Линейное уравнение с двумя переменными имеет общий вид ax + by + c = 0. В нем a, b и с – это коэффициенты – какие-то числа; а x и y – переменные – неизвестные числа, которые надо найти.
Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара чисел x и y, при которых ax + by + c = 0 – верное равенство.
У конкретного линейного уравнения с двумя переменными (например, 3x + 2y – 1 = 0) имеется множество решений, то есть множество пар чисел, при которых уравнение верно. Линейное уравнение с двумя переменными преобразовывается в линейную функцию вида y = kx + m, которая представляет собой прямую на координатной плоскости. Координаты всех точек, лежащих на этой прямой, являются решениями линейного уравнения с двумя переменными.
Если даны два линейных уравнения вида ax + by + c = 0 и требуется найти такие значения x и y, при которых оба они будут иметь решения, то говорят, что надо решить систему уравнений
. Систему уравнений пишут под общей фигурной скобкой. Пример:
У системы уравнений может быть ни одного решения, если прямые, являющиеся графиками соответствующих линейных функций, не пересекаются (то есть параллельны друг другу). Чтобы сделать вывод об отсутствии решение, достаточно преобразовать оба линейных уравнения с двумя переменными к виду y = kx + m. Если в обоих уравнениях k – одно и то же число, то система не имеет решений.
Если система уравнений оказывается состоящей из двух одинаковых уравнений (что может быть очевидно не сразу, а после преобразований), то она имеет бесконечное множество решений. В данном случае говорят о неопределенности.
Во всех остальных случаях система имеет одно решение. Этот вывод можно сделать из того, что две любые непараллельные прямые могут пересечься лишь в одной точке. Именно эта точка пересечения будет лежать и первой прямой и второй, то есть являться решением и первого уравнения и второго. Следовательно являться решением системы уравнений. Однако следует оговорить ситуации, когда на значения x и y накладываются те или иные ограничения (обычно по условию задачи). Например x > 0, y > 0. В таком случае даже если система уравнений будет иметь решение, но оно не будет удовлетворять условию, то делается вывод, что система уравнений не имеет решений при заданных условиях.
Решить систему уравнений можно тремя способами:
- Методом подбора. Чаще всего это очень сложно сделать.
- Графическим методом. Когда чертятся на координатной плоскости две прямые (графики функций соответствующих уравнений) и находится их точка пересечения. Данный метод может дает не точные результаты, если координаты точки пересечения – дробные числа.
- Алгебраическими методами. Они являются универсальными и надежными.
Мы уже знакомы с понятием линейное уравнение с двумя неизвестными . Уравнения могут в одной задаче присутствовать как поодиночке, так и по несколько уравнений сразу. В таки случаях уравнения объединяют в систему уравнений.
Что такое систеам линейных уравнений
Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Обычно для записи системы уравнений, их записывают в столбик и рисуют одну общую фигурную скобку. Запись системы линейных уравнений представлена ниже.
{ 4x + 3y = 6
{ 2x + y = 4
Данная запись означает, что задана система из двух уравнений, с двумя переменными. Если бы в системе было три уравнения, то речь шла бы о системе из трех уравнений. И так для любого количества уравнений.
Если в системе все присутствующие уравнения линейные, то говорят, что задана система линейных уравнений. В примере выше, как раз представлена система из двух линейных уравнений. Как уже отмечалось выше, система может иметь общие решения. О термине «общее решение» мы поговорим ниже.
Что является решением?
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Например, у нас есть система из двух линейных уравнений. Решением первого уравнения будут все пары чисел, которые удовлетворяют этому уравнению.
Для второго уравнения решением будут пары чисел, которые удовлетворяют этому уравнению. Если существует такая пара чисел, которая удовлетворяет как первому, так и второму уравнению, то эта пара чисел и будет решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Графическое решение
Графически, решением линейного уравнения являются все точки некоторой прямой на плоскости.
Для системы линейных уравнений будем иметь несколько прямых (по количеству уравнений). А решением системы уравнений, будет являться точка, в которой пересекаются ВСЕ прямые. Если такой точки нет, то система не будет иметь решений. Точка, в которой пересекаются все прямые, принадлежит каждой из этих прямой, поэтому решение называют общим.
Кстати, построение графиков уравнений системы и отыскание их общей точки, это один из способов решения системы уравнений. Данный способ называется графическим.
Другие способы решения линейных уравнений
Существуют и другие способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными. Основные способы решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными.
