“А в окружность я влюбился и на ней остановился.”

Информационно-учебный проект.

Тема: окружность

Цель проекта: Изучить свойства, виды разных окружностей и теоремы, с ними связанные.

Я начал свою работу с того, что изучил свойства окружности в школьном курсе геометрии по учебнику А.В.Погорелова “Геометрия 7-9” и материал за рамками школьного курса. При сборе информации из различных источников и в работе над проектом я расширил свои знания и буду продолжать дальше изучать эту тему и делиться знаниями с одноклассниками и всеми, кому это интересно.

Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом. Замкнутый круг, не имеющий внутренное пространство.

Другие определения

Окружность диаметра AB - это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность - это фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу, отличному от единицы. (см. Окружность Аполлония)

Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками.

Связанные определения

    Радиус - не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.

    Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

    Окружность называется единичной , если ее радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

    Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Теорема Птолемея.

Клавдий Птолемей (), живший в конце первого - начале второго века н.э., был древнегреческим ученым-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком и теоретиком музыки. Он известен как комментатор Евклида. Птолемей пытался доказать знаменитый Пятый постулат. Основной труд Птолемея - “Альмагест”, в котором он изложил сведения по астрономии. Включал “Альмагест” и каталог звездного неба.

Теорема Птолемея. Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Доказательство необходимости . Поскольку четырехугольник вписан в окружность, то

Из треугольника по теореме косинусов находим

Аналогично из треугольника :

Сумма этих косинусов равна нулю:

Отсюда выразим :

Рассмотрим треугольники и и найдем :

что и требовалось доказать.

Попутно мы доказали еще одно утверждение. Для четырехугольника, вписанного в окружность,

Доказательство достаточности. Пусть выполнено равенство

Докажем, что вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Обозначим через радиус окружности, описанной вокруг . Из точки опустим перпендикуляры на прямые и и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через и соответственно. По теореме синсов для треугольника получаем (диаметр описанной окружности для этого треугольника равен ):

По теореме синусов для треугольника имеем

Следовательно,

Таким же образом, рассматривая треугольники и получим соотношения

Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем

откуда следует, что точки и лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что из этого следует, что вокруг четырехугольника можно описать окружность (достаточное условие теоремы Симсона).

Построим окружности на отрезках и как на диаметрах. Первая из них проходит через точки и (углы и прямые), а вторая - через точки и (). Углы и равны как вертикальные, откуда следует, что , а значит, и . Отсюда , и вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

где e - основание натурального логарифма,

i - мнимая единица.

Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.

Длина единичной полуокружности обозначается через π.


Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом .

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Прямая, проходящая через две различных точки на окружности, называется секущей .

Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

В данном случае угол АОВ является центральным.

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. В данном случае угол ABC является вписанным.

Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .

Две окружности, радиусы которых пересекаются под прямым углом, называются

ортогональными.

Длина окружности: C = 2∙π∙R = π∙D

Радиус окружности: R = C/(2∙π) = D/2

Диаметр окружности: D = C/π = 2∙R

Две окружности, заданные уравнениями:

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда A1 = A2 и B1 = B2.

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

В треугольнике

Свойства вписанной окружности:

    В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

    Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A 1 и B 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .

    Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками - получается треугольник T 1

    • биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T 1

      Пусть T 2 - ортотреугольник T 1 . Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.

      Пусть T 3 - серединный треугольник T 1 . Тогда биссектрисы T являются высотами T 3 .

  • Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

    Радиус вписанной в треугольник окружности равен

В многоугольнике

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

    Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру

Описанная окружность.

Описанная окружность - окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства

    Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).

    Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Для треугольника :

    Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

    У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного - вне треугольника, у прямоугольного - на середине гипотенузы.

    3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.

    Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.

    Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Радиус

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

Где:

a , b , c - стороны треугольника,

α - угол, лежащий против стороны a ,

S - площадь треугольника.

Положение центра описанной окружности

Пусть радиус-векторы вершин треугольника, - радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

где

Уравнение описанной окружности

Пусть координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости, - координаты центра описанной окружности. Тогда

а уравнение описанной окружности имеет вид

Для точек , лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее - положителен.

    Формула Эйлера: Если d - расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны r и R соответственно, то d 2 = R 2 − 2 Rr .

Для четырехугольника.

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.

Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).

Можно описать окружность вокруг:

    любого прямоугольника (частный случай квадрат)

    любой равнобедренной трапеции

У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Окружность Аполлония - геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек - величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты - ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Пусть на плоскости даны две точки A и B . Рассмотрим все точки P этой плоскости, для каждой из которых

,

где k - фиксированное положительное число. При k = 1 эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку AB ; в остальных случаях указанное геометрическое место - окружность, называемая окружностью Аполлония .

Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D) и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Радиус окружностей Аполлония равен :

Единичная окружность - это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n-мерного пространства ( n 2). В таком случае используется термин «единичная сфера».

Для всех точек на окружности действительно согласно с теоремой Пифагора: x 2 + y 2 = 1.

Не путайте термины «окружность» и «круг»!

    Окружность на данном расстоянии от данной точки, на одной плоскости - кривая.

    Круг - геометрическое место точек, расположенное не дальше чем окружность , на одной плоскости - фигура.

Также к единичной окружности можно отнести раздел алгебры,как тригонометрия.

Тригонометрия.

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку ( x , y ) на единичной окружности с началом координат (0,0), мы получаем отрезок, находящийся под углом α относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

cos α = x

sin α = y

Подставив эти значения в вышеуказанное уравнение x 2 + y 2 = 1, мы получаем:

cos 2 α + sin 2 α = 1

Обратите внимание на общепринятое написание cos 2 x = (cos x ) 2 .

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

sin( x + 2 π k ) = sin( x )

cos( x + 2 π k ) = cos( x )

для всех целых чисел k , иными словами, k принадлежит Z .

Комлексная плоскость.

В комплексной плоскости единичную окружность описывает множество :

Множество G удоволетворяет условиям мультипликативной группы (с нейтральным элементом e i 0 = 1).

Теорема о секущих - теорема планиметрии. Формулируется следующим образом:

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Если перевести это утверждение на язык букв (согласно рисунку справа), то получится следующее:

Частным случаем теоремы о секущих, является Теорема о касательной и секущей:

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Использованные интернет ресурсы:

www .wikipedia.org

А также литература: Геометрия 7-11 классы Определения, свойства, методы решения задач в таблицах Е.П.Нелин

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\) , откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\) . Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.


Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).


Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :


Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\) .

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\) .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:


Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) .

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\) , тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\) , откуда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) , но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} - \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.


Из треугольника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over{AB} - \frac12\buildrel\smile\over{CD}\) .

Но \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) , откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\) , \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\) , пересекает \(a\) в точке \(M\) . Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\) .


Обозначим \(\angle OAB = \alpha\) . Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\) . Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\) .

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\) , то есть \(\angle OAM = 90^\circ\) , следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги .


По трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\) . Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) .

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) , то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Следовательно, и \(AB=CD\) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.


Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\) . Докажем, что \(OQ\perp AB\) .

Рассмотрим \(\triangle AOB\) : он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\) .

2) Пусть \(OQ\perp AB\) . Докажем, что \(AN=NB\) .

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\) .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\) .

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\) . В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\) , а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\) , откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\) . Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .


Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\) : \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) . По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\) . Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\) , что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\) .

Хорошо известно определение окружности как геометрического места точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки .

Однако определить окружность можно и многими другими способами. Приведем несколько примеров.

1. Окружность есть геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна и больше половины квадрата расстояния между этими точками.

2. Окружность есть геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек А и В постоянно и не равно 1.

Такая окружность называется окружностью Аполлония точек А и В .

3. Окружность диаметра AB - это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность обладает многими красивыми свойствами, доказательство которых не представляет труда. Сложнее определить, являются ли эти свойства также и признаками окружности, т.е. существуют ли другие кривые, обладающие ими. Перечислим сначала некоторые из свойств окружности, не присущие никаким другим кривым.

"Уникальные" свойства окружности

1. Два угла с вершинами на окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны.

3. Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.

4. Из всех замкнутых кривых, для которых длины всех хорд не превосходят заданной величины, окружность ограничивает область максимальной площади.

5. Любые две дуги окружности равной длины можно совместить.

Это свойство называется самоконгруэнтностью. На плоскости им, кроме окружности, обладает только прямая. Если кривая может не лежать в плоскости, оно задает также винтовую линию.

Однако замкнутых самоконгруэнтных кривых, отличных от окружности, не существует. Благодаря этому свойству меч, имеющий форму дуги окружности, можно вставлять и вынимать из ножен той же формы.

6. При любом расположении двух равных окружностей на плоскости они имеют не больше двух общих точек.

7. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

Для некоторых из перечисленных свойств доказательства того, что они определяют окружность, а значит являются ее признаками, совсем элементарны. Для других, напротив, весьма сложны. Наиболее интересны доказательства признаков 2 и 6. (Попробуйте найти их самостоятельно; если не получится - смотрите ниже.)

А теперь приведем два красивых свойства окружности, которыми обладают и другие кривые.

"Не уникальные" свойства окружности

1. Окружность является кривой постоянной ширины.

Это значит, что если провести к окружности две параллельные касательные, то расстояние между ними не зависит от их направления.

Как ни странно, этим свойством обладают многие кривые, в том числе довольно сильно отличающиеся от окружности. Наиболее простая из них, так называемый треугольник Рело , изображена на следующем рисунке.

Он состоит из трех дуг окружностей, центры которых расположены в вершинах правильного треугольника, а радиусы равны его стороне. Если изготовить несколько катков, поперечные сечения которых являются кривыми постоянной ширины, то можно перевозить на них плоскую платформу, и она не будет перемещаться вверх и вниз.

Отметим также, что все кривые данной постоянной ширины имеют одну и ту же длину .

2. Любая прямая, которая делит пополам периметр окружности, делит пополам и площадь ограниченного ею круга.

Разумеется, помимо окружности этим свойством обладают любые кривые, имеющие центр симметрии. Гораздо интереснее то, что обладать им могут и не центрально-симметричные кривые, в том числе и выпуклые. Вот изображение одной из таких фигур:

Ее можно задать следующими уравнениями:

х = 12 · cos φ + cos 2 φ + ½ · cos 4φ ,

у = 12 · sin φ - sin 2φ + ½ · sin 4φ ,

где φ меняется от 0 до 2π .

Доказательство признака 2

Пусть дана выпуклая гладкая кривая, касательные к которой из любой точки равны. Возьмем произвольную точку А вне кривой и проведем касательные АВ" и АС" . Докажем, что для всех точек А" , лежащих на дуге В"С" (одной и той же), углы В"А"С" совпадают.

Проведем через А" касательную к кривой и найдем точки В и С ее пересечения с АС" и АВ" .

По условию треугольники В"А"С" и C"A"B" равнобедренные, следовательно:

∠ BA"C" = ½ · (π - ∠ CBA),

∠ CA"B" = ½ · (π - ∠ ACB),

∠ C"A"B" = π - ∠ BA"C" - ∠ CA"B" = ½ · (∠ CBA - ∠ ACB) = ½ · (π - ∠ BAC).

Таким образом угол, под которым видна хорда В"С" , не зависит от выбора точки на дуге. Для второй дуги доказательство аналогично. По первому признаку, из приведенных выше, кривая является окружностью.

Доказательство признака 6

Прежде всего, отметим, что в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник. Действительно, возьмем на кривой произвольную точку А и повернем кривую вокруг А на π /3. Точка пересечения старого и нового положения кривой, отличная от А будет второй вершиной треугольника.

Итак пусть правильный треугольник с центром О вписан в нашу кривую. Повернем ее вокруг О на угол 2π /3. Старое и новое положение кривой пересекаются, по крайней мере, в трех точках (вершинах треугольника) и, значит, совпадают, т.е. О является центром симметрии 3 порядка. Рассмотрим теперь поворот кривой вокруг О на произвольный угол φ . Если старое и новое положение кривой не совпадают, то число точек их пересечения кратно 3 (в силу симметрии) и не равно 0 (иначе одна кривая лежала бы целиком внутри другой, что для конгруэнтных кривых невозможно). Следовательно, кривая переходит в себя при любом повороте вокруг О , т.е. является окружностью.

Источники: А. Заславский. Свойства и признаки окружности. ("Квант", №6, 2001), Википедия.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Радикальная ось - прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей.
Линия центров окружностей - прямая, проходящая через центры двух окружностей.

Теорема 1.

1) Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей.
2) Отрезки касательных, проведенных из любой точки радикальной оси к этим окружностям, равны.

Доказательство:

1) Рассмотрим \(\triangle BMN\) и \(\triangle AMN\) : они равны по трем сторонам (\(BM=AM=R_1, BN=AN=R_2\) - радиусы первой и второй окружностей соответственно). Таким образом, \(\angle BNM=\angle ANM\) , следовательно, \(MN\) - биссектриса в равнобедренном \(\triangle ANB\) , следовательно, \(MN\perp AB\) .

2) Отметим произвольную точку \(O\) на радикальной оси и проведем касательные \(OK_1, OK_3\) к первой окружности и \(OK_2, OK_4\) ко второй окружности. Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то \(OK_1^2=OK_2^2=OK_3^2=OK_4^2=OB\cdot OA\) .

Теорема 2.

Пусть две окружности с центрами \(M\) и \(N\) касаются внешним образом в точке \(A\) . Две общие касательные (внутренняя и внешняя) \(a\) и \(b\) этих окружностей пересекаются в точке \(B\) . Точки касания - точки \(A, K_1, K_2\) (как показано на рисунке). Тогда \[(1) \ {\large{K_1B=AB=K_2B}}\] \[(2) \ {\large{\angle K_1AK_2=90^\circ}}\]

Доказательство:

1) Т.к. \(BA\) и \(BK_1\) - две касательные, проведенные к первой окружности из одной точки, то отрезки касательных равны: \(BA=BK_1\) . Аналогично, \(BA=BK_2\) . Таким образом, \(BA=BK_1=BK_2\) .

2) Значит, \(BA\) - медиана в \(\triangle K_1AK_2\) , равная половине стороны, к которой она проведена. Значит, \(\angle A=90^\circ\) .

Теорема 3.

Пусть две окружности касаются внешним образом в точке \(A\) . Через точку \(A\) проведены две прямые \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\) , пересекающие каждую окружность в двух точках, как показано на рисунке. Тогда: \[(1) \ {\large{\triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_2C_2}}\] \[(2) \ {\large{B_1C_1\parallel B_2C_2}}\]

Доказательство:

1) Проведем через точку \(A\) общую касательную этих окружностей \(OQ\) . \(\angle OAC_2=\angle QAC_1=\alpha\) как вертикальные. Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle OAC_2=\frac12\buildrel\smile\over{AC_2}\) , \(\angle QAC_1=\frac12\buildrel\smile\over{AC_1}\) . Следовательно, \(\buildrel\smile\over{AC_1}=\buildrel\smile\over{AC_2}=2\alpha\) . Таким образом, \(\angle AB_1C_1=\angle AB_2C_2=\alpha\) . Значит, по двум углам \(\triangle AB_1C_1\sim \triangle AB_2C_2\) .

2) Т.к. \(\angle AB_1C_1=\angle AB_2C_2\) , то прямые \(B_1C_1\parallel B_2C_2\) по накрест лежащим углам при секущей \(B_1B_2\) .

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: \

Доказательство

Пусть для определенности \(\angle ABD<\angle CBD\) . Проведем отрезок \(BO\) так, чтобы \(O\) лежала на \(AC\) и \(\angle ABD=\angle CBO\) :


Т.к. \(\angle ACB=\angle ADB\) (опираются на одну и ту же дугу), то по двум углам \(\triangle OBC\sim \triangle ABD\) . Значит: \[\dfrac{OC}{AD}=\dfrac{BC}{BD} \Rightarrow AD\cdot BC=OC\cdot BD\phantom{00000000000} (1)\]

Т.к. \(\angle BAC=\angle BDC\) (опираются на одну и ту же дугу), \(\angle ABO=\angle CBD\) (состоят из равных по построению (оранжевых) углов и общего угла \(\angle DBO\) ), то по двум углам \(\triangle ABO\sim \triangle BDC\) . Значит: \[\dfrac{AO}{DC}=\dfrac{AB}{BD} \Rightarrow AB\cdot CD=AO\cdot BD \phantom{00000000000} (2)\]

Сложим равенства \((1)\) и \((2)\) : \(AD\cdot BC+AB\cdot CD=OC\cdot BD+AO\cdot BD=AC\cdot BD\) , чтд.

Формула Эйлера:

Пусть \(R\) - радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности, \(r\) - радиус вписанной окружности. Тогда расстояние \(d\) между центрами этих окружностей вычисляется по формуле: \[{\large{d^2=R^2-2Rr}}\]

Доказательство:

а) Предположим, что \(d\ne 0\) . Пусть \(O, Q\) - центры описанной и вписанной окружности соответственно. Проведем диаметр описанной окружности \(PS\) через точку \(Q\) . Проведем также биссектрисы углов \(\angle A, \angle B\) - \(AA_1, BB_1\) соответственно (заметим, что они пересекутся в точке \(Q\) , т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис). Хорды \(PS\) и \(BB_1\) пересекаются, следовательно, отрезки этих хорд равны: \(PQ\cdot QS=BQ\cdot QB_1\) .

Т.к. \(OP=OS=R, OQ=d\) , то последнее равенство можно переписать в виде \((R-d)(R+d)=BQ\cdot QB_1 \ (*)\) .

Заметим, что т.к. \(AA_1, BB_1\) - биссектрисы, то \(\buildrel\smile\over{AB_1}=\buildrel\smile\over{B_1C}=x, \ \buildrel\smile\over{CA_1}=\buildrel\smile\over{A_1B}=y\) . Т.к. угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними, то:
\(\angle AQB_1=\frac12(x+y)\) .

С другой стороны, \(\angle B_1AA_1=\frac12\big(\buildrel\smile\over{B_1C}+\buildrel\smile\over{CA_1}\big)=\frac12(x+y)\)

Таким образом, \(\angle AQB_1=\angle B_1AA_1\) . Следовательно, \(\triangle QB_1A\) - равнобедренный и \(B_1Q=B_1A\) . Значит, равенство \((*)\) можно переписать как:
\(R^2-d^2=BQ\cdot AB_1 \ (**)\) .

Проведем еще один диаметр описанной окружности \(B_1B_2\) . Тогда \(\triangle B_1AB_2\) - прямоугольный (\(\angle A\) опирается на диаметр). Пусть также вписанная окружность касается стороны \(AB\) в точке \(K\) . Тогда \(\triangle BKQ\) - прямоугольный.
Заметим также, что \(\angle KBQ=\angle AB_2B_1\) (т.к. они опираются на одну и ту же дугу).
Значит, \(\triangle B_1AB_2\sim \triangle BKQ\) по двум углам, следовательно:

\(\dfrac{KQ}{AB_1}=\dfrac{BQ}{B_1B_2} \Rightarrow \dfrac{r}{AB_1}=\dfrac{BQ}{2R} \Rightarrow BQ\cdot AB_1=2Rr\) .

Подставим это в \((**)\) и получим:

\(R^2-d^2=2Rr \Rightarrow d^2=R^2-2Rr\) .

б) Если \(d=0\) , т.е. центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то \(AK=BK=\sqrt{R^2-r^2} \Rightarrow AB=2\sqrt{R^2-r^2}\) . Аналогично \(AC=BC=AB=\sqrt{R^2-r^2}\) , т.е. треугольник равносторонний. Следовательно, \(\angle A=60^\circ \Rightarrow \angle KAO=30^\circ \Rightarrow r=\frac12R \Rightarrow R=2r\) или \(0=R^2-2Rr\) (т.е. в этом случае формула также верна).

Теорема о бабочке:

Пусть через середину хорды \(AB\) - точку \(O\) , проведены две хорды \(MN\) и \(KP\) . Пусть \(MP\cap AB=X, KN\cap AB=Y\) . Тогда \[{\large{OX=OY}}\]

Доказательство:

Проведем перпендикуляры \(XX_1, YY_2\perp MN, XX_2, YY_1\perp KP\) .
Следующие углы равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу: \(\angle PMO=\angle NKO, \angle MPO=\angle KNO\) .
Следующие углы равны, т.к. вертикальные: \(\angle XOX_1=\angle YOY_2, \angle XOX_2=\angle YOY_1\) .

Следующие прямоугольные треугольники подобны:

1) \(\triangle XX_1O\sim \triangle YY_2O \Rightarrow \dfrac{XO}{YO}=\dfrac{XX_1}{YY_2}\)

2) \(\triangle XX_2O\sim \triangle YY_1O \Rightarrow \dfrac{XO}{YO}=\dfrac{XX_2}{YY_1}\)

3) \(\triangle MXX_1\sim \triangle KYY_1 \Rightarrow \dfrac{XX_1}{YY_1}=\dfrac{MX}{KY}\)

4) \(\triangle PXX_2\sim \triangle NYY_2 \Rightarrow \dfrac{XX_2}{YY_2}=\dfrac{PX}{NY}\)

Из 1) и 2) следует, что

\(\dfrac{XO^2}{YO^2}=\dfrac{XX_1\cdot XX_2}{YY_1\cdot YY_2}\)

Из 3) и 4) следует, что

\(\dfrac{XX_1\cdot XX_2}{YY_1\cdot YY_2}=\dfrac{MX\cdot PX}{KY\cdot NY}\)

Совместив последние два равенства, получим:

\(\dfrac{XO^2}{YO^2}=\dfrac{MX\cdot PX}{KY\cdot NY}\)

Заметим, что для пересекающихся хорд \(AB\) и \(MP\) : \(AX\cdot XB=MX\cdot PX\) . Аналогично \(AY\cdot YB=KY\cdot NY\) . Значит:

\(\dfrac{XO^2}{YO^2}==\dfrac{AX\cdot XB}{AY\cdot YB}\)

Обозначим \(OX=x, OY=y, OA=OB=t \Rightarrow\)

\(\dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{(t-x)(t+x)}{(t+y)(t-y)}=\dfrac{t^2-x^2}{t^2-y^2} \Rightarrow x^2t^2-x^2y^2=y^2t^2-x^2y^2 \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow x=y\) .