Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.
На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Определение 2
Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
- Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 < α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
- Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х. Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с, являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 < α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f (x) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что А В является секущей, а f (x) – черная кривая, α - красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Определение 4
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f (x A) , f (x B) - это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f (x B) - f (x A) x B - x A или k = f (x A) - f (x B) x A - x B , причем уравнение необходимо записать как y = f (x B) - f (x A) x B - x A · x - x A + f (x A) или
y = f (x A) - f (x B) x A - x B · x - x B + f (x B) .
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Определение 5
Касательная к графику функции f (x) в точке x 0 ; f (x 0) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f (x 0) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x 0 .
Пример 1
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами (1 ; 2) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1 ; 2) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.
Секущая А В, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .
Определение 6
Касательной к графику функции y = f (x) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А, то есть B → A .
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f (x) , где А и В с координатами x 0 , f (x 0) и x 0 + ∆ x , f (x 0 + ∆ x) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f (x) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Отсюда следует, что f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f ’ (x) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 (x 0) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f " (x 0) .
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке x 0 , f 0 (x 0) принимает вид y = f " (x 0) · x - x 0 + f (x 0) .
Имеется в виду, что конечным значением производной f " (x 0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f " (x 0) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у - k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x < 0 .
Пример 2
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точке с координатами (1 ; 3) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1 ; 3) является точкой касания, тогда x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .
Необходимо найти производную в точке со значением - 1 . Получаем, что
y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
Значение f ’ (x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3
Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y = f " (x 0) · x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Пример 3
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x - 1 5 + 1 в точке с координатами (1 ; 1) . Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y " = 3 · x - 1 5 + 1 " = 3 · 1 5 · (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 · 1 (x - 1) 4 5
Если x 0 = 1 , тогда f ’ (x) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке (1 ; 1) .
Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .
Для наглядности изобразим графически.
Пример 4
Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно о х;
- Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ - ∞ ; 2 и [ - 2 ; + ∞) . Получаем, что
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Когда х = - 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Вычисляем значение функции в точке х = - 2 , где получаем, что
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 , то есть касательная в точке (- 2 ; - 2) не будет существовать.
- Касательная параллельна о х, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f " (x 0) . То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ (x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х.
Когда x ∈ - ∞ ; - 2 , тогда - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , а при x ∈ (- 2 ; + ∞) получаем 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 · 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; + ∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Отсюда - 5 ; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y " (x) = 8 5 . Тогда, если x ∈ - ∞ ; - 2 , получаем, что - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 , а если x ∈ (- 2 ; + ∞) , тогда 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 · 43 = - 28 < 0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; + ∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Точки со значениями - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Пример 5
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = - 2 x + 1 2 .
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется - 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = - 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = - 2 , тогда k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y " (x 0) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
Получаем, что
y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 = - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z - множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 · 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 · - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3
Отсюда получаем, что 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ - 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = - 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.
Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r - R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у, тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Пример 6
Написать уравнение касательной к эллипсу x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; - 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , а нижний y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; - 5 3 2 + 5 принимает вид
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r - b , тогда задается при помощи неравенства x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r или y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r
В первом случае имеем, что касательные параллельны о у, а во втором параллельны о х.
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Пример 7
Составить уравнение касательной к гиперболе x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; - 3 3 - 3 .
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x - 3 2 - 4 и л и y + 3 = - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; - 3 3 - 3 .
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
Получаем, что
y " = - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 · x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y = - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 · x + 4 3 - 3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y (x 0) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y " (x 0) · x - x 0 + y (x 0) . Такая касательная в вершине параллельна о х.
Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x 0 , y (x 0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.
Пример 8
Написать уравнение касательной к графику x - 2 y 2 - 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
Получаем:
k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Имеем, что точки касания - 23 4 ; - 5 + 3 4 .
Ответ: уравнение касательной принимает вид
y = - 1 3 · x - 23 4 + - 5 + 3 4
Графически изобразим это таким образом:
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Решение задач на совместную работу. Задание 11
Задачи на работу делятся на два типа:
- задачи, в которых выполняется - эти задачи решаются аналогично задачам на движение.
- задачи на совместную работу.
Если в задаче встречаются слова "выполнили работу вместе" или слова "совместная работа", значит это задача на совместную работу.
В этой статье я подробно остановлюсь на алгоритме решения задач на совместную работу.
1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:
- объем работы,
- время,
- производительность,
которые связаны между собой формулой:
объем работы=производительность время.
2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем равным 1.
3. Вводим два неизвестных:
х - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) первым
y - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) вторым.
(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)
Производительность кого-то (или чего-то) первого
И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность
совместная производительность равна
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для :
1 . Задание 11 (№ 99617)
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша - за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Про Машу нам все известно: время её работы равно 20, следовательно, её производительность равна .
Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда её производительность равна .
Тогда совместная производительность равна
Объем работы примем равным 1.
Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:
Решим его:
2 . Классическая задача на совместную работу:
Задание 11 (№ 99619)
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
1. Введем неизвестные:
х - время заполнения резервуара первой трубой
y - время заполнения резервуара второй трубой
Производительность первой трубы
Производительность второй трубы
Совместная производительность
2. Примем объем резервуара равным 1.
3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.
По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:
Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:
Получили систему уравнений:
Не подходит по смыслу задачи.
3 . Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я показываю решение такой задачи:
Задание 11 (№ 99616)
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь - за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
4.
И, наконец, видеорешение такой задачи:
Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй 16, а третий 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий - 11?
Прототип Задания B14 (№99617 )
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Решение
Пусть x (минут) - время, за которое пропалывает грядку одна Даша.
Примем всю прополотую грядку за 1. Тогда 1/20 - скорость, с которой Маша пропалывает грядку (т.е. за 1 минуту Маша пропалывает 1/20 часть грядки). 1/x - скорость, с которой Даша пропалывает грядку.
Так как Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, то составим и решим уравнение:
12*(1/x +1/20)= 1,
1/x +1/20 = 1/12,
1/x = 1/12 - 1/20,
1/x = 1/30 -> x = 30, т.е. Даша пропалывает одна грядку за 30 минут.
Прототип Задания B14 (№99616 )
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Решение
Примем покрашенный забор за 1.
Пусть x - скорость, с которой красит забор Игорь, y - скорость, с которой красит забор Паша, z- скорость с которой красит забор Володя.
Так как Игорь и Паша красят забор за 9 часов, то
Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, значит
И так как Володя и Игорь красят забор за 18 часов, то получаем еще одно уравнение:
Совместная скорость Игоря, Паши и Володи равна (x+y+z). Значит, время, за которое они покрасят забор, работая втроем равно 1/(x+y+z). Таким образом нам нужно найти величину 1/(x+y+z).
Перепишем все три уравнения в следующем виде:
Сложим все уравнения:
x+y+y+z+x+z = 1/9+1/12+1/18,
т.е.работая втроем мальчики покрасят забор за 8 часов.
Прототип Задания B14 (№99615 )
Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Решение
Примем бак за 1. Тогда, так как первый насос наполняет бак за 20 минут, то скорость, с которой он наполняет бак равна 1/20 (т.е. за минуту первый насос наполняет 1/20 бака). Скорость второго насоса равна 1/30, а третьего - 1/60 (так как третий насос наполняет бак за 1 час, т.е. за 60 минут).
Совместная скорость наполнения бака тремя насосами равна: 1/20+1/30+1/60 = 1/10.
Тогда 1:(1/10) = 1/0,1 = 10 (минут) - время, за которое наполнят бак три насоса, работая одновременно.
Прототип Задания B14 (№99614 )
Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Решение
Примем заказ за 1. Так как один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов, то скорость первого мастера равна 1/12, а скорсть второго - 1/6. Совместная скорость двух мастеров (т.е. скорость выполнения заказа, когда оба мастера работают вместе) равна 1/12+1/6 = 1/4 = 0,25.
Тогда 1:(1/4) = 1/0,25 = 4 (часа) - время, которое потребуется обоим мастерам, чтобы выполнить заказ, работая вместе.
Прототип Задания B14 (№99613 )
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Решение
Пусть x (часов) - время, которое работали рабочие вместе . Примем весь заказ за 1. Так как каждый из двух рабочих может выполнить заказ за 15 часов, то скорость выполнения заказа каждым из двух рабочих равна 1/15. А совместная скорость (когда оба рабочих рабтают вместе) равна 1/15+1/15 = 2/15.
Так как один из рабочих работала сам 3 часа до того, как они стали работать вместе, то составим и решим уравнение:
3*1/15+x*2/15 = 1,
3/15+x*2/15 = 1,
x = (4/5):(2/15),
x = (4/5)*(15/2),
Получили, что 6 часов рабочие работали вместе и еще по условию задачи 3 часа работал один рабочий. Поэтому для выполнения всего заказа потребовалось 6+3 = 9 часов.
Прототип Задания B14 (№99612 )
По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение
36 секунд = 36/3600 = 0,01 часа,
700 метров = 0,7 км.
Пусть x - длина скорого поезда.
Общая скорость поездов равна 65 + 35 = 100 км/ч.
Оба поезда вместе прошли расстояние, равное сумме их длин, т.е. (x+0,7) км.
И так как время, за которое скорый поезд прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам, т.е. 0,01 часа, то составим и решим уравнение.
Мы рассмотрели решение нескольких задач на работу. Это задачи, которые присутствуют в составе ЕГЭ по математике. Ознакомьтесь с теоретическим материалом, который в ней изложен, это важно. Здесь продолжим, и рассмотрим ещё задачи.
Повторим формулу и правила решения задач на работу:
*Работа равна произведению её производительности и времени за которое она совершается.
Из этой формулы легко найти время и производительность:
Ещё раз повторим правила, которые работают в таких задачах:
1. Если объем работы не важен и в задаче нет никаких данных, позволяющих его найти - работа принимается за единицу. Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар (один). А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды, покрашенных метрах - работа как раз и равна этому количеству.
2. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) - их производительности складываются.
3. В качестве переменной «х» удобно взять производительность.
4. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) - их производительности складываются.
Рассмотрим задачи:
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за один день выполняет такую же часть работы, какую второй - за три дня?
В этой задаче ничего не сказано о том, какая это работа и чему равен её объем. Значит, работу можем принять за единицу.
Пусть х - производительность первого рабочего.
Производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за у.
По условию, первый рабочий за день делает такую же часть работы, какую второй - за три дня. Значит производительность первого в три раза больше, чем у второго х = 3у. Отсюда у = (1/3)х.
Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 9 дней. При совместной работе производительности складываются. Значит,
Итак, первый рабочий за день выполняет 1/12 всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 12 дней.
Ответ: 12
Решите самостоятельно:
Игорь и Паша красят забор за 21 час. Паша и Володя красят этот же забор за 28 часов, а Володя и Игорь - за 36 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Здесь работают трое, и переменных будет тоже три.
Пусть х - производительность Игоря, у - производительность Паши, а z - производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за 1 - ведь мы ничего не можем сказать о его размере.
Игорь и Паша покрасили забор за 21 час. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
Можно искать х, у и z по отдельности, но лучше использовать такой приём – сложить все три уравнения. Получим:
Значит, работая втроем, Игорь, Паша и Володя красят за час одну восемнадцатую часть забора. Весь забор они покрасят за 18 часов.
Ответ: 18
Решите самостоятельно:
Даша и Маша пропалывают грядку за 36 минут, а одна Маша - за 108 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Обозначаем, производительность Маши х, производительность Даши у. Можем составить уравнение:
То есть, они совместно делают работу за 36 минут.
Сказано, что Маша одна тратит 108 минут, значит х ∙108 = 1.
Можем решить систему:
Решив её, получим:
Даша за одну минуту пропалывает 1/54 грядки. Значит, всю грядку прополет за 54 минуты.
Ответ: 54
Решите самостоятельно:
За 12 часов 6 рабочих сделали 960 деталей, сколько рабочих сделают 4200 деталей за 35 часов.
Рассуждаем логически:
Один рабочий за 12 часов делает 960/6=160 деталей. Тогда за час он делает 160/12 деталей — это есть его производительность. Как известно работа равна произведению производительности и времени. *Здесь у нас имеется ещё и число рабочих, которое нужно найти. Число рабочих обозначим за х. Можем записать:
Ответ: 9
Две трубы наполняют бассейн за 7 часа 55 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 38 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Не забываем перевести минуты в часы. Кроме того, в этой задаче составим таблицу. Производительность первой трубы равна за 1/38 бассейна в час. Производительность второй трубы обозначим y.
Переведём минуты в часы.
Понятно, что 55 минут составляют 55/60 часа.
Можно составить пропорцию:
60 минута ––– 1 час
55 минут ––– t часов
Заполним таблицу для первой трубы и двух труб работающих одновременно. Помним, что при совместной работе производительности складывают:
Можем записать уравнение:
Получили производительность второй трубы 1/10 (бассейна в час). Значит, весь бассейн она заполнит за 10 часов.
Ответ: 10
Решите самостоятельно:
Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 40 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Примем производительность первой трубы за х (резервуара в минуту), второй трубы у.
Составим таблицу, для первой и второй трубы заполним графу «время».
Первая труба будет заполнять резервуар за 1/х минут, вторая за 1/у минут.
Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая, то есть времени затрачивается больше
Можем записать два уравнения и решить систему:
Выразим из второго уравнения х:
Подставим в первое уравнение и решим:
Решаем квадратное уравнение:
Подставим найденные значения у в уравнение:
Система имеет два решения:
Понятно, что производительность не может быть отрицательной. Решением является первая пара. Таким образом, первая труба заполнит 1/120 резервуара в минуту, а вторая 1/60 резервуара в минуту.
Следовательно весь резервуар второй трубой будет заполнен за 60 минут.
Конечно, мало уметь просто составить таблицу и заполнить её соответствующими данными. Кроме этого, необходимо уметь делать выводы из этой информации. Как вы видите, одни задачи сводятся к решению простого линейного уравнения, другие к решению системы уравнений.
Поэтому важно:
— уметь сопоставлять информацию данную в условии;
— понимать сам процесс совешения работы и формулу связывающую её с временем и производительностью;
— знать правила решения, оговоренные в начале статьи.
На этом закончим. В данной рубрике продолжим рассматривать задачи (прогрессии, проценты, смеси и сплавы), не пропустите! Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
