План

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

Рациональные дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Основные методы вычисления определенного интеграла (замена переменной, интегрирование по частям).

Геометрические приложения определенного интеграла. Некоторые приложения определенного интеграла в экономике.

Несобственные интегралы (интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных функций).

Первообразная функции и неопределенный интеграл

В интегральном исчислении основной задачей является нахождение функции y = f (x ) по ее известной производной .

Определение 1. Функция F (x ) называется первообразной функции f (x ) на интервале (a, b ), если для любого выполняется равенство: или .

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a , b ] функция f (x ) имеет на этом отрезке первообразную F (x ).

В дальнейшем будем рассматривать непрерывные на отрезке функции.

Теорема 2. Если функция F (x ) является первообразной функции f (x ) на интервале (a, b ), то множество всех первообразных задается формулой F (x )+С , где С – постоянное число.

Доказательство .

Функция F (x )+С является первообразной функции f (x ), так как .



Пусть Ф (x ) – другая, отличная от F (x ) первообразной функции f (x ), т. е. . Тогда имеем

а это означает, что

,

где С – постоянное число. Следовательно,

Определение 2. Множество всех первообразных функций F (x )+С для функции f (x ) называется неопределенным интегралом от функции f (x ) и обозначается символом .

Таким образом, по определению

(1)

В формуле (1) f (x ) называется подынтегральной функцией , f (x )dx – подынтегральным выражением , x – переменной интегрирования, знаком неопределенного интеграла .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой . Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Оy .

Основные свойства неопределенного интеграла

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению :

Доказательство .

Пусть Тогда

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Доказательство .

Действительно, .

3. Постоянный множитель a () можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций :

5. Если F (x ) – первообразной функции f (x ), то

Доказательство .

Действительно,

6 (инвариантность формул интегрирования ). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной :

где u – дифференцируемая функция .

Таблица основных неопределенных интегралов

Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то большинство из приводимых формул может быть получено обращением соответствующих формул дифференцирования. Другими словами, таблица основных формул интегрирования получается из таблицы производных элементарных функций при обратном ее чтении (справа налево).

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может означать как независимую переменную (u =x ), так и функцию от независимой переменной (u =u (x )).)






Интегралы 1–12 называются табличными .

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Словник : Имидоэфиры - Историческая школа . Источник: т. XIII (1894): Имидоэфиры - Историческая школа, с. 249-253 ( · индекс ) Другие источники : МЭСБЕ


Интегральное исчисление - в сочинении Архимеда «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» - о поверхностях и объемах тел, ограниченных кривыми поверхностями; эти вопросы представляют первые геометрические задачи, относящиеся к И. исчислению. И в настоящее время основной задачей И. исчисления является нахождение площадей криволинейных фигур. Под площадью криволинейной фигуры S {\displaystyle S} (черт. 1) разумеется предел, к которому стремится площадь вписанного в фигуру многоугольника по мере увеличения числа его сторон, причем эти стороны могут быть сделаны меньше всякого заранее заданного произвольно малого числа. Указанная задача решается при помощи И. исчисления, если криволинейный контур фигуры S {\displaystyle S} задан уравнением, как это делается в аналитической геометрии (см. Аналитическая геометрия и Дифференциальное исчисление). Пусть уравнение заданной кривой S {\displaystyle S} (черт. 2)
есть y = f (x) {\displaystyle y=f(x)} . Определим площадь P 0 M 0 M n P n {\displaystyle P_{0}M_{0}M_{n}P_{n}} , образованную отрезком оси x {\displaystyle x} -ов , двумя ординатами и и дугой M 0 m n {\displaystyle M_{0}m_{n}} кривой S {\displaystyle S} . Ясно, что нахождение площади всякой криволинейной фигуры может быть сведено к нахождению площадей такого вида (т. е. ограниченным тремя прямыми и дугой кривой). Проведем между крайними ординатами M 0 P 0 {\displaystyle M_{0}P_{0}} и M n P n {\displaystyle M_{n}P_{n}} n − 1 {\displaystyle n-1} ординат M 1 P 1 , M 2 P 2 , … {\displaystyle M_{1}P_{1},M_{2}P_{2},\dots } , соответствующих точкам деления отрезка оси P 0 P n {\displaystyle P_{0}P_{n}} . Эти точки выберем произвольно, с тем лишь ограничением, чтобы по мере увеличения числа n {\displaystyle n} наибольший из отрезков был бесконечно мал (напр. точки P 1 , P 2 , … {\displaystyle P_{1},P_{2},\dots } можно выбрать на равных расстояниях друг от друга). Предполагая, как это имеет место на черт. 2, что ординаты кривой во все время при переходе от к возрастают, легко видеть, что криволинейная площадь фигуры S {\displaystyle S} будет заключаться между следующими двумя суммами:

S n = f (x 0) (x 1 − x 0) + f (x 1) (x 2 − x 1) + ⋯ + f (x n − 1) (x n − x n − 1) {\displaystyle S_{n}=f(x_{0})(x_{1}-x_{0})+f(x_{1})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(x_{n-1})(x_{n}-x_{n-1})}
и S n ′ = f (x 1) (x 1 − x 0) + f (x 2) (x 2 − x 1) + ⋯ + f (x n) (x n − x n − 1) {\displaystyle S_{n}"=f(x_{1})(x_{1}-x_{0})+f(x_{2})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(x_{n})(x_{n}-x_{n-1})} ,
где x 0 = O P 0 {\displaystyle x_{0}=OP_{0}} , x 1 = O P 1 {\displaystyle x_{1}=OP_{1}} , x 2 = O P 2 {\displaystyle x_{2}=OP_{2}} , … x n = O P n {\displaystyle x_{n}=OP_{n}} ,
a f (x 0) = M 0 P 0 {\displaystyle f(x_{0})=M_{0}P_{0}} , f (x 1) = M 1 P 1 {\displaystyle f(x_{1})=M_{1}P_{1}} , f (x 2) = M 2 P 2 {\displaystyle f(x_{2})=M_{2}P_{2}} , … f (x n) = M n P n {\displaystyle f(x_{n})=M_{n}P_{n}} .

Из чертежа очевидно, что

S n < S < S n ′ {\displaystyle S_{n}.

Для обратного случая, т. е. когда ординаты кривой уменьшаются при переходе от M 0 {\displaystyle M_{0}} к M n {\displaystyle M_{n}} , рассуждение будет то же самое, только последнее неравенство изменит знак, т. е. будет:

S n > S > S n ′ . {\displaystyle S_{n}>S>S_{n}".}

Докажем, что разность S n ′ − S n {\displaystyle S_{n}"-S_{n}} при возрастании числа n {\displaystyle n} может быть сделана как угодно мала. Вычитая на самом деле, имеем:

S n ′ − S n = [ f (x 1) − f (x 0) ] (x 1 − x 0) + [ f (x 2) − f (x 1) ] (x 2 − x 1) + ⋯ + {\displaystyle S_{n}"-S_{n}=(x_{1}-x_{0})+(x_{2}-x_{1})+\dots +} . + [ f (x n) − f (x n − 1) ] (x n − x n − 1) . {\displaystyle +(x_{n}-x_{n-1}).}

Вследствие непрерывности функции в границах рассматриваемой площади число n {\displaystyle n} можно подобрать настолько большим, что все разности f (x 1) − f (x 0) {\displaystyle f(x_{1})-f(x_{0})} , f (x 2) − f (x 1) {\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})} , … f (x n) − f (x n − 1) {\displaystyle f(x_{n})-f(x_{n-1})} выйдут меньше , где ε {\displaystyle \varepsilon } произвольно малое число. Тогда

S n ′ − S n < ε (x 1 − x 0) + ε (x 2 − x 1) + … ε (x n − x n − 1) , {\displaystyle S_{n}"-S_{n}<\varepsilon (x_{1}-x_{0})+\varepsilon (x_{2}-x_{1})+\dots \varepsilon (x_{n}-x_{n-1}),} S n − S n < ε (x n − x 0) , {\displaystyle S_{n}-S_{n}<\varepsilon (x_{n}-x_{0}),}

а произведение ε (x n − x 0) {\displaystyle \varepsilon (x_{n}-x_{0})} из конечного числа на бесконечно малое ε {\displaystyle \varepsilon } , очевидно, есть величина бесконечно малая. Отсюда следует, что S {\displaystyle S} можно рассматривать как предел при возрастании n {\displaystyle n} , так что

S = {\displaystyle S=} пред. { f (x 0) (x 1 − x 0) + f (x 1) (x 2 − x 1) + ⋯ + f (x n − 1) (x n − x n − 1) } {\displaystyle \{f(x_{0})(x_{1}-x_{0})+f(x_{1})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(x_{n-1})(x_{n}-x_{n-1})\}} при .

Введем означения:

x 1 − x 0 = Δ x 0 , x 2 − x 1 = Δ x 1 , … x n − x n − 1 Δ x n − 1 , {\displaystyle x_{1}-x_{0}=\Delta x_{0},\,x_{2}-x_{1}=\Delta x_{1},\dots x_{n}-x_{n-1}\Delta x_{n-1},} S = {\displaystyle S=} пред. { f (x 0) Δ x 0 + f (x 1) Δ x 1) + ⋯ + f (x n − 1) Δ x n − 1) } {\displaystyle \{f(x_{0})\Delta x_{0}+f(x_{1})\Delta x_{1})+\dots +f(x_{n-1})\Delta x_{n-1})\}} при n = ∞ {\displaystyle n=\infty }

или короче

S = {\displaystyle S=} пред. ∑ f (x) Δ x {\displaystyle \sum f(x)\Delta x} .

Этот предел называется определенным интегралом , взятым от между границам и и ; для него употребляют особый знак:

∫ x 0 x 1 f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx} .

Функция f (x) {\displaystyle f(x)} называется подынтегральной , а значки x 0 {\displaystyle x_{0}} и x n {\displaystyle x_{n}} пределами : x 0 {\displaystyle x_{0}} - нижним , а x n {\displaystyle x_{n}} - верхним пределами. Знак ∫ произошел от буквы S, выражающей сумму элементов f (x) d x {\displaystyle f(x)dx} ; название же интеграл произошло от латинского слова integer - целый. Знак ∫ введен Лейбницем и долгое время его употребляли без означения пределов; указание пределов введено Фурье.


Пример . Вычислить площадь ∫ 0 a x 2 d x {\displaystyle \int \limits _{0}^{a}x^{2}dx} , ограниченную осью x {\displaystyle x} -ов (черт. 3) между началом координат и точкой, имеющею абсциссу a {\displaystyle a} , между дугой параболы O M {\displaystyle OM} , уравнение которой есть y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} , и ординатой M a {\displaystyle Ma} . Разобьем основание O a {\displaystyle Oa} на n {\displaystyle n} равных частей a / n = h {\displaystyle a/n=h} ; тогда площадь будет пределом суммы

∑ x 2 h = 0 h + h 2 h + (2 h) 2 h + … ((n − 1) h) 2 h = = h 3 (1 + 2 2 + ⋯ + (n − 1) 2) = = a 3 n 3 ((n − 1) n (2 n − 1) 6) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum x^{2}h&=0h+h^{2}h+(2h)^{2}h+\dots ((n-1)h)^{2}h=\\&=h^{3}(1+2^{2}+\dots +(n-1)^{2})=\\&={\frac {a^{3}}{n^{3}}}\left({\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}\right)\end{aligned}}} ∑ x 2 h = a 3 3 (1 − 3 2 n + 1 2 n 2) {\displaystyle \sum x^{2}h={\frac {a^{3}}{3}}\left(1-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)} .

При увеличении n {\displaystyle n} до ∞ {\displaystyle \infty } получим

Пред. ∑ x 2 h = a 3 3 {\displaystyle \sum x^{2}h={\frac {a^{3}}{3}}} , ∫ 0 a x 2 d x = a 3 3 {\displaystyle \int \limits _{0}^{a}x^{2}dx={\frac {a^{3}}{3}}} .

Зная, что a M = a 2 {\displaystyle aM=a^{2}} , заключаем, что площадь криволинейной фигуры O M a {\displaystyle OMa} равна одной трети площади прямоугольника O K M a {\displaystyle OKMa} .

Необходимо заметить, что определение интеграла как предела суммы дает возможность вычислить его с любой степенью точности. Для этой цели можно поступать так: разобьем промежуток x n − x 0 {\displaystyle x_{n}-x_{0}} (черт. 2) на n {\displaystyle n} равных частей x 1 , x 2 , x 3 , … , x n − 1 , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n-1},x_{n}} ; тогда

x 1 = x 0 + h , x 2 = x 0 + 2 h , … x n = x 0 + n h {\displaystyle x_{1}=x_{0}+h,\,x_{2}=x_{0}+2h,\dots x_{n}=x_{0}+nh} ; S n = h { f (x 0) + f (x 1) + ⋯ + f (x n − 1) } {\displaystyle S_{n}=h\{f(x_{0})+f(x_{1})+\dots +f(x_{n-1})\}} , S n ′ = h { f (x 1) + f (x 2) + ⋯ + f (x n) } {\displaystyle S_{n}"=h\{f(x_{1})+f(x_{2})+\dots +f(x_{n})\}} .

Вычитая, получим

S n ′ − S n = h { f (x n) − f (x 0) } {\displaystyle S_{n}"-S_{n}=h\{f(x_{n})-f(x_{0})\}} .

Подбирая n {\displaystyle n} настолько большим, чтобы h {\displaystyle h} вышло меньше k f (x n) − f (x 0) {\displaystyle {\tfrac {k}{f(x_{n})-f(x_{0})}}} , получим

S n ′ − S n < k {\displaystyle S_{n}"-S_{n}

и, следовательно, определенный интеграл S {\displaystyle S} будет отличаться от S n {\displaystyle S_{n}} меньше, чем на величину k {\displaystyle k} . Отсюда вычислить интеграл с точностью k {\displaystyle k} значит вычислить соответствующую сумму S n {\displaystyle S_{n}} .

Здесь указана, конечно, только возможность вычисления определенного интеграла с данной степенью точности. В настоящее время в математике известны различные приемы для приближенного вычисления интегралов (площадей), более удобные, чем прием, получаемый непосредственно из определения интеграла как предела суммы. Приемы эти, принадлежащие Симпсону, Котесу, Эйлеру, Гауссу, Чебышеву, Эрмиту и др., известны под названием формул квадратур , откуда название квадратур дается и самим интегралам, так что, если говорят, что вопрос решается в квадратурах, это значит, что искомую величину можно выразить при помощи интегралов от некоторых функций.


Из вышеприведенного примера видно, что вычисление определенного интеграла равносильно задаче вычисления площади некоторого криволинейного контура. Оказывается, что вычисление определенного интеграла от любой функции может быть приведено к одной общей задаче, основной в И. исчислении, а именно к интегрированию функций . Эта задача формулируется так: дана функция f (x) {\displaystyle f(x)} ; найти новую функцию F (x) {\displaystyle F(x)} , называемую первообразной (неопределенный интеграл), так, чтобы

F ′ (x) = f (x) {\displaystyle F"(x)=f(x)} ,

т. е. чтобы заданная функция была производной от искомой. В самом деле, рассмотрим площадь A B P M {\displaystyle ABPM} (черт. 4), ограниченную отрезком оси x {\displaystyle x} -ов B P {\displaystyle BP} , дугой, заданной кривой A M {\displaystyle AM} , ординатой A B {\displaystyle AB} некоторой определенной точки A {\displaystyle A} , от которой отсчитываются дуги по кривой A M {\displaystyle AM} , и переменной ординатой M P {\displaystyle MP} , соответствующей некоторой точке M {\displaystyle M} кривой линии, не указывая, которой именно.

Положение переменной ординаты M P {\displaystyle MP} , конечно, зависит от абсциссы x = O P {\displaystyle x=OP} точки M {\displaystyle M} . Поэтому и площадь S = A B P M {\displaystyle S=ABPM} есть некоторая функция от x {\displaystyle x} ; означим ее через F (x) {\displaystyle F(x)} . Посмотрим, чему равна производная этой функции. Приращение Δ S = Δ F (x) {\displaystyle \Delta S=\Delta F(x)} есть не что иное, как площадь M P P 1 M 1 {\displaystyle MPP_{1}M_{1}} , где P P 1 = Δ x {\displaystyle PP_{1}=\Delta x} . Если в сопредельности с точкой M {\displaystyle M} функция возрастает, как это имеет место на чертеже, то

P M N 1 P 1 < Δ S < P N 2 M 1 P 1 {\displaystyle PMN_{1}P_{1}<\Delta S.

Если бы в сопредельности с точкой M {\displaystyle M} функция убывала, то можно написать такое же неравенство, но с обратным знаком. Вводя предыдущие обозначения и видя, что P M = f (x) {\displaystyle PM=f(x)} , a P 1 M 1 = f (x + Δ x) {\displaystyle P_{1}M_{1}=f(x+\Delta x)} , имеем:

f (x) Δ x < Δ F (x) < f (x + Δ x) Δ x {\displaystyle f(x)\Delta x<\Delta F(x).

Разделяя все части этого неравенства на Δ x {\displaystyle \Delta x} , получим

f (x) < Δ F (x) Δ x < f (x + Δ x) {\displaystyle f(x)<{\frac {\Delta F(x)}{\Delta x}}; откуда, в пределе: пред. Δ F (x) Δ x = F ′ (x) = f (x) {\displaystyle {\frac {\Delta F(x)}{\Delta x}}=F"(x)=f(x)} .

Итак, нахождение определенных интегралов сводится к поставленной выше задаче. Очевидно, эта задача неопределенная, потому что существует бесчисленное множество функций, имеющих ту же самую производную. Все эти функции отличаются друг от друга на числа постоянные, так как производная от постоянного числа равна нулю. Если, например, обозначить через F (x) {\displaystyle F(x)} одну из бесчисленного множества функций, имеющих производной заданную функцию f (x) {\displaystyle f(x)} , то другие функции будут F (x) + 1 {\displaystyle F(x)+1} , F (x) + 2 {\displaystyle F(x)+2} , F (x) + π {\displaystyle F(x)+\pi } и т. д., вообще говоря, , где C {\displaystyle C} - некоторое постоянное число, не зависящее от x {\displaystyle x} . Функция F (x) + C {\displaystyle F(x)+C} , заключающая неопределенную постоянную C {\displaystyle C} , называется поэтому неопределенным интегралом и обозначается так:

∫ f (x) d x = F (x) + C {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C} .

Что в выражение площади должна входить некоторая произвольная постоянная, ясно из геометрических соображений, ибо площади можно отсчитывать от совершенно произвольной ординаты A B {\displaystyle AB} (черт. 4). Выбору некоторой ординаты за начальную будет соответствовать аналитическое указание постоянного числа C {\displaystyle C} . Положим, что за начальную ординату счета площадей выбрана ордината, соответствующая некоторому числу а; тогда, если конечную ординату площади означить через x {\displaystyle x} и положить, что x > a {\displaystyle x>a} , то площадь выразится некоторым числом. По мере приближения ординаты x {\displaystyle x} к начальной, а площадь будет уменьшаться, так что при она обратится в нуль. Согласно тому, что уже сказано о пределах определенного интеграла, рассматриваемая площадь может быть обозначена интегралом:

∫ a x f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{x}f(x)dx} .

Рассматривая верхний предел x {\displaystyle x} как переменную величину, легко видеть, что этот интеграл равен F (x) + C 0 {\displaystyle F(x)+C_{0}} , где C 0 {\displaystyle C_{0}} подобрано так, что этот интеграл (площадь) обращается в нуль при x = a {\displaystyle x=a} ; отсюда

F (a) + C 0 = 0 {\displaystyle F(a)+C_{0}=0} и C 0 = − F (a) {\displaystyle C_{0}=-F(a)} ; .

Этот интеграл назывался Эйлером integrale quod evanescit posito x = a {\displaystyle x=a} , так как Эйлер не употреблял еще знаков пределов.

Отсюда ясно, что всякий определенный интеграл от функции f (x) {\displaystyle f(x)} между пределами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} может быть вычислен по формуле

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)} , (*. )

где F (x) {\displaystyle F(x)} совершенно произвольное значение неопределенного интеграла. Это значит, что за F (x) {\displaystyle F(x)} нужно взять совершенно произвольную из числа функций, имеющих заданную производную. Сказанное, впрочем, очевидно, потому что если означить через другое значение неопределенного интеграла, то получается

φ (x) = F (x) + C {\displaystyle \varphi (x)=F(x)+C} ;

подставляя вместо x , a {\displaystyle x,a} и b {\displaystyle b} получим

φ (a) = F (a) + C , φ (b) = F (b) + C {\displaystyle \varphi (a)=F(a)+C,\quad \varphi (b)=F(b)+C} , φ (b) − φ (a) = F (b) − F (a) {\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=F(b)-F(a)}

и, следовательно, можно взять другое значение неопределенного интеграла φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} , так что рассматриваемый определенный интеграл можно вычислить по формуле

∫ a b f (x) d x = φ (b) − φ (a) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\varphi (b)-\varphi (a)} .

Независимость определенного интеграла от той функции из числа первообразных, которую мы выбираем, следует и из того, что площадь между двумя определенными ординатами не зависит от положения третьей ординаты, принятой за начало счета площадей. - И. исчисление разделяется на следующие большие отделы:

I. Интегрирование функций. Здесь излагаются приемы для нахождения по заданной функции ее первообразной, другими словами - нахождение неопределенного интеграла от заданной функции. - Прежде всего необходимо заметить, что знаки дифференцирования и интегрирования друг друга уничтожают, т. е.

d ∫ f (x) d x = f (x) d x {\displaystyle d\int f(x)dx=f(x)dx} и ∫ d f (x) = f (x) + C {\displaystyle \int df(x)=f(x)+C} .

Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла, т. е.

∫ a f (x) d x = a ∫ f (x) d x {\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx} ;

это очевидно как из определения интеграла как предела суммы, так и из понятия о интеграле, как о функции первообразной. Аналогичная теорема существует и в дифференциальном исчислении. В статье Дифференциальное исчисление (см. т X, стр. 696) помещена табличка производных и дифференциалов простейших функций. Обращение ее дает основную табличку и для интегрирования функций. Возьмем, например, формулу для дифференциала степени:

d (x a) = a x a − 1 d x {\displaystyle d(x^{a})=ax^{a-1}dx} .

Взяв интегралы обеих частей, или, как говорят, интегрируя обе части этого уравнения, получим:

∫ d (x a) = ∫ a x a − 1 d x = a ∫ x a − 1 d x {\displaystyle \int d(x^{a})=\int ax^{a-1}dx=a\int x^{a-1}dx} x a + C = a ∫ x a − 1 d x {\displaystyle x^{a}+C=a\int x^{a-1}dx} ∫ x a − 1 d x = x a a + C {\displaystyle \int x^{a-1}dx={\frac {x^{a}}{a}}+C}

при заменении a {\displaystyle a} через a + 1 {\displaystyle a+1} эта же формула представится так:

∫ x a d x = x a + 1 a + 1 + C {\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C} .

Эта формула не имеет места при a = − 1 {\displaystyle a=-1} , но тогда на основании формулы (8) упомянутой таблички получим:

∫ d x x = lg ⁡ x + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\lg x+C} .

Применяя подобные же рассуждения ко всем прочим формулам таблички дифференциалов простейших функций, получим табличку основных формул интегрирования простейших функций:

1) ∫ x a . d x = x a + 1 a + 1 + C {\displaystyle \displaystyle \int x^{a}.dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}
2) ∫ d x x = lg ⁡ x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\lg x+C}
3) ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C}
4) ∫ a x . d x = a x lg ⁡ a + C {\displaystyle \displaystyle \int a^{x}.dx={\frac {a^{x}}{\lg a}}+C}
5) ∫ sin x . d x = − cos x + C {\displaystyle \displaystyle \int \sin \,x.dx=-\cos \,x+C}
6) ∫ cos x . d x = sin x + C {\displaystyle \displaystyle \int \cos \,x.dx=\sin \,x+C}
7) ∫ d x cos 2 ⁡ x = t g x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C}
8) ∫ d x 1 − x 2 = arcsin x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin \,x+C}
9) ∫ d x 1 + x 2 = a r c t g x + C {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C}

Из этой таблички видно, что интегралы от весьма простых алгебраических функций

∫ d x x {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{x}}} , ∫ d x 1 − x 2 {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}} и ∫ d x 1 + x 2 {\displaystyle \displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}}

‎ выражаются трансцендентными функциями:

lg ⁡ x {\displaystyle \lg x} , arcsin x {\displaystyle \arcsin \,x} и a r c t g x {\displaystyle \mathrm {arctg} \,x} .

Изыскивая же правила для интегрирования более сложных функций, уже первые исследователи в области И. исчисления заметили, что только интегралы немногих функций вообще представляются в конечном виде; для огромного же большинства функций их первообразные представляют новые виды функций, изучение которых и составляет обширное и еще мало разработанное поле исследований. К числу таких новых трансцендентных принадлежат так называемые эллиптические интегралы, теория которых в настоящее время уже хорошо разработана и получила большие приложения. Интегрирование же функций более сложных состоит пока из отдельных попыток, причем рядом преобразований стремятся свести интегрирование рассматриваемой функции к интегрированию функций, помещенных в табличке простейших. Эта часть И. исчисления доставила, однако, весьма важные результаты; так, например, известно, что интеграл от всякой рациональной функции выражается в конечном виде, т. е. при помощи конечного числа знаков функций, встречающихся уже в элементарной математике. Из числа иррациональных функций заслуживает особенного внимания случай, когда иррациональность подынтегральной функции состоит или из дробных степеней переменного независимого, или же представляет квадратный корень из многочлена, степени не выше второй. В этих случаях интегрирование также совершается в конечном виде. Известны, наконец, некоторые интегрируемые классы функций трансцендентных. К числу упомянутых выше основных преобразований относятся:

1) разложение интеграла на части по формуле:

∫ f (x) d x = ∫ f [ φ (t) ] φ ′ (t) d t {\displaystyle \int f(x)dx=\int f[\varphi (t)]\varphi "(t)dt}

и 3) интегрирование по частям по формуле:

∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int udv=uv-\int vdu} . (III. )

II. Теория определенных и кратных интегралов. Сюда относятся исследования и нахождения определенных интегралов в тех случаях, когда неопределенный интеграл весьма трудно или вовсе нельзя выразить через известные функции, а потому тут излагаются приемы, дающие возможность вычислять определенные интегралы не пользуясь основной формулой (); здесь также обобщается понятие об определенном интеграле на случай нескольких независимых переменных.

III. Геометрические приложения интегрального исчисления. В этом отделе рассматриваются четыре основные задачи: 1) квадратура площадей, ограниченных кривыми линиями, 2) вычисление длин дуг кривых линий, 3) вычисление объемов (кубатура) тел, ограниченных кривыми поверхностями, и 4) вычисление площадей криволинейных поверхностей в некоторых контурах, проведенных на этих поверхностях.


Чтобы дать понятие о геометрических приложениях И. исчисления, а равно о кратных интегралах, рассмотрим задачу об определении объема тел, ограниченных кривыми поверхностями. Такой объем U {\displaystyle U} (черт. 5) можно рассматривать как сумму параллелепипедов, составленных приращениями координат Δ x , Δ y {\displaystyle \Delta x,\Delta y} и Δ z {\displaystyle \Delta z} , распространенную на все пространство, ограниченное заданной поверхностью.

Отсюда общая формула для объема будет:

U = {\displaystyle U=} пред. ∑ Δ x Δ y Δ z {\displaystyle \sum \Delta x\Delta y\Delta z}

Этот предел обозначается тройным интегралом

U = ∭ d x d y d z {\displaystyle U=\iiint dxdydz} ,

который представляет, следовательно, общую формулу для нахождения каких угодно объемов. Вся задача состоит в указании пределов у трех знаков интеграла, так как одно интегрирование (суммирование) производится по букве x {\displaystyle x} , другое по букве y {\displaystyle y} , а третье по букве z {\displaystyle z} . Требуется указать пределы таким образом, чтобы при интегрировании были приняты в расчет все элементы, лежащие внутри рассматриваемого криволинейного тела.

Полученная выше формула квадратур ∫ y d x {\displaystyle \int ydx} может быть написана также в виде двойного интеграла

∬ d x . d y {\displaystyle \iint dx.dy} ,

потому что

∫ 0 y d y = y {\displaystyle \int \limits _{0}^{y}dy=y} .

Исторический очерк развития И. исчисления см. Математика. Укажем здесь еще классические сочинения и руководства по этому предмету. Полная система интегрального исчисления в том виде, как оно излагается в настоящее время, находится в знаменитом трактате Эйлера «Institutiones calculi integralis» (СПб., 4 тома). Затем укажем на Коши: «Oeuvres complètes», Бертрана: «Traité de calcul différentiel et de calcul intégral» (2 тома), Ceppe: «Cours de calcul différentiel et intégral» (2 тома), Поссе: «Курс интегрального исчисления» (СПб., 1891 г.), и курсы, указанные в конце статьи Дифференциальное исчисление (т. X, стр. 705).

Интегральное исчисление

раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.

Определённый интеграл. Пусть требуется вычислить площадь S «криволинейной трапеции» - фигуры ABCD (см. рис. ), ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение которой у = f (x ), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и BC. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок [a , b ]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками а = x 0 x 1 x n-1 x n = b , обозначая длины этих участков Δx 1 , Δx 2 , ..., Δx n ; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами f (ξ 1), f (ξ 2), ..., f (ξ n ) где ξ k - некоторая точка из отрезка [x k - 1 , x k ] (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; f (ξ k) - его высота). Сумма S n площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади S криволинейной трапеции:

S ≈ S n = f (ξ 1) Δx 1 + f (ξ 2) Δx 2 + f (ξ n ) Δx n

или, применяя для сокращения записи символ суммы Σ (греческая буква «сигма»):

Указанное выражение для площади криволинейной трапеции тем точнее, чем меньше длины Δx k участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S надо найти Предел сумм S n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин Δx k стремится к нулю.

Отвлекаясь от геометрического содержания рассмотренной задачи, приходят к понятию определённого интеграла от функции f (x ), непрерывной на отрезке [а, b ], как к пределу интегральных сумм S n при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается

Символ ∫ (удлинённое S - первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, f (x ) - подинтегральной функцией, числа а и b называются нижним и верхним пределами определённого интеграла. Если а = b , то, по определению, полагают

Свойства определённого интеграла:

(k - постоянная). Очевидно также, что

К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении площадей, ограниченных кривыми (задачи «нахождения квадратур»), длин дуг кривых («спрямление кривых»), площадей поверхностей тел, объёмов тел («нахождение кубатур»), а также задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой, и многие другие задачи естествознания и техники. Например, длина дуги плоской кривой, заданной уравнением у = f (x ) на отрезке [a , b ], выражается интегралом

объём тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox ,- интегралом

Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определённый интеграл можно найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход к пределу затруднителен. Некоторые определённые интегралы удаётся вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя различные Квадратурные формулы (например, трапеций формулу (См. Трапеций формула), Симпсона формулу (См. Симпсона формула)). Такое приближённое вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют графические методы (см. Графические вычисления).

Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на некоторые классы неограниченных функций. Такие обобщения называются несобственными интегралами (См. Несобственные интегралы).

Выражения вида

где функция f (x , α) непрерывна по x называются интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (См. Специальные функции) (см., например, Гамма-функция).

Неопределённый интеграл. Нахождение неопределённых интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции ищется её производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная (или примитивная) функция - такая функция, производная которой равна данной функции. Таким образом, функция F (x ) является первообразной для данной функции f (x ), если F" (x ) = f (x ) или, что то же самое, dF (x ) = f (x ) dx. Данная функция f (x ) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для f (x ) содержатся в выражении F (x ) + С , которое называют неопределённым интегралом от функции f (x ) и записывают

Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования

Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами

Отсюда следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где C , m , a , k - постоянные и m ≠ -1, а > 0).

Таблица основных интегралов и правил интегрирования

Трудность И. и. по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, «в конечном виде». И. и. располагает лишь отдельными приёмами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из которых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках математического анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).

К классу функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций

где P (x ) и Q (x ) - многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, например функции, рационально зависящие от

или же от x и рациональных степеней дроби

В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, например рациональные функции синуса и косинуса. Функции, которые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., например, Интегральный логарифм , Интегральный синус и интегральный косинус , Интегральная показательная функция).

Историческая справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи И. и. в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл Исчерпывания метод , созданный Евдоксом Книдским (См. Евдокс Книдский) и широко применявшийся Архимед ом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма И. и. Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9-15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в И. и. они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный «неделимых» метод (См. Неделимых метод) был возрожден И. Кеплер ом. В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери , Э. Торричелли , Дж. Валлис ом, Б. Паскалем (См. Паскаль). Методом «неделимых» был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n -й степени, а затем - работы Х. Гюйгенс а по спрямлению кривых.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо друг от друга И. Ньютон ом и Г. Лейбниц ем. Последнему принадлежит термин «интегральное исчисление» и обозначение интеграла ∫ydx.

При этом в работах Ньютона основную роль играло понятие неопределённого интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление), тогда как Лейбниц исходил из понятия определённого интеграла. Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И. Бернулли и особенно Л. Эйлер а. В начале 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в 19 в. приняли участие русские математики М. В. Остроградский , В. Я. Буняковский , П. Л. Чебышев . В конце 19 - начале 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению основных понятий И. и. (Б. Риман , А. Лебег и др.).

Лит.: История. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строек Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

Работы основоположников и классиков И. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.-Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с. латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Эйлер Л., Интегральное исчисление, пер. с латин., тт. 1-3, М., 1956-58; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

Учебники и учебные пособия по И. и. Хинчин Д. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Ильин В., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Двайт Г.-Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, пер. с англ., М., 1964.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.


Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Интегральное исчисление" в других словарях:

    Интегральное исчисление - Интегральное исчисление. Построение интегральных сумм для вычисления определенного интеграла непрерывной функции f(x), график которой кривая MN. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    Раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г … Большой Энциклопедический словарь

    Отдел высшей математики, учение о действиях, противоположных дифференциальному вычислению, а именно об определении зависимости между несколькими переменными величинами по данному дифференциальному уравнению из них. Таким образом, находится… … Словарь иностранных слов русского языка

    ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, см. ИСЧИСЛЕНИЕ … Научно-технический энциклопедический словарь

Вступление

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = ò f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. b


называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b – а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А. Я. Хинчинчиным (1894-1959).

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Раздел математики, в к-ром изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений. И. и. непрерывно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним основу математич. анализа. Истоки И. и. относятся к античному периоду развития математики и связаны с исчерпывания методом, разработанным математиками Древней Греции. Этот метод возник при решении задач на вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, нек-рых задач статики и гидродинамики. Он основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т. п.). В этом смысле метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод. Наибольшее развитие метод исчерпывания в древнюю эпоху получил в работах Евдокса (4 в. до н. э.) и особенно Архимеда (3 в. до н. э.). Дальнейшее его применение и совершенствование связано с именами многих ученых 15 - 17 вв.

Основные понятия и интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решению прикладных задач, были разработаны в трудах И. Ньютона (I. Newton) н Г. Лейбница (G. Leibniz) в конце 17 в. Их исследования явились началом интенсивного развития математич. анализа. Существенную роль в его создании в 18 в. сыграли работы Л. Эйлера (L. Euler), Я. и И. Бернулли (Jacob, Johann Bernoulli), Ж. Лагранжа (J. Lagrange). В 19 в. в связи с появлением понятия предела И. и, приобрело логически завершенную форму [работы О. Коши (А. Саuchy), Б. Римана (В. Riemann) и др. Разработка теории и методов И. и. происходила в конце 19 в. и в 20 в. одновременно с исследованиями по теории меры, играющей существенную роль в И. и.

С помощью И. и. стало возможным решать единым методом многие теоретич. и прикладные задачи, как новые, к-рые ранее не поддавались решению, так и старые, требовавшие прежде специальных искусственных приемов. Основными понятиями И. и. являются два тесно связанных понятия интеграла: неопределенного и определенного.

Неопределенный от данной действительной функции на нек-ром промежутке определяется как совокупность всех ее первообразных на этом промежутке, т. е. функций, производные к-рых совпадают с заданной функцией. Неопределенный интеграл от функции f(x)обозначается через Если F(x)- какая-либо функцияf(x), то любая другая ее первообразная имеет F(x)+C, где С- произвольная постоянная, поэтому пишут

Операция нахождения неопределенного интеграла наз. интегрированием. Интегрирование является операцией, обратной к операций дифференцирования:

Операция интегрирования линейна: если на нек-ром промежутке существуют неопределенные интегралы

то для любых действительных чисел l 1 и l 2 на том же промежутке существует интеграл

Для неопределенных интегралов справедлива интегрирования по частям :если функции и(х)и v(x). дифференцируемы на нек-ром промежутке и интеграл существует, то существует и интеграл причем имеет место равенство

Справедлива формула замены переменного: если для функций f(x)и x=j(t), определенных на нек-рых промежутках, имеет смысл f, j(t)дифференцируема и существует интеграл то существует и интеграл

(см. Интегрирование подстановкой ).

Всякая непрерывная на нек-ром промежутке функция имеет на нем первообразную и, следовательно, для нее существует . Задача фактического нахождения неопределенного интеграла от конкретно заданной функции осложняется тем, что неопределенный интеграл от элементарной функции не является, вообще говоря, элементарной функцией. Известны многие классы функций, для к-рых оказывается возможным выразить их неопределенные интегралы через . Простейшими примерами этого являются интегралы, к-рые получаются из таблицы производных основных элементарных функций (см. Дифференциальное исчисление ):

Если подинтегральной функции обращается в в нек-рой точке, то написанные формулы справедливы лишь для тех промежутков, в к-рых не происходит обращения в нуль указанного знаменателя (см. формулы 1, 2, 6, 7, 11, 13, 15).

Неопределенный интеграл от рациональной функции на всяком промежутке, на к-ром знаменатель не обращается в нуль, является суперпозицией рациональных функций, арктангенсов и натуральных логарифмов. Нахождение алгебраич. части неопределенного интеграла от рациональной функции может быть осуществлено Остроградского методом. К интегрированию рациональных функций с помощью подстановок сводятся, напр., интегралы вида

где r 1 , r 2 ,..., r m - рациональные числа, интегралы вида

(см. Эйлера подстановки ), нек-рые случаи интегралов от дифференциальных биномов, интегралы вида

(здесь везде R(y 1 , y 2 , ..., у п )- рациональные функции), интегралы

и мн. др. Вместе с тем, напр., интегралы

не выражаются через элементарные функции. Определенным интегралом

от функции f(x), заданной на отрезке [ а, b], наз. предел интегральных сумм определенного вида (см. Коши интеграл, Римана интеграл, Лебега интеграл, Колмогорова интеграл, Стилтъеса интеграл и т. д.). Если этот предел существует, функцию f(x)наз. интегрируемой соответственно по Коши, по Риману, по Лебегу и т. д.

Геометрич. смысл интеграла связан 4 с понятием площади: если функция непрерывна на отрезке [а, b], то значение интеграла

равно площади криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x), т. е. множеством, к-рого состоит из графика функции f(x), . отрезка [ а, b ]и двух отрезков прямых х=а и x=b, к-рые могут вырождаться в точки. К задаче вычисления предела интегральных сумм, т. е. нахождению определенного интеграла, сводится вычисление многих встречающихся на практике величин: площадей фигур и поверхностей, объемов тел, работы силы, координат центра тяжести, значений моментов инерции различных тел и т.. п.

Определенный интеграл обладает свойством линейности: если функции f 1 (х)и f 2 (х)интегрируемы на отрезке [ а, b ], то для произвольных действительных чисел l 1 и l 2 функция также интегрируема на отрезке и

Интегрируемость функции на отрезке обладает свойством монотонности: если функция f(х)интегрируема на отрезке [ а, b ]и то функция f(х)интегрируема и на отрезке [ с, d ]. Справедливо свойство аддитивности интеграла относительно отрезков, по к-рым происходит интегрирование: если а<с и функция f(x)интегрируема на отрезках [ а, с ]и [ с, b ], то она интегрируема и на отрезке [ а, b ], причем

Если функции f(x)и g(x)интегрируемы, то их также интегрируемо. Если на [ а, b ], то

Если функция f(x)интегрируема на [ а, b ], то ее |f(x)|также интегрируема на [ а, b ]и

По определению полагают

Для определенных интегралов справедливы теоремы о среднем. Напр., если f(x)и g(x)интегрируемы на отрезке [ а, b ], и функция g(x)не меняет знака на отрезке [ а, b], т. е. либо неотрицательна, либо неположительна на этом отрезке, то существует такое что

При дополнительном предположении непрерывности на отрезке [ а, b ]функции f(x)на интервале ( а, b )существует такая точка x, что

В частности, если g(x)=A, то

Интегралы с переменным верхним пределом. Если функция f(x)интегрируема по Риману на отрезке [ а, b ], то функция

непрерывна на этом отрезке. Если, кроме того, функция f(x)непрерывна в точке х 0 , то функция F(x)дифференцируема в этой точке и F" (x 0 ) = f (x 0 ). Иначе говоря, в точках непрерывности функции справедлива формула

Следовательно, для всякой интегрируемой по Риману на отрезке [ а, b ]функции эта формула справедлива во всех точках, кроме, быть может, множества точек, имеющих меру Лебега, равную нулю, ибо если функция интегрируема по Риману на некотором отрезке, то ее точек разрыва имеет меру нуль. Таким образом, если функция f(x)непрерывна на отрезке [ а, b ], то функция является ее первообразной на этом отрезке. Эта показывает, что операция дифференцирования является обратной к взятию определенного интеграла с переменным верхним пределом, тем самым устанавливая связь между определенным и неопределенным интегралами:

Геометрия, смысл этой связи состоит в том, что задача о нахождении касательной к кривой и вычисление площадей плоских фигур являются в указанном смысле взаимно обратными.

Для любой первообразной F(x)непрерывной функции f(x)на отрезке [ а, b ]имеет место формула Ньютона - Лейбница:

Она показывает, что по некоторому отрезку от непрерывной функции равен разности значений на концах этого отрезка любой из ее первообразных. Эту формулу иногда принимают за определение определенного интеграла. В этом случае доказывается, что введенный таким образом интеграл является пределом соответствующих сумм.

Для определенных интегралов справедливо правило замены переменного и формула интегрирования по частям. Пусть, напр., функция f(х) непрерывна на интервале (а, b)и функция j(t)непрерывна вместе со своей производной j" (t)на интервале (a, b), причем (a, b) отображается с помощью функции j(t) в интервал (a, b ): a< j(t) при a, b) имеет смысл суперпозиция f. Тогда, если то имеет место формула замены переменного

Формула интегрирования по частям:

где функции и(х)и v(x)имеют на отрезке [ а, b ]интегрируемые производные.

Формула Ньютона - Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к отысканию значений его первообразной. Поскольку задача отыскания первообразной является сама по себе сложной, то большое значение имеют другие методы нахождения определенных интегралов, среди к-рых прежде всего следует отметить, метод вычетов и метод дифференцирования и интегрирования по параметру зависящих от параметров интегралов. Разрабатываются также численные методы приближенного вычисления интегралов.

Обобщение понятия интеграла на случай неограниченных функций и случай неограниченного промежутка приводит к понятию несобственного интеграла, к-рый определяется при помощи еще одного дополнительного предельного перехода.

Понятия неопределенного и определенного интегралов переносятся на комплекснозначные функции. Представление любой регулярной функции комплексного переменного в виде Коши интеграла по контуру сыграло важную роль в развитии теории аналитич. функций.

Обобщение понятия определенного, интеграла от функции одного переменного на случай функций многих переменных приводит к понятию кратного интеграла.

Для неограниченных множеств и неограниченных функций многих переменных, также как и в одномерном случае, вводится понятие несобственного интеграла.

Расширение практич. использования И. и. обусловило введение понятий криволинейного интеграла - интеграла по кривой, поверхностного интеграла - интеграла по поверхности и вообще - интеграла по многообразиям, сводимых в нек-ром смысле к определенному интегралу ( - к интегралу по отрезку, поверхностный - к интегралу по области (плоской), интеграл по n-мерному многообразию - к интегралу по n-мерной области). Интегралы по многообразиям, в частности криволинейные и поверхностные, играют важную роль в И. и. функций многих переменных; с их помощью можно установить связь между интегрированием по области и ее границе или, в общем случае, по многообразию и его краю. Эта связь устанавливается Стокса формулой (см. также Остроградского формула, Грина формулы ), являющейся обобщением на многомерный случай формулы Ньютона - Лейбница.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы находят непосредственное применение в математич. физике, в частности в теории поля. Кратные интегралы и связанные с ними понятия широко используются при решении конкретных прикладных задач. Для численного вычисления кратных интегралов разработана теория кубатурных формул.

Теория и методы И. и. числовых функций конечного числа переменных переносятся и на более общие объекты. Напр., теория интегрирования функций, значения к-рых принадлежат линейным нормированным пространствам, функций, заданных на топологич. группах, обобщенных функций и функций бесконечного числа переменных (). Наконец, новое И. и. связано также с появлением и развитием конструктивной математики.

И. и. применяется во многих разделах математики (в теории дифференциальных и интегральных уравнений, в теории вероятностей и математич. статистике, в теории оптимальных процессов и др.), и в ее приложениях.

Лит. :см. - при статье Дифференциальное исчисление, а также к разделу "Работы основоположников и классиков...": Архимед, Сочинения, М., 1962; Кеплер И., Новая стереометрия винных бочек, [пер. с латин.], М.- Л., 1934; Кавальери Б., Геометрия..., [пер. с латин.], М.- Л., 1940; Эйлер Л., Интегральное , пер. с латин., т. 1 - 3, М., 1956-58.

Л. Д. Кудрявцев.


Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ" в других словарях:

    Интегральное исчисление - Интегральное исчисление. Построение интегральных сумм для вычисления определенного интеграла непрерывной функции f(x), график которой кривая MN. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    Раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г … Большой Энциклопедический словарь

    Отдел высшей математики, учение о действиях, противоположных дифференциальному вычислению, а именно об определении зависимости между несколькими переменными величинами по данному дифференциальному уравнению из них. Таким образом, находится… … Словарь иностранных слов русского языка