Операции вычитания между любыми натуральными числами присущ ряд особенностей, называемых свойствами. В данной статье мы рассмотрим основные свойства натуральных чисел и приведем разъясняющие примеры.
Свойство вычитания равных натуральных чисел
Свойство вычитания двух равных натуральных чиселДля двух равных натуральных чисел их разность равна нолю. Если a - любое натуральное число, то a - a = 0 .
Это самое простое свойство. Число ноль указывает на отсутствие чего либо. Если из множества каких-то объектов вычесть такое же множество объектов, получится ноль. Например, у Пети было 15 яблок, он решил угостить Машу и отдал ей все 15 штук. Теперь у Пети ноль яблок.
Переместительный закон (не выполняется для вычитания)
Известно, что при сложении чисел от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Так же, как и при умножении произведение не меняется при перестановке множителей. Эта особенность называется переместительным, или коммутативным законом. Однако при вычитании коммутативный закон работает только в одном случае: когда вычитаемое число равно уменьшаемому.
В случаях, когда уменьшаемое число становится меньше вычитаемого, теряется сам смысл вычитания натуральных чисел. Например:
38 - 21 очевидно, не равно 21 - 38
В общем виде можно записать это так: a - b ≠ b - a .
Свойства вычитания натуральных чисел
Для операции вычитания натуральных чисел переместительный закон не выполняется!
Вычитание суммы двух чисел из натурального числа
Сформулируем свойство, а затем рассмотрим пример, который даст глубокое понимание и поможет осмыслить сказанное.
Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа
Вычитание суммы двух натуральных чисел из другого натурального числа равносильно последовательному вычитанию из числа сначала одного слагаемого суммы, а затем другого.
Математически это запишется так:
a - (b + c) = (a - b) - c
Обратимся к примеру. У Пети и у Васи было по 8 монет. Петя сразу купил напиток за две монеты и конфету за одну монету. Вася сначала купил напиток, а потом подумал, и тоже купил конфету. В итоге, у обоих осталось по пять монет. Операции с монетами Пети и Васи можно соответственно записать так:
8 - (2 + 1) = 5 (8 - 2) - 1 = 5
Важно отметить, что данная операция для натуральных чисел имеет смысл только тогда, когда уменьшаемое число больше или равно сумме чисел, которые из него вычитают.
В соответствии с рассмотренным свойством и сочетательным законом, можно вычитать из натурального числа сумму двух, трех и более чисел.
Вычитание числа из суммы
Представим, что у Родиона в одном кармане 3 конфеты, а в другом - 5 конфет. 2 конфеты он обещал отдать Зухре. Какими способами может Родион отдать Зухре конфеты?
Во-первых, можно все конфеты переложить в один карман и оттуда уже достать 2 штуки. Останется конфет: 3 + 5 - 2.
Во-вторых, можно сразу достать две конфеты из первого кармана. Останется конфет: 3 + 5 - 2 .
Наконец, в-третьих, можно достать две конфеты из второго кармана. В итоге имеем: 5 + (3 - 2) .
Количество конфет в итоге остается неизменным и справедливы равенства:
3 + 5 - 2 = 5 + (3 - 2) = (3 + 5) - 2 .
Теперь можно сформулировать правило вычитания числа из суммы других натуральных чисел.
Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел
Вычитание натурального числа из суммы других натуральных чисел эквивалентно последовательному вычитанию данного числа из одного слагаемого и сложению полученной разности с другим слагаемым.
В буквенной форме свойство имеет следующий вид:
(a + b) - c = (a - c) + b
Если выполняется условие b ≥ c , можно записать (a + b) - c = a + (b - c) .
При a ≥ c и b ≥ c оба равенства можно переписать в виде (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) .
Свойство вычитания натурального числа из суммы трех и более чисел формулируется аналогично и вытекает из свойства вычитания числа из суммы двух чисел.
Рассмотрим пример.
Пример. Вычитание числа из суммы
a , b , c , d - некоторые натуральные числа.
Если a ≥ d то a + b + c - d = (a - d) + b + c .
Если b ≥ d то a + b + c - d = a + (b - d) + c .
Если c ≥ d то a + b + c - d = a + b + (c - d) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Понятие вычитания лучше всего рассмотреть на примере. Вы решили попить чай с конфетами. В вазе лежало 10 конфет. Вы съели 3 конфеты. Сколько конфет осталось в вазе? Если мы от 10 вычтем 3 то, в вазе останется 7 конфет. Запишем задачу математически:
Подробно разберем запись:
10 – это число от которого мы отнимаем или которое уменьшаем, поэтому его называют уменьшаемым
.
3 – это число, которое мы вычитаем. Поэтому его называют вычитаемым
.
7 – это число результат вычитания или еще его называют разностью
. Разность показывает на сколько первое число (10) больше второго числа (3) или насколько второе число (3) меньше первого числа (10).
Если вы сомневаетесь правильно ли нашли разность, нужно сделать проверку . К разности прибавить второе число: 7+3=10
При вычитании л уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого.
Делаем вывод из сказанного. Вычитание – это действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находится второе слагаемое.
В буквенном виде это выражение будет выглядеть так:
a — b = c
a – уменьшаемое,
b – вычитаемое,
c – разность.
Свойства вычитания суммы из числа.
13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6
Пример можно решить двумя способами. Первый способ, найти сумму чисел (3+4), а потом вычесть от общего числа (13). Второй способ, от общего числа (13) вычесть первое слагаемое(3), а потом из полученной разности отнять второе слагаемое(4).
В буквенном виде свойство вычитания суммы из числа будет выглядеть так:
a — (b + c) = a — b — c
Свойство вычитания числа из суммы.
(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8
Чтобы вычесть из суммы число, можно это число вычесть из одного слагаемого, а потом к полученному результату разности прибавить второе слагаемое. При условии слагаемое будет больше вычитаемого числа.
В буквенном виде свойство вычитания числа из суммы будет выглядеть так:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a +
b) —
c=
a + (b — с)
, при условии b > c
(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) — c=(a — c) + b
, при условии a > c
Свойство вычитания с нулем.
10 — 0 = 10
a — 0 = a
Если из числа вычесть нуль то, будет тоже самое число.
10 — 10 = 0
a —
a = 0
Если из числа вычесть тоже самое число то, будет нуль.
Вопросы по теме:
В примере 35 — 22 = 13 назовите уменьшаемое, вычитаемое и разность.
Ответ: 35 – уменьшаемое, 22 – вычитаемое, 13 – разность.
Если числа одинаковые, чему равна их разность?
Ответ: нуль.
Сделайте проверку вычитания 24 — 16 = 8?
Ответ: 16 + 8 = 24
Таблица вычитания натуральных чисел от 1 до 10.
Примеры на задачи по теме «Вычитание натуральных чисел».
Пример №1:
Вставьте пропущенное число: а)20 — … = 20 б) 14 — … + 5 = 14
Ответ: а) 0 б) 5
Пример №2:
Можно ли выполнить вычитание: а) 0 — 3 б) 56 — 12 в) 3 — 0 г) 576 — 576 д) 8732 — 8734
Ответ: а) нет б) 56 — 12 = 44 в) 3 — 0 = 3 г) 576 — 576 = 0 д) нет
Пример №3:
Прочитайте выражение: 20 — 8
Ответ: “От двадцати отнять восемь” или “из двадцати вычесть восемь”. Правильно произносить слова
На уроке вы узнаете, какие бывают прямые и обратные действия в математике. Учитель расскажет обо всех компонентах вычитания, а также покажет два способа для вычитания суммы из числа.
В жизни мы все время сталкиваемся с прямыми и противоположными действиями. Можно налить воду в кружку, можно вылить воду. Можно зайти в дом, потом выйти из дома. Таких примеров очень много.
В математике мы тоже легко найдем пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.
Рис. 1. Иллюстрация сложения
Вычитание: было 5 яблок, отняли 2, осталось 3. Получилось вычитание (рис. 2).
Рис. 2. Вычитание
Ясно, что добавить и отнять - это противоположные действия, таким образом, сложение и вычитание - это взаимопротивоположные действия.
Чтобы выполнить сложение или вычитание, мы не берем себе в помощь предметы и не складываем их в одну кучу. Мы решаем такую задачу отвлеченно, используя числа и противоположные операции.
Например, чтобы вычесть 2 из 5, мы должны понять, что останется.
А для этого нам нужно представить 5 как сумму двух частей.
И мы понимаем, что если вычесть 2, то останется 3.
Одно и то же количество можно представить и записать различными способами. Все эти способы эквивалентны: . Мы всегда можем пользоваться тем, который нам удобен в данном случае. Сейчас нам удобно представить, что 5 - это сумма 3 и 2. Поэтому если убрать, вычесть одну часть (2), то останется вторая (3).
Как из 15 вычесть 7?
Мы сразу представляем, что . Значит, после вычитания 7 останется 8.
Становится понятно, что вычитание - это нахождение неизвестного числа разложения.
Еще раз рассмотрим пример. Чтобы вычесть из числа 5 число 2, нужно представить 5 в виде двух слагаемых и найти неизвестное слагаемое. Оно и будет результатом вычитания .
Если из числа нужно вычесть число :
Значит, что число нужно представить в виде двух слагаемых и .
Одно слагаемое нам неизвестно. Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.
Понятно, что взять из вазы больше яблок, чем там было, невозможно. Поэтому, когда мы говорим о вычитании натуральных чисел, мы не можем из меньшего числа вычесть большее. Потом будут и другие числа, не только натуральные, и вычитание из меньшего числа большего станет возможным.
Или еще вот такое рассуждение: вычесть - значит представить в виде двух слагаемых, но ведь слагаемые, части не могут быть больше целого.
Но пока договоренность следующая: из числа вычитаем число , только если не меньше, чем . Результатом будет новое число .
Рис. 3. Названия компонентов при вычитании
Слово «разность» очень похоже на слово «разница». В самом деле, какова разница, на сколько отличается число 15 от числа 7, 15 яблок от 7 яблок? На 8 яблок. То есть, разность чисел 15 и 7 - это и есть разница между ними.
Таким образом, с одной стороны разность - это результат вычитания из большего числа меньшего. С другой стороны - это то, на сколько одно число отличается от другого, разница между ними.
Папе 36 лет, а маме на 2 года меньше. Сколько маме лет?
Из 36 вычитаем 2.
Это первый тип задач, которые мы решаем при помощи вычитания: известно одно число, нужно найти второе, которое меньше на известную величину. То есть нам сразу известны уменьшаемое и вычитаемое, числа и .
В классе учится 25 человек, из них 14 девочек. Сколько в классе мальчиков?
Понятно, что девочек и мальчиков всего 25 человек. Девочек 14, мальчиков - неизвестное количество.
Нужно найти неизвестное слагаемое. А поиск неизвестного слагаемого - это уже задача на вычитание. Из 25 нужно отнять 14.
В классе 11 мальчиков.
Это второй тип задач, когда складывают два числа, одно из них известно, а другое нет. Но зато известен результат, сумма.
Синим цветом выделены известные и . Необходимо найти неизвестное слагаемое . Но поиск неизвестного слагаемого - это и есть вычитание.
Сестре 12 лет, а брату 9. На сколько лет сестра старше брата?
Сестра старше брата на 3 года.
Это третий тип задач - задачи на сравнение.
В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яблока, Маша взяла 3. Сколько осталось яблок в вазе?
Решение
Петя взял 4, Маша - 3, всего они взяли яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:
Если записать в одну строчку:
Посчитаем, сколько оставалось яблок каждый раз, когда Петя и Маша брали яблоки. Петя взял 4, осталось . Маша взяла еще 3, осталось .
Или, в одну строчку, .
В вазе осталось 10 яблок.
Оба способа равносильны, ответ одинаковый. То есть вычесть сумму - это все равно, что вычесть каждое слагаемое этой суммы по отдельности.
Тема: «Вычитание натуральных чисел».
Тип урока : урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цели урока :
1. закрепление свойства вычитания;
2. решение задач, в которых используется действие вычитания.
3. проверить знания учащихся по следующим темам:
А. решение задач, в которых используется действие вычитания.
Б. вычитание суммы из числа, и вычитание из суммы число.
4. развивать познавательные интересы учащихся, самостоятельность мышления, умение ориентироваться в тексте задачи, речь;
Задачи урока:
1. Образовательные:
Обобщить знания по теме "Вычитание натуральных чисел";
Закрепить умение применять свойства вычитания в процессе выполнения заданий;
Контроль уровня знаний, умений и навыков обучающихся по теме «Вычитание натуральных чисел».
2. Развивающие:
Работать над развитием понятийного аппарата;
Развивать познавательную активность;
Развивать культуру учебной деятельности;
Развивать осмысленное отношение к своей деятельности;
Развивать умение выделять главное;
Способствовать развитию интереса к предмету, организованности, ответственности;
Развивать самостоятельность мышления, видеть общую закономерность и делать обобщенные выводы.
3.Воспитательные:
Воспитывать ответственное отношение к учению;
Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;
Воспитывать аккуратность;
Воспитывать культуру общения.
Ход урока
I. Организационный момент.
Собрать тетради с домашним заданием . Записать в тетрадях число, классная работа, тему урока.
II. Актуализация опорных знаний.
Учащимся предлагается ответить на следующие вопросы.
а) Какое действие называется вычитанием? (действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое)
б) Как называются числа при вычитании? (уменьшаемое, вычитаемое и разность)
в) Какое число называется уменьшаемым? (число, из которого вычитают)
г) Какое число называется вычитаемым? (число, которое вычитают)
д) Какое число называется разностью? (результат вычитания)
е) Как узнать, насколько одно число больше другого? (нужно найти их разность)
ж) Сколько существует свойств вычитания? Сформулируйте их, приведите пример.
Рассмотреть пример: 64 – (5 + 4) =
Как можно получить результат?
К доске выходят двое учащихся и записывают 2 способа решения данного примера.
I способ: 64 – (5 + 4) = 64 – 9 = 55. II способ: (64–4) – 5 = 55
Учитель приводит высказывание Джордж а По́лиа : « Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! !»
Сегодня на уроке мы продолжим с вами изучение темы "Вычитание натуральных чисел" и разберем задачи, в которых используется действие вычитания.
I I I. Решение задач. Работа с учебником .
Все задачи данного урока можно разделить на 2 группы:
1) № 247, 263.
2) 249, 250, 286, 291.
Шестеро учащихся по очереди решают задачи у доски, остальные учащиеся решают данные задачи в тетрадях.
Задача № 247.
Точка C лежит на отрезке AB . Найдите длину отрезка AC , если AB =38 см, а CB =29 см.
Задача № 263.
Длина отрезка AB равна 37 см. Точки C и D лежат на отрезке AB , причем точка D лежит между точками C и B . Найдите длину отрезка CD , если
а) A С=12 см, BD =17 см; б) AD =26 см, CB =18 см.
Задача № 249.
Один станок-автомат изготовил 1235 деталей, а второй - 1645 деталей. На сколько деталей второй станок изготовил больше, чем первый.
Задача № 250.
С двух участков земли собрали 96 мешков картофеля. с первого участка собрали 54 мешка. На сколько мешков картофеля меньше собрали со второго участка, чем с первого?
Задача № 286.
От мотка лески отрезали 37 м. На сколько метров лески отрезали больше, чем ее осталось в мотке, если первоначально в мотке было 54 м лески?
Задача № 291.
Пассажирский поезд составлен из 12 вагонов по 58 мест в каждом. Сколько осталось свободных мест, если в поезде едут 667 пассажиров?
IV. Физкультминутка для пальцев рук, глаз и спины (Слайд 11 ).
V. Самостоятельная работа (15 минут). (Слайд 12)
Вариант I
свойства вычитания :
а) (6571 +3455) – 2571; в) 3457 – (2457 + 349);
б) (2397 +6831) – 6831; г) 9522 – (3989 + 4522).
2) Модель телебашни состоит из трёх блоков. Высота нижнего блока 1 м 35 см, среднего – на 45 см короче нижнего. Какова высота верхнего блока, если высота модели 4 м?
3) Выполните вычитание:
а) 8003565440 – 6989128416; б) 9000551000 – 8797496.
Вариант II
1) Выполните действия наиболее простым способом, используя свойства вычитания :
а) (6574 + 3359) – 2359; в) 5456 – (2456 + 728);
б) (1234 +2587) – 1234; г) 8289 – (2623 + 3289).
2) Доспехи средневекового рыцаря весят 27 кг 500 г, а меч на 18 кг 400 г легче. Сколько весит щит, если полное вооружение рыцаря весит 50 кг?
3) Выполните вычитание:
а) 8103096320 – 7387809278; б) 3400300200 – 5987574.
VI . Подведение итогов урока. Выставление оценок за работу на уроке.
1. Какую темы мы продолжили сегодня с вами изучать?
2. Какие свойства вычитания мы сегодня с вами повторяли?
3. Может ли быть вычитаемое больше уменьшаемого?
V II . Домашнее задание: п. 7, № 293, 294, 296. ( Слайд 13 )
