Средняя квадратичная ошибка выборки. Необходимый объем выборки. Понятие выборочного наблюдения

Рассмотрим подробно перечисленные выше способы формирования выборочной совокупности и возникающие при этом ошибки репрезентативности.

Собственно-случайная выборка основывается на отборе единиц из генеральной совокупности наугад без каких-либо элементов системности. Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьевки (например, розыгрыши лотерей) или по таблице случайных чисел.

Собственно-случайный отбор «в чистом виде» в практике выборочного наблюдения применяется редко, но он является исходным среди других видов отбора, в нем реализуются основные принципы выборочного наблюдения. Рассмотрим некоторые вопросы теории выборочного метода и формулы ошибок для простой случайной выборки.

Ошибка выборочного наблюдения - это разность между величиной параметра в генеральной совокупности, и его величиной, вычисленной по результатам выборочного наблюдения. Для средней количественного признака ошибка выборки определяется

Показатель называется предельной ошибкой выборки.

Выборочная средняя является случайной величиной, которая может принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок - среднюю ошибку выборки, которая зависит от:

1) объема выборки: чем больше численность, тем меньше величина средней ошибки;
2) степени изменения изучаемого признака: чем меньше вариация признака, а, следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки.

При случайном повторном отборе средняя ошибка рассчитывается

Практически генеральная дисперсия точно не известна, но в теории вероятности доказано, что

Так как величина при достаточно больших n близка к 1, можно считать, что. Тогда средняя ошибка выборки может быть рассчитана:

Но в случаях малой выборки (при n30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле

При случайной бесповторной выборке приведенные формулы корректируются на величину. Тогда средняя ошибка бесповторной выборки:

Т.к. всегда меньше, то множитель () всегда меньше 1. Это значит, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда меньше, чем при повторном.

Механическая выборка применяется, когда генеральная совокупность каким-либо способом упорядочена (например, списки избирателей по алфавиту, телефонные номера, номера домов, квартир). Отбор единиц осуществляется через определенный интервал, который равен обратному значению процента выборки. Так при 2% выборке отбирается каждая 50 единица =1/0,02 , при 5% каждая 1/0,05=20 единица генеральной совокупности.

Начало отсчета выбирается разными способами: случайным образом, из середины интервала, со сменой начала отсчета. Главное при этом - избежать систематической ошибки. Например, при 5% выборке, если первой единицей выбрана 13-я, то следующие 33, 53, 73 и т.д.

По точности механический отбор близок к собственно-случайной выборке. Поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственно-случайного отбора.

При типическом отборе обследуемая совокупность предварительно разбивается на однородные, однотипные группы. Например, при обследовании предприятий это могут быть отрасли, подотрасли, при изучении населения - районы, социальные или возрастные группы. Затем осуществляется независимый выбор из каждой группы механическим или собственно-случайным способом.

Типическая выборка дает более точные результаты по сравнению с другими способами. Типизация генеральной совокупности обеспечивает представительство в выборке каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. Следовательно, при нахождении ошибки типической выборки согласно правилу сложения дисперсий () необходимо учесть лишь среднюю из групповых дисперсий. Тогда средняя ошибка выборки:

при повторном отборе

при бесповторном отборе

где - средняя из внутригрупповых дисперсий в выборке.

Серийный (или гнездовой) отбор применяется в случае, когда генеральная совокупность разбита на серии или группы до начала выборочного обследования. Этими сериями могут быть упаковки готовой продукции, студенческие группы, бригады. Серии для обследования выбираются механическим или собственно-случайным способом, а внутри серии производится сплошное обследование единиц. Поэтому средняя ошибка выборки зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии, которая вычисляется по формуле:

где r - число отобранных серий;

Средняя і-той серии.

Средняя ошибка серийной выборки рассчитывается:

при повторном отборе

при бесповторном отборе

где R - общее число серий.

Комбинированный отбор представляет собой сочетание рассмотренных способов отбора.

Средняя ошибка выборки при любом способе отбора зависит главным образом от абсолютной численности выборки и в меньшей степени - от процента выборки. Предположим, что проводится 225 наблюдений в первом случае из генеральной совокупности в 4500 единиц и во втором - в 225000 единиц. Дисперсии в обоих случаях равны 25. Тогда в первом случае при 5 %-ном отборе ошибка выборки составит:

Во втором случае при 0,1 %-ном отборе она будет равна:

Таким образом, при уменьшении процента выборки в 50 раз, ошибка выборки увеличилась незначительно, так как численность выборки не изменилась.

Предположим, что численность выборки увеличили до 625 наблюдений. В этом случае ошибка выборки равна:

Увеличение выборки в 2,8 раза при одной и той же численности генеральной совокупности снижает размеры ошибки выборки более чем в 1,6 раза.

Расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими параметрами генеральной совокупности называют ошибкой репрезентативности. Различают систематические и случайные ошибки выборки.

Случайные ошибки объясняются недостаточно равномерным представлением в выборочной совокупности различных категорий единиц генеральной совокупности.

Систематические ошибки могут быть связаны с нарушением правил отбора или условий реализации выборки.

Так, при обследовании бюджетов домашних хозяйств выборочную совокупность на протяжении более 40 лет строили на основе территориально-отраслевого принципа отбора, что было обусловлено основной целью бюджетного обследования – дать характеристику уровня жизни рабочих, служащих и колхозников. Выборочная совокупность распределялась по регионам и отраслям экономики РСФСР пропорционально общей численности занятых; для создания отраслевой выборки применяли типическую выборку с механическим отбором единиц внутри групп.

Главным критерием отбора была среднемесячная оплата труда. Принцип отбора обеспечивал пропорциональную представительность в выборочной совокупности работающих с различным уровнем заработной платы.

С появлением новых социальных групп (предпринимателей, фермеров, безработных) репрезентативность выборки нарушалась не только в силу различий со структурой генеральной совокупности, но и в связи с систематической ошибкой, которая возникала из-за несовпадения единицы отбора (работник) и единицы наблюдения (домохозяйство). Домохозяйство, имеющее более одного работающего члена семьи, имело и бо́льшую вероятность быть отобранным, чем домохозяйство, в составе которого был один работающий. Семьи, не имеющие занятых в обследуемых отраслях, выпадали из круга отбираемых единиц (домохозяйства пенсионеров, домохозяйства, существующие за счет индивидуальной трудовой деятельности, и т.п.). Оценка точности полученных результатов (границы доверительных интервалов, ошибки выборки) была затруднена, так как при построении выборки не использовались вероятностные модели.

В 1996–1997 гг. был внедрен принципиально новый подход к формированию выборки домашних хозяйств. В качестве основы для ее проведения использовали данные микропереписи населения 1994 г. Генеральную совокупность при отборе составили все типы домашних хозяйств, за исключением коллективных. А выборочную совокупность стали организовывать с учетом представительности состава и типов домашних хозяйств в пределах каждого субъекта РФ.

Измерение ошибок репрезентативности выборочных показателей основано на предположении о случайном характере их распределения при бесконечно большом числе выборок.

Количественную оценку надежности выборочного показателя используют, чтобы составить представление о генеральной характеристике. Это осуществляют либо на основе выборочного показателя с учетом его случайной ошибки, либо на основе выдвижения некоторой гипотезы (о величине средней дисперсии, характере распределения, связи) в отношении свойств генеральной совокупности.

Для проверки гипотезы оценивают согласованность эмпирических данных с гипотетическими.

Величина случайной ошибки репрезентативности зависит:

1) от объема выборки;
2) степени вариации изучаемого признака в генеральной совокупности;
3) принятого способа формирования выборочной совокупности.

Различают среднюю (стандартную) и предельную ошибки выборки.

Средняя ошибка характеризует меру отклонений выборочных показателей от аналогичных показателей генеральной совокупности.

Предельной ошибкой принято считать максимально возможное расхождение выборочной и генеральной характеристик, т.е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.

По данным выборочной совокупности можно оценить различные показатели (параметры) генеральной совокупности. Наиболее часто используют оценку:

– генеральной средней величины изучаемого признака (для многозначного количественного признака);
– генеральной доли (для альтернативного признака).

Основным принципом применения выборочного метода является обеспечение равной возможности для всех единиц генеральной совокупности быть отобранными в выборочную совокупность. При таком подходе соблюдается требование случайного, объективного отбора и, следовательно, ошибка выборки определяется прежде всего ее объемом (п ). С увеличением последнего величина средней ошибки уменьшается, характеристики выборочной совокупности приближаются к характеристикам генеральной совокупности.

При одинаковой численности выборочных совокупностей и прочих равных условиях ошибка выборки будет меньше в гой из них, которая отобрана из генеральной совокупности с меньшей вариацией изучаемого признака. Уменьшение вариации признака означает снижение величины дисперсии (– для количественного признака или – для альтернативного признака).

Зависимость величины ошибки выборки от способов формирования выборочной совокупности определяется по формулам средней ошибки выборки (табл. 5.2).

Дополним показатели табл. 5.2 следующими пояснениями.

Выборочная дисперсия несколько меньше генеральной, в математической статистике доказано, что

Таблица 5.2

Формулы расчета средней ошибки выборки мри различных способах отбора

Вид выборки
	повторный для	бесповторный для

Собственно случайная (простая)
Серийная (с равновеликими
Типическая (пропорционально объему групп)

Если выборочная совокупность имеет большой объем (т.е. п достаточно велико), то соотношение приближается к единице и выборочная дисперсия практически совпадает с генеральной.

Выборку считают безусловно большой при п > 100 и безусловно малой при п < 30. При оценке результатов малой выборки указанное соотношение выборочной и генеральной дисперсии следует принимать во внимание.

Они могут быть рассчитаны по следующим формулам:

где – средняя i -й серии; – общая средняя по всей выборочной совокупности;

где – доля единиц определенной категории в i -й серии; – доля единиц этой категории во всей выборочной совокупности; r – число отобранных серий.

4. Для определения средней ошибки типической выборки в случае отбора единиц пропорционально численности каждой группы в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий (– для количественного признака, для альтернативного признака). По правилу сложения дисперсий величина средней из внутригрупповых дисперсий меньше, чем величина общей дисперсии. Значение средней возможной ошибки типической выборки меньше, чем ошибка простой собственно-случайной выборки.

Часто используют комбинированный отбор: индивидуальный отбор единиц сочетают с групповым, типический отбор – с отбором сериями. При любом способе отбора с определенной вероятностью можно утверждать, что отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли) не превысит некоторую величину, которую называют предельной ошибкой выборки.

Соотношение между пределом ошибки выборки (∆), гарантируемым с некоторой вероятностью F(t), и средней ошибкой выборки имеет вид: или , где t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности F(t).

Значения функции F(t) и t определяются на основе специально составленных математических таблиц. Приведем некоторые из них, применяемые наиболее часто:


т

Таким образом, предельная ошибка выборки отвечает на вопрос о точности выборки с определенной вероятностью, величина которой зависит от значения коэффициента доверия t. Так, при t = 1 вероятность F(t ) отклонения выборочных характеристик от генеральных на величину однократной средней ошибки равна 0,683. Следовательно, в среднем из каждой 1000 выборок 683 дадут обобщающие показатели (среднюю, долю), которые будут отличаться от генеральных не более чем на величину однократной средней ошибки. При t = 2 вероятность F(t) равна 0,954, это означает, что из каждой 1000 выборок 954 дадут обобщающие показатели, которые будут отличаться от генеральных не более чем на двукратную среднюю ошибку выборки, и т.д.

Наряду с абсолютной величиной предельной ошибки выборки рассчитывают и относительную ошибку, которая определяется как процентное отношение предельной ошибки выборки к соответствующей характеристике выборочной совокупности:

На практике принято задавать величину ∆, как правило, в пределах 10% предполагаемого среднего уровня признака.

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности:

Пределы, в которых с данной степенью вероятности будет заключена неизвестная величина изучаемого показателя в генеральной совокупности, называют доверительным интервалом, а вероятность F(t) – доверительной вероятностью. Чем выше значение ∆, тем больше величина доверительного интервала и, следовательно, ниже точность оценки.

Рассмотрим следующий пример. Для определения среднего размера вклада в банке методом повторной случайной выборки было отобрано 200 валютных счетов вкладчиков. В результате установили, что средний размер вклада – 60 тыс. руб., дисперсия составила 32. При этом 40 счетов оказались до востребования. Необходимо с вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находятся средний размер вклада на валютных счетах в банке и доля счетов до востребования.

Рассчитаем среднюю ошибку выборочной средней по формуле для повторного отбора

Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,954 составит

Следовательно, средний размер вклада на валютных счетах в банке находится в пределах тыс. руб.:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний размер вклада на валютных счетах в банке составляет от 59 200 до 60 800 руб.

Определим долю вкладов до востребования в выборочной совокупности:

Средняя ошибка выборочной доли

Предельная ошибка доли с вероятностью 0,954 составит

Таким образом, доля счетов до востребования в генеральной совокупности находится в пределах w :

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля счетов до востребования в общем числе валютных счетов в банке составляет от 14,4 до 25,6%.

При конкретных исследованиях важно установить оптимальное соотношение между мерой надежности полученных результатов и величиной допустимой ошибки выборки. В связи с этим при организации выборочного наблюдения возникает вопрос, связанный с определением объема выборки, необходимого для получения требуемой точности результатов с заданной вероятностью. Расчет необходимого объема выборки проводится на основе формул предельной ошибки выборки в соответствии с видом и способом отбора (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора

Продолжим пример, в котором представлены результаты выборочного обследования лицевых счетов вкладчиков банка.

Требуется установить, сколько необходимо обследовать счетов, чтобы с вероятностью 0,977 ошибка при определении среднего размера вклада не превысила 1,5 тыс. руб. Выразим из формулы предельной ошибки выборки для повторного отбора показатель численности выборки:

При определении необходимого объема выборки по приведенным формулам возникает трудность в нахождении значений σ2 и да, так как эти величины можно получить только после проведения выборочного обследования. В связи с этим вместо фактических значений данных показателей подставляют приближенные, которые могли быть определены на основе каких-либо пробных выборочных наблюдений или из аналитических предыдущих обследований.

В тех случаях, когда статистик знает среднее значение изучаемых признаков (например, из инструкций, законодательных актов и т.п.) или пределы, в которых этот признак варьируется, можно применить следующий расчет по приближенным формулам:

а произведение w(1 – w) заменить значением 0,25 (w = 0,5).

Чтобы получить более точный результат, принимают максимально возможное значение этих показателей. Если распределение признака в генеральной совокупности подчиняется нормальному закону, то размах вариации примерно равен 6σ (крайние значения отстоят в ту и другую сторону от средней на расстоянии 3σ). Отсюда , но если распределение заведомо асимметрично, то .

При любом виде выборки ее объем начинают рассчитывать по формуле повторного отбора

Если в результате расчета доля отбора (n ) превысит 5%, то проводят расчет по формуле бесповторного отбора.

Для типической выборки необходимо общий объем выборочной совокупности разделить между выделенными типами единиц. Расчет числа наблюдений из каждой группы зависит от названных ранее организационных форм типической выборки.

При типическом отборе единиц непропорционально численности групп общее число отбираемых единиц делят на число групп, полученная величина дает численность отбора из каждой типической группы:

где k – число выделенных типических групп.

При отборе единиц пропорционально численности типических групп число наблюдений по каждой группе определяют по формуле

где – объем выборки из i -й группы; – объем i -й группы.

При отборе с учетом вариации признака процент выборки из каждой группы должен быть пропорционален среднему квадратическому отклонению в этой группе (). Расчет численности () производят по формулам

При серийном отборе необходимую численность отбираемых серий определяют так же, как и при собственно-случайном отборе:

Повторный отбор

Бесповторный отбор

При этом дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или доли признака.

При использовании выборочного наблюдения характеристика его результатов возможна на основе сопоставления полученных пределов ошибок выборочных показателей с величиной допустимой погрешности.

В связи с этим возникает задача определения вероятности того, что ошибка выборки не превысит допустимой погрешности. Решение этой задачи сводится к расчету на основе формулы предельной ошибки выборки величины t.

Продолжая рассмотрение примера выборочного обследования лицевых счетов клиентов банка, найдем вероятность, с которой можно утверждать, что ошибка при определении среднего размера вклада не превысит 785 руб.:

соответствующая доверительная вероятность составит 0,95.

В настоящее время практика выборочного наблюдения включает статистические наблюдения, осуществляемые:

– органами Росстата;
– другими министерствами и ведомствами (например, мониторинг предприятий в системе Банка России).

Известное обобщение опыта по организации выборочных обследований малых предприятий, населения и домашних хозяйств представлено в Методологических положениях по статистике. В них дано более широкое понятие выборочного наблюдения, чем это рассмотрено выше (табл. 5.4).

В статистической практике используют все четыре типа выборок, представленных в табл. 5.4. Однако обычно отдают предпочтение описанным выше вероятностным (случайным) выборкам, являющимся наиболее объективными, так как по ним можно оценить точность получаемых результатов по данным самой выборки.

Таблица 5.4

Типы выборок

В выборках квазислучайного типа предполагается наличие вероятностного отбора на том основании, что специалист, рассматривающий выборку, считает его допустимым. Примером использования квазислучайной выборки в статистической практике является "Выборочное обследование малых предприятий по изучению социальных процессов в малом предпринимательстве", проведенное в 1996 г. в некоторых регионах России. Единицы наблюдения (малые предприятия) отбирались экспертно с учетом представительства отраслей экономики из уже сформированной выборки обследования финансово-хозяйственной деятельности малых предприятий (форма "Сведения об основных показателях финансово-хозяйственной деятельности малого предприятия"). При обобщении выборочных данных предполагалось, что выборочная совокупность сформирована методом простого случайного отбора.

Прямое использование суждения эксперта является наиболее общим методом намеренного включения единиц в выборку. Примером такого способа отбора является монографический метод, предполагающий получение информации только от одной единицы наблюдения, являющейся типичной, по мнению организатора обследования – эксперта.

Выборки, сформированные на основе направленного отбора, реализуются с помощью объективной процедуры, но без использования вероятностного механизма. Широко известен метод основного массива, при котором в выборку включают наиболее крупные (существенные) единицы наблюдения, обеспечивающие основной вклад в показатель, например суммарное значение признака, представляющего основную цель обследования.

В статистической практике часто применяют комбинированный метод статистического наблюдения. Сочетание сплошного и выборочного методов наблюдения имеет два аспекта:

чередование во времени;
одновременное их использование (часть совокупности наблюдают на сплошной основе, а часть – выборочно).

Чередование периодических выборочных со сравнительно редкими сплошными обследованиями или переписями необходимо для уточнения состава исследуемой совокупности. В дальнейшем эту информацию используют как статистическую основу выборочного наблюдения. Примерами могут служить переписи населения и выборочные обследования домашних хозяйств в промежутках времени между их проведениями.

В данном случае требуется решать следующие задачи:

– определение состава признаков сплошного наблюдения, обеспечивающих организацию выборки;
– обоснование периодов чередования, т.е. когда сплошные данные теряют актуальность и нужны затраты на их обновление.

Одновременное использование в рамках одного обследования сплошного и выборочного наблюдений обусловлено неоднородностью встречающихся в статистической практике совокупностей. В особенности это справедливо для обследований экономической деятельности совокупности предприятий, для которой характерны скошенные распределения изучаемых признаков, когда некоторое число единиц имеет характеристики, сильно отличающиеся от основной массы значений. В этом случае такие единицы наблюдают на сплошной основе, а другую часть совокупности – выборочно.

При данной организации наблюдений основными задачами выступают:

– установление их оптимальной пропорции;
– разработка способов оценки точности результатов.

Типичным примером, иллюстрирующим данный аспект применения комбинированного метода, является общий принцип проведения обследований совокупности предприятий, в соответствии с которым обследования совокупности крупных и средних предприятий проводят преимущественно сплошным методом, а малых – выборочным.

Дальнейшее развитие методологии выборочного наблюдения осуществляют как в сочетании с организацией сплошного наблюдения, так и через организацию специальных обследований, проведение которых диктуется необходимостью получения дополнительной информации для решения конкретных задач. Так, организация обследований в области условий и уровня жизни населения предусмотрена в двух аспектах:

– обязательные компоненты;
– дополнительные модули в рамках комплексной системы показателей.

Обязательными компонентами могут стать ежегодные исследования доходов, расходов и потребления (аналог обследования бюджетов домашних хозяйств), включающие также базовые показатели условий жизни населения. Ежегодно по специальному плану обязательные компоненты должны дополняться единовременными обследованиями (модулями) условий жизни населения, направленными на углубленное изучение какой-либо выбранной социальной темы из их общего числа (например, активы домашних хозяйств, здоровье, питание, образование, условия труда, жилищные условия, досуг, социальная мобильность, безопасность и др.) с различной периодичностью, определяемой потребностью в показателях и ресурсными возможностями.

На основании зарегистрированных в соответствии с программой статистического наблюдения значений признаков единиц выборочной совокупности рассчитываются обобщающие выборочные характеристики: выборочная средняя () и выборочная доля единиц, обладающих каким-либо интересующим исследователей признаком, в общей их численности (w ).

Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности называется ошибкой выборки .

Ошибки выборки, как ошибки любого другого вида статистического наблюдения, подразделяются на ошибки регистрации и ошибки репрезентативности. Основной задачей выборочного метода является изучение и измерение случайных ошибок репрезентативности.

Выборочная средняя и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок.

Средняя ошибка выборки (µ - мю) равна:

для средней ; для доли ,

где р - доля определенного признака в генеральной совокупности.

В этих формулах σ х 2 и р (1-р ) являются характеристиками генеральной совокупности, которые при выборочном наблюдении неизвестны. На практике их заменяют аналогичными характеристиками выборочной совокупности на основании закона больших чисел, по которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности. Методы расчета средних ошибок выборки для средней и для доли при повторном и бесповторном отборах приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1.

Формулы расчета средней ошибки выборки для средней и для доли

Величина всегда меньше единицы, поэтому величина средней ошибки выборки при бесповторном отборе оказывается меньше, чем при повторном. В тех случаях, когда доля выборки незначительна и множитель близок к единице, поправкой можно пренебречь.

Утверждать, что генеральная средняя значения показателя или генеральная доля не выйдет за границы средней ошибки выборки можно лишь с определенной степенью вероятности. Поэтому, для характеристики ошибки выборки кроме средней ошибки рассчитывают предельную ошибку выборки (Δ), которая связана с гарантирующим ее уровнем вероятности.

Уровень вероятности (Р ) определяет величина нормированного отклонения (t ), и наоборот. Значения t даются в таблицах нормального распределения вероятностей. Наиболее часто используемые сочетания t и Р приведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Значения нормированного отклонения t при соответствующих значениях уровней вероятности Р

t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5
Р	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999

t - коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит t -кратную среднюю ошибку. Он показывает, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке . Так, если t = 1, то с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превысит одной средней ошибки.

Формулы для расчета предельных ошибок выборки приведены в табл. 6.3.

Таблица 6.3.

Формулы расчета предельной ошибки выборки для средней и для доли

После исчисления предельных ошибок выборки находят доверительные интервалы для генеральных показателей . Вероятность, которая принимается при расчете ошибки выборочной характеристики, называется доверительной. Доверительный уровень вероятности 0,95 означает, что только в 5 случаях из 100 ошибка может выйти за установленные границы; вероятности 0,954 - в 46 случаях из 1000, а при 0,999 - в 1 случае из 1000.

Для генеральной средней наиболее вероятные границы, в которых она будет находится с учетом предельной ошибки репрезентативности, будут иметь вид:

Наиболее вероятные границы, в которых будет находится генеральная доля, будут иметь вид:

Отсюда, генеральная средняя , генеральная доля .

Приведенные в табл. 6.3. формулы используются при определении ошибок выборки, осуществляемой собственно случайным и механическим методами.

При стратифицированном отборе в выборку обязательно попадают представители всех групп и обычно в тех же пропорциях, что и в генеральной совокупности. Поэтому ошибка выборки в данном случае зависит главным образом от средней из внутригрупповых дисперсий. Исходя из правила сложения дисперсий можно сделать вывод, что ошибка выборки для стратифицированного отбора всегда будет меньше, чем для собственно случайного.

При серийном (гнездовом) отборе мерой колеблемости будет межгрупповая дисперсия.

Статистическая совокупность - множество единиц, обладающих массовостью, типичностью, качественной однородностью и наличием вариации.

Статистическая совокупность состоит из материально существующих объектов (Работники, предприятия, страны, регионы), является объектом .

Единица совокупности — каждая конкретная единица статистической совокупности.

Одна и таже статистическая совокупность может быть однородна по одному признаку и неоднородна по другому.

Качественная однородность — сходство всех единиц совокупности по какому-либо признаку и несходство по всем остальным.

В статистической совокупности отличия одной единицы совокупности от другой чаще имеют количественную природу. Количественные изменения значений признака разных единиц совокупности называются вариацией.

Вариация признака — количественное изменение признака (для количественного признака) при переходе от одной единицы совокупности к другой.

Признак - это свойство, характерная черта или иная особенность единиц, объектов и явлений, которая может быть наблюдаема или измерена. Признаки делятся на количественные и качественные. Многообразие и изменчивость величины признака у отдельных единиц совокупности называется вариацией .

Атрибутивные (качественные) признаки не поддаются числовому выражению (состав населения по полу). Количественные признаки имеют числовое выражение (состав населения по возрасту).

Показатель — это обобщающая количественно качестванная характеристика какого-либо свойства единиц или совокупности в цельм в конкретных условиях времени и места.

Система показателей — это совокупность показателей всесторонне отражающих изучаемое явление.

Например, изучается зарплата:

Признак — оплата труда
Статистическая совокупность — все работники
Единица совокупности — каждый работник
Качественная однородность — начисленная зарплата
Вариация признака — ряд цифр

Генеральная совокупность и выборка из нее

Основу составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случайной величины , является выборкой , а гипотетически существующая (домысливаемая) — генеральной совокупностью . Генеральная совокупность может быть конечной (число наблюдений N = const ) или бесконечной (N = ∞ ), а выборка из генеральной совокупности — это всегда результат ограниченного ряда наблюдений. Число наблюдений , образующих выборку, называется объемом выборки . Если объем выборки достаточно велик (n → ∞ ) выборка считается большой , в противном случае она называется выборкой ограниченного объема . Выборка считается малой , если при измерении одномерной случайной величины объем выборки не превышает 30 (n <= 30 ), а при измерении одновременно нескольких (k ) признаков в многомерном пространстве отношение n к k не превышает 10 (n/k < 10) . Выборка образует вариационный ряд , если ее члены являются порядковыми статистиками , т. е. выборочные значения случайной величины Х упорядочены по возрастанию (ранжированы), значения же признака называются вариантами .

Пример . Практически одна и та же случайно отобранная совокупность объектов — коммерческих банков одного административного округа Москвы, может рассматриваться как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков этого округа, и как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков Москвы, а также как выборка из коммерческих банков страны и т.д.

Основные способы организации выборки

Достоверность статистических выводов и содержательная интерпретация результатов зависит от репрезентативности выборки, т.е. полноты и адекватности представления свойств генеральной совокупности, по отношению к которой эту выборку можно считать представительной. Изучение статистических свойств совокупности можно организовать двумя способами: с помощью сплошного и несплошного . Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности , а несплошное (выборочное) наблюдение — только его части.

Существуют пять основных способов организации выборочного наблюдения:

1. простой случайный отбор , при котором объектов случайно извлекаются из генеральной совокупности объектов (например с помощью таблицы или датчика случайных чисел), причем каждая из возможных выборок имеют равную вероятность. Такие выборки называются собственно-случайными ;

2. простой отбор с помощью регулярной процедуры осуществляется с помощью механической составляющей (например, даты, дня недели, номера квартиры, буквы алфавита и др.) и полученные таким способом выборки называются механическими ;

3. стратифицированный отбор заключается в том, что генеральная совокупность объема подразделяется на подсовокупности или слои (страты) объема так что . Страты представляют собой однородные объекты с точки зрения статистических характеристик (например, население делится на страты по возрастным группам или социальной принадлежности; предприятия — по отраслям). В этом случае выборки называются стратифицированными (иначе, расслоенными, типическими, районированными );

4. методы серийного отбора используются для формирования серийных или гнездовых выборок . Они удобны в том случае, если необходимо обследовать сразу "блок" или серию объектов (например, партию товара, продукцию определенной серии или население при территориально-административном делении страны). Отбор серий можно осуществить собственно-случайным или механическим способом. При этом проводится сплошное обследование определенной партии товара, или целой территориальной единицы (жилого дома или квартала);

5. комбинированный (ступенчатый) отбор может сочетать в себе сразу несколько способов отбора (например, стратифицированный и случайный или случайный и механический); такая выборка называется комбинированной .

Виды отбора

По виду различаются индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом отборе — качественно однородные группы (серии) единиц, а комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго видов.

По методу отбора различают повторную и бесповторную выборку.

Бесповторным называется отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в исходную совокупность и в дальнейшем выборе не участвует; при этом численность единиц генеральной совокупности N сокращается в процессе отбора. При повторном отборе попавшая в выборку единица после регистрации возвращается в генеральную совокупность и таким образом сохраняет равную возможность наряду с другими единицами быть использованной в дальнейшей процедуре отбора; при этом численность единиц генеральной совокупности N остается неизменной (метод в социально-экономических исследованиях применяется редко). Однако, при большом N (N → ∞) формулы для бесповторного отбора приближаются к аналогичным для повторного отбора и практически чаще используются последние (N = const ).

Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупности

В основе статистических выводов проведенного исследования лежит распределение случайной величины , наблюдаемые же значения (х 1 , х 2 , … , х n) называются реализациями случайной величины Х (n — объем выборки). Распределение случайной величины в генеральной совокупности носит теоретический, идеальный характер, а ее выборочный аналог является эмпирическим распределением. Некоторые теоретические распределения заданы аналитически, т.е. их параметры определяют значение функции распределения в каждой точке пространства возможных значений случайной величины . Для выборки же функцию распределения определить трудно, а иногда невозможно, поэтому параметры оценивают по эмпирическим данным, а затем их подставляют в аналитическое выражение, описывающее теоретическое распределение. При этом предположение (или гипотеза ) о виде распределения может быть как статистически верным, так и ошибочным. Но в любом случае восстановленное по выборке эмпирическое распределение лишь грубо характеризует истинное. Важнейшими параметрами распределений являются математическое ожидание и дисперсия .

По своей природе распределения бывают непрерывными и дискретными . Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное . Выборочными аналогами параметров идля него являются: среднее значение и эмпирическая дисперсия . Среди дискретных в социально-экономических исследованиях наиболее часто применяется альтернативное (дихотомическое) распределение. Параметр математического ожидания этого распределения выражает относительную величину (или долю ) единиц совокупности, которые обладают изучаемым признаком (она обозначена буквой ); доля совокупности, не обладающая этим признаком, обозначается буквой q (q = 1 — p) . Дисперсия же альтернативного распределения также имеет эмпирический аналог .

В зависимости от вида распределения и от способа отбора единиц совокупности по-разному вычисляются характеристики параметров распределения. Основные из них для теоретического и эмпирического распределений приведены в табл. 9.1.

Долей выборки k n называется отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:

k n = n/N .

Выборочная доля w — это отношение единиц, обладающих изучаемым признаком x к объему выборки n :

w = n n /n .

Пример. В партии товара, содержащей 1000 ед., при 5% выборке доля выборки k n в абсолютной величине составляет 50 ед. (n = N*0,05); если же в этой выборке обнаружено 2 бракованных изделия, то выборочная доля брака w составит 0,04 (w = 2/50 = 0,04 или 4%).

Так как выборочная совокупность отлична от генеральной, то возникают ошибки выборки .

Таблица 9.1 Основные параметры генеральной и выборочной совокупностей

Ошибки выборки

При любом (сплошном и выборочном) могут встретиться ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности. Ошибки регистрации могут иметь случайный и систематический характер. Случайные ошибки складываются из множества различных неконтролируемых причин, носят непреднамеренный характер и обычно по совокупности уравновешивают друг друга (например, изменения показателей прибора при температурных колебаниях в помещении).

Систематические ошибки тенденциозны, так как нарушают правила отбора объектов в выборку (например, отклонения в измерениях при изменении настройки измерительного прибора).

Пример. Для оценки социального положения населения в городе предусмотрено обследовать 25% семей. Если при этом выбор каждой четвертой квартиры основан на ее номере, то существует опасность отобрать все квартиры только одного типа (например, однокомнатные), что обеспечит систематическую ошибку и исказит результаты; выбор же номера квартиры по жребию более предпочтителен, так как ошибка будет случайной.

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению, их невозможно избежать и они возникают в результате того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Значения показателей, получаемых по выборке, отличаются от показателей этих же величин в генеральной совокупности (или получаемых при сплошном наблюдении).

Ошибка выборочного наблюдения есть разность между значением параметра в генеральной совокупности и ее выборочным значением. Для среднего значения количественного признака она равна: , а для доли (альтернативного признака) — .

Ошибки выборки свойственны только выборочным наблюдениям. Чем больше эти ошибки, тем больше эмпирическое распределение отличается от теоретического. Параметры эмпирического распределения и являются случайными величинами, следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами, могут принимать для разных выборок разные значения и поэтому принято вычислять среднюю ошибку .

Средняя ошибка выборки есть величина , выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от математического ожидания. Эта величина при соблюдении принципа случайного отбора зависит прежде всего от объема выборки и от степени варьирования признака: чем больше и чем меньше вариация признака (следовательно, и значение ), тем меньше величина средней ошибки выборки . Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупностей выражается формулой:

т.е. при достаточно больших можно считать, что . Средняя ошибка выборки показывает возможные отклонения параметра выборочной совокупности от параметра генеральной. В табл. 9.2 приведены выражения для вычисления средней ошибки выборки при разных методах организации наблюдения.

Таблица 9.2 Средняя ошибка (m) выборочных средней и доли для разных видов выборки

Где - средняя из внутригрупповых выборочных дисперсий для непрерывного признака;

Средняя из внутригрупповых дисперсий доли;

— число отобранных серий, — общее число серий;

где — средняя -й серии;

— общая средняя по всей выборочной совокупности для непрерывного признака;

где — доля признака в -й серии;

— общая доля признака по всей выборочной совокупности.

Однако о величине средней ошибки можно судить лишь с определенной, вероятностью Р (Р ≤ 1). Ляпунов А.М. доказал, что распределение выборочных средних , a следовательно, и их отклонений от генеральной средней, при достаточно большом числе приближенно подчиняется нормальному закону распределения при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.

Математически это утверждение для средней выражается в виде:

а для доли выражение (1) примет вид:

где - есть предельная ошибка выборки , которая кратна величине средней ошибки выборки , а коэффициент кратности — есть критерий Стьюдента ("коэффициент доверия"), предложенный У.С. Госсетом (псевдоним "Student"); значения для разного объема выборки хранятся в специальной таблице.

Значения функции Ф(t) при некоторых значениях t равны:

Следовательно, выражение (3) может быть прочитано так: с вероятностью Р = 0,683 (68,3%) можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средней не превысит одной величины средней ошибки m (t = 1) , с вероятностью Р = 0,954 (95,4%) — что она не превысит величины двух средних ошибок m (t = 2) , с вероятностью Р = 0,997 (99,7%) — не превысит трех значений m (t = 3) . Таким образом, вероятность того, что эта разность превысит трехкратную величину средней ошибки определяет уровень ошибки и составляет не более 0,3% .

В табл. 9.3 приведены формулы для вычисления предельной ошибки выборки.

Таблица 9.3 Предельная ошибка (D) выборки для средней и доли (р) для разных видов выборочного наблюдения

Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность

Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности. При малых объемах выборки эмпирические оценки параметров ( и ) могут существенно отклоняться от их истинных значений ( и ). Поэтому возникает необходимость установить границы, в пределах которых для выборочных значений параметров ( и ) лежат истинные значения ( и ).

Доверительным интервалом какого-либо параметра θгенеральной совокупности называется случайная область значений этого параметра, которая с вероятностью близкой к 1 (надежностью ) содержит истинное значение этого параметра.

Предельная ошибка выборки Δ позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы , которые равны:

Нижняя граница доверительного интервала получена путем вычитания предельной ошибки из выборочного среднего (доли), а верхняя — путем ее добавления.

Доверительный интервал для средней использует предельную ошибку выборки и для заданного уровня достоверности определяется по формуле:

Это означает, что с заданной вероятностью Р , которая называется доверительным уровнем и однозначно определяется значением t , можно утверждать, что истинное значение средней лежит в пределах от ,а истинное значение доли — в пределах от

При расчете доверительного интервала для трех стандартных доверительных уровней Р = 95%, Р = 99% и Р = 99,9% значение выбирается по . Приложения в зависимости от числа степеней свободы . Если объем выборки достаточно велик, то соответствующие этим вероятностям значения t равны: 1,96, 2,58 и 3,29 . Таким образом, предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:

Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность в социально-экономических исследованиях имеет свои особенности, так как требует полноты представительности всех ее типов и групп. Основой для возможности такого распространения является расчет относительной ошибки :

где Δ % - относительная предельная ошибка выборки; , .

Существуют два основных метода распространения выборочного наблюдения на генеральную совокупность: прямой пересчет и способ коэффициентов .

Сущность прямого пересчета заключается в умножении выборочного среднего значения!!\overline{x} на объем генеральной совокупности .

Пример . Пусть среднее число детей ясельного возраста в городе оценено выборочным методом и составило человека. Если в городе 1000 молодых семей, то число необходимых мест в муниципальных детских яслях получают умножением этой средней на численность генеральной совокупности N = 1000, т.е. составит 1200 мест.

Способ коэффициентов целесообразно использовать в случае, когда выборочное наблюдение проводится с целью уточнения данных сплошного наблюдения.

При этом используют формулу:

где все переменные — это численность совокупности:

Необходимый объем выборки

Таблица 9.4 Необходимый объем (n) выборки для разных видов организации выборочного наблюдения

При планировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки необходимо правильно оценить требуемый объем выборки . Этот объем может быть определен на основе допустимой ошибки при выборочном наблюдении исходя из заданной вероятности , гарантирующей допустимую величину уровня ошибки (с учетом способа организации наблюдения). Формулы для определения необходимой численности выборки n легко получить непосредственно из формул предельной ошибки выборки. Так, из выражения для предельной ошибки:

непосредственно определяется объем выборки n :

Эта формула показывает, что с уменьшением предельной ошибки выборки Δ существенно увеличивается требуемый объем выборки , который пропорционален дисперсии и квадрату критерия Стьюдента .

Для конкретного способа организации наблюдения требуемый объем выборки вычисляется согласно формулам, приведенным в табл. 9.4.

Практические примеры расчета

Пример 1. Вычисление среднего значения и доверительного интервала для непрерывного количественного признака.

Для оценки скорости расчета с кредиторами в банке проведена случайная выборка 10 платежных документов. Их значения оказались равными (в днях): 10; 3; 15; 15; 22; 7; 8; 1; 19; 20.

Необходимо с вероятностью Р = 0,954 определить предельную ошибку Δ выборочной средней и доверительные пределы среднего времени расчетов.

Решение. Среднее значение вычисляется по формуле из табл. 9.1 для выборочной совокупности

Дисперсия вычисляется по формуле из табл. 9.1.

Средняя квадратическая погрешность дня.

Ошибка средней вычисляется по формуле:

т.е. среднее значение равно x ± m = 12,0 ± 2,3 дней .

Достоверность среднего составила

Предельную ошибку вычислим по формуле из табл. 9.3 для повторного отбора, так как численность генеральной совокупности неизвестна, и для Р = 0,954 уровня достоверности.

Таким образом, среднее значение равно `x ± D = `x ± 2m = 12,0 ± 4,6, т.е. его истинное значение лежит в пределах от 7,4 до16,6 дней.

Использование таблицы Стьюдента. Приложения позволяет заключить, что для n = 10 — 1 = 9 степеней свободы полученное значение достоверно с уровнем значимости a £ 0,001, т.е. полученное значение среднего достоверно отличается от 0.

Пример 2. Оценка вероятности (генеральной доли) р.

При механическом выборочном способе обследования социального положения 1000 семей выявлено, что доля малообеспеченных семей составила w = 0,3 (30%) (выборка была 2% , т.е. n/N = 0,02 ). Необходимо с уровнем достоверности р = 0,997 определить показатель р малообеспеченных семей во всем регионе.

Решение. По представленным значениям функции Ф(t) найдем для заданного уровня достоверности Р = 0,997 значение t = 3 (см. формулу 3). Предельную ошибку доли w определим по формуле из табл. 9.3 для бесповторного отбора (механическая выборка всегда является бесповторной):

Предельная относительная ошибка выборки в % составит:

Вероятность (генеральная доля) малообеспеченных семей в регионе составит р=w±Δ w , а доверительные пределы р вычисляются исходя из двойного неравенства:

w — Δ w ≤ p ≤ w — Δ w , т.е. истинное значение р лежит в пределах:

0,3 — 0,014 < p <0,3 + 0,014, а именно от 28,6% до 31,4%.

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля малообеспеченных семей среди всех семей региона составляет от 28,6% до 31,4%.

Пример 3. Вычисление среднего значения и доверительного интервала для дискретного признака, заданного интервальным рядом.

В табл. 9.5. задано распределение заявок на изготовление заказов по срокам их выполнения предприятием.

Таблица 9.5 Распределение наблюдений по срокам появления

Решение. Средний срок выполнения заявок вычисляется по формуле:

Средний срок составит:

= (3*20 + 9*80 + 24*60 + 48*20 + 72*20)/200 = 23,1 мес.

Тот же ответ получим, если используем данные о р i из предпоследней колонки табл. 9.5, используя формулу:

Заметим, что середина интервала для последней градации находится путем искусственного ее дополнения шириной интервала предыдущей градации равной 60 — 36 = 24 мес.

Дисперсия вычисляется по формуле

где х i - середина интервального ряда.

Следовательно!!\sigma = \frac {20^2 + 14^2 + 1 + 25^2 + 49^2}{4}, а средняя квадратическая погрешность .

Ошибка средней вычисляется по формуле мес., т.е. среднее значение равно!!\overline{x} ± m = 23,1 ± 13,4.

Предельную ошибку вычислим по формуле из табл. 9.3 для повторного отбора, так как численность генеральной совокупности неизвестна, для 0,954 уровня достоверности:

Таким образом, среднее значение равно:

т.е. его истинное значение лежит в пределах от 0 до 50 мес.

Пример 4. Для определения скорости расчетов с кредиторами N = 500 предприятий корпорации в коммерческом банке необходимо провести выборочное исследование методом случайного бесповторного отбора. Определить необходимый объем выборки n, чтобы с вероятностью Р = 0,954 ошибка среднего значения выборки не превышала 3-х дней, если пробные оценки показали, что среднее квадратическое отклонение s составило 10 дней.

Решение . Для определения числа необходимых исследований n воспользуемся формулой для бесповторного отбора из табл. 9.4:

В ней значение t определяется из для уровня достоверности Р = 0,954. Оно равно 2. Среднее квадратическое значение s = 10, объем генеральной совокупности N = 500, а предельная ошибка среднего значения Δ x = 3. Подставляя эти значения в формулу, получим:

т.е. выборку достаточно составить из 41 предприятия, чтобы оценить требуемый параметр — скорость расчетов с кредиторами.

При выборочном наблюдении должна быть обеспечена слу-чайность отбора единиц. Каждая единица должна иметь равную с другими возможность быть отобранной. Именно на этом основывается собственно-случайная выборка.

К собственно-случайной выборке относится отбор единиц из всей генеральной совокупности (без предварительного рас-членения ее на какие-либо группы) посредством жеребьевки (преимущественно) или какого-либо иного подобного спосо-ба, например, с помощью таблицы случайных чисел. Случай-ный отбор -- это отбор не беспорядочный. Принцип случай-ности предполагает, что на включение или исключение объ-екта из выборки не может повлиять какой-либо фактор, кро-ме случая. Примером собственно-случайного отбора могут служить тиражи выигрышей: из общего количества выпущен-ных билетов наугад отбирается определенная часть номеров, на которые приходятся выигрыши. Причем всем номерам обеспечивается равная возможность попадания в выборку. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

Доля выборки есть отношение числа единиц выборочной со-вокупности к числу единиц генеральной совокупности:

Так, при 5%-ной выборке из партии деталей в 1000 ед. объ-ём выборки п составляет 50 ед., а при 10%-ной выборке -- 100 ед. и т.д. При правильной научной организации выборки ошибки репрезентативности можно свести к минимальным значениям, в результате -- выборочное наблюдение становится достаточно точным.

Собственно-случайный отбор «в чистом виде» применяет-ся в практике выборочного наблюдения редко, но он является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного наблюдения.

Рассмотрим некоторые вопросы теории выборочного метода и формулы ошибок для простой случайной выборки.

Применяя выборочный метод в статистике, обычно используют два основных вида обобщающих показателей: среднюю величину ко-личественного признака и относительную величину альтернативного признака (долю или удельный вес единиц в статистической совокупности, которые отличаются от всех других единиц этой сово-купности только наличием изучаемого признака).

Выборочная доля (w), или частость, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком т, к общему числу единиц выборочной совокупности п:

Например, если из 100 деталей выборки (n =100), 95 деталей оказались стандартными (т =95), то выборочная доля

w =95/100=0,95 .

Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Ошибка выборки ? или, иначе говоря, ошибка репрезента-тивности представляет собой разность соответствующих выбо-рочных и генеральных характеристик:

Ошибка выборки свойственна только выборочным наблюде-ниям. Чем больше значение этой ошибки, тем в большей степе-ни выборочные показатели отличаются от соответствующих генеральных показателей.

Выборочная средняя и выборочная доля по своей сути яв-ляются случайными величинами, которые могут принимать раз-личные значения в зависимости от того, какие единицы сово-купности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возмож-ных ошибок -- среднюю ошибку выборки.

От чего зависит средняя ошибка выборки? При соблюдении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определя-ется прежде всего объемом выборки: чем больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, всё более точно характеризуем всю генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки также зависит от степени варьи-рования изучаемого признака. Степень варьирования, как из-вестно, характеризуется дисперсией? 2 или w(1-w) -- для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака, а следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя ошибка вы-борки, и наоборот. При нулевой дисперсии (признак не варь-ирует) средняя ошибка выборки равна нулю, т. е. любая еди-ница генеральной совокупности будет совершенно точно ха-рактеризовать всю совокупность по этому признаку.

Зависимость средней ошибки выборки от ее объема и степе-ни варьирования признака отражена в формулах, с помощью которых можно рассчитать среднюю ошибку выборки в условиях выборочного наблюдения, когда генеральные характеристики (х,p) неизвестны, и следовательно, не представляется возмож-ным нахождение реальной ошибки выборки непосредственно по формулам (форм. 1), (форм. 2).

Ш При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам:

* для средней количественного признака

* для доли (альтернативного признака)

Поскольку практически дисперсия признака в генеральной совокупности? 2 точно неизвестна, на практике пользуются значением дисперсии S 2 , рассчитанным для выборочной сово-купности на основании закона больших чисел, согласно кото-рому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики гене-ральной совокупности.

Таким образом, расчетные формулы средней ошиб-ки выборки при случайном повторном отборе будут следующие:

* для средней количественного признака

* для доли (альтернативного признака)

Однако дисперсия выборочной совокупности не равна диспер-сии генеральной совокупности, и следовательно, средние ошибки выборки, рассчитанные по формулам (форм. 5) и (форм. 6), будут прибли-женными. Но в теории вероятностей доказано, что генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:

Так как п/ (n -1) при достаточно больших п -- величина, близкая к единице, то можно принять, что, а следова-тельно, в практических расчетах средних ошибок выборки мож-но использовать формулы (форм. 5) и (форм. 6). И только в случаях ма-лой выборки (когда объем выборки не превышает 30) необхо-димо учитывать коэффициент п /(n -1) и исчислять среднюю ошибку малой выборки по формуле:

Ш X При случайном бесповторном отборе в приведенные выше формулы расчета средних ошибок выборки необходимо подко-ренное выражение умножить на 1-(n/N), поскольку в процес-се бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности. Следовательно, для бесповторной вы-борки расчетные формулы средней ошибки выборки примут такой вид:

* для средней количественного признака

* для доли (альтернативного признака)

. (форм. 10)

Так как п всегда меньше N , то дополнительный множи-тель 1-(n/N ) всегда будет меньше единицы. Отсюда следу-ет, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. В то же время при сравнительно небольшом проценте выборки этот множитель близок к еди-нице (например, при 5%-ной выборке он равен 0,95; при 2%-ной -- 0,98 и т.д.). Поэтому иногда на практике пользуются для определения средней ошибки выборки формулами (форм. 5) и (форм. 6) без указанного множителя, хотя выборку и организуют как бесповторную. Это имеет место в тех случаях, когда число единиц генеральной совокупности N неизвестно или безгра-нично, или когда п очень мало по сравнению с N , и по су-ществу, введение дополнительного множителя, близкого по значению к единице, практически не повлияет на значение средней ошибки выборки.

Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, разбитой по ней-тральному признаку на равные интервалы (группы), произво-дится таким образом, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица. Чтобы избежать систематиче-ской ошибки, отбираться должна единица, которая находится в середине каждой группы.

При организации механического отбора единицы совокуп-ности предварительно располагают (обычно в списке) в опре-деленном порядке (например, по алфавиту, местоположению, в порядке возрастания или убывания значений какого-либо по-казателя, не связанного с изучаемым свойством, и т.д.), после чего отбирают заданное число единиц механически, через оп-ределенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки. Так, при 2%-ной выборке отбирается и проверяется каждая 50-я единица (1: 0,02), при 5%-ной выборке -- каждая 20-я едини-ца (1: 0,05), например, сходящая со станка деталь.

При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результатов близок к собственно-случайному. По-этому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственно-случайной бесповторной вы-борки (форм. 9), (форм. 10).

Для отбора единиц из неоднородной совокупности применя-ется, так называемая типическая выборка , которая используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, влияющим на изучаемые показатели.

При обследовании предприятий такими группами могут быть, например, отрасль и подотрасль, формы собственности. Затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении слож-ных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании семейных бюджетов рабочих и служащих в отдель-ных отраслях экономики, производительности труда рабочих пред-приятия, представленных отдельными группами по квалификации.

Типическая выборка дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выбороч-ную совокупность. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представи-тельство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки.

При определении средней ошибки типической выборки в ка-честве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

Среднюю ошибку выборки находят по формулам:

* для средней количественного признака

(повторный отбор); (форм. 11)

(бесповоротный отбор); (форм. 12)

* для доли (альтернативного признака)

(повторный отбор); (форм.13)

(бесповторный отбор), (форм. 14)

где - средняя из внутригрупповых дисперсий по вы-борочной совокупности;

Средняя из внутригрупповых дисперсий доли (альтернативного признака) по выборочной совокупности.

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генераль-ной совокупности не отдельных единиц, а их равновеликих групп (гнезд, серий) с тем, чтобы в таких группах подвергать наблюде-нию все без исключения единицы.

Применение серийной выборки обусловлено тем, что многие товары для их транспортировки, хранения и продажи упаковываются в пачки, ящики и т.п. Поэтому при контроле качества упакованного товара рациональнее проверить не-сколько упаковок (серий), чем из всех упаковок отбирать необходимое количество товара.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключе-ния единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.

Ш Среднюю ошибку выборки для средней количественного признака при серийном отборе находят по формулам:

(повторный отбор); (форм.15)

(бесповторный отбор), (форм. 16)

где r - число отобранных серий; R - общее число серий.

Межгрупповую дисперсию серийной выборки вычисляют сле-дующим образом:

где - средняя i - й серии; - общая средняя по всей выбо-рочной совокупности.

Ш Средняя ошибка выборки для доли (альтернативного при-знака) при серийном отборе:

(повторный отбор); (форм. 17)

(бесповторный отбор). (форм. 18)

Межгрупповую (межсерийную) дисперсию доли серийной вы-борки определяют по формуле:

, (форм. 19)

где - доля признака в i -й серии; - общая доля признака во всей выборочной совокупности.

В практике статистических обследований помимо рассмот-ренных ранее способов отбора применяется их комбинация (комбинированный отбор).