У=-2х-2. У=-2х+2. У=-2х. У=2х-2. У=2х+2. У=2х. Установите соответствие между графиком линейной функции и ее формулой. График линейной функции.
Картинка 28 из презентации «Линейная функция» к урокам алгебры на тему «Виды функций»Размеры: 800 х 779 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока алгебры, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Линейная функция.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 1763 КБ.
Скачать презентациюВиды функций
«Элементы множества» - Декартово произведение обозначают А X В. Общий вид характеристического свойства: «x I А и x I В». Множество дней недели, Множество месяцев в году. Любое множество является подмножеством самого себя. Отношения между множествами наглядно представляют при помощи кругов Эйлера. Если множество не содержит ни одного элемента, оно называется пустым и обозначается? или 0.
«Показательные неравенства» - Решите неравенство. Решение показательных неравенств. Решение неравенства. Что нужно учесть при решении простейших показательных неравенств? Что нужно учесть при решении показательных неравенств? Решение простейших показательных неравенств. Знак неравенства. Решение простейших показательных неравенств.
«Факториалы чисел» - n! = 1?2?3?4?...?(n - 2)?(n – 1)?n. По правилу умножения 7 6 5 4 3 2 1 = 7! Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал». Задача. Факториал. Решение. Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться на все четыре стороны? «factor» - «множитель», «эн факториал» - «состоящий из n множителей».
«Решение уравнений с модулем» - Самостоятельная работа. Закрепление решения уравнений, содержащих несколько модулей. Использование свойств модуля. Применение полученных знаний и умения в нестандартных ситуациях. Закрепление умения решать простейшие уравнения, содержащие модули. Ознакомление учащихся с нестандартными приемами решения уравнений, содержащих модули.
«Область определения функции» - Функция называется квадратичной, если она имеет вид F(x)=ax? + bx + c. Показательная функция. Линейная функция. Квадратичная функция. Область определения показательной функции есть любое действительное число. Рациональная функция. Область определения квадратичной функции – любое действительное число.
«Числовые выражения» - Не решая уравнение определи, чему равен х. Распределительный закон: Задача. Вычисли удобным способом. Решите задачу составив уравнение. Составь выражение по рисунку и найди его значение. Сочетательные свойства: Повторим законы сложения и умножения. Составь по рисунку уравнение и реши его. Переместительные законы:
Всего в теме 25 презентаций
Инструкция
Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы «х, разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х. Найдите «у. Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у:
у=х-2=4-2=2
у=2.
Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!
Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от -нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у.
Так как в «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у:
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете , что найдены верно.
Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х, а во втором просто «х. Для того, чтобы при сложении или «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4
Видео по теме
Совет 2: Как решать линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение , в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными . Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.
Вам понадобится
- - линейное уравнение с двумя переменными;
- - второе уравнение или дополнительные условия.
Инструкция
Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.
Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.
Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут задачи.
Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.
Источники:
- как решить уравнение с одной переменной
Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.
Вам понадобится
- - система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Инструкция
Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.
Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.
Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, матрице свободных членов, то есть А*Х=В.
Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.
Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.
Источники:
- решений уравнений с тремя неизвестными
Решение системы уравнений сложно и увлекательно. Чем сложнее система, тем интереснее ее решать. Чаще всего в математике средней школы встречаются системы уравнений с двумя неизвестными, но в высшей математике переменных может быть и больше. Решать системы можно несколькими методами.
Инструкция
Самый распространенный метод решения системы уравнений - это подстановка. Для этого необходимо выразить одну переменную через другую и подставить ее во второе уравнение системы, таким образом приведя уравнение к одной переменной. Например, дана уравнений:2х-3у-1=0;х+у-3=0.
Из второго выражения удобно выразить одну из переменных, перенеся все остальное в правую часть выражения, не забыв при этом сменить знак коэффициента:х=3-у.
Раскрываем скобки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Полученное значение у подставляем в выражение:х=3-у;х=3-1;х=2.
В первом выражении все члены 2, можно вынести 2 за скобку распределительному свойству умножения:2*(2х-у-3)=0. Теперь обе части выражения можно сократить на это число, а затем выразить у, так как коэффициент по модулю при нем равен единице:-у=3-2х или у=2х-3.
Так же, как и в первом случае, подставляем данное выражение во второе уравнение и получаем:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Подставляем полученное значение в выражение: у=2х-3;у=4-3=1.
Мы видим, что коэффициент при у одинаков по значению, но различен по знаку, следовательно, если мы сложим данные уравнения, то вовсе избавимся от у:4х+3х-2у+2у-6-8=0;7х-14=0;х=2.Подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и получаем у=1.
Видео по теме
Биквадратное уравнение представляет собой уравнение четвертой степени, общий вид которого представляется выражением ax^4 + bx^2 + c = 0. Его решение основано на применении метода подстановки неизвестных. В данном случае х^2 заменяется другой переменной. Таким образом, в итоге получается обычное квадратное уравнение , которое и требуется решить.
Инструкция
Решите квадратное уравнение , получившееся в результате замены. Для этого сначала посчитаем значение в соответствии с формулой: D = b^2 ? 4ac. При этом переменные a, b, c являются коэффициентами нашего уравнения.
Найдите корни биквадратного уравнения. Для этого возьмите корень квадратный из полученных решений . Если решение было одно, то будет два – положительное и отрицательное значение корня квадратного. Если решений было два, у биквадратного уравнения будет четыре корня.
Видео по теме
Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.
Инструкция
Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z - после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.
Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.
Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .
На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .
Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».
С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).
Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.
График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2 , отрицательные - при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .
Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.
Таблица выглядит следующим образом:
Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).
Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.
Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:
Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.
На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.
Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию
.
Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.
Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.
Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.
График функции у = |f(x)|.
Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать
Это значит, что график функции y =|f(x)|
можно получить из графика, функции y = f(x)
следующим образом: все точки графика функции у = f(х)
, у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x)
, имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x)
(т. е. часть графика функции
y = f(x)
, которая лежит ниже оси х,
следует симметрично отразить относительно оси х
).
Пример 2. Построить график функции у = |х|.
Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х < 0 (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).
Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|.
Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x
График функции y = f(x) + g(x)
Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .
Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).
Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .
Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)
Пример 4
. На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx
.
При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.
Тема: «Функция у= х 2 и ее график».
Цели урока:
Образовательная: Ввести определение функции у= х 2 . Научить строить график этой функции.
Ход урока
1. Организационный момент.
Добрый день! Добрый час!
Как я рада видеть вас.
Прозвенел уже звонок
Начинается урок.
Улыбнулись. Подровнялись.
Друг на друга поглядели
И тихонько дружно сели.
2. Мотивация урока.
Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя.
Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:
Что есть больше всего на свете? – Пространство.
Что быстрее всего? – Ум.
Что мудрее всего? – Время.
Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.
3.Актуализация знаний.
Сегодня на уроке мы вспомним и повторим пройденный материал. А вот по какой теме вы узнаете, расшифровав её название, заменив каждую пару чисел буквой.
|
(2;-2) |
(-2;2) |
(1;2) |
(-2;-2) |
(-1;1) |
(1;-1) |
(2;2) |
у
|
У |
А |
Н |
Я |
|
Б |
Ц |
Т |
Ш |
|
Е |
Д |
И |
О |
|
К |
Л |
М |
Ф |
Итак, сегодня мы с вами будем говорить о функции, а точнее о функции у = х 2 . Откройте тетради и запишите тему урока «Функция у = х 2 , её свойства и график».
1. Какую зависимость называют функциональной или функцией?
Построить график функции у=2х-1. Проходит ли график функции через точки А(30; 59), В(-15; -29)?
Что такое абсцисса точки?
Что такое ордината точки?
– «Для того, чтобы усовершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать», – писал Декарт. Декарт – знаменитый французский ученый, так проявил себя в литературном мастерстве, что занесен в ряд основателей французской прозы нового времени. Вообще-то он и начинал свою творческую жизнь с поэзии и много работал в этом жанре. Увековечил он себя в области математики и философии, а все же его последней работой была пьеса в стихах.
4. Изучение нового материала.
Как заметил Г.Галилей, книга природы написана на математическом языке и её буквы - математические знаки и геометрические фигуры - невозможно понять её слова. И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.
Обозначим через у площадь квадрата со стороной х. Тогда у = х 2.
Если изменять сторону х квадрата, то соответственно будет изменяться и его площадь у.
Понятно, что каждому значению переменной х соответствует единственное
значение переменной у. Следовательно, зависимость переменной у от переменной х является функцией. В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции.
|
х |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
у |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых приведены в таблице.
Соединив последовательно точки, получим график функции –парабола.
Точка (0;0) делит параболу на две равные части, каждую из которых называют ветвью параболы, а саму точку – вершиной параболы.
Свойства функции у= х 2
Я сегодня покажу ещё один способ решения уравнения– графический. Задание: Решить графически уравнение х 2 = ─ 2х + 3.
Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f(x), равной левой части уравнения и g(x), равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором f(x)=g(x), т. е. общую точку, принадлежащую графику функции f(x) и графику функции g(x). Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций f(x)=х 2 и g(x)=-2х+3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.
В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х 2 и
g(x) = ─2х + 3.
Для этого составим таблицы их значений.
f(x) = х 2 ─ парабола
|
х |
0 |
+ 1 |
+ 2 |
+3 |
|
у |
0 |
1 |
4 |
9 |
g(x) = ─2х + 3 ─ прямая
|
х |
-3 |
1 |
|
у |
9 |
1 |
В
А
х = -3, х = 1.
5. Физминутка.
Отвели свой взгляд направо,
Отвели свой взгляд налево,
Оглядели потолок,
Посмотрели все вперёд.
Раз – согнуться – разогнуться,
Два ─ согнуться – потянутся,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
Пять и шесть тихо сесть.
Решить № 350, 353(1), 355(1), 357.
7. Самостоятельная работа.
Решить № 355(2).
8. Подведение итогов урока.
Рефлексия.
Что нового для себя узнали?
В чём затруднялись?
Чему научились?
Какую проблему ставили на уроке?
Удалось ли нам её решить?
Напишите, как усвоили материал урока на листах обратной связи.
Получил хорошие знания.
Усвоил весь материал.
Усвоил материал частично.
Выучить п.11. Решить № 351, 354(1), 359.
Тема: «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень».
Цели урока:
Образовательная: Ввести определение квадратного корня, арифметического квадратного корня;
Развивающая: Учить обобщению, систематизации знаний, делать выводы, сравнивать, анализировать.
Воспитательная: воспитывать аккуратность, наблюдательность, самостоятельность.
Ход урока
1. Организационный момент.
Среди наук из всех главнейших
Важнейшая всего одна.
Для жизни очень всем нужна,
Познаешь цену знаниям своим,
2. Мотивация урока.
Опрос учащихся
Что называется функцией?
(Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной)
Что называется областью определения функции?
(Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), .образуют область определения функции)
Что называется областью значений функции?
(Все значения, которые принимает зависимая переменная, называются значениями функции)
С какими функциями мы с вами познакомились?
а) с линейной функцией вида у = кх + b, прямой пропорциональностью вида у = кх
б) с функциями вида у = х, у = к/х
Что представляет собой график линейной функции? (прямая).
Сколько точек необходимо для построения данного графика?
Что является графиком функции у = х (парабола).
Сколько точек нам необходимо построить для изображения параболы? (7, одна из которых является вершиной параболы)\
Какая из точек не принадлежит графику функции у=х
а) (64;8); б) (-81; 9); в) С (25; 5); г) Д (0,01; 0,1)?
Выполнить № 363.
Вводная беседа.
1. Сколько арифметических действий вы знаете?
(Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. 5 действий.)
2. Назовите обратные им действия. (Сложение и вычитание имеют по одному обратному действию, которые называются “вычитание” и “деление”.
Пятое действие – возведение в степень имеет два обратных действия:
а) нахождение основания
) нахождение показателя
Нахождение основания называется извлечением корня.
Второе действие - логарифмирование. Его будем изучать в 11 классе.
Займемся 1-м действием. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого известна, с давних времен встречалась обратная задача:
Какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась b?
Решить устно № 372, 373, 374.
Решим задачу:
Площадь квадратного листа равна 49 м. Чему равна длина стороны квадрата?
Решение: Пусть сторона листа – х м. Площадь S=x м. Так как 7=49 и (–7)=49, т.е. числа 7 и –7 называются квадратными корнями.
Определение : Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а .
Определение : Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а .
Запись читается «квадратный корень из а», опуская при этом слово «арифметический».
А- подкоренное выражение, а знак-радикал (от латинского - корень).
Подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.
Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называется извлечением квадратного корня.
Равенство является верным, если выполняются два условия: 1) в 0 ; 2) в 2 =а . При а не имеет смысла.
Решить устно № 377, 378.
Из истории. Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составили наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин (при помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.
5. Закрепление нового материала.
Вычислите: 1)
Решить № 379, 382, 383, 391.
6. Физкультминутка.
Во всех делах умеренность нужна,
Пусть будет главным правилом она.
Гимнастикой займись, коль мыслил долго,
Гимнастика не изнуряет тела,
Но очищает организм всецело!
Закройте глаза, расслабьте тело,
Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!
Теперь в океане дельфином плывете,
Теперь в саду яблоки спелые рвете.
Налево, направо, вокруг посмотрели,
Открыли глаза, и снова за дело!
7. Самостоятельная работа.
Решить № 389(1-3).
8. Рефлексия.
9. Д/з:
выучить п.12, вопросы с.1-8 с.104, решить № 380-7б., 384-8б, 390(1-4)-10б., 392-12б.
Урок по теме «Уравнение вида х
=а»
Цели урока:
Образовательная: Закрепить понятия квадратного корня, арифметического квадратного корня.
Научить решать уравнения вида х=а.
Развивающая: Учить обобщению, систематизации знаний, делать выводы, сравнивать, анализировать.
Воспитательная: воспитывать аккуратность, наблюдательность, самостоятельность.
Ход урока
1. Организационный момент:
Здравствуйте, друзья! Садитесь.
Мы урок наш начинаем,
Всем удачи пожелаем.
Вы друг друга поддержите
Постарайтесь, не ленитесь.
На 12 лишь трудитесь.
А дежурных прошу встать,
Кто отсутствует сказать.
2. Мотивация урока.
Не всегда уравненья
Разрешают сомненья
Но итогом сомненья
Может быть озаренье.
Математика много дает для умственного развития человека – заставляет думать, соображать, искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует помять, внимание, закаляет характер. Надеюсь, что сегодня вы все будете работать с большим желанием узнать, что-то новое и в тоже время закрепить свои прошлые знания. Ведь как гласит народная мудрость: «Была бы охота – заладится всякая работа».
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
Проверка д/з в виде математического диктанта № 380.
Устный опрос:
3. Как называется знак ?
5. Как читается запись ?
7. Как называется действие нахождения арифметического квадратного корня7
Докажите, что:
а) число 5 есть арифметический квадратный корень из 25
б) число 0.3 есть арифметический квадратный корень из 0,09
в) число –7 не является арифметическим квадратным корнем из 49
г) число 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6.
Работа с таблицей квадратов на форзаце учебника.
Решить № 389(5-8), 381.
4. Изучение нового материала.
При любом значении х верно равенство
Решить №387, 389(9-12), 393, 401(1-3).
К понятию квадратного корня мы пришли, решая уравнение вида х=а, где а принимает неотрицательные значения?
Нахождение корней уравнения х=4 проиллюстрируем, решив графически уравнение.
В одной системе координат строим графики функций у=4 и у= х. Точки пересечения этих графиков имеют абсциссы 2 и -2, которые и являются корнями данного уравнения.
Уравнение х=а не имеет корней при а
Уравнение х=а имеет единственный корень х=0 при а=0.
5. Упражнение «Чудо-нос».
После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.
Выполним задание,
Задержим дыхание.
Раз, два, три, четыре –
Снова дышим:
Глубже, шире…
глубоко вдохнули.
спину потянули,
руки вверх подняли
радугу нарисовали
повернулись на восток,
продолжаем наш урок.
6. Закрепление нового материала.
Найдите корни уравнения:
Решить № 395, 403(1, 2).
7. Самостоятельная работа.
Решить № 395(5, 6)
8. Рефлексия. Итоги урока. Д/з.
Составьте, пожалуйста «Сенкан»-один из жанров поэзии
1 строчка –уравнение;
2 строчка – 2 прилагательных;
3 строчка – 3 глагола;
4 строчка –предложение, выражающее личное отношение.
Д/з. Решить № 388, 394, 396, 404(1).
Урок по теме «Числовые множества»
Цели урока:
Образовательная: Ознакомить с числовыми множествами, закрепить понятия квадратного корня, арифметического квадратного корня.
Развивающая: Учить обобщению, систематизации знаний, делать выводы, сравнивать, анализировать.
Воспитательная: воспитывать аккуратность, наблюдательность, самостоятельность.
Ход урока
1. Организационный момент:
Мы будем учиться, работать с охотой
И ничего не попросим взамен.
Как хорошо, что есть на свете
Две дружных команды:
Учащихся и учителей!
2. Мотивация урока.
Не нужно нам владеть клинком,
Не ищем славы громкой.
Тот побеждает, кто знаком
С искусством мыслить тонким.
Г. Уордсворт.
Сегодня на уроке, ребята, нам предстоит выполнить серьёзную работу. От вас потребуется усидчивость, стремление, внимание, последовательность и правильность выполнения заданий.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
Устный опрос:
1. Квадратным корнем из числа а, называется…
2. Арифметическим квадратным корнем из числа а, называется…
3. Как называется знак ?
4. Как называется выражение, стоящее под знаком корня?
5. Как читается запись ?
6. Какие значения может принимать подкоренное выражение?
7. Как называется действие нахождения арифметического квадратного корня?
8. Что значит решить уравнение?
9. Каковы корни уравнения х=а?
Решить № 383(устно), 397(2, 5), 402(2).
4. Изучение нового материала.
Числовые множества
Числа вида N = {1, 2, 3, ....} называются натуральными. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов
Числа вида: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} называются целыми числами, т.е. целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.
Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5.... называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, -4, -5, ...,противоположные натуральным, называются отрицательными целыми числами.
Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q вида m/n, где m - целое число, а n - натуральное число.
Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Числа, не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными.
Каждое иррациональное число представляется в виде непереодической бесконечной десятичной дробью
Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел R : рациональных и иррациональных.
N Z Q R
Ответить на вопросы 1-15, с.115.
5. Релаксация: “Поза покоя”
Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно положит на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покоя произносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.
Все умеют танцевать,
Прыгать, бегать, рисовать,
Но пока не все умеют
Расслабляться, отдыхать.
Есть у нас игра такая –
Очень лёгкая, простая,
Замедляется движенье,
Исчезает напряжение…
И становится понятно –
Расслабление приятно!
6. Закрепление нового материала.
Решить:
устно № 426,
письменно № 427, 431.
7. Самостоятельная работа.
Решить № 429 (работа в парах).
Решить № 398(1), 401(6), 428, 432..
Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).
Вам для этого помогут слова:
Я узнал…
Я почувствовал…
Я увидел…
Я сначала испугался, а потом…
Я заметил, что …
Я сейчас слушаю и думаю…
Мне интересно следить за…
Тема: «Арифметический квадратный корень из произведения, степени и дроби»
Цели урока:
Образовательные: изучить
Воспитательная:
Развивающие:
Ход урока
1. Организационный момент:
2. Мотивация урока.
Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:
Во всем мне хочется дойти
До самой сути.
В работе, в поисках пути,
В сердечной смуте.
До сущности истекших дней
До их причины,
До оснований, до корней,
До сердцевины
Всё время схватывая нить
Судеб, событий,
Жить, думать, чувствовать, любить
Свершать открытья.
На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
Устный опрос:
1) Как называется выражение
2) Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.
3) При каких значениях выражение имеет смысл?
Устный счет:
Вычислите: 1) 2) 3)
Найдите корни уравнения:
Что больше?
1) или 2) или 7?
Решить устно №429, 436.
Вопросы по домашнему заданию.
4. Изучение нового материала.
Свойства арифметического корня
Рассмотрим арифметический корень
Найдите значение выражения
Вывод: корень из произведения двух чисел равен произведению корней этих чисел
Доказательство:
1) значит - имеют смысл
Вычислите значения корня:
Можно ли применить теорему в данном случае?
5. Физкультминутка
Быстро встали, улыбнулись
Выше-выше потянулись.
Ну-ка, плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали. Сели, встали.
И на месте побежали.
6. Закрепление нового материала.
Решить:
письменно № 454(1-6, 11-16), 456(1-8), 458.
7. Самостоятельная работа.
Решить № 462 (работа в парах).
8. Постановка домашнего задания .
Решить № 455(1-5, 9-12), 457(1-5), 459.
9. Подведение итогов урока. Рефлексия.
Трудным ли для тебя был материал урока?
На каком из этапов урока было труднее всего, легче всего?
Что нового ты узнал на уроке? Чему научился?
Работал ли ты на уроке в полную меру сил?
Как эмоционально ты чувствовал себя на уроке?
Цели урока:
Образовательные: закрепить основные свойства квадратных корней, сформировать умение применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни, вычислять значения квадратных корней.
Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность.
Развивающие: развитие памяти, развитие умений преодолевать трудности.
Ход урока
1. Организационный момент:
Добрый день! Добрый час!
Как я рада видеть вас.
Прозвенел уже звонок
Начинается урок.
Улыбнулись. Подровнялись.
Друг на друга поглядели
И тихонько дружно сели.
2. Мотивация урока.
Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, - улыбнулась она ему, - но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.
Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая” задачи, которые будут рассмотрены на сегодняшнем уроке.
Девиз урока: Приобретать знания – храбрость,
Приумножать их – мудрость,
А умело применять – великое искусство.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
Блиц-опрос.
1. Квадратным корнем из числа а, называется
2. Арифметическим квадратным корнем из числа а, называется____________________________________________________
3. Как называется знак __ __________ ______________________
4. Как называется выражение, стоящее под знаком корня____________________________________________________
5. Как читается запись __________________________________
6. Имеет ли уравнение х 2 =а корни при а>0, а=0, а ТО СКОЛЬКО?
7. Корень из произведений неотрицательных множителей равен
8. Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен____________________________________________________
Устный счет :
Найдите значение выражения:
Как вычислить корень быстро?
Проверим умение применять свойство квадратного свойства
4. Изучение нового материала.
Чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством .
Найти ошибку:
Решить № 452(1, 3, 5, 7, 9).
5. Динамическая пауза.
Раз! Два! Час вставати,
Будемо відпочивати
Три! Чотири! Посідаймо.
Швидко втому проганяймо.
П’ять! Шість! Засміялись,
Кілька раз понахилялись
Зайчик сонячний, до нас
Завітав у світлий клас
Будемо бігати, стрибати
Щоб нам, зайчика впіймати.
Прудко зайчик утікає
І промінчиками грає.
Сім, вісім! Час настав
Повернутися до справ.
6. Закрепление нового материала.
Решить:
письменно № 453(1, 2), 454(7, 8), 456(9), 468(1-8).
7. Самостоятельная работа.
Решить № 452(2, 4, 6, 8) (работа в парах).
8. Постановка домашнего задания .
Решить № 455(6-8), 457(6), 469(1-5), 453(3).
9. Рефлексия.
Выбери один из вариантов.
1. Я пришел на урок с хорошим / плохим настроением
2. Мне на уроке было интересно / не интересно
3. Я считаю, что на уроке работал хорошо / плохо.
4. Тема урока мне была понятна / не понятна.
5. Я ушел с урока с хорошим/ плохим настроением.
6. Я доволен / не доволен своей работой на уроке
Цели урока:
Образовательные: закрепить основные свойства квадратных корней, сформировать умение применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни, научить вычислять значения квадратных корней.
Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность.
Развивающие: развитие памяти, развитие умений преодолевать трудности.
Ход урока
1. Организационный момент:
Среди наук из всех главнейших
Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,
Когда достигнешь ты наук высоты,
Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.
2. Мотивация урока.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
1. Устный опрос:
сформулируйте определение арифметического квадратного корня;
при каких значениях а выражение а имеет смысл?
имеет ли уравнение х 2 =а корни при а>0, а=0, а
какова область определения функции у= х? как расположен график этой функции в координатной плоскости?
сформулируйте свойство арифметического квадратного корня из произведения неотрицательных множителей.
каким свойством арифметического квадратного корня из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен.
* =24 Л 4 =9 А
1,1 Ш (3 ) 2 = 45 С
13 К =70 Т
Р * =6 Й
1 Е = 1 В
|
13 |
9 |
|
24 |
1 |
1 |
6 |
1 |
|
1,1 |
70 |
|
9 |
45 |
45 |
|
|
к |
а |
р |
л |
в |
е |
й |
е |
р |
ш |
т |
р |
а |
с |
с |
4. Изучение нового материала.
Для сравнения числовых выражений, преобразования иррациональных выражений необходимы навыки и внесения множителя под знак корня. Рассмотрим эти приемы на примерах.
Сравнить значение выражений и .
Выполним это с помощью вынесения множителя из-под знака корня Преобразуем иррациональное число . Представим число 75 в виде произведения двух множителей . Используем свойство корней из произведения получаем: . Теперь легко сравнить: .
Вынесем множитель из-под знака корня в выражении
Выражение имеет смысл только при (если а а 3 а 3 =а 2 а . Учитывая свойства квадратного корня получаем: .
Преобразование выражений содержащих квадратные корни
Рассмотрим другие способы преобразований выражений, содержащих квадратные корни.
Первый способ . Выражение, содержащее квадратные корни преобразуется в сумму подобных слагаемых, затем выполняется суммирование. Два или несколько выражений, содержащих квадратные корни, называются подобными , если каждое из них есть произведение рационального числа на один и тот же квадратный корень. Например, подобные выражения.
Упростить выражение:
5. Динамическая пауза.
Раз! Два! Час вставати,
Будемо відпочивати
Три! Чотири! Посідаймо.
Швидко втому проганяймо.
П’ять! Шість! Засміялись,
Кілька раз понахилялись
Зайчик сонячний, до нас
Завітав у світлий клас
Будемо бігати, стрибати
Щоб нам, зайчика впіймати.
Прудко зайчик утікає
І промінчиками грає.
Сім, вісім! Час настав
Повернутися до справ.
6. Закрепление нового материала.
Решить:
письменно № 480, 481, 487(1, 2), 489(1-4).
7. Самостоятельная работа.
Решить № 487(3) (работа в парах).
8. Постановка домашнего задания .
Решить № 482, 488(1), 491(1-4).
Творческое задание: сообщение «Растут ли корни в огороде», «Из истории иррациональности».
9. Рефлексия.
Заверши фразу в соответствии с твоим настроением на данный момент.
На следующих уроках мне бы хотелось…
Изучать…
Искать решения…
Тема: «Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратный корень»
Цели урока:
Образовательные: закрепить основные свойства квадратных корней, сформировать умение применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни, научить вычислять значения квадратных корней.
Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность.
Развивающие: развитие памяти, развитие умений преодолевать трудности.
Ход урока
1. Организационный момент:
2. Мотивация урока.
Здравствуйте. Французский писатель 19 столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшей жизни.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
А. 9,6 Б. 0 В. 0,38 Г. 2,4
А. 42 Б. 18 В. 60 Г. 6
А. 0 Б. 62,93 В. 1 Г.8,2
А. 141 Б. 9. В. 6 Г. 0
А. 0,1 Б. 0,7 В.1 Г.0
Найти в записях допущенные ошибки и попытаться их исправить.
|
|
 |
|
|
Повторим алгоритм ВЫНЕСЕНИЯ МНОЖИТЕЛЯ ИЗ-ПОД ЗНАКА КОРНЯ:
1) Представим подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, чтобы из одного можно было бы извлечь квадратный корень.
2) Применим теорему о корне из произведения.
3) Извлечь корень
Выполнить вынесение множителя из-под знака корня:
4. Изучение нового материала.
ВНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ПОД ЗНАК КОРНЯ:
1) Представим произведение в виде арифметического квадратного корня.
2) Преобразуем произведение квадратных корней в квадратный корень из произведения подкоренных выражений.
3) Выполним умножение под знаком корня.
Внести множитель под знак корня:
Сравните значения выражений :
а) так как
б) так как а
Избавление от иррациональности в знаменатели дроби вида
Пример 1. .
Решение.
.
Необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на :
Пример 2. Избавиться от иррациональности в знаменателе .
Решение.
.
Необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю исходной дроби, т.е. на :
Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе
.
Решение.
5. Релаксация.
Реснички опускаются…
Глазки закрываются…
Мы спокойно отдыхаем… (два раза).
Сном волшебным засыпаем…
Дышатся легко… ровно… глубоко…
Наши руки отдыхают…
Отдыхают, засыпают… (два раза).
Шея не напряжена…
Губы чуть приоткрываются…
Всё чудесно расслабляется… (два раза).
Дышится легко… ровно… глубоко.
6. Закрепление нового материала.
Решить № 483, 492, 498, 506(1-3).
7. Самостоятельная работа.
1) закончите внесение множителя
2) сравните значения выражений
3) расположите в порядке возрастания числа
Сопутствующие вопросы:
Кто самостоятельно решил пример?
У кого возникали сомнения в ходе решения?
Кому требуется помощь в решении примеров?
Кто не понял решение примера?
С какой целью выполнили это задание?
8. Итог урока . Рефлексия.
Над какой темой работали?
Какие цели ставили в начале урока?
Кто достиг поставленной цели?
Дать качественную оценку работы учеников на уроке.
Повторить п.15.Решить № 484, 493(1-3), 507, 505.
Тема: «Функция у= и ее график».
Цели урока:
Ход урока
1. Организационный момент.
Приветствие учеников.
Проверь-ка, дружок,
Ты готов начать урок?
Все ль на месте,
Все в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
2. Мотивация урока.
Французский писатель 19 столетия Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Пусть эти слова послужат девизом сегодняшнего урока, урока-путешествия в страну положительных и отрицательных чисел.
Ребята, а что у нас принято на уроке?
А еще сегодня нам на уроке пригодятся:
хорошее настроение;
уважение друг к другу;
знание материала;
желание открыть истину;
добросовестная работа;
осмысление произведенной деятельности.
Устный счет. Вычислить:
а)= б) = в) = г) =
д) = е) ж) = з) =
1. Какую зависимость называют функциональной или функцией?
2. Что такое аргумент и что такое функция?
3. Что называют областью определения функции?
Какой формулой задается линейная функция?
Что является графиком линейной функции?
Что собой представляет прямоугольная система координат?
Что такое абсцисса точки?
Что такое ордината точки?
Какую координатную ось называют осью абсцисс?
Какую координатную ось называют осью ординат?
Свойства функции у= х 2
Определение функции у= . Работа с учебником.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I
§ 3 Линейные функции и их графики
Рассмотрим равенство
у = 2х + 1. (1)
Каждому значению буквы х это равенство ставит в соответствие вполне определенное значение буквы у . Если, например, x = 0, то у = 2 0 + 1 = 1; если х = 10, то у = 2 10 + 1 = 21; при х = - 1 / 2 имеем у = 2 (- 1 / 2) + 1= 0 и т. д. Обратимся к еще к одному равенству:
у = х 2 (2)
Каждому значению х это равенство, как и равенство (1), ставит в соответствие вполне определенное значение у . Если, например, х = 2, то у = 4; при х = - 3 получаем у = 9 и т. д. Равенства (1) и (2) связывают между собой две величины х и у так, что каждому значению одной из них (х ) ставится в соответствие вполне определенное значение другой величины (у ).
Если каждому значению величины х соответствует вполне определенное значение величины у , то эта величина у называется функцией от х . Величина х при этом называется аргументом функции у .
Таким образом, формулы (1) и (2) определяют две различные функции аргумента х .
Функция аргумента х , имеющая вид
у = ах + b , (3)
где а и b - некоторые заданные числа, называется линейной . Примером линейной функции может служить любая из функций:
у = х
+ 2 (а
= 1, b
= 2);
у
= - 10 (а
= 0, b
= - 10);
у
= - 3х
(а
= - 3, b
= 0);
у
= 0 (а = b
= 0).
Как известно из курса VIII класса, графиком функции у = ах + b является прямая линия . Поэтому-то данная функция и называется линейной.
Напомним, как строится график линейной функции у = ах + b .
1. График функции у = b . При a = 0 линейная функция у = ах + b имеет вид у = b . Ее графиком служит прямая, параллельная оси х и пересекающая ось у в точке с ординатой b . На рисунке 1 вы видите график функции у = 2 (b > 0), а на рисунке 2- график функции у = - 1 (b < 0).
Если не только а , но и b равно нулю, то функция у= ах+ b имеет вид у = 0. В этом случае ее график совпадает с осью х (рис. 3.)
2. График функции у = ах . При b = 0 линейная функция у = ах + b имеет вид у = ах .
Если а =/= 0, то графиком ее является прямая, проходящая через начало координат и наклоненная к оси х под углом φ , тангенс которого равен а (рис. 4). Для построения прямой у = ах достаточно найти какую-нибудь одну ее точку, отличную от начала координат. Полагая, например, в равенстве у = ах х = 1, получим у = а . Следовательно, точка М с координатами (1; а ) лежит на нашей прямой (рис. 4). Проводя теперь прямую через начало координат и точку М, получаем искомую прямую у = аx .
На рисунке 5 для примера начерчена прямая у = 2х (а > 0), а на рисунке 6 - прямая у = - х (а < 0).
3. График функции у = ах + b .
Пусть b > 0. Тогда прямая у = ах + b у = ах на b единиц вверх. В качестве примера на рисунке 7 показано построение прямой у = x / 2 + 3.
Если b < 0, то прямая у = ах + b получается посредством параллельного сдвига прямой у = ах на - b единиц вниз. В качестве примера на рисунке 8 показано построение прямой у = x / 2 - 3
Прямую у = ах + b можно построить и другим способом.
Любая прямая полностью определяется двумя своими точками. Поэтому для построения графика функции у = ах + b достаточно найти какие-нибудь две его точки, а затем провести через них прямую линию. Поясним это на примере функции у = - 2х + 3.
При х = 0 у = 3, а при х = 1 у = 1. Поэтому две точки: М с координатами (0; 3) и N с координатами (1;1) - лежат на нашей прямой. Отметив эти точки на плоскости координат и соединив их прямой линией (рис. 9), получим график функции у = - 2х + 3.
Вместо точек М и N можно было бы взять, конечно, и другие две точки. Например, в качестве значений х мы могли бы выбрать не 0 и 1, как выше, а - 1 и 2,5. Тогда для у мы получили бы соответственно значения 5 и - 2. Вместо точек М и N мы имели бы точки Р с координатами (- 1; 5) и Q с координатами (2,5; - 2). Эти две точки, так же как и точки М и N, полностью определяют искомую прямую у = - 2х + 3.
Упражнения
15. На одном и том же рисунке построить графики функций:
а) у = - 4; б) у = -2; в) у = 0; г) у = 2; д) у = 4.
Пересекаются ли эти графики с осями координат? Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения.
16. На одном и томже рисунке построить графики функций:
а) у = x / 4 ; б) у = x / 2 ; в) у = х ; г) у = 2х ; д) у = 4х .
17. На одном и том же рисунке построить графики функций:
а) у = - x / 4 ; б) у = - x / 2 ; в) у = - х ; г) у = - 2х ; д) у = - 4х .
Построить графики данных функций (№ 18-21) и определить координаты точек пересечения этих графиков с осями координат.
18. у = 3+ х . 20. у = - 4 - х .
19. у = 2х - 2. 21. у = 0,5(1 - 3х ).
22. Построить график функции
у = 2x - 4;
используя этот график, выяснить: а) при каких значениях х y = 0;
б) при каких значениях х значения у отрицательны и при каких - положительны;
в) при каких значениях х величины х и у имеют одинаковые знаки;
г) при каких значениях х величины х и у имеют разные знаки.
23. Написать уравнения прямых, представленных на рисунках 10 и 11.
24. Какие из известных вам физических законов описываются с помощью линейных функций?
25. Как построить график функции у = - (ах + b ), если задан график функции у = ах + b ?
