При изучении математики часто можем наблюдать равенство двух выражений, содержащих арифметические действия. Рассмотрим два таких равенства. Произведение aв двенадцатой степени на a в пятой степени равно произведению a в восьмой степени на a в девятой степени. И частное a в двенадцатой степени, и а в четвертой степени равно произведению a во второй степени на a в шестой степени.
Первое равенство будет выполняться для любых значениях а, потому что aв двенадцатой степени умноженное на a в пятой степени равно a в семнадцатой степени, и a в восьмой степени умноженное на a в девятой степени тоже равно a в семнадцатой степени.
В свою очередь, второе равенство также выполняется при всех значениях переменной aкроме случая, когда a равно нулю. В левой части равенства частное a в двенадцатой степени и а в третьей степени равно a в девятой степени, в правой -произведение aво второй степени на a в седьмой степени тоже равно a в девятой степени. Но в левой части равенства делится на a в степени три. При a равно нулю мы получаем действие с нулем, а на него делить нельзя.
В первом случае возможными значениями переменной a представляет собой множество всех чисел. В равенстве номер два областью всех допустимых для нас значений переменной a для левой части равенства будет множество всех чисел за исключением нуля, а для правой его части - все числа. То есть область допустимых значений для этого равенства будут любые числа, исключая нуль.
Оба рассмотренных нами равенства выполняются для всех допустимых значениях переменной. Тождествами называют верные равенства при всех допустимых значениях переменных. Значит, наши равенства так же будут тождествами.
Если числовые равенства верные всегда, то тоже называются тождествами.
С примерами тождеств ранее вам приходилось уже встречаться. Равенства, которые выражают свойства чисел, тоже будут тождествами. Например, свойство сложения, которое мы знаем как переместительное, записанное равенством a + b = b + a. Оно выполняется при всех допустимых значениях переменных a и b. Так же, еще одним примером служит запись другого свойства сложения чисел - сочетательного a + (b + c) = (a + b) + c. Возможна и запись переместительного, сочетательного, распределительного свойств умножения чисел: ab = ba, a(bc) = (ab)c, a(b + c) = ab + ac. Есть тождествами и равенства a + 0 = a, a 0 = 0, a 1 = a, a (-1) = -a.
Существует понятие «выражения тождественно равные». Выражения тождественно равными называют те, у которых соответствующие значения равны при любых допустимых значениях переменных. Примерами таких выражений могут служить a в квадрате в четвертой степени и a в восьмой степени, а также произведение a на b, умноженное на произведение минус a в квадрате на b и произведение минус a в кубе на b в квадрате. Это объясняется тем, что после выполнения возможных действий в этих выражениях мы получим абсолютно одинаковые выражения.
Знания о тождественных выражениях нужны для выполнения тождественных преобразований, упрощающих решения многих трудных задач. Тождественные преобразования - это и есть замена одного выражения тождественно равным ему выражением. Тождественные преобразования выполнялись при решении уравнений, умножении одночленов, умножении многочлена на одночлен и многочлена на многочлен.
Тема «Доказательства тождеств » 7 класс (КРО)
Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
Цели урока
Образовательные:
ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»;
рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств;
проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного для восприятия нового.
Развивающая:
Развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов),
развивать мышление,
Воспитательная: воспитывать трудолюбие, аккуратность, правильность записи решения упражнений.
Тип урока: изучение нового материала
Ход урока
1 . Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Вопросы по домашнему заданию.
Разбор решения у доски.
Математика нужна
Без нее никак нельзя
Учим, учим мы, друзья,
Что же помним мы с утра?
2 . Сделаем разминку.
Результат сложения. (Сумма)
Сколько цифр вы знаете? (Десять)
Сотая часть числа. (Процент)
Результат деления? (Частное)
Наименьшее натуральное число? (1)
Можно ли при делении натуральных чисел получить ноль? (нет)
Назовите наибольшее целое отрицательное число. (-1)
На какое число нельзя делить? (0)
Результат умножения? (Произведение)
Результат вычитания. (Разность)
Переместительное свойство сложения. (От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется)
Переместительное свойство умножения. (От перестановки мест множителей произведение не изменяется)
Изучение новой темы (определение с записью в тетрадь)
Найдем значение выражений при х=5 и у=4
3(х+у)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны.
Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. При х=1 и у=2 они принимают равные значения:
Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х=3, у=4, то
Определение : Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными.
Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.
Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались. Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Приведите другие примеры тождеств
Определение : Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования вам уде приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.
5 . № 691, № 692 (с проговариванием правил раскрытия скобок, умножения отрицательных и положительных чисел)
Тождества для выбора рационального решения: (фронтальная работа)
«Тождества. Тождественное преобразование выражений».
Цели урока
Образовательные:
ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»; рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств;проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного для восприятия нового.
Развивающая: развивать мышление, речь учащихся.
Воспитательная: воспитывать трудолюбие, аккуратность, правильность записи решения упражнений.
Тип урока: изучение нового материала
Оборудование: Мультимедийная доска, доска, учебник, рабочая тетрадь.
План урока
Организационный момент (нацелить учащихся на урок)Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)Устные упражненияИзучение нового материала (Ознакомление и первичное закрепление понятий «тождество», «тождественные преобразования»).Тренировочные упражнения (Формирование понятий «тождество», «тождественные преобразования»).Подведение итогов урока (Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке).Сообщение домашнего задания (Разъяснить содержание домашнего задания)
Ход урока
I. Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Вопросы по домашнему заданию.
Разбор решения у доски.
Математика нужнаБез нее никак нельзяУчим, учим мы, друзья,Что же помним мы с утра?
II. Устные упражнения.
Сделаем разминку.
Результат сложения. (Сумма)Сколько цифр вы знаете? (Десять)Сотая часть числа. (Процент)Результат деления? (Частное)Наименьшее натуральное число? (1)Можно ли при делении натуральных чисел получить ноль? (нет)Чему равна сумма чисел от -200 до 200? (0)Назовите наибольшее целое отрицательное число. (-1)На какое число нельзя делить? (0)Результат умножения? (Произведение)Наибольшее двузначное число? (99)Чему равно произведение от -200 до 200? (0)Результат вычитания. (Разность)Сколько граммов в килограмме? (1000)Переместительное свойство сложения. (От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется)Переместительное свойство умножения. (От перестановки мест множителей произведение не изменяется)Сочетательное свойство сложения. (Чтобы к сумме двух чисел прибавить какое-нибудь число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего)Сочетательное свойство умножения. (чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего)Распределительное свойство. (Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты)
III. Изучение нового материала.
Учитель. Найдем значение выражений при х=5 и у=4
3(х+у)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны.
Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. При х=1 и у=2 они принимают равные значения:
Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х=3, у=4, то
Определение: Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными.
Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.
Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались. Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).
a + b = b + aab = ba(a + b) + c = a + (b + c)(ab)c = a(bc)a(b + c) = ab + ac
Можно привести и другие примеры тождеств (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).
а * (-b) = - ab
(-a) * (-b) = ab
Определение: Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования вам уде приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила этих преобразований:
Учащиеся:
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки;Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.
Пример 1. Приведем подобные слагаемые
5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х
Каким правилом мы воспользовались?
Мы воспользовались правилом приведения подобных слагаемых. Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b-3c) = 2a + b – 3c
Применили правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс».
Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4b – с) = a – 4b + c
Воспользовались правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус».
На каком свойстве основано данное преобразование?
Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения.
IV. Тренировочные упражнения
(Перед началом проводим физкультминутку
Быстро встали, улыбнулись.
Выше-выше потянулись.
Ну-ка, плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Сели, встали. Сели, встали.
И на месте побежали.
(Молодцы, присаживайтесь).
Проведем мини самостоятельную работу – соответствия, А те кто считает, что тема хорошо усвоена – решает онлайн – тестирование.
1)5(3х -2) –(4х+9) А) 5-10:х
2)5х-4(2х-5)+5 Б) 11х -19
3)(5х-10):х В) 3х+25
4)11х-4(х - 3)+5х Г) -3х+25
V. Подведение итогов урока.
Учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают на них по желанию.
Какие два выражения называются тождественно равными? Приведите примеры.Какое равенство называется тождеством? Привести примером.Какие тождественные преобразования вам известны?
VI. Домашнее задание. п.5, найти старинные тождественные выражения, пользуясь сетью интернета
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
ФИО
Горяинова Надежда Набиевна
Место работы
МАОУ СОШ №10
Предмет
алгебра
Класс
7
Тема и номер урока в теме
Тождества. Тождественные преобразования выражений.-2
Базовый учебник
«Алгебра». 7 класс. УМК Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.
Цель урока: Проверка и закрепление понятий «тождество», «тождественные преобразования», «подобные слагаемые». Систематизировать и обобщить знания учащихся о буквенных выражениях. Повторить свойства действий над числами. Формировать навыки тождественных преобразований целых выражений.
9. Задачи:
- обучающие:
1. Тренировка навыков устного счета.
2. Проверка умения применять знания при решении практических заданий.
3. Повторить алгоритм нахождения значения выражения.
Развивающие:
1. Развивать внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое, критическое, аналитическое мышления, математическую речь, воображение, память;
2. Учить их анализировать, рассуждать, высказывать свое мнение;
3. Формировать умение ориентироваться в нестандартной ситуации.
4. Развивать компьютерную грамотность.
Воспитательные:
1. Воспитывать внимательное отношение друг к другу;
2. Развивать самостоятельность, умение ориентироваться в нестандартной ситуации;
3. Воспитывать интерес к предмету.
Тип урока: закрепление пройденного материала.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.
Необходимое техническое оборудование: демонстрационный ПК – 1 штука (мультимедиа проектор и экран), подключение к Интернету
Структура и ход урока
Таблица 1.
СТРУКТУРА И ХОД УРОКА
№
Этап урока
Название используемых ЭОР
(с указанием порядкового номера из Таблицы 2)
Деятельность учителя
(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)
Деятельность ученика
Время
(в мин.)
1
2
3
5
6
7
1
Организационный момент.
_
Приветствует учащихся, контролирует готовность к уроку.
Отвечают на приветствие
1
2
Мотивация.
_
Работа в режиме презентации.
Озвучивает план урока, ставит совместно с учащимися проблему, формулирует тему, цель, задачи урока
Слайд 1
Воспринимают информацию, записывают тему урока в тетрадь, озвучивают учебные задачи
2
3
Актуализация знаний. Устный счет.
-
Формирует задание, формирует вопросы, анализирует результаты выполнения заданий.
Оценивает работу уч-ся.
Слайд 3-6
Воспринимают информацию, выполняют фронтально задания, анализируют результаты работы, делают выводы.
7
4
Закрепление полученных знаний.
ЭОР №1
Руководит деятельностью учащихся.
Часть учащихся работают с учебником № 95(а;б); №96 (а;б); 98(а;б)); 100 (а; б)
1 учащийся (сильный)- работает за компьютером.
Учитель
Выполняют практические индивидуальные задания.
5
Контроль и коррекция знаний.
ЭОР № 2
Формулирует и объясняет контрольное задание по данной теме.
Если учащихся в классе мало, то каждый по очереди выполняют контрольное задание на компьютере, остальные в это время продолжают работать с учебником № 105
Учитель
проверяет, контролирует, руководит.
Самостоятельно выполняют задание на компьютере или по учебнику.
17
6
Диагностика уровня усвоения материала.
ЭОР № 2
Анализирует работу учащихся, оценивает их деятельность.
Слушают, высказывают свое мнение, делают самооценку по закреплению учебного материала.
2
7
Подведение итогов. Домашнее задание.
Учитель даёт инструкции по выполнению домашней работы, отвечает на вопросы учащихся.
д/з: 95(в.г); 98(в;г); 103(а;г)
Записывают д/з в дневник, выставляют оценки.
2
Приложение к плану-конспекту урока
Тождества. Тождественные преобразования выражений
Таблица 2.
ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР
№
Название ресурса
Тип, вид ресурса
Форма предъявления информации (иллюстрация, презентация, видеофрагменты, тест, модель и т.д.)
Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР
П- модудь
Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания направлены на усвоение понятий «тождество» и «подобные слагаемые», формирование умений применять свойства действий к доказательству тождеств, раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые. При решении заданий учащемуся предоставляется возможность использовать подсказки. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные
2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
К-
Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для проверки усвоения учащимися понятий «тождество» и «подобные слагаемые»; умения применять свойства сложения и умножения к доказательству тождеств, умения раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.
Слайд 1
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Слайд 2
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Слайд 3
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Слайд 4.
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Слайд 5.
Тема урока : Тождественные преобразования выражений.
Тип урока : Изучение и закрепление знаний и способов действий.
Цели
Образовательные :
Закрепить усвоение понятий тождественно равных выражений и тождеств;
Развивать вычислительные способности;
Ввести понятие тождественного преобразования выражений;
Формировать умения выполнять основные тождественные преобразования (приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок).
Развивающая : развивать математическую речь, мышление, внимательность учащихся.
Воспитательная : воспитать аккуратность и правильность решения упражнений, трудолюбие.
Оборудование: доска, учебник, рабочая тетрадь.
План урока
Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Разбор решения у доски.
Математику уже затем учить надо,
что она ум в порядок приводит.
(М.В. Ломоносов)
3.Устный счёт.
Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 6,83 +7,81+3,17 +8,19=
б) 527-825 +925 =
в) 25 *1,33*4 =
г) 2,5*5,25-2,5*4,25=
Являются ли тождественно равными выражения:
Определение : Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
а) 10х-(5х+4) и 5х-4
б) 5(х-y) и 5x-5y
в) (-4а)(4b) и 0
г) 2ab и 2(а+ b)
Будут ли равенства являться тождествами?
Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
4. Изучение нового материала.
Преобразуйте выражение:
Определение : Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Рассмотрим пример:
4,5k+m-3,5k-5,5m=
Как называются слагаемые? (Подобные)
Как называется действие? (Приведение подобных слагаемых)
Напомним правила на с.22(ученик читает вслух)
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
4-(х-3)+3(5х-7)=
5.Физминутка
Раз, два - выше голова
Три, четыре - руки, ноги шире
Пять, шесть - тихо сесть.
Молодцы, присаживайтесь
6.Закрепление изученного материала
Работа с учебником
№85 Устно
№86 Устно
№88 Устно
7.Проверочная работа
Вариант 1 (а, б)
Вариант 2 (в,г)
8. Подведение итогов урока .
Какие два выражения называются тождественно равными? Приведите примеры.
Какое равенство называется тождеством? Привести примером.
Какие тождественные преобразования вам известны?
9. Домашнее задание . п.5, № 103, РТ №5 с. 19
