«МАОУ Лицей №3 им. »

Разработка материала по теме:

«КОМБИНАЦИИ ШАРА С КОНУСОМ И ПИРАМИДОЙ»

Цель : 1) систематизировать и обобщить знания по комбина-

циям шара с конусом и пирамидой;

2) способствовать формирования учебных компетентностей по самос-

тоятельному приобретению знаний, продолжить подготовку учащихся к сдаче ЕГЭ.

Рассматриваемые вопросы:

1) Шар, вписанный в конус.

2) Шар, описанный около конуса.

3) Шар, вписанный в пирамиду.

4) Шар, описанный около пирамиды.

5) Шар, вписанный в усечённый конус.

Особое внимание - на два основополагающих вопроса при рассмотрении

комбинаций с шаром:

а) где находится центр шара;

б) какой отрезок является радиусом.

1. Шар, вписанный в конус .

в) Осевым сечением данной комбинации тел является треугольник, вписанный в окруж-ность, радиус которой равен радиусу вписанного шара. Центр окружности является цент-ром шара и находится в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника, являющегося его осевым сечением.

Если конус равносторонний, то Rш= ,

В общем случае Rш=, Rш=https://pandia.ru/text/80/196/images/image005_4.gif" width="37" height="43">, где ℓ- образующая;

r - радиус основания, 100%">

Vк= Sосн H. где Н= SN. Vш= πR3, где R - радиус шара. R3=3Vш.∕4π=3∙8∕4π=6\π.

Выразим объём конуса через R3. Vк..gif" width="31" height="41 src=">.gif" width="36" height="44">=√3R..gif" width="12" height="23 src=">SN=NB∙tg60˚=√3∙√3R=3R. Vк=π∙3R2∙3R=3π∙=18.

ОТВЕТ: Vк=18.

В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к основанию под углом ά. Найти площадь полной поверхности конуса.

Рассмотрим ΔКОВ (<К-90˚), tg =; КB==OK∙ctg https://pandia.ru/text/80/196/images/image020_1.gif" width="29" height="41 src="> , SB= =.

Sосн.= π r2ctg2 ;

Sбок.=.

Sполн. =().

ОТВЕТ: https://pandia.ru/text/80/196/images/image010_2.gif" width="12" height="23 src=">.jpg" width="611" height="143 src=">

АО=SO=OB=Rш SO=AO=OB= Rш AO=SO=SB= Rш

центр шара внутри конуса центр шара вне конуса центр на основании конуса

∆ASB - прямоугольный

Замечание: Для решения задач часто удобно пользоваться осевым сечением данной комбинации тел – треугольник, вписанный в окружность; при этом радиус описанной сферы равен радиусу описанной окружности около треугольника (равнобедренного, равностороннего или прямоугольного равнобедренного).

https://pandia.ru/text/80/196/images/image029_0.gif" width="607" height="69">

3. Шар, описанный около пирамиды.

Определение: Шар называется описанным около произвольной пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на его поверхности.

3случая: - центр шара внутри пирамиды;

- вне её;

- в плоскости её основания.

!! Центр шара не всегда внутри пирамиды.

Опустим перпендикуляр ОК на грань SDC.

К – центр окружности, описанной около ∆DSC.

KD=KC=KS как проекции равных наклонных OD=OS=OC=Rш.

ВЫВОД. Если около пирамиды описан шар, то его центр лежит на пересечении перпендикуляров восставленных из центров кругов, описанных около треугольников, являющихся гранями пирамиды.

Замечание: Если из точки О опустить перпендикуляр на ребро основания, то основание перпендикуляра – середина ребра.

Теорема: Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой пересечения всех плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды перпендикулярно этим ребрам.

Замечание: Все теоремы со слова «если…», т. е. не всегда можно описать шар.

ВЫВОД. Для того чтобы около пирамиды можно было описать сферу необходимо и достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность.

ЗАДАЧА (решают на доске).

Основание треугольной пирамиды - правильный треугольник со стороной, рав-

ной 12 √15. Одна из боковых граней является также правильным треугольником и

перпендикулярна к плоскости основания. Найдите радиус сферы, описанной около

пирамиды.

4. Шар, вписанный в пирамиду.

Шар называется вписанным в произвольную пирамиду, если он касается всех граней пирамиды (как боковых, так и основания).

Аналогично можно для любых ребер, получим вновь биссектрису линейного двугранного угла. Плоскость, проходящая через биссектрису, называется биссектором , биссекторной или биссектральной двугранных углов пирамиды.

Теорема: Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.

Теорема обратная: Если биссекторные плоскости всех пересекаются в одной точке, то в пирамиду можно вписать шар.

Замечание: Однако в общем случае необязательно все биссекторные плоскости пересекаются в одной точке, поэтому не всегда в пирамиду можно вписать шар.

Теорема 1. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар.

Теорема 2. В правильную n-угольную пирамиду можно вписать шар.

В какую пирамиду нельзя вписать шар?

Четырёхугольная пирамида, если в её основании неправильный четырёхугольник и все биссекторные плоскости не пересекаются.

Дано: SАВС - правильная пирамида, в неё вписан шар,

РSO, SР: РО=2:3, Vш.= см.

Найти: Vпир.

1. По условию SР:РО=2:3.

2. Vш.=πR3 , R=ОО1=О1Д. Vпир.=Sосн.∙SO,

Vпир.=АС2∙sin60˚, Vпир.=АС2∙SO.

3. Vш.=см3 по условию, тогда πR3=R3=√3,
Шар, вписанный в правильную треугольную пирамиду, пересекает высоту пирамиды SO в точке P так, что SP: PO=2:3. Найти объём пирамиды, если объём шара равен

https://pandia.ru/text/80/196/images/image047.jpg" align="left" width="512" height="190 src=">

По условию SP:PO=2:3.


https://pandia.ru/text/80/196/images/image050_0.gif" width="465" height="419 src=">

Задача.

В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α вписан шар. Найти объём шара, если боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.

Дано: SАВСД - пирамида, АВСD- ромб, АВ=а, BAD=α, в пирами-

ду вписан шар, SDCO=100%">

SPO=β – линейный угол двугранного угла SDCO.


https://pandia.ru/text/80/196/images/image038.gif" width="17" height="16">S – общий; SKM=SOP=90°)https://pandia.ru/text/80/196/images/image038.gif" width="17" height="16 src=">SMK=SPO=β.

Далее можно предложить учащимся упростить полученное выражение (если нужно, то можно напомнить универсальную подстановку: ).

После преобразований имеем

а) Шар называется вписанным в усечённый конус , если он касается оснований конуса в их центрах и конической поверхности.

б) Осевым сечением данной комбинации тел является окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, радиус которой равен радиусу вписанного шара.

В) Для того, чтобы в усечённый конус можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы сумма его диаметров равнялась удвоенной величине образующей.

d +D=2ℓ или r+ R=ℓ, ℓ-образующая конуса, r, R - радиусы оснований конуса.

г) Центр описанного шара находится в середине отрезка, соединяющего центры оснований.

Образующая усечённого конуса составляет с плоскостью его основания угол в 60°. Найти площадь поверхности вписанного в этот конус шара, если площадь боковой поверхности усечённого конуса равна 4см2.

Задания для самостоятельной работы

А. Вписанный шар в пирамиду.

1. В шар радиуса 5 см вписана правильная четырёхугольная пирамида, при этом её основание оказалось вписанным в круг радиуса 3 см. Высота пирамиды больше радиуса шара. Определить объём пирамиды.

2. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Длина стороны основания пирамиды 12 см, высота пирамиды 6 см. Найти радиус шара.

3. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар. Сторона основания равна а, плоский угол при вершине равен α. Найти радиус шара.

4. В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объём шара, если объём конуса 27 см3.

Радиус шара (обозначается как r или R) – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Как и в случае круга, радиус шара является важной величиной, которая необходима для нахождения диаметра шара, длины окружности, площади поверхности и/или объема. Но радиус шара можно найти и по данному значению диаметра, длины окружности и другой величины. Используйте формулу, в которую можно подставить данные значения.

Шаги

Формулы для вычисления радиуса

    Вычислите радиус по диаметру. Радиус равен половине диаметра, поэтому используйте формулу г = D/2 . Эта такая же формула, которая используется при вычислении радиуса и диаметра круга.

    • Например, дан шар с диаметром 16 см. Радиус этого шара: r = 16/2 = 8 см . Если диаметр равен 42 см, то радиус равен 21 см (42/2=21).

  1. Вычислите радиус по длине окружности. Используйте формулу: r = C/2π . Так как длина окружности C = πD = 2πr, то разделите формулу для вычисления длины окружности на 2π и получите формулу для нахождения радиуса.

    • Например, дан шар с длиной окружности 20 см. Радиус этого шара: r = 20/2π = 3,183 см .
    • Такая же формула используется при вычислении радиуса и длины окружности круга.

  2. Вычислите радиус по объему шара. Используйте формулу: r = ((V/π)(3/4)) 1/3 . Объем шара вычисляется по формуле V = (4/3)πr 3 . Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу ((V/π)(3/4)) 3 = г, то есть для вычисления радиуса объем шара делим на π, результат умножаем на 3/4, а полученный результат возводим в степень 1/3 (или извлекаем кубический корень).

    • Например, дан шар с объемом 100 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
      • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
      • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
      • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
      • (23,87) 1/3 = r
      • 2,88 см = r

  3. Вычислите радиус по площади поверхности. Используйте формулу: г = √(A/(4 π)) . Площадь поверхности шара вычисляется по формуле А = 4πr 2 . Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу √(A/(4π)) = r, то есть, чтобы вычислить радиус, нужно извлечь квадратный корень из площади поверхности, деленной на 4π. Вместо того чтобы извлекать корень, выражение (A/(4π)) можно возвести в степень 1/2.

    • Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
      • √(A/(4π)) = r
      • √(1200/(4π)) = r
      • √(300/(π)) = r
      • √(95,49) = r
      • 9,77 см = r

    Определение основных величин

    1. Запомните основные величины, которые имеют отношение к вычислению радиуса шара. Радиус шара – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Радиус шара можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема или площади поверхности.

      Воспользуйтесь значениями данных величин, чтобы найти радиус. Радиус можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности. Более того, указанные величины можно найти по данному значению радиуса. Чтобы вычислить радиус, просто преобразуйте формулы для нахождения указанных величин. Ниже приведены формулы (в которых присутствует радиус) для вычисления диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности.

    Нахождение радиуса по расстоянию между двумя точками

    1. Найдите координаты (х,у,z) центра шара. Радиус шара равен расстоянию между его центром и любой точкой, лежащей на поверхности шара. Если известны координаты центра шара и любой точки, лежащей на его поверхности, можно найти радиус шара по специальной формуле, вычислив расстояние между двумя точками. Сначала найдите координаты центра шара. Имейте в виду, что так как шар является трехмерной фигурой, то точка будет иметь три координаты (х,у,z), а не две (х,у).

      • Рассмотрим пример. Дан шар с центром с координатами (4,-1,12) . Воспользуйтесь этими координатами, чтобы найти радиус шара.

    2. Найдите координаты точки, лежащей на поверхности шара. Теперь нужно найти координаты (х,у,z) любой точки, лежащей на поверхности шара. Так как все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара, для вычисления радиуса шара можно выбрать любую точку.

      • В нашем примере допустим, что некоторая точка, лежащая на поверхности шара, имеет координаты (3,3,0) . Вычислив расстояние между этой точкой и центром шара, вы найдете радиус.

    3. Вычислите радиус по формуле d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Узнав координаты центра шара и точки, лежащей на его поверхности, вы можете найти расстояние между ними, которое равно радиусу шара. Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), где d – расстояние между точками, (x 1 ,y 1 ,z 1) – координаты центра шара, (x 2 ,y 2 ,z 2) – координаты точки, лежащей на поверхности шара.

      • В рассматриваемом примере вместо (x 1 ,y 1 ,z 1) подставьте (4,-1,12), а вместо (x 2 ,y 2 ,z 2) подставьте (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69 . Это искомый радиус шара.

    4. Имейте в виду, что в общих случаях r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара. Если в формуле для нахождения расстояния между двумя точками "d" заменить на "r", получится формула для вычисления радиуса шара по известным координатам (x 1 ,y 1 ,z 1) центра шара и координатам (x 2 ,y 2 ,z 2) любой точки, лежащей на поверхности шара.

      • Возведите обе стороны этого уравнения в квадрат, и получите r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Отметьте, что это уравнение соответствует уравнению сферы r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с центром с координатами (0,0,0).
    • Не забывайте про порядок выполнения математических операций. Если вы не помните этот порядок, а ваш калькулятор умеет работать с круглыми скобками, пользуйтесь ими.
    • В этой статье рассказывается о вычислении радиуса шара. Но если вы испытываете затруднения с изучением геометрии, лучше начать с вычисления величин, связанных с шаром, через известное значение радиуса.
    • π (Пи) – это буква греческого алфавита, которая обозначает постоянную, равную отношению диаметра круга к длине его окружности. Число Пи является иррациональным числом, которое не записывается как отношение действительных чисел. Существует множество приближений, например, отношение 333/106 позволит найти число Пи с точностью до четырех цифр после десятичной запятой. Как правило, пользуются приблизительным значением числа Пи, которое равно 3,14.

Чтобы легко справиться с решением задач на шар, вписанный в пирамиду, полезно разобрать небольшой теоретический материал.

Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения бисекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).

Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды.

Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.

Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.

В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного треугольника и других связанных с ним треугольников.

Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF=r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF=l — апофема пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник, полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R — радиусу шара.

Прямоугольные треугольники OO1F и KO1F равны (по катетам и гипотенузе). Отсюда KF=OF=r.

Прямоугольные треугольники SKO1 и SOF подобны (по острому углу S), откуда следует, что

В треугольнике SOF применим свойство биссектрисы треугольника:

Из прямоугольного треугольника OO1F

При решении задач на шар, вписанный в правильную пирамиду, будет полезным еще одно рассуждение.

Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности.