Составить уравнение цилиндрической поверхности образующие которой. Цилиндрические поверхности. Распространенные уравнения плоскостей

При изучении свойств квадратного уравнения ставилось ограничение - для дискриминанта меньше нуля решения не существует. Сразу оговаривалось, что речь идет о множестве вещественных чисел. Пытливый ум математика заинтересуется - какой секрет содержится в оговорке о вещественных значениях?

Со временем математики ввели понятие комплексных чисел, где за единицу принимается условное значение корня второй степени из минус единицы.

Историческая справка

Математическая теория развивается последовательно, от простого к сложному. Разберемся, как возникло понятие, получившее название "комплексное число", и зачем оно нужно.

С незапамятных времен основу математики составлял обычный счет. Исследователям было известно только натуральное множество значений. Сложение и вычитание при этом производилось просто. По мере усложнения хозяйственных отношений вместо сложения одинаковых значений начали применять умножение. Появилась обратная операция к умножению - деление.

Понятие натурального числа ограничивало использование арифметических операций. На множестве целых значений невозможно решать все задачи деления. привела сначала к понятию рациональных значений, а потом и к иррациональным значениям. Если для рационального можно указать точное расположение точки на линии, то для иррациональных такую точку указать невозможно. Можно только приблизительно указать интервал нахождения. Объединение рациональных и иррациональных числе образовали вещественное множество, которое можно представить как некоторую линию с заданным масштабом. Каждый шаг по линии - это натуральное число, а между ними располагаются рациональные и иррациональные значения.

Началась эпоха теоретической математики. Развитие астрономии, механики, физики требовало решения все более сложных уравнений. В общем виде были найдены корни квадратного уравнения. При решении более сложного кубического многочлена ученые столкнулись с противоречием. Понятие кубического корня из отрицательного имеет смысл, а для квадратного получается неопределенность. При этом квадратное уравнение - только частный случай кубического.

В 1545 году итальянец Дж. Кардано предложил ввести понятие мнимого числа.

Таким числом стал корень второй степени из минус единицы. Окончательно термин комплексного числа сформировался только через триста лет, в работах известного математика Гаусса. Он предложил формально распространить на мнимое число все законы алгебры. Вещественная прямая расширилась до плоскости. Мир стал больше.

Основные понятия

Вспомним ряд функций, которые имеют ограничения на вещественном множестве:

• y = arcsin(x), определена в интервале значений между отрицательной и положительной единицей.
• y = ln(x), имеет смысл при положительных аргументах.
• квадратный корень y = √x, рассчитывается только для x ≥ 0.

Обозначением i = √(-1), введем такое понятие, как мнимое число, это позволит снять все ограничения с области определения вышеприведенных функций. Выражения типа y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) приобретают смысл в некотором пространстве комплексных чисел.

Алгебраическую форму можно записать в виде выражения z = x + i×y на множестве вещественных значений x и y, а i 2 = -1.

Новое понятие снимает все ограничения на использование любой алгебраической функции и своим видом напоминает график прямой в координатах вещественных и мнимых значений.

Комплексная плоскость

Геометрическая форма комплексных чисел наглядно позволяет представить многие их свойства. По оси Re(z) отмечаем вещественные значения x, по Im(z) - мнимые величины y, тогда точка z на плоскости будет отображать требуемое комплексное значение.

Определения:

• Re(z) - реальная ось.
• Im(z) - означает мнимую ось.
• z - условная точка комплексного числа.
• Численное значение длины вектора от нулевой точки до z, называется модулем.
• Реальная и мнимая оси разбивают плоскость на четверти. При положительном значении координат - I четверть. При аргументе реальной оси меньше 0, а мнимой больше 0 - II четверть. Когда координаты отрицательные - III четверть. Последняя, IV четверть содержит множество положительных реальных значений и отрицательных мнимых величин.

Таким образом на плоскости со значениями координат x и y всегда можно наглядно изобразить точку комплексного числа. Символ i вводится для отделения реальной части от мнимой.

Свойства

1. При нулевом значении мнимого аргумента получаем просто число (z = x), которое располагается на реальной оси и принадлежит вещественному множеству.
2. Особый случай, когда значение реального аргумента становится нулевым, выражение z = i×y соответствует расположению точки на мнимой оси.
3. Общий вид z = x + i×y будет при ненулевых значениях аргументов. Означает расположение точки, характеризующей комплексное число, в одной из четвертей.

Тригонометрическая запись

Вспомним полярную систему координат и определение sin и cos. Очевидно, что с помощью этих функций можно описать расположение любой точки на плоскости. Для этого достаточно знать длину полярного луча и угол наклона к вещественной оси.

Определение. Запись вида ∣z ∣, умноженное на сумму тригонометрических функций cos(ϴ) и мнимой части i ×sin(ϴ), называется тригонометрическим комплексным числом. Здесь применяется обозначение угол наклона к вещественной оси

ϴ = arg(z), а r = ∣z∣, длина луча.

Из определения и свойств тригонометрических функций, следует очень важная формула Муавра:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Используя эту формулу, удобно решать многие системы уравнений, содержащие тригонометрические функции. Особенно когда возникает задача возведения в степень.

Модуль и фаза

Для завершения описания комплексного множества предложим два важных определения.

Зная теорему Пифагора, легко вычислить длину луча в полярной системе координат.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), такая запись на комплексном пространстве носит название "модуль" и характеризует расстояние от 0 до точки на плоскости.

Угол наклона комплексного луча к вещественной прямой ϴ принято называть фазой.

Из определения видно, что реальная и мнимая части описываются с помощью циклических функций. А именно:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Обратно, фаза имеет связь с алгебраическими значениями через формулу:

ϴ = arctan(x / y) + µ, поправка µ вводится для учета периодичности геометрических функций.

Формула Эйлера

Математики часто употребляют показательную форму. Числа комплексной плоскости записывают в виде выражения

z = r × e i × ϴ , которая вытекает из формулы Эйлера.

Такая запись получила широкое распространение для практического вычисления физических величин. Форма представления в виде показательных комплексных чисел особенно удобна для инженерных расчетов, где возникает необходимость рассчитать цепи с синусоидальными токами и необходимо знать значение интегралов функций с заданным периодом. Сами расчеты служат инструментом при конструировании различных машин и механизмов.

Определение операций

Как уже отмечалось, на комплексные числа распространяются все алгебраические законы работы с основными математическими функциями.

Операция суммы

При сложении комплексных значений их реальная и мнимая части также складываются.

z = z 1 + z 2 , где z 1 и z 2 - комплексные числа общего вида. Преобразуя выражение, после раскрытия скобок и упрощения записи, получим реальный аргумент х=(x 1 + x 2), мнимый аргумент y = (y 1 + y 2).

На графике это выглядит как сложение двух векторов, по известному правилу параллелограмма.

Операция вычитания

Рассматривается как частный случай сложения, когда одно число положительное, другое отрицательное, то есть находящееся в зеркальной четверти. Алгебраическая запись выглядит как разность реальных и мнимых частей.

z = z 1 - z 2 , или, учитывая значения аргументов, аналогично операции сложения, получаем для реальных значений х = (x 1 - x 2) и мнимых y = (y 1 - y 2).

Умножение на комплексной плоскости

Используя правила работы с многочленами, выведем формулу для решения комплексных чисел.

Следуя общим алгебраическим правилам z=z 1 ×z 2 , расписываем каждый аргумент и приводим подобные. Реальную и мнимую части можно записать так:

• х = х 1 × x 2 - y 1 × y 2 ,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Красивее смотрится, если будем использовать показательные комплексные числа.

Выражение выглядит так: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Деление

При рассмотрении операции деления, как обратной к операции умножения, в показательной форме записи получаем простое выражение. Деление значения z 1 на z 2 есть результат деления их модулей и разности фаз. Формально, при использовании показательной формы комплексных чисел это выглядит так:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

В виде алгебраической записи операция деления чисел комплексной плоскости записывается немного сложнее:

Расписывая аргументы и проводя преобразования многочленов, легко получить значения х = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 , соответственно y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , правда, в рамках описываемого пространства это выражение имеет смысл, если z 2 ≠ 0.

Извлекаем корень

Все вышеописанное можно применять при определении более сложных алгебраических функций - возведение в любую степень и обратную к ней - извлечение корня.

Пользуясь общим понятием возведения в степень n, получаем определение:

z n = (r × e i ϴ) n .

Используя общие свойства, перепишем в виде:

z n = r n × e i ϴ n .

Получили простую формулу возведения в степень комплексного числа.

Из определения степени получаем очень важное следствие. Четная степень мнимой единицы всегда равна 1. Любая нечетная степень мнимой единицы всегда равно -1.

Теперь изучим обратную функцию - извлечение корня.

Для простоты записи примем n = 2. Квадратным корнем w комплексного значения z на комплексной плоскости C принято считать выражение z = ±, справедливое для любого вещественного аргумента большего или равного нулю. При w ≤ 0 решения не существует.

Посмотрим на самое простое квадратное уравнение z 2 = 1. Используя формулы комплексных чисел, перепишем r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 . Из записи видно, что r 2 = 1 и ϴ = 0, следовательно, имеем единственное решение, равное 1. Но это противоречит понятию, что z = -1, тоже соответствует определению квадратного корня.

Разберемся, что мы не учитываем. Если вспомним тригонометрическую запись, то восстановим утверждение - при периодическом изменении фазы ϴ комплексное число не меняется. Обозначим символом p значение периода, тогда справедлива запись r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , откуда 2ϴ = 0 + p, или ϴ = p / 2. Следовательно, справедливо e i 0 = 1 и e i p /2 = -1. Получили второе решение, что соответствует общему пониманию квадратного корня.

Итак, чтобы найти произвольный корень из комплексного числа, будем действовать по процедуре.

• Запишем показательную форму w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k - произвольное целое число.
• Искомое число тоже представим по форме Эйлера z = r × e i ϴ .
• Воспользуемся общим определением функции извлечения корня r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Из общих свойств равенства модулей и аргументов, запишем r n = ∣w∣ и nϴ = arg (w) + p×k.
• Итоговая запись корня из комплексного числа описывается формулой z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n .
• Замечание. Значение ∣w∣, по определению, является положительным вещественным числом, значит, корень любой степени имеет смысл.

Поле и сопряжение

В завершение дадим два важных определения, которые оказывают мало значения для решения прикладных задач с комплексными числами, но существенны при дальнейшем развитии математической теории.

Говорят, что выражения сложения и умножения образуют поле, если удовлетворяют аксиомам для любых элементов комплексной плоскости z:

1. От перемены мест комплексных слагаемых комплексная сумма не меняется.
2. Верно утверждение - в сложном выражении любую сумму двух чисел можно заменить на их значение.
3. Существует нейтральное значение 0, для которого верно z + 0 = 0 + z = z.
4. Для любого z существует противоположность - z, сложение с которым дает ноль.
5. При перемене мест комплексных множителей комплексное произведение не меняется.
6. Умножение двух любых чисел можно заменить на их значение.
7. Существует нейтральное значение 1, умножение на которое не меняет комплексное число.
8. Для каждого z ≠ 0, есть обратное значение z -1 , умножение на которое дает в результате 1.
9. Умножение суммы двух чисел на третье равносильно операции умножение каждого их них на это число и сложение результатов.
10. 0 ≠ 1.

Числа z 1 = x + i×y и z 2 = x - i×y называются сопряженными.

Теорема. Для сопряжения верно утверждение:

• Сопряжение суммы равно сумме сопряженных элементов.
• Сопряжение произведения равно произведению сопряжений.
• равно самому числу.

В общей алгебре такие свойства принято называть автоморфизмом поля.

Примеры

Следуя приведенным правилам и формулам комплексных чисел, легко можно ими оперировать.

Рассмотрим простейшие примеры.

Задача 1. Используя равенство 3y +5 x i= 15 - 7i, определить x и y.

Решение. Вспомним определение комплексных равенств, тогда 3y = 15, 5x = -7. Следовательно, x = -7 / 5, y = 5.

Задача 2. Вычислить значения 2 + i 28 и 1 + i 135 .

Решение. Очевидно, 28 - четное число, из следствия определения комплексного числа в степени имеем i 28 = 1, значит, выражение 2 + i 28 = 3. Второе значение, i 135 = -1, тогда 1 + i 135 = 0.

Задача 3. Вычислить произведение значений 2 + 5i и 4 + 3i.

Решение. Из общих свойств умножения комплексных чисел получаем (2 + 5i)Х(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Новое значение будет -7 + 26i.

Задача 4. Вычислить корни уравнения z 3 = -i.

Решение. Вариантов, как найти комплексное число, может быть несколько. Рассмотрим один из возможных. По определению, ∣ - i∣ = 1, фаза для -i равна -р / 4. Исходное уравнение можем переписать в виде r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , откуда z = e - p / 12 + pk/3 , для любого целого k.

Множество решений имеет вид (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3).

Зачем нужны комплексные числа

История знает множество примеров, когда ученые, работая над теорией, даже не задумываются о практическом применении своих результатов. Математика - это прежде всего игра ума, жесткое следование причинно-следственным связям. Почти все математические построения сводятся к решению интегральных и дифференциальных уравнений, а те, в свою очередь, с некоторым приближением, решаются нахождением корней многочленов. Здесь мы впервые встречаемся с парадоксом мнимых чисел.

Ученые естествоиспытатели, решая совершенно практические задачи, прибегая к решениям различных уравнением, обнаруживают математические парадоксы. Интерпретация этих парадоксов приводит к совершенно удивительным открытиям. Двойственная природа электромагнитных волн один из таких примеров. Комплексные числа в понимании их свойств играют решающую роль.

Это, в свою очередь, нашло практическое применение в оптике, радиоэлектронике, энергетике и многих других технологических сферах. Еще один пример, гораздо более тяжелый для понимания физических явлений. Антиматерия была предсказана на кончике пера. И только через много лет начинаются попытки ее физического синтезирования.

Не надо думать, что только в физике существуют такие ситуации. Не менее интересные открытия совершаются в живой природе, при синтезировании макромолекул, во время изучения искусственного разума. И все это благодаря расширению нашего сознания, уходу от простого сложения и вычитания натуральных величин.

Занятие № 10.

Тема: Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности

Теоретические сведения.

1. Поверхности вращения.

Пределение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии  вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии.

Пусть
, тогда ее можно задать уравнениями

Уравнение поверхности, образованной вращением линии  вокруг оси Oz будет иметь вид:

(1)

2. Цилиндрические поверхности .

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и вектор , не параллельный плоскости этой линии.

Определение . Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору и пересекающих данную линию .

Иния  называется направляющей цилиндрической поверхности, прямые называются образующими.

Рассмотрим частный случай: направляющая линия  лежит в плоскости xOy : и задается уравнениями:
а направляющий вектор образующих имеет координаты
,
.

В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид

. (2)

Упражнения.

1. Получите уравнение поверхности вращения (1).

   Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).

Основные типовые задачи.

1. Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям направляющей и оси вращения.

   Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям направляющей и направляющему вектору образующих.

Примеры решения задач.

Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz .

Ешение.

Уравнения окружности, лежащей в плоскости yOz с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1, имеют вид

(3)

При вращении этой окружности вокруг оси Oz получается поверхность, называемая тором. Пусть М – произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость , перпендикулярную оси вращения, т.е. оси Oz , в сечении получим окружность. Обозначим центр этой окружности P , а точку пересечения плоскости  с окружностью, образующей поверхность вращения, – N .

Обозначим координаты точки M (x , y , z ), тогда P (0, 0, z ), а N(0,, z ). Так как точки M и N лежат на окружности с центром в точке P , то

,

.

Последнее равенство запишем в координатах

. (4)

Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор, значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем первое уравнение системы (3)

,

,

.

Возведем последнее равенство в квадрат.

и подставим выражение для из равенства (4), получим

Уравнение (5) – искомое.

Задача 2. Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение
, а образующие параллельны вектору {1; 2; –1}.

Пусть точка M (x , y , z ) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Проведем через точку М образующую l , она пересекает направляющую в точке
. Так как направляющая лежит в плоскости xOy , то
. Составим канонические уравнения прямой l

.

Приравняем первую и вторую дроби к последней

(6)

Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют ее уравнению:

.

Подставляя выражения для и из системы (6), получим

. (7)

(7) – искомое уравнение.

а) эллипса
;

б) гиперболы
;

в) параболы
.

а) Направляющая лежит в плоскости
и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору {1; 0; 1};

б) направляющая лежит в плоскости yOz и имеет уравнение
, а образующие параллельны оси Ox ;

в) направляющая лежит в плоскости xOz и является окружностью
, а образующие параллельны оси Oy.

Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:

а) направляющая задана уравнениями
а образующая параллельна вектору
;

б) направляющая задана уравнениями
а образующая параллельна прямой x = y = z .

а)
,
,
, М (2; 0; 1);

б) l :
, М (2; –1; 1).

Занятие № 11.

Тема: Конические поверхности.

Теоретические сведения.

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и точка S , не лежащая в плоскости этой линии.

Определение . Конической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и пересекающих данную линию .

Линия  называется направляющей конической поверхности, точка S – вершиной, прямые называются образующими.

Ассмотрим частный случай: вершина S совпадает с началом координат, направляющая линия  лежит в плоскости, параллельной плоскости xOy : z = c , и задается уравнением:
.

В этом случае уравнение конической поверхности имеет вид

. (1)

Если направляющая является эллипсом с центром на оси Oz ,

то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение этой поверхности имеет вид:

. (2)

Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.

Сечения конуса второго порядка:

Пусть плоскость  не проходит через вершину конуса второго порядка, тогда плоскость  пересекает конус:

а) по эллипсу, если  пересекает все образующие конуса;

б) по гиперболе, если  параллельна двум образующим конуса;

в) по параболе, если  параллельна одной образующей конуса.

Упражнения.

Получите уравнение конической поверхности (1).

Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).

Основные типовые задачи.

Составление уравнения конической поверхности по координатам вершины и уравнению направляющей.

Примеры решения задач.

Задача 1. Написать уравнение конической поверхности, вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями

Пусть точка M (x , y , z ) – произвольная точка конической поверхности. Проведем через эту точку образующую l , она пересечет направляющую в точке
. Запишем канонические уравнения прямой l , как уравнения прямой, проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)

,

.

Выразим из последней системы и :
,
. Т.к. точка N лежит на направляющей конической поверхности, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:

(3)

Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)

,

,

,

. (4)

,
. (5)

Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)

,

.

Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.;Линейная зависимость векторов . Система координат. Ортонормированный базис. Линейные операции над векторами в координатах. Скалярное произведение векторов . Векторное произведение векторов ...

Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии, называемой направляющей .

Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в прямоугольной системе координат OXYZ, что образующие этой

поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:

Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M 1 (х 1 ,у 1 ,0). Так как точки M и М 1 лежат на образующей, то х 1 =х, у 1 =у. А так как точка М 1 лежит на направляющей, то координаты точки М 1 , а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=0.

Итак, уравнению удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение

– искомое уравнение цилиндрической поверхности .

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

х 2 +y 2 =z 2 - прямой круговой цилиндр ;

2)
- эллиптический цилиндр ;

3)
-гиперболический цилиндр ;

4) у 2 =2рх - параболический цилиндр .

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

Конические поверхности

Определение . Конической поверхностью называется множество прямых (образующих ), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую) .

Коническая ПВП - коническая поверхность с направляющей, являющейся КВП.

Если вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:

То уравнение конической поверхности имеет вид:

– уравнение конической поверхности

Поверхности вращения

Определение. Поверхность называется поверхностью вращения, если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемой осью вращении .

Пусть на плоскости YOZ задана кривая линия l уравнением вида

Тогда уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой l вокруг оси OZ имеет вид:

Эллипсоид

Гиперболоид.

Однополостный гиперболоид:

Каноническое уравнение двухполо c ного гиперболоида имеет вид:

Параболоид

Эллиптический параболоид.

z=ах 2 +by 2 (а,b>0).

Гиперболический параболоид.

z=-ax 2 +by 2 (a,b>0)

Литература:

1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Наука, 1979.

2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.

3. Бузланов А.В., Монахов В.С. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел». – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1991.

4. Бузланов А.В., Каморников С.Ф., Кармазин А.П. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел» (раздел «Линейная алгебра») для студентов математического факультета. Часть I, II, III. – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1990, 1991.

5. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачёв М.М., Феденко А.О. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. – Мн.: Университетское, 1989.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1982.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.

9. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I, II. – Мн.: Вышэйшая школа, 1984, 1987.

10. Рублёв А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Вышэйшая школа, 1972.

Учебное издание

ХОДАЛЕВИЧ АЛЕКСАНДР ДМИТРИЕВИЧ

БОРОДИЧ РУСЛАН ВИКТОРОВИЧ

РЫЖИК ВАЛЕНТИНА НИКОЛАЕВНА

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой I. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность и параллельных прямой - образующей (рис. 89). В дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz и направляющей L (рис. 90). Покажем, что уравнением этой поверхности будет уравнение (39), если его отнести к системе координат в пространстве . Пусть - любая фиксированная точка построенной цилиндрической поверхности.

Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей, проходящей через точку М. Точка очевидно, будет проекцией точки М на плоскость Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абсциссу и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кривой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (39) этой кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки , так как не содержит . Таким образом, координаты любой точки данной цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (39). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (39) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость вне кривой

Таким образом, не содержащее уравнение если его отнести к системе координат в пространстве , является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси и направляющей L, которая в плоскости задается тем же уравнением

В пространстве направляющая L определяется системой двух уравнений:

Аналогично можно показать, что уравнение не содержащее у, и уравнение не содержащее определяют в пространстве Охуг цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям

Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.

1. Поверхность, определяемая уравнением

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 91).

Ее образующие параллельны оси а направляющей является эллипс с полуосями а и b, лежащий в плоскости . В частности, если то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется гиперболическим цилиндром (рис. 92). Образующие этой поверхности параллельны оси а направляющей служит расположенная в плоскости гипербола с действительной полуосью а и мнимой полуосью b.

3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется параболическим цилиндром (рис. 93). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости , а образующие параллельны оси Ох.

Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой.