Ряды для чайников. Примеры решений
Всех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел , и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания.
1) Ряды для чайников , и для самоваров сразу содержание:)
Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате , с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день.
Понятие числового ряда
В общем виде числовой ряд
можно записать так: .
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда
(запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная или . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа
.
В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
– и так далее, до бесконечности.
Cлагаемые – это ЧИСЛА , которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю) , то такой ряд называют положительным числовым рядом .
Пример 1
Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.
Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:
Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:
Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности
,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.
Пример 2
Записать первые три члена ряда
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:
Пример 3
Записать первые три члена ряда
На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда
сначала , потом и . В итоге:
Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать , то есть не выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.
Иногда встречается обратное задание
Пример 4
Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть
.
В данном случае:
Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.
А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:
Пример 5
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде
Сходимость числовых рядов
Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость . При этом возможны два случая:
1) Ряд
расходится
. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует
, как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: .
2) Ряд сходится . Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Пожалуйста: – этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: . Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби. В данном случае: , . Таким образом: Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.
Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.
Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши , признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. И очень скоро мы всё разложим по полочкам.
! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать , что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений .
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .
Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:
Если общий член ряда не стремится к нулю , то ряд расходится
Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда:)
Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает . Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций , а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей . Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.
Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:
Вывод
: ряд расходится
Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:
Пример 6
В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений , наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны , тогда предел равен конечному числу .
Делим числитель и знаменатель на
Исследуемый ряд расходится
, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Пример 7
Исследовать ряд на сходимость
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока
Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.
Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя . Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.
Почему признак называется необходимым ? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо , чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно . Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!
Знакомьтесь:
Данный ряд называется гармоническим рядом
. Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)
Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится .
Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:
1) Данный ряд расходится
при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится
при . Например, сходятся ряды , , . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма , например, ряда , важен сам факт его сходимости
.
Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .
Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов , и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)
Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости:
Признаки сравнения для положительных числовых рядов
Заостряю ваше внимание , что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами) .
Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения , другой – предельным признаком сравнения .
Сначала рассмотрим признак сравнения , а точнее, первую его часть:
Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно , что ряд – сходится , и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится .
Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами . На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений :
Пример 8
Исследовать ряд на сходимость
Во-первых, проверяем
(мысленно либо на черновике) выполнение :
, а значит, «отделаться малой кровью» не удалось.
Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится.
Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:
а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится
вместе с рядом .
Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно!
Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
….
и теперь-то уж совершенно понятно, что неравенство выполнено для всех натуральных номеров «эн».
Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!
Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д.
! Обратите внимание , что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения . Например, если ряд таким же образом сравнить со сходящимся рядом (выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, , но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф).
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость
И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения :
Если известно , что ряд – расходится , и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится .
Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами .
Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .
Решение и образец оформления в конце урока.
Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения , и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера .
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов
Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно .
Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями.
Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится
вместе с рядом .
Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).
Примечание : когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения , в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.
Пусть задан положительный числовой ряд $ \sum_{n=1} ^\infty a_n $. Сформулируем необходимый признак сходимости ряда:
- Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: $$ \lim _{n \to \infty} a_n = 0 $$
- Если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится: $$ \lim _{n \to \infty} a_n \neq 0 $$
Обобщенный гармонический ряд
Данный ряд записывается следующим образом $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n^p} $. Причем в зависимости от $ p $ ряд сходится или расходится:
- Если $ p = 1 $, то ряд $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n} $ расходится и называется гармоническим, несмотря на то, что общий член $ a_n = \frac{1}{n} \to 0 $. Почему так? В замечании говорилось, что необходимый признак не даёт ответа о сходимости, а только о расходимости ряда. Поэтому, если применить достаточный признак, такой как интегральный признак Коши, то станет ясно, что ряд расходится!
- Если $ p \leqslant 1 $, то ряд расходится. Пример,$ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $, в котором $ p = \frac{1}{2} $
- Если $ p > 1 $, то ряд сходится. Пример, $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n^3}} $, в котором $ p = \frac{3}{2} > 1 $
Примеры решений
Пример 1 |
Доказать расходимость ряда $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{n}{6n+1} $ |
Решение |
Ряд положительный, записываем общий член: $$ a_n = \frac{n}{6n+1} $$ Вычисляем предел при $ n \to \infty $: $$ \lim _{n \to \infty} \frac{n}{6n+1} = \frac{\infty}{\infty} = $$ Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение: $$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(6+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{6} $$ Так как получили, что $ \lim_{n\to \infty} a_n = \frac{1}{6} \neq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
Ряд расходится |