Матрицы с корнями. Квадратный корень из матрицы. Скелетное разложение матрицы онлайн

Для примера на рис. 1 представлены графики смеси сигнала и шума A(t)+z(t), самого сигнала z(t) и только шума A(t).

На глаз на верхнем графике невозможно обнаружить что-то, отличное от шума, особенно если у нас нет никакой априорной информации о форме сигнала и его параметрах – моменте возникновения, длительности, амплитуде и частоте. Такая ситуация типична для программы поиска сигналов внеземных цивилизаций.

Вы уже поняли, что априорная информация является одним из основных факторов, определяющих действенность процедур контроля, распознавания образов, диагностики идентификации систем.

При полном отсутствии априорной информации сбор и обработка данных бессмысленна – невозможно найти «то, не знаю, что». При наличии априори всей информации об объекте исследования применение каких-либо измерительных информационных технологий так же совершенно лишено смысла – мы и без того все знаем. При работе измерительных информационных систем любого назначения мы всегда сталкиваемся с недостаточностью априорной информации. Задача почти всегда заключается в том, чтобы получить как можно больше апостериорной информации, используя как можно лучше все имеющиеся априорные сведения.

В задачах обнаружения сигнала неизвестным является сам факт наличия сигнала. Априорной информацией здесь могут быть сведения о форме сигнала, о частотах его появления, вероятности существования и прочее.

В задачах различения сигналов неизвестен тип принимаемого в данный момент сигнала из заданного множества возможных типов сигналов. В качестве априорной информации здесь используются сведения о возможных видах сигналов и вероятности появления различных типов сигналов.

В задачах оценивания сигналов неизвестным является значение сигнала или вектор (совокупность) параметров сигнала. Априори хорошо бы иметь сведения о форме сигнала и распределении вероятностей его параметров.

Остальные компоненты сигнально - помеховой обстановки считаются, как правило, известными. Априори известно статистическое описание помех, значения неинформативных параметров сигнала, условия проведения эксперимента.

В простейших случаях задача обнаружения сигналов сводится к использованию специальных фильтров, повышающих отношение сигнал/шум:

где - мощность сигнала на промежутке Т его существования,

- мощность шума .

Рассмотрим вопросы применимости различных типов фильтров.

Частотная фильтрация.

Предположим, что передаваемый кодированный сигнал имеет форму отрезков синусоиды:

На рис. 2 сверху представлен отрезок сигнала x(t), а в середине – тот же сигнал, но в смеси с белым шумом n(t). Здесь нужно иметь большое воображение, чтобы заметить следы сигнала x(t) на фоне шума.

Для выделения сигнала естественно использовать полосовой фильтр с узкой полосой пропускания, средняя частота которого равна частоте сигнала .

На рис. 2 внизу представлен сигнал y(t) на выходе резонансного фильтра, настроенного на частоту сигнала x(t) при степени успокоения 0,2. Дифференциальное уравнение фильтра и порядок его решения в среде Math Cad представлено в листинге:

На графике (рис. 2) уже можно четко заметить полезный сигнал, несмотря на имеющие место искажения остатками шума.

Пусть n(t) – белый широкополосный шум с мощностью в полосе частот до . В этом случае мощность шума на выходе фильтра с полосой пропускания вокруг частоты составит:

.

Казалось бы, что, уменьшая полосу пропускания фильтра по отношению к полосе частот, занимаемых шумом, можно как угодно увеличивать отношение сигнал/шум и тем самым все более четко определять наличие сигнала на фоне шума.

Однако здесь следует иметь в виду следующее обстоятельство. Спектр синусоидального сигнала сосредоточен на его частоте только в том случае, когда эта синусоида задана на всем промежутке времени от до .

Отрезок синусоиды конечной протяженности имеет лепестковый спектр (рис. 3), главный максимум которого приходится на частоту сигнала . Полосовой фильтр обязательно поглощает часть энергии полезного сигнала вместе с энергией шума, что приводит к амплитудным и фазовым искажениям сигнала. Это хорошо видно на нижнем графике, на рис. 2.

Временная фильтрация

Принимаемый сигнал является аддитивной смесью сигнала и шума:

Определим автокорреляционную функцию этой смеси:

Если сигнал и шум не коррелированны, то их взаимнокорреляционная функция равна нулю, и поэтому автокорреляционная функция аддитивной смеси сигнала и шума равна сумме их автокорреляционных функций:

Если x(t) – синусоидальный сигнал со случайной фазой, то его автокорреляционная функция является косинусоидой той же частоты:

Автокорреляционная функция шума обычно быстро убывает с ростом τ, а для белого шума имеет форму δ – функции при τ=0. Поэтому автокорреляционная функция синусоидального сигнала на фоне почти белого шума будет всегда выглядеть так, как это показано на рис. 4 слева. При отсутствии сигнала () автокорреляционная функция будет просто быстро затухать, как на рис. 4 справа. Отсчет значения автокорреляционной функции по истечении времени в первом случае даст значение , а во втором случае – нуль.

Фильтр состоит из линии задержки на время , схемы перемножения принимаемого сигнала и сигнала на выходе линии задержки и интегратора, обеспечивающего интегрирование результата перемножения по времени в пределах от 0 до , после чего интегратор обнуляется и вновь включается в момент ожидаемого прихода нового радиоимпульса. Название этого устройства фильтром является в большой степени условным, поскольку он осуществляет не преобразование сигнала, а только вычисление фиксированных значений его автокорреляционной функции.

В качестве примера на рис. 6 представлены графики ожидаемого сигнала x(t, 1) и аддитивной смеси сигнала и шума n(t), единственно доступной для наблюдения. Нижний график на рис. 6 наглядно показывает, как сигнал почти полностью теряется на фоне шума.

Расчеты, реализуемые фильтром, дают при этом следующие значения выходного сигнала соответственно при наличии и отсутствии сигнала, подлежащего обнаружению:

При наличии сигнала () выходной сигнал корреляционного фильтра принимает значение 0,445, то есть примерно значение, равное половине квадрата амплитуды, а в условиях отсутствия сигнала () значение сигнала составляет всего-то -0,025.

На рис. 7 представлены графики изменения корреляционных функций шума (синяя линия) и смеси сигнала и шума (красная линия), рассчитанные в соответствии с данными, изображенными на рис. 6. Представленные кривые повторяют то, что было представлено на рис. 4, но соответствуют не только теоретическим выводам, но и практическим результатам расчетов.

Согласованная фильтрация

Согласованным называется фильтр, импульсная переходная функция которого является зеркальным отображением импульса, для обнаружения которого он и предназначен. Такой фильтр «согласован» с ожидаемым сигналом и предназначается для обнаружения сигнала только заранее известной формы.

Предположим, что нужно на фоне помех обнаруживать сигнал:

Сигнал изображен на рис. 8. Пропустим этот сигнал через фильтр с импульсной переходной функцией:

Функция является зеркальным отображением подлежащего обнаружению сигнала относительно прямой, проведенной параллельно оси ОХ через точку с абсциссой .

Сигнал на выходе фильтра определяется как свертка зашумленного входного сигнала и импульсной переходной функции:

Два последние интеграла с точностью до постоянного множителя определяют значения автокорреляционной функции сигнала и взаимной корреляционной функции сигнала и шума, разделенных промежутком времени :

Но если сигнал и шум не коррелируют, то и в момент времени выходной сигнал фильтра должен достигать наибольшего значения, равного .

Изобретение относится к области гидроакустики, а именно - к способам обнаружения гидролокационных сигналов в условиях реального канала распространения с учетом искажений сигнала, проявляющихся при отражении и рассеянии волн на границах канала, а также явления полного внутреннего отражения сигнала. Техническим результатом является повышение помехоустойчивости и дальности действия гидролокационных станций. Способ обнаружения широкополосных сигналов включает операции взаимно-корреляционного сравнения принятой реализации с копией излученного сигнала и принятие решения об обнаружении, при этом дополнительно проводят операции взаимно-корреляционного сравнения принятой реализации с Гильберт-образом копии излученного сигнала, возведения в квадрат результатов взаимно-корреляционного сравнения принятой реализации с эталоном и Гильберт-образом эталона излученного сигнала и их суммирования и сравнивают полученное значение с порогом. 1 ил.

Изобретение относится к области гидроакустики, а именно - к способам обнаружения гидролокационных сигналов в условиях реального канала распространения с учетом отражающих границ, потерь и искажений, проявляющихся при отражении и рассеянии волн.

Известно , что реализация оптимального приема при решении задач обнаружения сигналов во многом определяется уровнем априорных знаний о принимаемом сигнале. Для сигналов с неизвестной начальной фазой оптимальным является квадратурный приемник (аналог), обеспечивающий незначительные (1-1,2 дБ) потери по сравнению с согласованной фильтрацией . Основным недостатком квадратурного приема является то, что его применение ограничено классом узкополосных сигналов. Если же используются широкополосные сигналы, то необходима многоканальная схема, осуществляющая квадратурную фильтрацию по каждой составляющей.

Если фазовый спектр сигнала неизвестен, используют энергетические методы приема (аналог), представляющие собой последовательное выполнение операций фильтрации, детектирования и интегрирования. Основным недостатком таких методов является "эффект подавления малого сигнала", что является следствием того факта, что выходное отношение сигнал/помеха пропорционально квадрату входного отношения сигнал/помеха.

Если форма принимаемого сигнала известна, то потенциальную помехоустойчивость при обнаружении сигналов (в том числе и широкополосных) на фоне белого шума, в принципе, обеспечивает согласованная фильтрация или коррелятор, реализующий корреляционное сравнение принимаемой реализации сигнала с копией (прототип).

Корреляционная функция во временной области для этого случая записывается:

где: S 1 (t) - принимаемая реализация сигнала,

S 2 (t) - эталон,

* - индекс свертки,

Индекс сопряжения сигнала.

Корреляционным способам обнаружения сигналов присущ основной недостаток: в условиях реального канала распространения происходит не только аддитивное сложение сигнала и шума, но и возникают искажения самого сигнала вследствие многочисленных явлений отражения волн на границах канала, рассеяния на различных неоднородностях, а также годного внутреннего отражения волн.

Неучет этих явлений при приеме приводит к значительному снижению помехоустойчивости корреляционного приемника вследствие раскорреляции сигнала и эталона.

Рассмотрим подробнее процессы искажения гидролокационных сигналов при распространении в реальном канале вследствие вышеперечисленных явлений. При этом излучаемый физический сигнал S(t) удобнее представить как реальную часть аналитического сигнала S А (t), действительная и мнимая части которого связаны преобразованием Гильберта :

Аналитический сигнал,

Преобразование

Гильберта сигнала.

При распространении сигнал отражается от границ. Отраженный сигнал S 1 (t) описывается как произведение падающего S A (t) на комплексный коэффициент отражения k=|k|e jϕ k :

Выражение (3) можно переписать в виде:

Модуль аналитического сигнала,

Фаза аналитического сигнала.

В общем случае, если сигнал, распространяющийся в канале, испытывает N отражений:

Соотношение (4) представимо также в виде:

Для физического (принимаемого) сигнала:

Обозначив: |k|cosϕ k =ν и |k|sinϕ k =μ , запишем:

Известно также , c.122, что при полном внутреннем отражении отраженный сигнал всегда состоит из двух частей, одна из которых повторяет форму падающего сигнала, а вторая выражается

Известно, что скалярное произведение S(t) и

Равно нулю:

Таким образом, наличие ϕ k приводит к тому, что при одноканальной корреляционной обработке мы теряем часть энергии сигнала, и прием для этого случая будет не оптимальным:

при τ =0 имеем:

так как ν , μ

Целью предлагаемого изобретения является устранение недостатков, присущих традиционному корреляционному способу обнаружения широкополосных гидролокационных сигналов в условиях реального канала распространения, тем самым повышается помехоустойчивость и дальность действия гидролокационных систем.

В предлагаемом способе обнаружения сигналов предполагается двухканальная обработка с корреляционным сравнением принимаемой реализации с копией излученного сигнала и с результатом преобразования Гильберта копии излученного сигнала. Как ниже будет показано, для данного случая такая обработка сигнала является оптимальной.

Как известно , разработка оптимального обнаружителя сигналов (для различных ситуаций, т.е. учета различных явлений) предполагает наличие модели принимаемого сигнала и модели помехи.

В данном случае модель принимаемого сигнала, учитывающая случайные искажения при отражениях и рассеянии волн в канале, в соответствии с (7), представляет собой выражение:

При этом считаем, что случайная величина ϕ k распределена по равномерному закону: р(ϕ k)=1/2п, 0≤ ϕ k <2, а случайная величина |k| - по закону Рэлея: p(|k|)=2|k|exp(-|k| 2). Кроме того, считаем случайные величины ϕ k и |k| взаимно независимыми: p(ϕ k ,|k|)=p(ϕ k)-р(|k|).

Модель помехи - белый гауссов шум n(t). Реализация этого шума, спектральная интенсивность которого F(∞)=N 0 , на интервале 0

Из учебника А.Н. Гусева

В отличие от классических психофизических методов в современной психофизике особое внимание уделяется тому, как и почему человек дает тот или иной ответ, обнаруживая слабый пороговый сигнал или оценивая пороговые различая между двумя сигналами. Для описания поведения человека-наблюдателя, решающего сенсорную пороговую задачу, строится специальная модель. Новая методология, называемая психофизической теорией обнаружения сигнала, или ТОС , содержит в себе представление о наблюдателе не как о пассивном приемнике стимульной информации, но как об активном субъекте принятия решения в ситуации сенсорной неопределенности.

Общая схема, предлагаемая ТОС для описания процесса обнаружения порогового сигнала (или порогового различения двух сигналов), проста: 1) последовательность стимульных воздействий отображается в сенсорной системе в виде множества ощущений, и этот процесс имеет вероятностную природу, т.е. одно и то же стимульное воздействие вызывает каждый раз немного отличающуюся интенсивность ощущения данного сенсорного качества;

2) в силу высокой сенсорной неопределенности, обусловленной малой интенсивностью ощущения от воздействия порогового сигнала, наблюдатель каждый раз с достаточной уверенностью не может определить, был или не был сигнал, но тем не менее в соответствии с инструкцией вынужден принимать определенное решение, основываясь не только на сенсорной информации, но с учетом своих ожиданий, прошлого опыта или пытаясь угадать.

Таким образом, сенсорный процесс описывается как двухступенчатый: процесс отображения физической энергии стимула в интенсивность ощущения и процесс принятия решения. В ТОС не используется понятие сенсорного порога, поскольку наблюдатель может и на основе достаточно интенсивного ощущения решить, что сигнала он не почувствовал (например, не ожидая сигнала в данной пробе) или, наоборот, имея очень слабое ощущение стимульного воздействия, сказать «да», если это воздействие представляется ему очень вероятным.

Для разработки методов оценки сенсорной чувствительности в рамках ТОС строится формальная модель, описывающая поведение наблюдателя, решающего сенсорную задачу. Та часть модели, которая представляет процесс отображения энергии стимула во множество ощущений, взята из статистической радиофизики, другая часть, рассматривающая правила принятия решения, пришла из математической теории решений.

Рассмотрим метод «да-нет» как один из самых популярных методов измерения сенсорной чувствительности, разработанный в рамках ТОС. В отличие от классической психофизики мы уже не измеряем абсолютный или разностный порог, а говорим об измерении сенсорной чувствительности в задаче обнаружения сигнала или в задаче различения сигналов. В этом методе используются только два стимула, незначительно отличающиеся по интенсивности

некоторого физического качества: один «значащий» - , и другой «пустой» - <Ш>1. Предъявления следуют друг за другом обыкновенно через более или менее регулярные интервалы времени, и после каждого предъявления испытуемый отвечает «да», если ему показалось, что был сигнал, или «нет», если он не обнаружил сигнала. Стимулы предъявляются в опыте много раз в случайном порядке.

Рассмотрим теперь возможные комбинации <предъявление - ответ>, которые могут встретиться в опыте. Их четыре: <С - да>, <Ш - нет>, <С - нет>, <Ш - да>, причем первые два сочетания являются правильными, два последних - ошибочными исходами.

Каждое их этих сочетаний имеет свое специальное название (табл. 1). Попадание и ложная тревога будут в дальнейшем обозначаться через H (от англ. hit) и.A (от англ. false alarm). Обозначения для пропусков - O (omission) и правильных отрицаний - CR (correct rejection).

Чтобы охарактеризовать деятельность испытуемого в данном опыте, принято представлять результаты эксперимента в виде оценок условных вероятностей - вероятностей того, что испытуемый ответит правильно (неправильно) при условии, что был предъявлен определенный стимул - значащий или пустой. Такие вероятности обозначаются так: P (да/С), P (да/Ш), P (нет/С), P (нет/Ш). В частности, первая из этих вероятностей есть вероятность правильного обнаружения сигнала, а вторая - вероятность ложной тревоги. Если вычислены две эти условные вероятности, вычисление двух остальных уже не требуется. Они не несут дополнительной информации, так как

Эта пара вероятностей полностью характеризует успешность обнаружения сигнала наблюдателем.

Как было сказано выше, воздействия стимулов связаны со своими сенсорными репрезентациями случайно или стохастически.

В ТОС эта связь изображается в виде двух перекрывающихся функций плотности вероятности нормального распределения (рис. 29)1. Особо подчеркнем, что на этой модельной картинке ось абсцисс -это гипотетическая ось интенсивности ощущений, которые появлялись в опыте при действии значащего (правое распределение) и пустого (левое распределение) стимулов.

Их перекрытие означает, что сенсорные репрезентации <С> и <Ш> оказываются похожими друг на друга, и наблюдатель не может каждый раз со 100-процентной уверенностью решить, какой же стимул был ему предъявлен. Далее в модели предполагается, что при принятии решения наблюдатель устанавливает строго определенное правило соответствия между своими ощущениями и двумя типами ответов («да» и «нет») и всегда ему следует: если текущее ощущение имеет интенсивность выше некоторого критического уровня, то он говорит «да», если меньше - «нет»1. Таким образом, в ТОС вводится понятие критерия принятия решения наблюдателя о наличии/отсутствии значащего стимула. Фактически критерий - это некоторый сенсорный образ памяти, или сенсорный эталон, с которым сравнивается каждая сенсорная репрезентация (см. точку С на оси абсцисс рис. 29). Его положение на сенсорной оси (оси абсцисс) может зависеть от целого ряда причин: субъективные веса различных ошибок (например, наблюдатель может стараться минимизировать число пропусков и не очень заботиться об уменьшении числа ложных тревог), знания объективной вероятности предъявления значащих и пустых проб в опыте, использование экспериментатором системы «выплат» и «штрафов», соответственно, за верные и ложные ответы, в денежной или игровой форме (так называемая платежная матрица - ПМ) и т.д.

Например, посмотрим, как изменит положение своего критерия принятия решения типичный испытуемый в случае использования в опыте по обнаружению порогового сигнала пяти разных платежных матриц, соответствующих пяти различным способам оплаты за правильные ответы и штрафам за неправильные

(числа обозначают рубли - табл. 2). Пусть ему в каждой из пяти серий будет предъявлено по 100 значащих и пустых проб.

Очевидно, что в первой серии испытуемому выгодно в случае сомнения давать ответ «да»: в случае правильного ответа он получает 20 руб., в случае неправильного - его штрафуют всего лишь на 3 руб. При такой платежной матрице говорят, что у испытуемого формируется либеральный критерий, при использовании которого в задаче обнаружения порогового сигнала среди ответов испытуемого будет много попаданий, но и много ложных тревог.

Иные условия в V серии: за каждую ложную тревогу налагается штраф в 20 руб., а за правильное обнаружение сигнала платят всего 3 руб. Оптимальная стратегия в данном случае заключается в

том, чтобы очень аккуратно использовать ответы «да», лишь в тех пробах, когда ощущение о наличии сигнала было достаточно сильным. При сомнении выгоднее давать ответы «нет»: выиграешь немного, но зато и при знании реальной пропорции значимых и пустых проб - мало проиграешь. При такой платежной матрице говорят об использовании строгого критерия (рис. 31).

В экспериментах строгость критерия изменяется не только платежной матрицей, но и путем изменения априорной вероятности предъявления значащего сигнала в каждой серии. Этот прием также формирует у испытуемого закономерную систему ожиданий: он знает, что при вероятности 90 % из 100 проб 90 будут содержать «значащий» стимул и только 10 - «пустой»; при вероятности 10 % - все наоборот: 90 «пустых» и только 10 «значащих».

Естественно ожидать, что в первом случае у испытуемого формируется либеральный, а во втором - строгий критерий принятия решения. Таким образом, изменяя величину априорной вероятности появления значащего сигнала в ряде проб от 0 до 100 % можно направленно изменять строгость критерия принятия решения.

Понятно, что такая ситуация, описываемая ТОС, возникает лишь в случае незначительных (пороговых) физических различий между <С> и <Ш>, а следовательно при большом сходстве ощущений, возникающих в ответ на эти стимулы. Очевидно, что данная ситуация соответствует поведению человека в условиях высокой сенсорной неопределенности, когда при явном дефиците информации необходимо тем не менее принимать решение.

Положение критерия принятия решения однозначно определяет пару чисел Р(.A) и Р(H), которые мы получаем в результате проведения опыта по обнаружению пороговых различий между <С> и <Ш>. Каждой паре чисел можно поставить в соответствие точку внутри квадрата (рис. 32), на вертикальной стороне которого откладывается Р(H), а на горизонтальной - Р(.A), и, таким образом, наглядно представить результат работы наблюдателя с использованием различных критериев принятия решения (например, предлагая ему пять разных платежных матриц - ПМ). Полученная по этим точкам кривая (на рис. 32 она показана состоящей их отдельных точек, полученных в отдельных сериях опыта) называется рабочей характеристикой наблюдателя или просто - PX.

Вероятности Р(H) и Р(.A) меняются содружественно, т.е. нельзя только путем изменения критерия одновременно увеличить одну из них и уменьшить другую. Это очень важное положение ТОС верно для любых пар f(X/С) и f(X/Ш). Из него следует, что только пара этих вероятностей, а не каждая в отдельности, характеризует сенсорную способность наблюдателя. PX идет из точки (0,0) квадрата в точку (1,1) и при этом располагается выше его главной диагонали. Последнее следует из того, что распределение f(X/С) сдвинуто вправо относительно f(X/Ш), т.е. Р(H) всегда превышает Р(.A), когда наблюдатель действительно различает сенсорные образы сигнального и шумового стимулов. Чем выше сенсорная чувствительность наблюдателя, тем более выпукла РХ и тем ближе она к левому верхнему углу квадрата (рис. 33). Понятно, что на диагонали располагаются точки, имеющие одинаковые значения пропорций попаданий и ложных тревог, т.е. соответствующие нулевому уровню чувствительности.

В ТОС вводится особая мера сенсорной чувствительности - индекс dґ, как расстояние на горизонтальной оси (рис. 34) между центрами двух распределений f(X/С) и f(X/Ш). dґ рассчитывается следующим образом1:

dґ = z(H) − z(.A), (15)

где z(H) и z(.A) - величины вероятностей попаданий и ложных тревог, преобразованные в единицы стандартного отклонения по таблице нормального распределения.

Также вводится мера строгости критерия принятия решения, так называемое отношение правдоподобия, или β. Этот индекс рассчитывается по специальным таблицам как отношение ординаты «сигнального» распределения f(X/С) к ординате «шумового» распределения f(X/Ш) в точке С. Кроме того, можно непосредственно вычислить положение точки С на оси абсцисс:

C = −0,5. (16)

Два этих индекса (dґ и β) являются надежными оценками сенсорной чувствительности и критерия лишь при принятии двух основных математических предположений ТОС: нормальности и равновариативности2 распределений сенсорных эффектов f(X/С) и f(X/Ш). В реальной экспериментальной практике, чтобы не проверять справедливость данных допущений наиболее часто используют непараметрические индексы чувствительности и критерия - Aґ и YesRate, соответственно:

Аґ = 0,5 + (P(H) − P(.A))(1 + P(H) − P(.A))/

/4P(H)(1 − P(.A)). (17)

где Р(«да») - частота ответов «да».

В рамках ТОС были разработаны еще два других метода измерения сенсорной чувствительности: метод двухальтернативного вынужденного выбора (2АВВ) и метод оценки уверенности. Они также широко используются в исследовательской практике.