем производную: y "(x ) = (x 2 + 2 x − 4)" = 2 x + 2. Составим уравнение, подставив в выражение для производной неизвестную абсциссу точки касания x 0 . 2 x 0 + 2 = 5 2 x 0 = 5 − 2 = 3 x 0 = 3/2 = 1,5.

Ответ: 1,5


Задача 2. На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение

Производная функции положительна

на тех участках, где функция возрастает.

По рисунку видно, что это промежутки

(−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечис-

лим целые точки внутри этих интервалов:

"−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6",

"7","8", "16","17", "18". Всего 15 точек.

Ответ: 15


Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке . Решение На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке x 1 = 4, минимум в точке x 2 = 8. x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12. Ответ: 12


Аналитический способ решения

Задача 1.

Найдите значение производной функции в точке x0=2

Решение а) Найдем значение производной функции:

б) Найдем значение производной функции в точке x0:

Ответ: 31


Задача 2.

Найти значение производной функции F(x)=(3x+1)2 -3 в точке x=2/3.

Решение.

Найдём производную сложной функции: F’(x)=6(x+1)=6x+6;

Найдём значение производной функции в точке x=2/3:

F’(2/3)=6(2/3)+6=10

Ответ:10