В определённый момент у любого разработчика в области компьютерной графики возникает вопрос: как же работают эти перспективные матрицы? Подчас ответ найти очень непросто и, как это обычно бывает, основная масса разработчиков бросает это занятие на полпути.
Это не решение проблемы! Давайте разбираться вместе!
Будем реалистами с практическим уклоном и возьмём в качестве подопытного OpenGL версии 3.3. Начиная с этой версии каждый разработчик обязан самостоятельно реализовывать модуль матричных операций. Замечательно, это то, что нам нужно. Проведём декомпозицию нашей с вами нелёгкой задачи и выделим основные моменты. Немного фактов из спецификации OpenGL:
- Матрицы хранятся по столбцам (column-major);
- Однородные координаты;
- Канонический объём отсечения (CVV) в левосторонней системе координат.
Однородные координаты – это не очень хитрая система с рядом простых правил по переводу привычных декартовых координат в однородные координаты и обратно. Однородная координата это матрица-строка размерности . Для того чтобы перевести декартову координату в однородную координату необходимо x
, y
и z
умножить на любое действительное число w
(кроме 0). Далее необходимо записать результат в первые три компоненты, а последний компонент будет равен множителю w
. Другими словами:
- декартовы координаты
w
– действительное число, не равное 0
- однородные координаты
Небольшой трюк: Если w
равно единице, то всё что нужно для перевода, это перенести компоненты x
, y
и z
и приписать единицу в последний компонент. То есть получить матрицу-строку:
Несколько слов о нуле в качестве w
. С точки зрения однородных координат это вполне допустимо. Однородные координаты позволяют различать точки и вектора. В декартовой же системе координат такое разделение невозможно. - точка, где (x, y, z
) – декартовы координаты
- вектор, где (x, y, z
) – радиус-вектор
Обратный перевод вершины из однородных координат в декартовы координаты осуществляется следующим образом. Все компоненты матрицы-строки необходимо разделить на последнюю компоненту. Другими словами:
- однородные координаты
- декартовы координаты
Главное что необходимо знать, что все алгоритмы OpenGL по отсечению и растеризации работают в декартовых координатах, но перед этим все преобразования производятся в однородных координатах. Переход от однородных координат в декартовы координаты осуществляется аппаратно.
Канонический объём отсечения или Canonic view volume (CVV) – это одна из мало документированных частей OpenGL. Как видно из рис. 1 CVV – это выровненный по осям куб с центром в начале координат и длиной ребра равной двойке. Всё, что попадает в область CVV подлежит растеризации, всё, что находится вне CVV игнорируется. Всё, что частично выходит за границы CVV, подлежит алгоритмам отсечения. Самое главное что надо знать - система координат CVV левосторонняя!
Рис. 1. Канонический объём отсечения OpenGL (CVV)
Левосторонняя система координат? Как же так, ведь в спецификации к OpenGL 1.0 ясно написано, что используемая система координат правосторонняя? Давайте разбираться.
Рис. 2. Системы координат
Как видно из рис. 2 системы координат различаются лишь направлением оси Z . В OpenGL 1.0 действительно используется правосторонняя пользовательская система координат. Но система координат CVV и пользовательская система координат это две совершенно разные вещи. Более того, начиная с версии 3.3, больше не существует такого понятия как стандартная система координат OpenGL. Как упоминалось ранее, программист сам реализует модуль матричных операций. Формирование матриц вращения, формирование проекционных матриц, поиск обратной матрицы, умножение матриц – это минимальный набор операций, входящих в модуль матричных операций. Возникает два логичных вопроса. Если объём видимости это куб с длиной ребра равной двум, то почему сцена размером в несколько тысяч условных единиц видна на экране? В какой момент происходит перевод пользовательской системы координат в систему координат CVV. Проекционные матрицы – это как раз та сущность, которая занимается решением этих вопросов.
Главная мысль вышеизложенного – разработчик сам волен выбрать тип пользовательской системы координат и должен корректно описать проекционные матрицы. На этом с фактами об OpenGL закончено и подошло время сводить всё воедино.
Одна из наиболее распространённых и сложно постигаемых матриц – это матрица перспективного преобразования. Так как же она связана с CVV и пользовательской системой координат? Почему объекты с увеличением расстояния до наблюдателя становятся меньше? Для того чтобы понять почему объекты уменьшаются с увеличением расстояния, давайте рассмотрим матричные преобразования трёхмерной модели шаг за шагом. Не секрет, что любая трёхмерная модель состоит из конечного списка вершин, которые подвергаются матричным преобразованиям совершенно независимо друг от друга. Для того чтобы определить координату трёхмерной вершины на двухмерном экране монитора необходимо:
- Перевести декартову координату в однородную координату;
- Умножить однородную координату на модельную матрицу;
- Результат умножить на видовую матрицу;
- Результат умножить на проекционную матрицу;
- Результат перевести из однородных координат в декартовы координаты.
Теперь переходим к шагу три. Здесь начинает работу видовое пространство. В этом пространстве координаты отсчитываются относительно положения и ориентации наблюдателя так, как если бы он являлся центром мира. Видовое пространство является локальным относительно мирового пространства, поэтому координаты в него надо вносить (а не выносить, как в предыдущем случае). Прямое матричное преобразование выносит координаты из некоторого пространства. Чтобы наоборот внести их в него, надо матричное преобразование инвертировать, поэтому видовое преобразование описывается обратной матрицей. Как же получить эту обратную матрицу? Для начала получим прямую матрицу наблюдателя. Чем характеризуется наблюдатель? Наблюдатель описывается координатой, в которой он находится, и векторами направления обзора. Наблюдатель всегда смотрит в направлении своей локальной оси Z . Наблюдатель может перемещаться по сцене и осуществлять повороты. Во многом это напоминает смысл модельной матрицы. По большому счёту так оно и есть. Однако, для наблюдателя операция масштабирования бессмысленна, поэтому между модельной матрицей наблюдателя и модельной матрицей трёхмерного объекта нельзя ставить знак равенства. Модельная матрица наблюдателя и есть искомая прямая матрица. Инвертировав эту матрицу, мы получаем видовую матрицу. На практике это означает, что все вершины в глобальных однородных координатах получат новые однородные координаты относительно наблюдателя. Соответственно, если наблюдатель видел определённую вершину, то значение однородной координаты z данной вершины в видовом пространстве точно будет положительным числом. Если вершина находилась за наблюдателем, то значение её однородной координаты z в видовом пространстве точно будет отрицательным числом.
Шаг четыре - это самый интересный шаг. Предыдущие шаги были рассмотрены так подробно намеренно, чтобы читатель имел полную картину о всех операндах четвёртого шага. На четвёртом шаге однородные координаты выносятся из видового пространства в пространство CVV. Ещё раз подчеркивается тот факт, что все потенциально видимые вершины будут иметь положительное значение однородной координаты z .
Рассмотрим матрицу вида:
И точку в однородном пространстве наблюдателя:
Произведём умножение однородной координаты на рассматриваемую матрицу:
Переведём получившиеся однородные координаты в декартовы координаты:
Допустим, есть две точки в видовом пространстве с одинаковыми координатами x и y , но разными координатами z . Другими словами одна из точек находится за другой. Из-за перспективного искажения наблюдатель должен увидеть обе точки. Действительно, из формулы видно, что из-за деления на координату z , происходит сжатие к точке начала координат. Чем больше значение z (чем дальше точка от наблюдателя), тем сильнее сжатие. Вот и объяснение эффекту перспективы.
В спецификации OpenGL сказано, что операции по отсечению и растеризации выполняются в декартовых координатах, а процесс перевода однородных координат в декартовы координаты производится автоматически.
Матрица (1) является шаблоном для матрицы перспективой проекции. Как было сказано ранее, задача матрицы проекции заключается в двух моментах: установка пользовательской системы координат (левосторонняя или правосторонняя), перенос объёма видимости наблюдателя в CVV. Выведем перспективную матрицу для левосторонней пользовательской системы координат.
Матрицу проекции можно описать с помощью четырёх параметров (рис. 3):
- Угол обзора в радианах (fovy );
- Соотношение сторон (aspect );
- Расстояние до ближней плоскости отсечения (n );
- Расстояние до дальней плоскости отсечения (f ).
Рис. 3. Перспективный объём видимости
Рассмотрим проекцию точки в пространстве наблюдателя на переднюю грань отсечения перспективного объёма видимости. Для большей наглядности на рис. 4 изображён вид сбоку. Так же следует учесть, что пользовательская система координат совпадает с системой координат CVV, то есть везде пользуется левосторонняя система координат.
Рис. 4. Проецирование произвольной точки
На основании свойств подобных треугольников справедливы следующие равенства:
Выразим yꞌ и xꞌ:
В принципе, выражений (2) достаточно для получения координат точек проекции. Однако для правильного экранирования трёхмерных объёктов необходимо знать глубину каждого фрагмента. Другими словами необходимо хранить значение компоненты z . Как раз это значение используется при тестах глубины OpenGL. На рис. 3 видно, что значение zꞌ не подходит в качестве глубины фрагмента, потому что все проекции точек умеют одинаковое значение zꞌ . Выход из сложившейся ситуации – использование так называемой псевдоглубины.
Свойства псевдоглубины:
- Псевдоглубина рассчитывается на основании значения z ;
- Чем ближе к наблюдателю находится точка, тем меньшеe значение имеет псевдоглубина;
- У всех точек, лежащих на передней плоскости объёма видимости, значение псевдоглубины равно -1;
- У всех точек, лежащих на дальней плоскости отсечения объёма видимости, значение псевдоглубины равно 1;
- Все фрагменты, лежащие внутри объёма видимости, имеют значение псевдоглубины в диапазоне [-1 1].
Коэффициенты a и b необходимо вычислить. Для того чтобы это сделать, воспользуемся свойствами псевдоглубины 3 и 4. Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
Произведём сложение обоих частей системы и умножим результат на произведение fn , при этом f и n не могут равняться нулю. Получаем:
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые так, чтобы слева осталась только часть с а , а справа только с b :
Подставим (6) в (5). Преобразуем выражение к простой дроби:
Умножим обе стороны на -2fn , при этом f и n не могут равняться нулю. Приведём подобные, перегруппируем слагаемые и выразим b :
Подставим (7) в (6) и выразим a :
Соответственно компоненты a и b равны:
Теперь подставим полученные коэффициенты в матрицу заготовку (1) и проследим, что будет происходить с координатой z для произвольной точки в однородном пространстве наблюдателя. Подстановка выполняется следующим образом:
Пусть расстояние до передней плоскости отсечения n
равно 2, а расстояние до дальней плоскости отсечения f
равно 10. Рассмотрим пять точек в однородном пространстве наблюдателя:
| Точка | Значение  |
Описание |
|---|---|---|
| 1 | 1 | Точка находится перед передней плоскостью отсечения объёма видимости. Не проходит растеризацию. |
| 2 | 2 | Точка находится на передней грани отсечения объёма видимости. Проходит растеризацию. |
| 3 | 5 | Точка находится между передней гранью отсечения и дальней гранью отсечения объёма видимости. Проходит растеризацию. |
| 4 | 10 | Точка находится на дальней грани отсечения объёма видимости. Проходит растеризацию. |
| 5 | 20 | Точка находится за дальней гранью отсечения объёма видимости. Не проходит растеризацию. |
Умножим все точки на матрицу (8), а затем переведём полученные однородные координаты в декартовые координаты 
. Для этого нам необходимо вычислить значения новых однородных компонент 
и 
.
Точка 1:
Обратите внимание, что однородная координата абсолютно верно позиционируется в CVV, а самое главное, что теперь возможна работа теста глубины OpenGL, потому что псевдоглубина полностью удовлетворяет требованиям тестов.
С координатой z разобрались, перейдём к координатам x и y . Как говорилось ранее весь перспективный объём видимости должен умещаться в CVV. Длина ребра CVV равна двум. Соответственно, высоту и ширину перспективного объёма видимости надо сжать до двух условных единиц.
В нашем распоряжении имеется угол fovy и величина aspect . Давайте выразим высоту и ширину, используя эти величины.
Рис. 5. Объём видимости
Из рис. 5 видно, что:
Теперь можно получить окончательный вид перспективной проекционной матрицы для пользовательской левосторонней системы координат, работающей с CVV OpenGL:
На этом вывод матриц закончен.
Пару слов о DirectX - основном конкуренте OpenGL. DirectX отличается от OpenGL только габаритами CVV и его позиционированием. В DirectX CVV - это прямоугольный параллелепипед с длинами по осям x и y равными двойке, а по оси z длина равна единице. Диапазон x и y равен [-1 1], а диапазон z равен . Что касается системы координат CVV, то в DirectX, как и в OpenGL, используется левосторонняя система координат.
Для вывода перспективных матриц для пользовательской правосторонней системы координат необходимо перерисовать рис. 2, рис.3 и рис.4 с учётом нового направления оси Z . Далее расчёты полностью аналогичны, с точностью до знака. Для матриц DirectX свойства псевдоглубины 3 и 4 модифицируются под диапазон .
На этом тему перспективных матриц можно считать закрытой.
Лекция1.
Вероятность
В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).
Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.
Пространством элементарных событий W (исходов) называется множество всех элементарных событий (исходов). {w 1 , …w n … }, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой). Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.
Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Любое множество – это совокупность элементов. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.
Пример . Бросается одна монета, она может упасть гербом (w 1 =Г) или решкой (w 1 =Р). W=(Г,Р).
Пример. Бросаются две монеты W = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}
Пример . Капля дождя падает на прямоугольную площадку.
W= {(x,y), a Достоверное событие
– событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается W. Невозможное событие
– событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается Æ. Действия над событиями.
События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна. Пространство W
будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкой прямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать. Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А – выбор червонной карты, событие В – выбор десятки Суммой
двух событий А
и В
называется событие С = А + В
(или С = А
В
), состоящее из элементарных событий, принадлежащих либо А
, либо В
. Пример
. С = А + В
– выбор любой червонной карты или любой десятки Произведением
двух событий А
и В
называется событие D
=
AB
(или D
=
A
B
), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А
и В
. Пример
. АВ
– выбор десятки червей Разностью
двух событий А и В называется событие АВ
, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А
и не принадлежащих В
. Пример
. АВ
–выбор любой червонной карты, кроме десятки Классификация событий
Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в А, обозначим и будем называть противоположным
событием. Пример.
А –выбор червонной карты; –выбор любой карты другой масти.. = W
А
Два
события А
и В
будем называть совместными
, если каждое из них содержит хотя бы одно общее элементарное событие, т.е если АВ
Ø. Пример
.
А
– выбор червонной карты и
В
– выбор десятки – совместные события, так как АВ
= выбор червонной десяткиØ Если общих элементарных событий у событий А
и В
нет, то их будем называть несовместными
событиями (АВ
= Ø). Пример
. А – выпадение четного числа очков А = {2, 4, 6}. В – выпадение нечетного числа очков В = {1, 3, 5} Очевидно, что А и В несовместны. Полная группа событий
– это совокупность
n
событий А 1 , А 2 , …, А
n
, одно из которых обязательно произойдет, т.е.
Свойства операций над событиями
1. =
Ø 6. А
= А
2. А + А = А
7. А
Ø = Ø Коротко
. Если А
В
, то 3. А А = А
8 = АА + В = В
4. А
+ = 9. А В = А
5. А
+ Ø = А
10. = Ø Коммутативность операций
А + В = В + А; А В = В А
Ассоциативность операций
А + (В + С) =
(А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С
Дистрибутивность операции сложения относительно умножения
А (В + С) = А В + А С
Дистрибутивность операции умножения относительно сложения
А + (В С) = (А + В)(А + С)
Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC. В самом деле, BAÌA, ACÌA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A. Правило двойственности (теорема де Моргана)
Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным Пример
.
Алгебра событий.
Пусть W - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что 1) SÉW, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, ABÌS. Следствие Æ= WW Ì S Пусть W содержит конечное число элементов, W= {w 1 ,…w n }. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств W. S={Æ, {w 1 }, … {w n }, {w 1 ,w 2 }, …{w 1 ,w n }, …{w n -1 ,w n }, …{w 1, …, w n }}, в ней всего 2 n элементов Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий. Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события , A+B, AB, AB, поэтому события должны выбираться из определенного класса – алгебры событий. Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится s- алгебра событий. Сигма-алгеброй (s
-алгеброй) событий
B
называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что 2) A 1 , A 2 , …A n , …ÌBÞ(A 1 +A 2 + …+A n +, …)ÌB, Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот. Вероятность.
Классическое определение вероятности события
В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω
содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные. Случаями
называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.
В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.
Пусть N
– общее число случаев в Ω
, а N
А
– число случаев, образующих событие А
(или, как говорят, благоприятствующих событию А
). Определение
. Вероятностью события А
называется отношение числаN A
случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P
(A
)
= . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности
. Примеры
. 1. Бросание игральной кости. Ω =
{w
1
,
w
2
,…,
w
6 } N
= 6. А – количество очков кратно трем А = {w
3
,
w
6
} N A
= 2. 2. Бросание 2-х игральных костей. Ω =
{w
11
,
w
12
,…,
w
66
}; N
=36. w
kl
= (a k
,
b l
), k
,
l
= А
– сумма цифр (очков) равна 5. А
= {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; N A
= 4 3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар. А – шар черный. Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности: 1) Р(Ω
) = 1 (N A
=
N
); 3) Если А В
= Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
(
N A
+
B
=
N A
+
N B
) и их следствия 4) Р
(Ø) = 0 (N
Ø) = 0; 5) Р() = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р(
)
= 1); 6) Если , то Р(А)
Р(В)
(N A
N B
). При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов. Здесь используется основной принцип комбинаторики:
пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций P k (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена m r способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами. Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением
. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения.
С другой стороны, мы можем учитывать порядок
появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из
n
шаров по
m
шаров.
Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной
или сочетанием из
n
шаров по
m
шаров.
Выясним, сколькими способами можнопроизвести ту или иную выборку Сочетания Размещения Без возвращения С возвращением Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками
. Число перестановок из m элементов равно P m ==m!. Поэтому . Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51). Пример
. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки. 1) Размещения с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3 2 = 9. 2) Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) . 3) Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3) 4) Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) . Пример
. Задача о выборке бракованных деталей
. В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных? Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна . Геометрическая вероятность
Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно редко. Отношение Р(А)=
N A
/
N
представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное
число равновозможных
исходов. Событие А – волчок касается плоскости точкой из окрашенного сектора. Множество точек на ободе в окрашенном секторе имеет мощность континуума. Делим всю окружность на N маленьких одинаковых дуг. Число дуг на окружности, принадлежащих окрашенному сектору, пусть равно N A . В общем случае имеется мера mes
соответствующая (в нашем случае mes
= 2) и мера mes
А, соответствующая А (в нашем случае mes
А = ) Пример.
Задача о встрече.
Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов на определенном месте, причем первый пришедший на место ждет товарища 15 минут и уходит. Какова вероятность встречи? Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x- время прихода первого студента, y – время прихода второго студента. Тогда множество |x-y|<1/4, 0 содержит точки (события) встречи студентов. Его мера (площадь) mesA
равна 1- (3/4) 2 = 7/16. Так как mesW =1, то P(A) = 7/16. Статистическая вероятность
Формулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы только для случая равновозможных
исходов. В действительности мы на практике имеем место с неравновозможными
исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайного события, используя понятие частоты события
. Допустим, что нам требуется определить вероятность того, что в испытании произойдет событие А
. Для этого в одинаковых условиях проводятся испытания, в каждом из которых возможны два исхода: А
и . Частотой
события А будем называть отношение числа N A
испытаний, в которых зафиксировано событие А к общему числу N
испытаний. Вероятностью события А
называется предел частоты события А при неограниченном увеличении числа испытаний
n
, т.е.
Заметим, что по классическому, геометрическому и статистическому определениям для вероятности события P(A) выполнены три основных свойства: P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A 1 + …+A n) = P(A 1) + …+P(A n), если A 1 , A n попарно несовместны. Однако в этих определениях элементарные события предполагаются равновозможными. А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий, ввел сигма-алгебру событий и распространил третье свойство на счетное число событий. Это дало возможность дать аксиоматическое определение вероятности события. Аксиоматическое определение вероятности
(по А.Н.Колмогорову). Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма – алгебре событий, удовлетворяющая трем аксиомам: 1) не отрицательность P(A)³0, "AÎB - сигма – алгебре событий на W 2) нормировка P(W) = 1 3) расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A 1 , … A n … выполнено P(A 1 + …+A n + …) = P(A 1) + …+P(A n) +… (счетная аддитивность). Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числовая неотрицательная нормированная счетно - аддитивная функция (множества – события), заданная на сигма – алгебре событий.
Если W состоит из конечного или счетного числа событий, то в качестве сигма – алгебры B может рассматриваться алгебра S событий. Тогда по аксиоме 3 вероятность любого события A равна сумме вероятностей элементарных событий, составляющих A. Вероятностным пространством
называется тройка (W, B, P). Свойства вероятности
1) 2) P(Æ) = 0. Так как "A A+Æ = A, по аксиоме 3 P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0 3) Если AÌ B, то P(A) £ P(B). Так как B = A+ BA, по аксиоме 3 P(B) = P(A) + P(BA), но по аксиоме 1 P(BA)³0 Пример
. Из урны с четырьмя шарами с номерами 1, 2, 3, 4 три раза наугад вынимают шар и записывают его номер а) возвращая шары б) не возвращая шары. Какова вероятность 1) получить комбинацию 111, 2) из номеров шаров составить возрастающую последовательность? В случае а) имеем размещения с возвращением, N = 4 3 , 1), N A =1, P = ¼ 3 , 2) N A = , так как возрастающую последовательность можно составить всегда из не повторяющихся номеров, P = / 4 3 . В случае б) N = ,1) P = 0, так как номера шаров не повторяются, то N A =0, 2) P = 1, так как N = N A = . Пример
. Пять человек садятся в поезд метро, состоящий из пяти вагонов. Какова вероятность того, что они окажутся в разных вагонах? Общее число элементарных событий равно числу размещений с повторением из пяти элементов по пять N = 5 5 . Число элементарных событий, составляющих А, равно 5! Поэтому Р = 5!/ 5 5 . Лекции 1,2 написаны по лекциям В.Ф. Панова с добавлением авторского материала и примеров Приведенные к настоящему моменту в открытом банке задач ЕГЭ по математике (mathege.ru), решение которых основано на одной лишь формуле, представляющей собой классическое определение вероятности. Понять формулу проще всего на примерах. Комментарий.
В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат - исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. "Мы вытащили какой-то шар" - тоже результат. "Мы вытащили синий шар" - результат. "Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров" - такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности. Решение.
Теперь вычислим вероятность выбора синего шара. Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара. Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1. Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы. Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. ( , )
Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу. Пример 2.
Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой? Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50. Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы , , , ): Пример 3.
В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз. Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек. Немного отличается прототип .
Остались задачи про монеты () и игральные кости (), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов. Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика. Пример 4.
Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки? Пример 5.
А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел? Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка? В таких задачах может пригодиться ещё одна формула. Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты. То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д. Пример 6.
Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число? Всего исходов: 6, по числу граней. Пример 7.
Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых) Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36. Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать». Важные замечания! Что такое вероятность? Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно. Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.
Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор. Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь. Но каков этот шанс? Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь. Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты: А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг: а. За 1ой
дверью Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает. Как видишь всего возможно
вариантов
местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить. А благоприятных исходов всего
.
То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. . Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий. Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому: Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов. Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на: Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход. Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные. Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг? Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться. У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги: 1) Позвонить в 1-ую
дверь Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось): а) Друг за 1-ой
дверью Давай снова нарисуем таблицу: Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна. А почему не? Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий.
Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь. А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, . Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые
? Верно, бывают. Хрестоматийный пример - бросание монетки. И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - . Отличить зависимые события от независимых легко: Давай немного потренируемся определять вероятность. Пример 1.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел? Решение:
Рассмотрим все возможные варианты: Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность: Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на. Ответ:
Пример 2.
В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой. Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах. Решение:
Сколько всего возможных исходов? . То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке. А сколько благоприятных исходов? Потому что в коробке только конфет с орехами. Ответ:
Пример 3.
В коробке шаров. из них белые, - черные. Решение:
а) В коробке всего шаров. Из них белых. Вероятность равна: б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - . Ответ:
Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар? Вероятность вытащить красный шар Зеленый шар: Красный или зеленый шар: Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи. Пример 4.
В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный. Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер? Решение:
Давай посчитаем количество благоприятных исходов.
НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный. Что такое независимые события ты уже знаешь. А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд? Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла? Мы уже считали - . А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд? Всего возможных вариантов: Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый). Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты. Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события. Другими словами, Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки. Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз. Какова вероятность выпадения раз подряд орла? Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд. Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также. Вероятность выпадения решка - , орла - . Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА: Можешь проверить сам, составив таблицу. Так стоп! Новое определение. Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза. Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события. Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий. Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события. Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей. Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей. Всего вариантов, нам подходит. То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности: Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий. Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать: Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз. Должны выпасть: Давай рассмотрим несколько примеров. Пример 5.
В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши? Решение:
Пример 6.
Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков? Решение.
Как мы можем получить очков? (и) или (и) или (и) или (и) или (и). Вероятность выпадения одной (любой) грани - . Считаем вероятность: Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся. Задачи:
Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти. Ответы:
Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки! Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До. Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает. В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие
(не путай с благополучным). Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события. А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или). Определение:
Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий
. То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные. Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность). Принято измерять вероятность в процентах (см. темы и )
. Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность. А в процентах: . Примеры (реши сам):
Решения:
С решкой то же самое: . Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -). Такое событие называется невозможным
. А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или. Такое событие называется достоверным
. Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - . В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.
Пример:
В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не
вытащить зеленый? Решение:
Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна. Запомни этот прием:
вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет. Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого? Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их: Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще? Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна. Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ). Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения
: Вероятности независимых событий переменожаются.
Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки. Еще примеры:
Ответы:
Несовместными
называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка. Пример.
В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный? Решение
. Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - . Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна. Эту же вероятность можно представить в таком виде: . Это и есть правило сложения:
вероятности несовместных событий складываются. Пример.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный? Решение
. Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать. Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае: Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел). Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение: Попробуй сам:
Решения:
Еще пример:
Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел? Решение:
Вероятность
- это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. Независимые
события
Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется. Полная вероятность
Вероятность всех возможных событий равна (). Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет. Правило умножения вероятностей независимых событий
Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий Несовместные
события
Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий. Вероятности несовместных событий складываются. Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения. Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут. Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%! Теперь самое главное. Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить… Для чего? Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика. Но и это - не главное. Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю... Но, думай сам... Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым? НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ. На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время
. И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка. Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором
и решай, решай, решай! Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем. Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь. Как? Есть два варианта: Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу. Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта. И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории. “Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба. Найди задачи и решай!
…ÌB.
.
.
и т.д.
. Так определяется статистическая вероятность события
.
. В самом деле,, несовместны. По аксиоме 3 .
Пример 1.
В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?
Событие А: "выбранный шар оказался синего цвета"
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, - то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.
Итак,
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти - невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» - для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы , ), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы , ) – принцип остается тем же.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро)
Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·...·2=2 N .
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта.
Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для
б. За 2ой
дверью
в. За 3ей
дверью
2) Позвонить во 2-ую
дверь
б) Друг за 2-ой
дверью
Полная вероятность
Вероятность всех возможных событий равна ().
Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.
Правило умножения вероятностей независимых событий
Правило сложения вероятностей несовместных событий.
Возможные варианты:
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?
Что должно произойти?
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:Тренировка.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое.Полная вероятность
Независимые события и правило умножения
Несовместные события и правило сложения
Задачи смешанного типа
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
