Понятие многочлена
Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:
здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.
Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.
Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.
Число ноль - это нулевой многочлен.
Стандартный вид многочлена
Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.
Пример многочлена в стандартном виде:
здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.
Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:
здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:
Ещё пример:
Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:
Степень многочлена
Что такое степень многочлена?
Степень многочлена определение:
Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.
Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.
Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а его степень равна 9-ти.
Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.
Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.
Согласно определению, многочлен это алгебраическое выражение представляющее собой сумму одночленов.
Для примера: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлены, а выражение z/(x - x*y^2 + 4) не является многочленом потому, что оно не является суммой одночленов. Многочлен еще иногда называют полиномом, а одночлены которые входят в состав многочлена членами многочлена или мономами.
Комплексное понятие многочлена
Если многочлен состоит из двух слагаемых, то его называют двучлен, если из трех - трехчлен. Названия четырехчлен, пятичлен и другие не используются, а в таких случаях говорят просто, многочлен. Такие названия, в зависимости от количества слагаемых, ставят все на свои места.
И термин одночлен становится интуитивно понятным. С точки зрения математики, одночлен является частным случаем многочлена. Одночлен это многочлен, который состоит из одного слагаемого.
Так же как и у одночлена, у многочлена есть свой стандартный вид. Стандартным видом многочлена называется такая запись многочлена, при которой все входящие в него в качестве слагаемых одночлены, записаны в стандартном виде и приведены подобные члены.
Стандартный вид многочлена
Процедура приведения многочлена к стандартному виду состоит в том, чтобы привести каждый из одночленов к стандартному виду, а потом все подобные одночлены между собой сложить. Сложение подобных членов многочлена называют приведением подобных.
Например, приведем подобные слагаемые в многочлене 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Подобными здесь являются слагаемые 4*a*b^2*c^3 и 6*a*b^2*c^3. Суммой этих слагаемых будет одночлен 10*a*b^2*c^3. Следовательно, исходный многочлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можно переписать в виде 10*a*b^2*c^3 - a*b. Эта запись и будет стандартным видом многочлена.
Из того, что любой одночлен можно привести к стандартному виду, следует также и тот факт, что любой многочлен можно привести к стандартному виду.
Когда многочлен приведен к стандартному виду, можно говорить о таком понятии как степень многочлена. Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в данный многочлен.
Так, например, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - многочлен пятой степени, так как максимальная степень одночлена входящего в многочлен (5*x^3*y^2) пятая.
Самостоятельные на темы: "Числовые и алгебраические выражения", "Математический язык и математическая модель", "Линейное уравнение с одной переменной", "Координатная прямая и плоскость", "Линейные уравнения с двумя переменными", "Линейная функция и ее график", "Системы двух линейных уравнений с двумя переменными", "Степень с натуральным показателем и её свойства", "Стандартный вид одночлена", "Сложение и вычитание одночлена", "Умножение одночленов", "Возведение одночлена в натуральную степень", "Деление одночлена на одночлен", "Разложение многочлена на множители"
Самостоятельная работа №1 (1 четверть), "Числовые и алгебраические выражения"
Вариант I.
$8\frac{5}{9}*4,8 -\frac{2}{9}* 2,1$.
$3х - 6у + 5$, если заданы $x= 0,5$ и $y=\frac{2}{3}$.
3.Найдите значение $x$, при котором выражение $5х-3$ будет равно выражению $х - 4$.
Вариант II.
1. Вычислите значение выражения наиболее рациональным способом.
$3\frac{3}{4} * 5,6 -\frac{1}{4}* 1,9$.
2. Найдите значение данного выражения.
$х - 8у - 9$, если заданы $x= 0,9$ и $y=\frac{5}{6}$.
3.Найдите значение $x$, при котором выражение $6х - 7$ будет равно выражению $х - 5$.
Вариант III.
1. Вычислите значение выражения наиболее рациональным способом.
$1\frac{7}{9}* 7,6 -\frac{1}{9}* 4,9$.
2. Найдите значение данного выражения.
$х - 8у - 11$, если заданы $x= 2,4$ и $y=\frac{6}{8}.$
3. Найдите значение $y$, при котором выражение $3у - 2$ будет равно выражению $y + 8$.
Самостоятельная работа №2 (1 четверть)
"Математический язык", "Математическая модель"
Вариант I.
1. Переведите предложение на математический язык: разность кубов чисел $a$ и $b$.
Произведение числа на самое себя равно возведению этого числа в квадрат.
Сумма числа $3\frac{3}{4}$ и произведения чисел $5\frac{4}{8}$ и $\frac{1}{8}$.
Портной сшил 3 платья. На каждое платье потребовалось $х$ метра ткани. Потом он сшил ещё 10 костюмов. На каждый костюм потребовалось на 2 метра больше ткани, чем на платье. Сколько ткани потребовалось на пошив всех платьев и костюмов?
Вариант II.
1. Переведите предложение на математический язык. сумма квадратов чисел x и y.
2. Переведите на математический язык следующее свойство.
Если умножить число на $-1$, то получим тоже число, но с противоположным знаком.
3. Перепишите предложение в виде числового выражения. Вычислите его значение.
Разность числа $3\frac{5}{8}$ и частного чисел $2\frac{5}{8}$ и $1\frac{1}{2}$.
4. Составьте математическую модель данной ситуации.
а) Два пешеход пошли в противоположных направлениях. Скорость первого пешехода равна $х$ км/час. Скорость второго пешехода - больше на 2 км/час. Какое расстояние они пройдут через 3 часа? За какое время второй пешеход пройдет 10 км?
Вариант III.
1. Переведите предложение на математический язык: произведение числа 3 и разности чисел $n$ и $m$.
2. Переведите на математический язык следующее свойство: если разделить единицу на дробь, то в результате мы получим дробь, обратную данной.
3. Перепишите предложение в виде числового выражения. Вычислите его значение:
Сумма числа $6\frac{5}{8}$ и частное чисел $1\frac{5}{9}$ и $\frac{2}{9}$.
4. Составьте математическую модель данной ситуации.
Катер отплыл от пристани вниз по течению. Скорость реки равна $x$ км/час. Скорость катера - больше на 2 км/час. За какое время катер пройдет 10 км? Сколько времени ему понадобиться для возвращения обратно?
Самостоятельная работа №3 (1 четверть)
"Линейное уравнение с одной переменной"
Вариант I.
а) $5z - 4 = 2\frac{3}{4}z + 2$.
Б) $\frac{4х + 2}{3} =\frac{5х + 1}{6}$.
Спортсмен пробегает некоторую дистанцию за 18 минут. Если он увеличит скорость на 3 км/час, то ту же дистанцию он пробежит на 4 минуты быстрее. Найдите скорость спортсмена.
Вариант II.
1. Решите уравнения с одной переменной.
а) $3z - 2 = 1\frac{3}{6}z +1$.
Б) $\frac{5y + 3}{7}=\frac{3y + 8}{4}$.
2. Составьте уравнение к данной задаче и решите ее.
Машина проезжает из города в село за 4 часа. Если он увеличит скорость на 20 км/час, то эту же дорогу он проезжает за 3 часа. Найдите скорость автомобиля.
Вариант III.
1. Решите уравнения с одной переменной.
а) $4х - 6 = 2\frac{5}{8}х + 3$.
Б) $\frac{2y + 7}{2}=\frac{4y + 3}{5}$.
2. Составьте уравнение к данной задаче и решите ее.
Катер проплывает от пристани до порта за 30 минут. Если он увеличит скорость на 10 км/час, то проплывет, такое же расстояние за 20 минут. Найдите скорость катера.
Самостоятельная работа №4 (1 четверть) "Координатная прямая"
Вариант I.
X (-2); Y (-6,5); Z (3,8).
2. Укажите на координатной прямой указанный промежуток.
а) [-2,5; 0]; б) ; [-∞; 0].
3. Сколько натуральных чисел принадлежат заданному промежутку [-30; -5]?
Вариант II.
1. Укажите на координатной прямой следующие три точки:
X (3); Y (-5); Z (-3,8).
а) ; б) ; .
3. Сколько натуральных чисел принадлежат заданному промежутку ?
Вариант III.
1. Укажите на координатной прямой следующие три точки:
X (-7); Y (2); Z (3,8).
2. Укажите на координатной прямой указанный промежуток:
а) ; б) [-2; 4]; [-1; +∞].
3. Сколько натуральных чисел принадлежат заданному промежутку [-52; -4]?
Самостоятельная работа №5 (1 четверть) "Координатная плоскость"
Вариант I.
E (-2; 5); F (5; -3); H (-3; -5).
А (-4; 0); В (5; 8); С (-5; -4).
3. Постройте на координатной плоскости XOY прямую с координатами С(-4;2) и D(3;0).
Вариант II.
1. Без построения рисунка укажите, в какой координатной плоскости находятся точки?
E (3; 6); F (-8; 7); H (4; 4).
2. Постройте треугольник, если известны координаты его вершин
А (5; 3); В (-5; -2); С (-3; 0).
3. Постройте на координатной плоскости XOY прямую с координатами С(-2;6) и D(7;-2).
Вариант III.
1. Без построения рисунка укажите, в какой координатной плоскости находятся точки?
E (-2; -4); F (4; 6); H (3; -2).
2. Постройте треугольник, если известны координаты его вершин
А (7; -3); В (2; 6); С (-2; 1).
3. Постройте на координатной плоскости XOY прямую с координатами С(6;-4) и D(-3;6).
Самостоятельная работа №6 (1 четверть) "Линейные уравнения с двумя переменными"
Вариант I.1. Постройте график функции: $5x + y -4 = 0$.
2. Постройте графики двух функций и найдите точку пересечения: $х + 5у = 7$; $x - 4y =-2$.
3. Для уравнения: $х + 2y - 4 = 0$ найдите ординату точки с абсциссой равной 4.
Вариант II.
1. Постройте график функции: $3x - y + 6 = 0$.
2. Постройте графики двух функций и найдите точку пересечения: $2х - 5у = 8$; $2x - y = 0$.
3. Для уравнения: $2х + 4y - 5 = 0$ найдите ординату точки с абсциссой равной 5.
Вариант III.
1. Постройте график функции: $2x - 2y - 6 = 0$.
2. Постройте графики двух функций и найдите точку пересечения: $2х + 2у = 10$; $x - 2y = 5$.
3. Для уравнения: $х + 4y - 2 = 0$ найдите ординату точки с абсциссой равной 5.
Самостоятельная работа №7 (1 четверть) "Линейная функция и ее график"
Вариант I.1. Задано линейное уравнение: $x - 2y - 4 = 0$. Преобразуйте его к виду: $y = kx + m$. Найдите значения $k$ и $m$.
а) $y = 6х - 2$, при $х = 2$; б) $y = -3x + 5$, при $х = 3$.
3. Постройте график функции: $у = 3\frac{5}{8}х -\frac{1}{2}$.
4. Задано линейное уравнение: $у = 4 - 3х$. Вычислите значение аргумента, при котором оно принимает значения:
а) 3; б) -2; в) -1,1.
5. В какой точке пересекаются две линейные функции: $y = 3х - 12$ и $y = -2x + 3$?
6. На заданном промежутке $[-3; +3]$ найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y=-5x + 4$.
Вариант II.
1. Задано линейное уравнение: $2x - 3y - 5 = 0$. Преобразуйте его к виду: $y = kx + m$. Найдите значения $k$ и $m$.
2. Найдите значение функции, если известно значение аргумента.
а) $y = 2х + 2$, при $х = 1$; б) $y = 3x - 6$, при $х = 4$.
3. Постройте график функции: $у = 4\frac{2}{3}х - \frac{3}{6}$.
4. Задано линейное уравнение: $у = 5 + 2х$. Вычислите значение аргумента, при котором оно принимает значения:
а) -2; б) -4; в) -2,6.
5. В какой точке пересекаются две линейные функции: $y = 2х - 5$ и $y = -3x + 10$?
6. На заданном промежутке $[-2; +6]$ найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y=-2x - 2$.
Вариант III.
1. Задано линейное уравнение: $3x - y + 2 = 0$. Преобразуйте его к виду $y = kx + m$. Найдите значения $k$ и $m$.
2. Найдите значение функции, если известно значение аргумента.
а) $y = -2х +5$, при $х = 3$; б) $y = -2x + 6$, при $х = -1$.
3. Постройте график функции: $у = 2\frac{1}{4}х + \frac{2}{3}$.
4. Задано линейное уравнение: $у = 3 +2х$. Вычислите значение аргумента, при котором оно принимает значения:
а) -1; б) -4; в) 2.
5. В какой точке пересекаются две линейные функции: $y = -2х +4$ и $y = -4x - 2$?
6. На заданном промежутке $$ найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y=3x-5$.
Самостоятельная работа №1 (2 четверть) "Системы двух линейных уравнений с двумя переменными"
Вариант I1. Задана система уравнений. Выясните, какая пара чисел (4;0), (3;4), (0;5) является решением данной системы уравнений.
$\begin {cases} 2x+y=10, \\ 4x-2y=4. \end {cases}$
$\begin {cases} x-y=2, \\ 3x+3y=6. \end {cases}$
а) $\begin {cases} x=-y, \\ 3x-y=8. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=2y, \\ 2x+4y=40. \end {cases}$
а) $\begin {cases} x=y+4, \\ -x=-3y-4. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=4y, \\ 2x+4y=24. \end {cases}$
5. Решите задачу.
Сумма двух чисел равна 9, а разность равна 1. Найдите эти числа.
6. Решите задачу.
Заданы 2 числа. Сумма этих чисел равна 80. Если первое число уменьшить в 2 раза, а второе число увеличить в 2 раза, то в сумме получим 115. Чему равны эти числа?
Вариант II
1. Задана система уравнений. Выясните, какая пара чисел (2;6), (-3;4), (2;4) является решением данной системы уравнений.
$\begin {cases} 5x-3y=-2, \\ 3x+y=10. \end {cases}$
2. Заданную систему уравнений решите графическим способом.
$\begin {cases} 2x-2y=6, \\ x-y=1. \end {cases}$
3. Заданы системы уравнений. Решите их методом постановки.
а) $\begin {cases} x=-0,5y, \\ 3x-y=15. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=-3y, \\ 3x+4y=10. \end {cases}$
4. Решите заданные системы уравнений методом алгебраического сложения.
а) $\begin {cases} x=2y-1, \\ x-3y=-4. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=4y, \\ 2x-4y=4. \end {cases}$
5. Решите задачу.
Сумма двух чисел равна 10, а разность утроенного первого числа и второго равна 2. Найдите эти числа.
6. Решите задачу.
Два фермера за июль собрали 300 кг ягод. В августе первый фермер собрал в 2 раза больше ягод, а второй - в два раза меньше, чем он собрал за июль. По сколько кг ягод собирали фермеры в каждом месяце, если за август они вместе собрали 450 кг?
Вариант III
1. Задана система уравнений. Выясните, какая пара чисел (2;6), (3;-2), (2;4) является решением данной системы уравнений.
$\begin {cases} 2x-4y=14, \\ -3x+y=-11. \end {cases}$
2. Заданную систему уравнений решите графическим способом.
$\begin {cases} 5x+5y=-5, \\ 5x+y=3. \end {cases}$
3. Заданы системы уравнений. Решите их методом постановки.
а) $\begin {cases} x=-y, \\ 3x-2y=5. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x+y=4, \\ 3x+4y=12. \end {cases}$
4. Решите заданные системы уравнений методом алгебраического сложения.
а) $\begin {cases} x=y+1, \\ x-2y=1. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=2y, \\ x-4y=12. \end {cases}$
5. Решите задачу.
Сумма двух чисел равна 10, а разность равна -2. Найдите эти числа.
6. Решите задачу.
Катер проплывает расстояние между двумя деревнями за 4 часа по течению и за 6 часов против течения. Найдите скорость катера и течения реки, если расстояние между деревнями равно 60 км.
Самостоятельная работа №2 (2 четверть) "Степень с натуральным показателем и её свойства"
Вариант I.
а) 3,4 * 3,4 * 3,4 * 3,4.
б) а * а * а * а * а * а * а.
2. Вычислите:
а) $5^3$.
б) $7^3- 4^4$.
3. Решите уравнения:
а) $5x^3=320$.
б) $3^{x-3}=81$.
4. Найдите объем куба и его площадь, если его ребро равно 4 см.
а) $x^3* x^5$.
б) $x^6* x^4$.
в) $(a^3)^6$.
6. Вычислите: $\frac{2^6*(2^3)^2}{2^4}$.
7. Заданы выражения. Возведите их в степень.
а) $(4z^3)^3$.
б) $(6x^3y^3)^2$.
в) $\frac{(2a^3)^4}{(b^2)^3}$.
Вариант II.
1. Запишите данные выражения в виде степени:
а) 5,1 * 5,1 * 5,1 * 5,1.
б) d * d * d * d * d * d * d * d.
2. Вычислите:
а) $4^5$.
б) $8^2- 6^3$.
3. Решите уравнения:
а) $2y^2=162$.
б) $4^{x-3}=64$.
4. Найдите объем куба и длину его ребра, если площадь поверхности равна 216 см 2 .
5. Заданы выражения. Представьте их в виде степени:
а) $y^4* y^3$.
б) $z^6* z^2$.
в) $(b^4)^5$.
6. Вычислите: $\frac{3^6*(3^2)^3}{3^4}$.
а) $(2y^2)^4$.
б) $(5x^2z^3)^3$.
в) $\frac{(3c^4)^5}{(d^2)^2}$.
Вариант III.
1. Запишите данные выражения в виде степени:
а) 6,2 * 6,2 * 6,2.
б) z* z * z* z .
2. Вычислите:
а) $6^4$.
а) $5^2- 3^4$.
3. Решите уравнения:
а) $2f^4=512$.
б) $3^{x-1}=81$.
4. Объем куба равен 125 см 3 . Найдите длину ребра куба и его площадь.
5. Заданы выражения. Представьте их в виде степени:
а) $z^4* z^2$.
б) $\frac{y^5}{y^2}$.
в) $(c^4)^6$.
6. Вычислите:
$\frac{4^6*(4^3)^3}{4^5}$.
7. Заданы выражения. Возведите их в степень:
а) $(3a^2)^2$.
б) $(5z^3)^2$.
в) $\frac{(2d^5)^6}{(c^2)^3}$.
Самостоятельная работа №1 (3 четверть) "Стандартный вид одночлена", "Сложение и вычитание одночлена"
Вариант I.5 3 x 3 y 4 * (-3x 2 y 4).
2. Упростите: 5ab 3 - 3ab 3 + 4ab 3 .
3. Упростите заданное выражение и найдите его значение при $y=2$, $t= 0,5$.
-4t 3 y 2 + 3y 2 - 2t 2 + 3t 2 + y 2 .
Автобус с туристами проехал 2 ⁄ 9 пути на скорости 60 км/час, 4 ⁄ 9 пути он проехал со скоростью 50 км/час. Остальные 18 км он проехал со скоростью 60 км/час. Какое расстояние проехал туристический автобус?
Вариант II.
1. Заданный одночлен приведите к стандартному виду.
3 4 y 3 x 2 * 3y 4 x 5 .
2. Упростите: 2cd 4 - 3cd 4 + 7cd 4 .
3. Упростите заданное выражение и найдите его значение при $d=0,3$; $e= 2$.
5d 3 e 2 + 2d 2 - 2e 2 + 4d 2 + e 2
4. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.
Спортсмен пробежал 3 ⁄ 8 пути со скоростью 12 км/час, 1 ⁄ 8 пути пробежал со скоростью 15 км/час. Остальные 5 км он пробежал со скоростью 10 км/час. Какое расстояние пробежал спортсмен?
Вариант III.
1. Заданный одночлен приведите к стандартному виду.
5 3 a 2 b 3 * 2y 3 a 3 .
2. Упростите: 4mn 2 + 5mn 2 - 6mn 2 .
3. Упростите заданное выражение и найдите его значение при t= - 1 ⁄ 2 , $u= 6$.
-3t 3 u 2 + 5t 2 - 7t 3 u 2 + 3t 2 + u 2 .
4. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.
Велосипедист проехал 1 ⁄ 5 пути со скоростью 25 км/час, 3 ⁄ 5 пути со скоростью 30 км/час. Остальные 10 км он проехал со скоростью 18 км/час. Какое расстояние проехал спортсмен?
Самостоятельная работа №2 (3 четверть) "Умножение одночленов", "Возведение одночлена в натуральную степень", "Деление одночлена на одночлен"
Вариант I.1. Вычислите.
а) 3n 3 m 2 *(- 4m 3 n 4).
б) 2 ⁄ 7 x 2 y 4 * 1 ⁄ 3 x 3 y 4 .
2. Решите задачу.
Заданы 2 квадрата. Сторона большего квадрата в 1,5 раза больше стороны меньшего квадрата. А площадь большего квадрата на 125 см 2 больше площади меньшего квадрата. Найдите стороны квадратов.
3. Разделите одночлен на одночлен: $\frac{(-6a^4b)^3}{3a^3}$.
4. Упростите выражение: $\frac{(3x^3d^2)^3}{(xd^2)^2}$.
Вариант II.
1. Вычислите.
а) 5y 2 z 3 * (- 6y 4 z 4).
Б) 3 ⁄ 8 a 4 b 2 * 1 ⁄ 8 a 2 b 3 .
2. Разделите одночлен на одночлен: $\frac{5b^4d^2}{7b^2}$.
3. Упростите выражение: $\frac{(5c^3z^4)^2}{cz^3}$.
Вариант III.
1. Вычислите.
а) - 6tu 2 * 5t 4 u 3 .
Б) 5 ⁄ 9 x 2 y 3 * 1 ⁄ 9 x 2 y 2 .
2. Разделите одночлен на одночлен: $\frac{14z^4e^3}{7z^3}$.
3. Упростите выражение: $\frac{(8t^5u^5)^2}{4t^3}$.
Самостоятельная работа №1 (4 четверть) "Разложение многочлена на множители"
Вариант I.1. Вычислите следующее выражение наиболее рациональным способом: 4,5 2 - 2,5 2 .
2. Решите заданное уравнение: $(3х + 5)(2х - 2) = 0$.
3. Вычислите выражение наиболее рациональным способом: $\frac{346^2- 146^2}{50 * 512}$.
4. Разложите следующее выражения на множители:
a) 4y + 8y 2 .
б) 7z 5 - 21z 2 .
в) 6a 2 b 5 c + 24 ab 2 c - 8 a 2 b 3 .
5. Решите уравнение: 3y 2 - 9 y =0.
Вариант II.
1. Вычислите следующее выражение наиболее рациональным способом: 12,5 2 - 7,5 2 .
2. Решите заданное уравнение: $(4y + 6)(y - 3) = 0$.
3. Вычислите выражение наиболее рациональным способом: $\frac{{456}^2-{256}^2}{1200 * 1024}$.
a) 2z + 6z 2 .
б) 8y 5 - 24y 3 .
в) 2abc -3 a 2 b 2 + 4 a 2 b 3 c.
5. Решите уравнение: 6y 2 + 4y =0.
Вариант III.
1. Вычислите следующее выражение наиболее рациональным способом: 8,2 2 - 4,2 2 .
2. Решите заданное уравнение: $(2z - 3)(z + 5) = 0$.
3. Вычислите выражение наиболее рациональным способом: $\frac{{663}^2-{363}^2}{40 * 243}$.
4. Разложите следующее выражения на множители.
a) 3x + 9x 2 .
б) 12y 4 - 26y 2 .
в) 3x 2 y 5 z+12xy 2 z - 9x 2 y 3 z.
5. Решите заданное уравнение: 5a 2 + 10a =0.
Вариант I.
1. 40,6.
2. 2,5.
3. $х=-0,25$.
Вариант II.
1. $20,525$.
2. $-14\frac{23}{30}$.
3. $х=0,4$.
Вариант III.
1. $12\frac{87}{90}$.
2. $-14,6$.
3. $y=5$.
Вариант I.
1. $a^3-b^3$.
2. Для любого числа $a$, верно утверждение $a*a=a^2$.
3. $3\frac{3}{4}+5\frac{4}{8}*\frac{1}{8}=4,4375$.
4. $13x+20$.
Вариант II.
1. $x^2+y^2$.
2. Для любого числа $a$, верно утверждение $a*(-1)=-a$.
3. $3\frac{5}{8}-2\frac{5}{8}:\frac{1}{2}=-1\frac{5}{8}$.
4. Пройдут расстояние $(6х+6)$. Второму пешеходу понадобится $\frac{10}{x+2}$ часов.
Вариант III.
1. $3(n-m)$.
2. Для любых чисел $a$, $b$ верно утверждение $1:(\frac{a}{b})=\frac{b}{a}$.
3. $6\frac{5}{8}+1\frac{5}{9}:\frac{2}{9}=-\frac{3}{8}$.
4. Катер пройдет 10 км за $\frac{5}{x+1}$. Для возвращения на пристань понадобиться 5 часов.
Вариант I.
1.
а) $z=\frac{8}{3}$.
б) $x=-1$.
2. 10.5 км/ч.
Вариант II.
1.
а) $z=2$.
б) $y=-44$.
2. 60 км/ч.
Вариант III.
1.
а) $6\frac{6}{11}$.
б) -14,5.20 км/ч.
2. 20 км/ч.
Вариант I.
Вариант II.
3. 43.
Вариант III.
3. В этом промежутке нет натуральных чисел.
Вариант I.
2. $x=2$, $y=1$.
3. $y=0$.
Вариант II.
2. $x=-1$, $y=-2$.
3. $y=-1,25$.
Вариант III.
2. $x=5$, $y=0$.
3. $y=-0,75$.
Вариант I.
1. $y=0,5x+2$.
2.
a) $y=10$.
б) $y=-4$.
4.
a) $x=\frac{1}{3}$.
б) $x=2$.
в) $x=1,7$.
5. Точка с координатами $x=3$, $y=-3$.
6. $y_{min}=-11$, $y_{max}=19$.
Вариант II.
1. $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$.
2.
a) $y=4$.
б) $y=6$.
4.
a) $x=-3,5$.
б) $x=-4,5$.
в) $x=-3,8$.
5. Точка с координатами $x=3$, $y=1$.
6. $y_{min}=2$, $y_{max}=-14$.
Вариант III.
1. $y=3x+2$.
2.
a) $y=-1$.
б) $y=8$.
4.
a) $x=-2$.
б) $x=3,5$.
в) $x=-0,5$.
5. Точка с координатами $x=-3$, $y=10$.
6. $y_{min}=-5$, $y_{max}=16$.
Вариант I.
1. Точка с координатами (3;4).
2. Точка с координатами (2;0).
3.
a) $x=2$, $y=-2$.
б) $x=10$, $y=5$.
4.
a) $x=4$, $y=0$.
б) $x=8$, $y=2$.
5. Одно число - это 5, другое число - это 4.
6. Одно число - это 30, другое число - это 50.
Вариант II.
1. Точка с координатами (2;4).
2. Нет точки пересечения.
3.
a) $x=3$, $y=-6$.
б) $x=6$, $y=-2$.
4.
a) $x=5$, $y=3$.
б) $x=4$, $y=1$.
5. Одно число - это 3, другое число - это 7.
6. В июле первый фермер собрал 200 кг, второй - 100 кг. В августе первый фермер собрал 400 кг, второй - 50 кг.
Вариант III.
1. Точка с координатами (3;-2).
2. Точка с координатами (1;-2).
3.
a) $x=1$, $y=-1$.
б) $x=4$, $y=0$.
4.
a) $x=1$, $y=0$.
б) $x=-12$, $y=-6$.
5. Одно число - это 4, другое число - это 6.
6. Скорость катера составляет 12,5 км/ч. Скорость течения реки составляет 2,5 км/ч.
Вариант I.
1. а) $(3,4)^4$; б) $a^7$.
2. а) 125; б) 87.
3. а) $x=4$; б) $x=7$.
4. $V=64 {см}^3$. $S=96 {см}^2$.
5. а) $x^8$; б) $x^{10}$; в) $a^{18}$.
6. 256.
7. а) $64z^9$; б) $36x^6y^6$; в) $\frac{16a^{12}}{b^6}$.
Вариант II.
1. а) $(5,1)^4$; б) $d^8$.
2. а) 1024; б) -152.
3. а) $y=9$; б) $x=6$.
4. $V=216 {см}^3$; $a=6 см$.
5. а) $y^7$; б) $z^8$; в) $b^{20}$.
6. 6561.
7. а) $16y^8$; б) $125x^6z^9$; в) $\frac{243c^{20}}{d^4}$.
Вариант III.
1. а) $(6,2)^3$; б) $z^4$.
2. а) 1296; б) -56.
3. а) $f=4$; б) $x=5$.
4. $a=5 см$. $S=150 {см}^2$.
5. а) $z^6$; б) $y^3$; в) $c^24$.
6. 64.
7. а) $9a^4$; б) $25z^6$; в) $\frac{64d^{30}}{c^6}$.
Вариант I.
1. $-375x^5y^8$.
2. $6ab^3$.
3. 3,25.
4. 54 км.
Вариант II.
1. $243x^7y^7$.
2. $6cd^4$.
3. -2,92.
4. 10 км.
Вариант III.
1. $-250a^5b^3y^3$.
2. $3mn^2$.
3. 83.
4. 50 км.
Вариант I.
1. а) $-12n^7m^5$; б) $\frac{2}{21}x^5y^8$.
2. 10 см и 15 см.
3. $-72a^9b^3$.
4. $27x^7d^4$.
Вариант II.
1. a) $-30y^6z^7$ б) $\frac{3}{64}a^6b^5$.
2. $\frac{5}{7}b^2d^2$.
3. $25c^5Z^5$.
Вариант III.
1. $-30t^5u^5$; б) $\frac{5}{81}x^4y^4$.
2. $2ze^3$.
3. $16t^7u^{10}$.
Вариант I.
1. 14.
2. $3x^2+2x-5=0$.
3. $\frac{123}{32}$.
4. а) $4y(1+2y)$; б) $7z^2(z^3-3)$; в) $2ab(3ab^4c+12bc-4ab^2)$.
5. $y=3$.
Вариант II.
1. 25.
2. $2y^2-3y-9=0$.
3. $\frac{89}{768}$.
4. а) $2z(1+3z)$; б) $8y^3(y^2-3)$; в) $ab(2c-3ab+4ab^2c)$.
5. $y=-\frac{2}{3}$.
Вариант III.
1. 49,6.
2. $2z^2+7z-15=0$.
3. $\frac{2565}{81}$.
4. а) $3x(1+3x)$; б) $2y^2(6y^2-13)$; в) $3xy^2z(xy^3+4-3xy)$.
5. $a=-2$.
Для школьников алгебра в 7-м классе преподносит много сюрпризов в виде систем уравнений, составления математической модели, понятия тождеств и других важных тем. Но переходить от одной ступени к другой нужно последовательно, полностью усвоив материал — в этом залог успеха.
Язык науки
Главным условием понимания школьником темы является то, что он хорошо и ясно представляет, о чем идет речь. Для этой цели иногда неплохо заменять длинные и сложные термины более простыми словами. Математический язык является формальным языком людей, которые изучают точные науки. Он более краткий в сравнении с привычным способом выражений мыслей, потому что конкретен, логичен и оперирует точными понятиями. Слова в математическом языке — это буквенное обозначение символов, фразы — формулы.
Для детей в 7-м классе математический язык усложняется с каждой темой, но в тоже время становится интереснее и богаче. Появляются новые понятия, такие как степень с натуральным показателем и многие другие, детям предстоит не только научиться верно понимать их, но и применять.
Недочеты современного образования
Чтобы не запутаться в многообразии терминов, к изучению алгебры нужно подходить серьезно и без лишней спешки, которой так грешат современные уроки в школе. Малое количество учебных часов, которое отводится школьной программой на ту или иную тему рано или поздно дает печальные результаты — многие школьники не понимают пройденный материал, отстают. Это опасно, потому что в математике недостаточное усвоение одной темы ведет к тому, что ребенок не сможет хорошо усвоить все последующие.
Линейные уравнения
Детям в рамках учебной программы предстоит познакомиться и изучить уравнение с двумя переменными . Оно представляет собой математическую «фразу» a*x + b*y = с, решением которой является любая пара чисел х и у, которая соответствует этому уравнению, то есть обращают уравнение с этими переменными в верное числовое равенство. Из основных свойств нужно запомнить следующее.
- Любое из слагаемых в уравнении можно переместить из одной части в другую, при этом изменив знак на противоположный. Полученное равенство будет равносильно исходному.
- Обе части уравнения можно делить на любое число, кроме нуля.
Уравнение с двумя переменными имеет много разных решений. Хорошо, когда учитель может это легко донести до ребенка. Ведь в дальнейшем все базовые «математические фразы» будут усложняться, в старших классах там начнет фигурировать степень с натуральным показателем и т.д. Задача преподавателя максимально доходчиво объяснить это школьнику. На практике часто случается так, что ученику приходится прибегать к дополнительным занятиям, чтобы усвоить материал.
Достойная альтернатива
Родители знают, что дополнительные занятия с репетитором — это недешевое удовольствие. Школьные преподаватели не всегда могут предложить внеклассные занятия для отстающих. Как же быть? Выход есть — обучение на специальных интернет-ресурсах. Оно имеет ряд серьезных преимуществ, ведь школьник может посмотреть видеоурок на проблемную для него тему в любое удобное время дома, в уютной обстановке, причем бесплатно. Если ребенок не смог понять материал с первого просмотра, он легко может еще раз пересмотреть видео, не боясь при этом критики и насмешек, что часто бывает в классе. Все уроки по математике можно найти на нашем портале в свободном доступе.
Дружба с математикой является залогом развитого мышления, которое будет отличаться блестящей логикой и завершенностью мысли.
Линейные уравнения. Решение, примеры.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Линейные уравнения.
Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)
Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:
ax + b = 0 где а и b – любые числа.
2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7
0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3
12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2
Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:
Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:
Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.
Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)
Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:
Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение
нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.
Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)
Решение линейных уравнений. Примеры.
Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.
Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.
х - 3 = 2 - 4х
Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.
Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:
х + 4х = 2 + 3
Приводим подобные, считаем:
Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:
Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.
Например, вот это уравнение:
С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.
Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?
95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:
Раскрываем скобки:
Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:
Раскрываем оставшиеся скобки:
Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:
Приводим подобные:
И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:
Вот и всё. Ответ: х =0,16
Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)
Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.
Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.
Особые случаи при решении линейных уравнений.
Сюрприз первый.
Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:
2х+3=5х+5 - 3х - 2
Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:
2х-5х+3х=5-2-3
Считаем, и... опаньки!!! Получаем:
Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?
Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.
Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)
Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.
Вот вам и ответ: х - любое число.
Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.
Сюрприз второй.
Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:
2х+1=5х+5 - 3х - 2
После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:
Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)
Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)
Вот вам и ответ: решений нет.
Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.
Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)
Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
