В мае 1891 г. Дойл заболевает гриппом и находится несколько дней при смерти. Когда он выздоровел, то решил оставить медицинскую практику, а посвятить себя литературе. Это происходит в августе 1891 года. К концу 1891 года Дойл становится очень популярным человеком в связи с появлением шестого рассказа о Шерлоке Холмсе «Человек с рассечённой губой» («The Man with the Twisted Lip»). Но после написания этих шести рассказов редактор «Стрэнд» в октябре 1891 года запросил ещё шесть, соглашаясь на любые условия со стороны автора. И Дойл запросил, как ему показалось, такую сумму, 50 фунтов, услышав о которой сделка не должна была состояться, так как он уже не хотел более заниматься этим персонажем. Но к его большому удивлению оказалось, что редакция согласна. И рассказы были написаны. Дойл начинает работу на «Изгнанниками» (закончил в начале 1892 года) и неожиданно получает приглашение на ужин от журнала «Айдлер» (лентяй), где знакомится с Джеромом К. Джеромом, Робертом Барром, с которыми в последствии подружился. Дойл продолжает свои дружеские отношения с Барри и с марта по апрель 1892 года отдыхает вместе с ним в Шотландии. Побывав по дороге в Эдинбурге, Кирримьюире, Олфорде. По возвращению в Норвуд начинает работу над «Великой тенью» (эпоха Наполеона), которую заканчивает к середине того же года.

В ноябре того же 1892, живя в Норвуде, Луиза родила сына, которого они назвали Аллейн Кингели. Дойл пишет рассказ «Уцелевший с 15-го года», который под влиянием Роберта Барра переделывает в одноактную пьесу «Ватерлоо», которая успешно ставится во многих театрах (Права на эту пьесу купил Брем Стокер.). В 1892 году журнал «Стрэнд» вновь предлагает написать ещё серию рассказов о Шерлоке Холмсе. Дойл в надежде, что журнал откажется выставляет условие - 1000 фунтов и …журнал соглашается. Дойл уже устал от своего героя. Ведь каждый раз необходимо придумывать новый сюжет. Поэтому, когда в начале 1893 года Дойл с женой отправляется на отдых в Швейцарию и посещает Райхенбахский водопад он принимает решение покончить с этим надоедливым героем. (В период между 1889 и 1890 гг. Дойл пишет пьесу в трех актах «Ангелы тьмы» (по сюжету «Этюд в багровых тонах»). Главным действующим лицом в ней выступает доктор Уотсон. Холмс в ней даже и не упоминается. Действие происходит в США в Сан-Франциско. Мы узнаем много подробностей о его жизни там, а также о том, что на момент женитьбы на Мэри Морстен он был уже женат! Это произведение при жизни автора опубликовано не было. Однако потом всё же вышло, но на русский язык до сих пор не переведено! ) В результате, двадцать тысяч подписчиков отказались от подписки журнала The Strand. Теперь освобождённый от медицинской карьеры и от вымышленного героя (Единственная пародия на Холмса «The Field Bazaar» («Благотворительная ярмарка») написана для журнала Эдинбургского университета «Студент» для сбора средств на реконструкцию крокетного поля. ), который угнетал его и затемнил то, что он считал более важным, Конан Дойл поглощает себя в более интенсивную деятельность. Эта бешеная жизнь может объяснять, почему прежний врач не обращал внимание на серьёзное ухудшение здоровья его жены. В мае 1893 года в театре «Савой» была поставлена оперетта Jane Annie: or, the Good Conduct prize (with J. M. Barrie) (Джейн Анни, или Приз за хорошее поведение). Но она потерпела провал. Дойл очень переживает и начинает задумываться о том, способен ли он писать для театра? Летом этого же года сестра Артура Констанция выходит замуж за Эрнеста Уильяма Хорнингома. А в августе он вместе с Туи отправляется в Швейцарию читать лекцию на тему «Беллетристика как часть литературы». Это занятие ему нравилось и он не раз до этого, да и после этого занимался им. Поэтому, когда по возвращению из Швейцарии ему предложили турне с лекциями по Англии, он с воодушевлением взялся за это.

Но неожиданно, хотя все ждали этого, умирает отец Артура - Чарльз Дойл. А со временем он, наконец, узнает то, что у Луизы туберкулёз и вновь отправляется в Швейцарию. (Там он пишет «The Stark Munro Letters» («Загадка Старка Монро»), который публикует Джером К. Джером в «Лентяе».) Хотя ей и давали только несколько месяцев, Дойл начинает запоздалый уход и ему удаётся оттянуть её уход из жизни более чем на 10 лет, с 1893 до 1906 года. Они вместе с женой перебираются в Давос, расположенный в Альпах. В Давосе Дойл активно занимается спортом, приступает к написанию рассказов о бригадире Жераре, основанных, главным образом, на книге «Воспоминания генерала Марбо».

Находясь на лечении в Альпах Туи становится лучше (это происходит в апреле 1894) и она решает отправиться на несколько дней в Англию в их Норвудский дом. А Дойлу, по предложению майора Понда, совершить тур по Соединённым Штатам с чтением отрывков из своих произведений. И вот в конце сентября 1894 года вместе с братом Иннесом, который к тому времени заканчивает закрытую школу в Ричмонде, Королевское военное училище в Вулидже, становится офицером, отправляется на лайнере «Эльба» компании Норддойлчер-Ллойд из Саутчемптона в Америку. Там он побывал более чем в 30 городах Соединённых Штатов. Его лекции имели успех, но сам Дойл сильно от них устал, хоть он и получил большое удовлетворение от этого путешествия. Кстати именно американской публике он впервые прочитал первый свой рассказ о бригадире Жераре - «Медаль бригадира Жерара». В начале 1895 года он возвращается в Давос к жене, которая к тому времени чувствует себя хорошо. В это же время в журнале The Strand начинается публикация первых историй из «The Exploits of Brigadier Gerard» («Подвиги бригадира Жерара») и сразу же у журнала увеличивается количество подписчиков.

Из-за болезни жены Дойл очень тяготится постоянными разъездами, а также тем, что не может по этой причине жить в Англии. И вот неожиданно он знакомится с Грантом Алленом, который, болея подобно Туе, продолжал жить в Англии. Поэтому он принимает решение продать дом в Норвуде и построить роскошный особняк в Хайндхеде в Суррее. Осенью 1895 года Артур Конан Дойл вместе с Луизой и своей сестрой Лотти отправляется в Египет и в течение зимы 1896 г. находится там, где он надеется на тёплый климат, который будет полезен для неё. Перед этой поездкой он заканчивает книгу «Родни Стоун» («Rodney Stone»). В Египте он живёт недалеко от Каира, развлекаясь гольфом, теннисом, биллиардом, конной ездой. Но однажды во время одной из конных прогулок лошадь сбрасывает его, да ещё и ударяет копытом в голову. В память об этой поездке ему накладывают пять швов над правым глазом. Также вместе с семьёй он предпринимает участие в поездке на пароходе к верховьям Нила.

В мае 1896 года он возвращается в Англию и обнаруживает, что его новый дом всё ещё не построен. Поэтому он снимает другой дом в «Грейвуд-Бичес» и всё дальнейшее строительство идёт под его неусыпным контролем. Дойл продолжает трудиться над «Дядюшкой Бернаком» («Uncle Bernac: A Memory of the Empire»), который был начат ещё в Египте, но книга даётся с трудом. В конце 1896 года он приступает к написанию «The Tragedy Of The Korosko» («Трагедия с „Короско“»), которая создавалась на основе впечатлений полученных в Египте. А к лету 1897 года, поселяется в своём собственном доме в графстве Суррей, в Андершо (Undershaw), где у Дойла на длительное время появляется собственный кабинет, в котором он может спокойно работать, и именно в нём он приходит к мысли воскресить своего заклятого врага Шерлока Холмса, по причине поправки своего материального положения, которое несколько ухудшилось в связи с большими затратами на строительство дома. В конце 1897 года он пишет пьесу «Шерлок Холмс» и отправляет её Бирбому Три. Но тот пожелал значительно переделать её под себя и в итоге автор отсылает её в Нью-Йорк Чарльзу Фроману, ну а тот в свою очередь передал её Уильяму Гиллету, который пожелал переделать её по своему вкусу. На этот раз многострадальный автор махнул на всё рукой и дал своё согласие. В итоге Холмса женили, а автору была выслана на утверждение новая рукопись. И в ноябре 1899 года в Буффало был хорошо принят гиллеровский «Шерлок Холмс».

В данном уроке мы изучим различные варианты взаимодействия окружности и прямой. Напомним определения, широко используемые в этом случае. Прямой называется неопределяемая аксиоматическая геометрическая фигура, представляющая собой ровную прямую линию без начала и конца. Окружностью именуется множество точек, равноудаленно лежащих от общего центра (центра окружности), соединенных общей кривой. Иначе говоря, окружность - это правильная замкнутая кривая, обрисовывающая максимально возможную площадь.

Собственно говоря, существуют три варианта взаимного расположения окружности и прямой. В первом случае, прямая пролегает полностью вне заданной окружности, нигде её не пересекая и не затрагивая. Если же прямая затрагивает ровно одну определенную точку из множества на окружности, то эта линия именуется касательной, по отношению к данной окружности.

Касательная имеет одно важнейшее свойство. Радиус, проведенный к точке касания, является перпендикуляром к самой прямой. На видео представлена окружность с центром О, прямой А и точкой касания К. Так как эта точка в единственном числе, то прямая А касательна данной окружности. А угол при К, образованный радиусом и любой частью прямой, является прямым - равен 90 градусам. Стоит также отметить важную особенность - касательная имеет исключительно одну точку касания. Невозможно провести прямую так, чтобы касательно затронуть две точки на окружности.
Если же наша прямая А проходит через всю окружность, затрагивая её внутреннюю область, то это уже третий частный случай взаимодействия данных фигур. При этом, прямая проходит строго через две точки на окружности - скажем, В и С. Она именуется секущей окружности. Секущая всегда проходит только через две любые точки из множества на кривой. Так как точек в окружности множество, то реализуемо провести бесконечное число секущих (равно как и касательных) для заданной окружности.

Внутренняя часть секущей прямой, по сути отрезок ВС, является хордой для окружности. Если секущая проходит через центр окружности, то внутренняя ее часть представлена наибольшей хордой - диаметром. При этом, точки пересечения В и С находятся на наибольшем удалении друг от друга (по свойству диаметра). Легко понять, что противоположный частный случай - это секущая, образующая хорду с бесконечно малым значением, по сути, - это уже касательная.

В задачах часто встречается отрезок Р - он соединяет наиболее коротким путем подходящую точку на прямой и центр самой окружности. Иначе говоря, Р - это отрезок ТО, где Т - точка на прямой ВС. Этот отрезок является перпендикуляром для прямой, его продолжение до самой окружности - ее радиусом. Линейное значение этого отрезка можно вычислить через косинус угла, образованного радиусом и секущей прямой, с вершиной в точке сечения.

Взаимное расположение прямой и окружности Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух концах диаметра, лежащего на. этой примой.

Пусть прямая р не проходит через центр О окружности радиуса r. Проведем перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е, расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 1). Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.

1) dр от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины, которых равны (рис. 1)По теореме Пифагора ОА=,

0 B= Следовательно, точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой р и данной окружности.

Докажем, что прямая р и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют еще одну общую точку С. Тогда медиана-OD равнобедренного треугольника ОАС . проведенная к основанию АС, является высотой этого треугольника, поэтому О D p . Отрезки OD и ОН не совпадают

так как середина D отрезка АС не впадает с точкой Н - серединой отрезка, AB. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра: ОН и OD - к прямой р, что невозможно. Итак если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности(d < р), то прямая и окружность име ют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

2) d= r. В этом случае ОН= r, т. е. точка Н лежит на окружности и, значит, является обшей точкой прямой и окружности (рис. 1, б). Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р. Отличной от точки Н, ОМ>ОН= r (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно , точка М не лежит на окружности. Итак, если рас стояние от центра окружности до прямой равно радиусу то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

3) d> r В этом случае -ОН> r поэтому . для любой точки М прямой р 0МОН.> r(рис. 1,а) Следовательно точка М не лежит на окружности. Итак, .если расстояние от центра окруж ности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Мы доказали, что прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 2 прямая р - касательная к окружности с центром О, А - точка касания.

Докажем теорему о свойстве касательной.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство. Пусть р - касательная к окружности с центром О. А - точка касания (см. рис. 2). Докажем. что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.

Предположим, что это не так. Тогда радиус: ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА , то расстояния от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию; прямая р - касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказала.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром О , проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С (рис. 3). Отрезки АВ и АС назовем отрезками касатель ных, проведенными из точки А. Они обладают следующим свойством, вытекающим из доказанной теоремы:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Для доказательства этого утверждения обратимся к рисунку 3. По теореме о свойство касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Рис. 2 Рис. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Проведя через точку касания диаметр МЕ , будем иметь: ; поэтому

Рис. 1 Рис. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197">

Зависимость между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра.

Теоремы. В одном круге или в равных кругах :

1) если дуги, равны, то стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра;

2) если две дуги, меньшие полуокружности, не равны, то большая из них стягивается большей хордой и из обеих хорд большая расположена ближе к центру .

1) Пусть дуга АВ равна дуге CD (рис. 1), требуется доказать, что хорды АВ и CD равны, а также равны и перпендикуляры ОЕ и OF, опущенные из центра на хорды.

Повернем сектор OAJB вокруг центра О в направлении, указанном стрелкой на столько, чтобы радиус ОБ совпал с ОС. Тогда дуга ВА. пойдет по дуге CD и вследствие их равенства эти дуги совместятся. Значит, хорда AS совместится с хордой CD и перпендикуляр ОЕ совпадет с OF (из одной точки можно опустить на прямую только один перпендикуляр), т. е. AB= CD и OE= OF.

2) Пусть дуга АВ (рис. 2) меньше дуги CD, и притом обе дуги меньше полуокружности; требуется доказать, что хорда АВ меньше хорды CD, а перпендикуляр ОЕ больше перпендикуляра OF . Отложим на дуге CD дугу СК, равную АВ, и проведем вспомогательную хорду СК , которая, по доказанному, равна хорде АВ и одинаково с ней удалена от центра. У треугольников COD и СОК две стороны одного равны двум сторонам другого (как радиусы), а углы, заключенные между этими сторонами, не равны; в этом случае, как мы знаем, против большего из углов, т. е. lCOD, должна лежать большая сторона, значит, CD> CK, и потому CD> AB.

Для доказательства того, что OE> OF, проведем OLXCK и примем во внимание, что, по доказанному, OE= OL; следовательно, нам достаточно сравнить OF с OL. В прямоугольном треугольнике 0 FM (покрытом на рисунке штрихами) гипотенуза ОМ больше катета OF; но OL> OM; значит, и подавно OL> OF. и потому OE> OF.

Теорема, доказанная нами для одного круга, остается верной и для равных кругов, потому что такие круги один от другого отличаются только положением.

Обратные теоремы. Так как в предыдущем параграфе рассмотрены всевозможные взаимно исключающие случаи относительно сравнительной величины двух дуг одного радиуса, причем получились взаимно исключающие выводы относительно сравнительной величины хорд и расстояний их от центра, то обратные предложения должны быть верны, в. именно:

В одном круге или е равных кругах:

1) равные хорды одинакова удалены от центра и стягивают равные дуги;

2) хорды, одинаково удаленные от центра, равны и стягивают равные дуги;

3) из двух неравных хорд большая ближе к центру и стягивает большую дугу;

4) из двух хорд, неодинаково удаленных от центра, которая ближе к центру, больше и стягивает большую дугу.

Эти предложения легко доказываются от противного. Например, для доказательства первого из них рассуждаем так: если бы данные хорды стягивали неравные дуги, то, согласно прямой теореме, они были бы не равны, что противоречит условию; значит, равные хорды должны стягивать равные дуги; а если дуги равны, то, согласно прямой теореме, стягивающие их хорды одинаково удалены от центра.

Теорема. Диаметр есть наибольшая из хорд .

Если соединим с центром О концы какой-нибудь хорды, не проходящей через центр, например хорды АВ (рис. 3) то получим треугольник АОВ, в котором одна сторона есть эта хорда, а две другие - радиусы, Но в треугольнике каждая сторона менее суммы двух других сторон; следовательно, хорда АВ менее суммы двух радиусов; тогда как всякий диаметр CD равен сумме двух радиусов. Значит, диаметр больше всякой хорды, не проходящей через центр. Но так как диаметр есть тоже хорда, то можно сказать, что диаметр есть наибольшая из хорд.

Рис. 1 Рис. 2

Теорема касательных.

Как уже было сказано, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеют одинаковую длину. Эту длину называют касательным расстоянием от точки до окружности.

Без теоремы о касательных не обходиться решение не одной задачи о вписанных окружностях, иными словами, об окружностях, касающихся сторон многоугольника.

Касательные расстояния в треугольнике.

Найдем длины отрезков, на которые стороны треугольника АВС разбиваются точками касания с вписанной в него окружностью (рис. 1,а), например касательное расстояние tа от точки А до окружности. Сложим стороны b и c , а затем из суммы вычтем сторону а . Учитывая равенство касательных, проведенных из одной вершины, получим 2tа . Итак,

ta=(b+ c- a)/ 2=p- a ,

где p=(a+ b+ c)/ 2 – полупериметр данного треугольника. Длина отрезков сторон, прилегающим к вершинам В и С , равны соответственно p- b и p- c.

Аналогично, для вневписанной окружности треугольника, касающейся (снаружи) стороны а (рис. 1,б), касательные расстояния от В и С равны соответственно p- c и p- b , а от вершины А - просто p .

Заметим, что эти формулы можно использовать и «в обратную сторону».

Пусть в угол ВАС вписана окружность, причем касательное расстояние от вершины угла до окружности равно p или p- a , где p – полупериметр треугольника АВС , а а=ВС . Тогда окружность касается прямой ВС (соответственно снаружи или внутри треугольника).

В самом деле, пусть, например, касательное расстояние равно p- a . Тогда наши окружности касаются сторон угла в тех же самых точках, что и вписанная окружность треугольника АВС , а значит, совпадает с ней. Следовательно, она касается прямой ВС .

Описанный четырехугольник. Из теоремы о равенстве касательных сразу получается (рис. 2,а), что

если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

AD+ BC= AB+ CD

Отметим, что описанный четырехугольник обязательно выпуклый. Верно и обратное:

Если четырехугольник выпуклый и суммы его противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Докажем это для четырехугольника, отличного от параллелограмма. Пусть какие-то две противоположные стороны четырехугольника, например AB и DC, при продолжении пересекутся в точке Е (рис. 2,б). Впишем окружность в треугольник ADE . Ее касательное расстояние te до точки E выражается формулой

te= ½ (AE+ ED- AD).

Но по условию суммы противоположных сторон четырехугольника равны, а значит, AD+ BC= AB+ CD , или AD= AB+ CD- BC . Подставив это значение в выражение для te , получим

te =½ ((AE- AB)+(ED- CD)+ BC)= ½ (BE+ EC+ BC),

а это – полупериметр треугольника BCE . Из доказанного выше условия касания следует, что наша окружность касается BC .

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Две касательные, проведённые к окружности из точки вне её, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром, что следует из равенства прямоугольных треугольников АОВ и АОВ1

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ ГЕОМЕТРИЯ 8 класс по учебнику Л.А.Атанасяна

Как вы думаете, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? О

О Сначала вспомним как задаётся окружность Окружность (О, r) r – радиус r A B АВ – хорда С D CD - диаметр

Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в первом случае: d – расстояние от центра окружности до прямой О А В Н d

Второй случай: О Н r одна общая точка d = r d – расстояние от центра окружности до прямой d

Третий случай: О H d r d > r d – расстояние от центра окружности до прямой не имеют общих точек

Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? d r две общие точки одна общая точка не имеют общих точек Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Касательная к окружности Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. O s = r M m

Выясните взаимное расположение прямой и окружности, если: r = 15 см, s = 11 см r = 6 см, s = 5 ,2 см r = 3,2 м, s = 4 ,7 м r = 7 см, s = 0,5 дм r = 4 см, s = 4 0 мм прямая – секущая прямая – секущая общих точек нет прямая – секущая прямая - касательная

Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. m – касательная к окружности с центром О М – точка касания OM - радиус O M m

Свойство касательных, проходящих через одну точку: ▼ По свойству касательной ∆ АВО, ∆ АСО–прямоугольные ∆ АВО= ∆ АСО–по гипотенузе и катету: ОА – общая, ОВ=ОС – радиусы АВ=АС и ▲ О В С А 1 2 3 4 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной. окружность с центром О радиуса OM m – прямая, которая проходит через точку М и m – касательная O M m

Решите № 633. Дано: OABC- квадрат AB = 6 см Окружность с центром O радиуса 5 см Найти: секущие из прямых OA , AB , BC , АС О А В С О

Решите № 638, 640. д/з: выучить конспект, № 631, 635


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Цель: закрепить умение определять взаимное расположение прямой и плоскости, проверить навыки решения задач, воспитывать чувство коллективизма. ...

взаимное расположение прямой и окружности. 8класс.

В презентацию помещены четыре устные задачи, решаемые по готовым чертежам. Цель: подготовить учащихся к изучению нового материала....

Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух ркружностей.

Конспект и презентация к уроку по теме "Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей". Урок в 6 классе по учебнику "Математика - 6" под ред. Г.В. Дорофеев, И...


Возьмем произвольную окружность с центром в точке О и прямую a.
Если прямая a пройдет через точку O, то она пересечет данную окружность в двух точках K и L, которые являются концами диаметра, лежащего на прямой а.

Если прямая a не будет проходить через центр О окружности, то выполним вспомогательное построение и проведем прямую OH перпендикулярно прямой a и обозначим полученное расстояние от центра окружности до прямой a переменной rasstoyanie. Определим, сколько будет общих точек у прямой a и окружности в зависимости от соотношения между переменной rasstoyanie и radius.
Может быть 3 варианта:

  1. rasstoyanie < radius . В таком случае точка H будет лежать в середине круга, который ограничен данной окружностью.


Отложим на прямой а отрезок HD = r adius .

В OHD гипотенуза OD больше катета HD , поэтому OD > r adius . Следовательно, точка D лежит за кругом, который ограничен данной окружностью. Значит, один конец отрезка HD находится в середине круга, а другой – за кругом. Таким образом, на отрезке HD можно обозначить точку A , которая лежит на окружности, то есть OA = r adius .

Продлим луч HA и отложим на нем отрезок BН , который равен отрезку AН.

Получены 2 прямоугольных треугольника OHA и OHB , которые равны по двум катетам. Тогда их соответствующие стороны равны: OB = OA = r . Следовательно, B тоже является общей точкой окружности и прямой. Так как 3 точки окружности не могут лежать на одной прямой, то другие общие точки прямой a и окружности не существуют.
Таким образом, если расстояние между центром окружности и прямой меньше от радиуса окружности (rasstoyanie < r adius ), то у прямой и окружности 2 общие точки.

  1. rasstoyanie = r adius . Поскольку OH = r adius , то точка H принадлежит окружности и, поэтому, является общей точкой для прямой a и окружности.


Для любых других точек прямой a (например, точки и M ) наклонная OM больше отрезка OH , то есть OM > OH = r adius , и следовательно точка M не принадлежит заданной окружности.
Следовательно, если расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности (rasstoyanie = r adius ), то у прямой и окружности лишь одна общая точка.

  1. rasstoyanie > r adius . Так как OH > radius, то для любых точек прямой a (например, точки M ) выполняется неравенство OM > OH > r adius . Таким образом, точка M не принадлежит окружности.


Следовательно, если расстояние между центром окружности и прямой больше от радиуса окружности (rasstoyanie > r adius ), то у прямой и окружности нет общих точек.