Конус. Усеченный конус
Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).
Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.
Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).
Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).
 |
|||
Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34
Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.
Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Для конуса верны формулы:
где R – радиус основания;
H – высота;
l – длина образующей;
S осн – площадь основания;
S бок
S полн
V – объем конуса.
Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).
 |
Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.
Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.
Для усеченного конуса верны формулы:
(8)
где R – радиус нижнего основания;
r – радиус верхнего основания;
H – высота, l – длина образующей;
S бок – площадь боковой поверхности;
S полн – площадь полной поверхности;
V – объем усеченного конуса.
Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).
Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.
Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B
и SO 1 A
, коэффициент подобия , тогда 
Отсюда 
Так как то 
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:
Ответ: .
Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.
Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:
Ответ: 2 см, .
Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).
В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.
Ответ:
Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.
Решение
.
Сделаем рисунок (рис. 38).
Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE
и OC
), образующие конусов (BC
и AC
) и высоту цилиндра (AB
). Неизвестной является только CO
. 
это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC
. Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC
, с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.
При изучении материала темы необходимо усвоить:
· виды тел вращения;
· определения тел вращения;
· определения элементов тел вращения;
· понятия развёртки цилиндра и конуса;
· определение и вычисление боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;
· определение касательной плоскости к сфере и её свойства;
· понятие площади поверхности сферы;
· определение многогранника, вписанного в сферу, и описанного около неё.
В процессе решения задач проверяются следующие умения:
· изображать тела вращения;
· вычислять элементы тел вращения;
· изображать сечения тел;
· вычислять площади боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;
· составлять уравнение сферы.
Вопросы теоретического зачёта
Вариант 1
1. Понятие цилиндрической поверхности и её элементов. Сформулируйте определение цилиндра и его элементов.
2. Выведите формулу для вычисления площади поверхности сферы.
3. Найдите отношение площади боковой поверхности и осевого сечения конуса.
Вариант 2
1. Понятие конической поверхности. Сформулируйте определение конуса и его элементов.
2. Определите положение центра сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды. Докажите своё утверждение.
3. Найдите отношение площадей боковой поверхности и осевого сечения цилиндра.
Вариант 3
1. Сформулируйте определение усечённого конуса и его элементов.
2. Определите положение центра сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду. Докажите своё утверждение.
3. Докажите, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, имеющего диаметром высоту конуса.
Вариант 4
1. Сформулируйте определения сферы и шара. Запишите уравнения сферы радиусом R с центром в точке О(0; 0; 0) и в точке А(x0; y0; z0).
2. Выведите формулу для вычисления боковой поверхности конуса.
3. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра.
Самостоятельная работа 17
Вариант 1
1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 16. Найдите площадь сечения этого цилиндра, которое параллельно оси и находится от неё на расстоянии, равном половине радиуса основания цилиндра.
2. Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и высотой конуса.
3. Радиусы двух шаров 16 и 20 дм, расстояние между их центрами 25 дм. Найдите длину окружности, по которой пересекаются их поверхности.
Вариант 2
1. Радиус основания цилиндра 26 см, образующая 4,8 дм. На каком расстоянии от оси цилиндра следует провести сечение, параллельное оси и имеющее форму квадрата?
2. Радиус сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свёрнут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.
3. Диагонали ромба 30 и 40 см. Шаровая поверхность касается всех сторон ромба. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба, если радиус шара равен 13 см.
Вариант 3
1. Радиус основания цилиндра равен 12 см. Найдите расстояние между осевым сечением и сечением с вдвое меньшей площадью.
2. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Вычислите диаметр основания конуса.
3. На шар, радиус которого 10 см, наложен ромб так, что каждая сторона его, равная 12,5 см, касается шара. Плоскость ромба удалена от центра шара на 8 см. Найдите площадь ромба.
Вариант 4
1. Через образующую цилиндра проведены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых равны 60 и 80 дм. Найдите площадь осевого сечения.
2. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Вычислите угол развёртки этого конуса.
3. Стороны треугольника 10 дм, 10 дм и 12 дм. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 дм.
Самостоятельная работа 18
Вариант 1
1. Диагональ осевого сечения цилиндра на 25 \% превышает диаметр его основания. Найдите полную поверхность цилиндра, если расстояние между его центрами равно 15 см.
2. Развёртка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 4 дм. Найдите объём цилиндра.
3. Диагонали осевого сечения усечённого конуса взаимно перпендикулярны, высота конуса H, образующая l. Найдите боковую поверхность конуса.
4. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Найдите угол развёртки боковой поверхности конуса.
5. Образующая усечённого конуса 10 см, разность оснований 6 см, площадь осевого сечения 112 см2. Найдите боковую поверхность конуса.
6. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 см и 89 см, а диагональ равна 100 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объём тела вращения.
7. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите объём и площадь вращения.
Вариант 2
1. Боковая поверхность цилиндра составляет половину его полной поверхности. Найдите полную поверхность цилиндра, если диагональ осевого сечения 10 дм.
2. Полная поверхность цилиндра 500 p см2, диаметр его основания 20 см. Найдите объём цилиндра.
3. Образующая усечённого конуса относится к высоте его как 41:40. Радиусы оснований равны 24 и 6 см. Найдите боковую поверхность конуса.
4. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Найдите полную поверхность конуса.
5. Найдите высоту усечённого конуса, если его боковая поверхность равновелика сумме площадей оснований, а радиусы оснований R и r.
6. Равнобедренная трапеция с основаниями 12 и 18 см и острым углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Найдите поверхность и объём тела вращения.
7. Треугольник, у которого две стороны равные 5 см и 8 см, заключают угол 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность и объём тела вращения.
Самостоятельная работа 19
Вариант 1
1. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите поверхность тела вращения.
2. Радиусы оснований шарового пояса равны 63 и 39 см, высота его равна 36 см. Найдите поверхность шарового пояса.
3. Высота правильной треугольной пирамиды h. Боковые рёбра взаимно перпендикулярны. Найдите радиус описанного шара.
4. В правильной треугольной усечённой пирамиде высота 17 см, радиусы окружностей, описанных вокруг оснований, 5 и 12 см. Найдите радиус описанного шара.
5. Квадрат со стороной равной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец. Найдите поверхность полученного тела.
Вариант 2
1. Треугольник, у которого две стороны равны 5 и 8 см, заключают угол в 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность тела вращения.
2. Полная поверхность шарового сегмента равна S. Определите высоту сегмента, если радиус шара равен R.
3. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых рёбер равно 2 дм и перпендикулярно основанию. Найдите радиус описанного шара.
4. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды 7 и 1 дм. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°.Найдите радиус описанного шара.
5. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы. Найдите поверхность полученного тела.
Самостоятельная работа 20
Вариант 1
1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол a. В пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что плоскость основания лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите объём цилиндра.
2. Основание пирамиды правильный треугольник. Одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания и равно l, а два других с плоскостью основания образуют угол a. В пирамиду вписана прямая призма, три вершины которой лежат на боковых рёбрах пирамиды, а три другие – на основании пирамиды, диагональ боковой грани призмы составляет с плоскостью основания Ð b. Найдите высоту призмы.
3. В правильной четырёхугольной призме площадь боковой грани равна q. Найдите площадь диагонального сечения.
4. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара?
Вариант 2
1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2b. Длина окружности основания равна c. Определить площадь боковой поверхности конуса.
2. Диагонали осевого сечения усечённого конуса точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от большого основания. Угол между диагоналями, обращённый к основанию, равен a. Диагональ равна l. Найдите объём конуса.
3. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 см, стороны основания 6 и 8 см, одна из диагоналей основания 12 см. Найдите диагонали параллелепипеда.
4. Какую часть объёма шара составляет объём шарового сегмента с высотой 0,1 диаметра шара?
Вариант 3
1. Образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом a. Определите площадь полной поверхности вписанного куба.
2. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого a. Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и вершину конуса, при пересечении с поверхностью конуса образует равнобедренный треугольник с углом при вершине равным a. Найдите объём конуса.
3. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы 15 см, а высота 20 см. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей её диагонали призмы.
4. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объём общей части шаров к объёму целого шара?
Вариант 4
1. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a, вписана прямая треугольная призма с равными ребрами. Найдите объём призмы, если радиус основания конуса равен R.
2. Объём конуса равен V. В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом a между боковыми сторонами. Найдите объём пирамиды.
3. В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания 23 дм и 11 дм, диагонали основания относятся как 2: 3. Найдите площади диагональных сечений.
4. По стороне основания a и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной шестиугольной призмы.
