АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ.

Урок в 9 классе.

Учитель математики- Приходько Галина Владимировна

Цели урока:

Образовательные: совершенствовать умения по использованию формул арифметической и геометрической прогрессий для решения задач прикладного содержания, показать использование формул прогрессий для задач физики, биологии, экономики, проверка усвоения знаний путем проведения самостоятельной работы в тестовой форме.

Воспитательные: воспитывать чувство ответственности, взаимоуважения, умения работать в группах.

Развивающие: развивать интерес к предмету, потребность к получению новых знаний.

Тип урока: круглый стол.

Ход урока:

1.) Организационный момент. Учащиеся образовали группы: кафедра теории, кафедра истории, биологии, физики, экономики.

2.)Опрос. Кафедра теории.

План опроса: Определение, свойства, формула n -ого члена, формула суммы.

Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.

1. 1.

2.
2.

3.
3.

4.
4.

5.
5.

3.) Кафедра истории.

С понятием последовательностей связаны имена следующих математиков. Члены последовательности 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… называют числами Фибоначчи. Это объясняется тем, что итальянский математик и купец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) первым установил связь между этой последовательностью и известной задачей о размножении кроликов. В этой задаче исследуется численность потомства одной пары кроликов, которая ежемесячно приносит пару крольчат, а те через месяц также начинают производить потомство.

С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены явления природы, в которых эта последовательность играет немаловажную роль. Одно из них филлотаксис (листорасположение)- правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, одна из которых идёт по часовой стрелке, другая против. И количество семян в каждом случае 34 и 55, однако встречаются и гиганты с 89 и 144 семечками. Подобное свойство можно обнаружить в структуре сосновых шишек. То же наблюдается и на плодах ананаса.

Выдающийся немецкий математик К.Гаусс нашел сумму арифметической прогрессии

1, 2, 3, …, 98,99,100 в возрасте 5 лет.

С геометрической последовательностью 1, 2,
связана старинная легенда. Индийский мудрец, придумавший шахматную игру, попросил у раджи за своё изобретение, на первый взгляд, скромное вознаграждение: за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зёрнышко, за вторую – 2, за третью – 4 и т. д. – за каждую следующую клетку вдвое больше, чем за предыдущую. Общее количество зерен, которое попросил изобретатель, равно

Богатый раджа был потрясен, когда узнал, что он не в состоянии удовлетворить «скромное желание» мудреца. Значение этого выражения равно 18 446 744 073 709 551 615 т.е. 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.

Для того, чтобы осознать, насколько велико это число, представим, что зерно хранят в амбаре площадью 12 га. Его высота была бы больше расстояния от Земли до Солнца.

4.) Кафедра биологии.

В биологии тоже есть явления, которые можно охарактеризовать с помощью прогрессий. В частности размножение живых организмов. Зная такие характеристики организма, как периодичность размножения и численность потомства, можно с помощью прогрессий спрогнозировать количество популяции за определённый промежуток времени. Такой процесс рассматривается в следующей задаче.

ЗАДАЧА.

Бактерия, попав в организм, до конца 20 минуты делится на две, каждая из которых до конца 20 минуты снова делится на две и т.д. Сколько бактерий будет в организме через сутки?

Решение:

Количество бактерий каждые 20 минут увеличивается в 2 раза, поэтому имеем:

1,2,4,8,… геометрическая прогрессия, в которой

по формуле
найдём

бактерий.

Ответ:
бактерий.

5.) Кафедра физики.

Из истории астрономии известно, что И.Тициус, немецкий астроном XVIII века, с помощью ряда чисел Фибоначчи нашёл закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы. Однако один случай, который казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов, произошло это после смерти Тициуса в начале XIX века.

Прогрессии выражают законы некоторых физических явлений. Например, по закону геометрической прогрессии происходит ударная ионизация. При ударной ионизации положительный ион достигая поверхности отрицательного электрода выбивает электрон. Этот электрон, обладая большой энергией выбивает электрон из внешней оболочки атома, который встречает на своём пути. Образовавшиеся уже 2 электрона выбивают ещё 2, полученные 4 ещё 4 и т. д. Образуется электронная лавина, растущая в геометрической прогрессии.

В физике есть понятие равноускоренного движения. Если тело движется равноускоренно, то расстояние, которое оно проходит за каждую следующую единицу времени, увеличивается на одну и ту же величину. Т.е. отрезки пути, которые проходит тело за 1,2,3,4,…единицы времени образуют арифметическую прогрессию.

ЗАДАЧА.

Шар, который катится в желобе, за первую секунду проходит 0,6 м. а за каждую следующую на 0,6м больше. За какое время он пройдёт 6м?

Решение:
м,
м,
м.

5 не удовлетворяет условию задачи

Шар пройдёт 6м за 4сек.

Ответ:4сек.

6.)Кафедра экономики.

Первый банк был основан в Венеции в 1171 году. С тех пор банковская система развивается и усовершенствуется.

В случае размещения в банке денежного вклада вкладчик получает определённый процент за использование своих средств.

ЗАДАЧА.

Банк выплачивает 2% годовых. Какой будет сумма вклада в 800р в конце каждого года? За первый или за второй год прирост вклада больше? Каким будет вклад через 3 года?

Решение:

Пусть A – начальный вклад, на который насчитывается p % годовых, тогда A ·
-прирост вклада, через год имеем

где
- стала величиной постоянной для любой суммы. Через 2 года имеем:

т.е. прирост вклада возрастает по закону геометрической прогрессии.

Если вкладчик положил в банк 800р, под 2% годовых, то прирост образует

800·0,02=16 р

За первый год сумма вклада равна 800+16 =816р

За второй год 816·(1+0.02)² = 832,32р

За каждый год начальный вклад увеличивается на 2% , поэтому через 3года он равен

800·(1,02)³= 800·1,06=848(р)

Ответ: 848р.

ЗАДАЧА.

Работники получили задание выкопать колодец. За первый выкопанный в глубину метр колодца им платят 50 р, а за каждый следующий на 20 р больше, чем за предыдущий. Сколько денег (в рублях) заплатят работникам за выкопанный колодец глубиной 12м?

Решение:

Из условия задачи имеем арифметическую прогрессию

необходимо найти

Ответ: 1920р.

7) Решение тестовых заданий.

1 вариант.

1. Найдите разность арифметической прогрессии, если

А) 0,9 ; Б) -0,9; В) 9; Г) -9.

2. Чему равна сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии, первый член которой

а знаменатель

А) 70; Б) 85; В) 80; Г) 75.

3. Чему равна сумма шести первых членов арифметической прогрессии, если

А)85; Б) 95; В) 105; Г) 115.

4. Среди данных последовательностей укажите арифметическую прогрессию.

А) 5;8;13;18; В) 0,1;0,2;0,3;0,4;

Б) 45;40;33;27; Г) 7;9;12;14.

5. Из последовательности чисел -9,-8,-6,4,5,6 выбрали два числа и нашли их произведение. Какое наименьшее значение может принимать это произведение?

А)-40; Б) -54; В) -72; Г) -36.

6. Укажите среди данных последовательностей геометрическую прогрессию.

А)6;18;54;162; Б)1;2;3;5; В)3;8;13;18; Г)21;19;17;15.

7. Чему равен третий член геометрической прогрессии, первый член которой
а знаменатель

А) 15; Б) 45; В) 135; Г) 75.

8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии,если

А)
Б) В)
Г)

9. Найдите седьмой член арифметической пргрессии, первый член которой равен 8, а разность равна 0,5.

А) 11; Б) 10; В) 10,5; Г) 9,5.

10. Найдите первый член арифметической прогрессии, если второй член равен 2,1, а разность равна 0,7.

А) 1,4; Б)2,8; В) 0,3; Г) 14,7.

2 вариант.

1. Какая из последовательностей является арифметической прогрессией?

А) 1;2;4;8; Б)8;10;13;17; В)2;4;6;8; Г) -8;8;-8;8. а знаменатель

А) -2; Б) -6; В) 2; Г)6.

Кафедра биологии.

Задача. Бактерия, попав в организм, до конца 20 минуты делится на 2 , каждая из которых до конца 20 минуты снова делится на 2 и т. д. Сколько бактерий будет в организме через сутки?

Кафедра физики.

Задача. Шар, который катится в желобе, за первую секунду проходит 0,6 м, а за каждую следующую на 0,6 м больше. За какое время он пройдет 6 м.

Кафедра экономики.

Задача. Банк выплачивает 2% годовых. Какой будет сумма вклада в 800 гривен в конце каждого года? За первый или за второй год прирост вклада больше? Каким будет вклад через 3 года?

Кафедры истории и теории.

Задача. Работники получили задание выкопать колодец. За первый выкопанный в глубину метр колодца им платят 50 р, а за каждый следующий – на 20 р больше, чем за предыдущий. Сколько денег (в рублях) заплатят работникам за выкопанный колодец глубиной

12 м.

Литература:

1.Открытые уроки. Математика. 5,6,7,9,11кл. Выпуск 2. Авторы –составители: Ляшова Н.М.и другие. Волгоград: Учитель,2007-84с.

2. Предметные недели в школе. Математика. Составитель:Гончарова Л.В.

Волгоград: Учитель.2007-133с.

3. Сухарева Л.С. Дидактические игры на уроках математики.7-9кл. Харьков: Основа.2006-144с.

Понимание многих тем по математике и физике связано со знанием свойств числовых рядов. Школьники в 9 классе при изучении предмета "Алгебра" рассматривают одну из важных последовательностей чисел - арифметическую прогрессию. Приведем основные формулы арифметической прогрессии (9 класс), а также примеры их использования для решения задач.

Алгебраическая или арифметическая прогрессия

Числовой ряд, который будет рассмотрен в данной статье, называют двумя разными способами, представленными в названии этого пункта. Итак, под прогрессией арифметической в математике понимают такой числовой ряд, в котором стоящие рядом любые два числа отличаются на одну и ту же величину, носящую название разности. Числа в таком ряду принято обозначать буквами с нижним целочисленным индексом, например, a 1 , a 2 , a 3 и так далее, где индекс указывает номер элемента ряда.

Учитывая данное выше определение прогрессии арифметической, можно записать следующее равенство: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, здесь d - разность прогрессии алгебраической и n - любое целое число. Если d>0, то можно ожидать, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего, в этом случае говорят о возрастающей прогрессии. Если d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Формулы арифметической прогрессии (9 класс школы)

Рассматриваемый ряд чисел, поскольку является упорядоченным и подчиняется некоторому математическому закону, обладает двумя важными для его использования свойствами:

  1. Во-первых, зная всего два числа a 1 и d, можно найти любой член последовательности. Это делается с помощью такой формулы: a n = a 1 +(n-1)*d.
  2. Во-вторых, для вычисления суммы n членов первых не обязательно складывать их по порядку, поскольку можно воспользоваться следующей формулой: S n = n*(a n +a 1)/2.

Первую формулу понять просто, так как она является прямым следствием того, что каждый член рассматриваемого ряда отличается от своего соседа на одинаковую разность.

Вторая формула арифметической прогрессии может быть получена, если обратить внимание на то, что сумма a 1 +a n оказывается эквивалентной суммам a 2 +a n-1 , a 3 +a n-2 и так далее. Действительно, поскольку a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+a n , a 3 = 2*d+a 1 , и a n-1 = -d+a n , то подставляя эти выражения в соответствующие суммы, получим, что они будут одинаковыми. Множитель n/2 во 2-й формуле (для S n) появляется из-за того, что сумм типа a i+1 +a n-i оказывается ровно n/2, здесь i - целое число, пробегающее значения от 0 до n/2-1.

Согласно сохранившимся историческим свидетельствам, формулу для суммы S n впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик), когда перед ним была поставлена задача школьным учителем сложить первые 100 чисел.

Пример задачи №1: найдите разность

Задачи, в которых ставится вопрос следующим образом: зная формулы арифметической прогрессии, как найти д (d), являются самыми простыми, которые только могут быть для этой темы.

Приведем такой пример: дана числовая последовательность -5,-2, 1, 4, ..., необходимо определить ее разность, то есть d.

Сделать это проще простого: необходимо взять два элемента и из большего по счету вычесть меньший. В данном случае имеем: d = -2 - (-5) = 3.

Чтобы быть наверняка уверенным в полученном ответе, рекомендуется проверить остальные разности, поскольку представленная последовательность может не удовлетворять условию прогрессии алгебраической. Имеем: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Эти данные говорят о том, что мы получили правильный результат (d=3) и доказали, что ряд чисел в условии задачи действительно представляет собой прогрессию алгебраическую.

Пример задачи №2: найдите разность, зная два члена прогрессии

Рассмотрим еще одну интересную задачу, которая ставится вопросом, как найти разность. Формулу арифметической прогрессии в этом случае необходимо использовать для n-ного члена. Итак, задача: даны первое и пятое числа ряда, который соответствует всем свойствам алгебраической прогрессии, например, это числа a 1 = 8 и a 5 = -10. Как найти разность d?

Начинать решение этой задачи следует с записи общего вида формулы для n-ного элемента: a n = a 1 +d*(-1+n). Теперь можно пойти двумя путями: либо подставить сразу числа и работать уже с ними, либо выразить d, а затем переходить к конкретным a 1 и a 5 . Воспользуемся последним способом, получаем: a 5 = a 1 +d*(-1+5) или a 5 = 4*d+a 1 , откуда следует, что d = (a 5 -a 1)/4. Теперь можно спокойно подставить известные данные из условия и получить конечный ответ: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Заметим, что в данном случае разность прогрессии оказалась отрицательной, то есть имеет место убывающая последовательность чисел. На этот факт необходимо обращать внимание при решении задач, чтобы не перепутать знаки "+" и "-". Все формулы, приведенные выше, являются универсальными, поэтому всегда следует их соблюдать независимо от знака чисел, с которыми осуществляются операции.

Пример решения задачи №3: найдите a1, зная разность и элемент

Изменим немного условие задачи. Пусть имеются два числа: разность d=6 и 9-й элемент прогрессии a 9 = 10. Как найти а1? Формулы арифметической прогрессии остаются неизменными, воспользуемся ими. Для числа a 9 имеем следующее выражение: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Откуда легко получаем первый элемент ряда: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

Пример решения задачи №4: найдите a1, зная два элемента

Этот вариант задачи является усложненной версией предыдущего. Суть заключается в том же самом, необходимо вычислить a 1 , однако теперь разность d не известна, а вместо нее дан еще один элемент прогрессии.

Примером такого типа задач может служить следующий: найдите первое число последовательности, для которой известно, что она является прогрессией арифметической, и что ее 15-й и 23-й элементы равны 7 и 12, соответственно.

Решать эту задачу необходимо с записи выражения для n-ного члена для каждого известного из условия элемента, имеем: a 15 = d*(15-1)+a 1 и a 23 = d*(23-1)+a 1 . Как видно, мы получили два линейных уравнения, которые нужно разрешить относительно a 1 и d. Поступим так: вычтем из второго уравнения первое, тогда получим такое выражение: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. При получении последнего уравнения были опущены значения a 1 , поскольку они сокращаются при вычитании. Подставляя известные данные, находим разность: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Значение d необходимо подставить в любую формулу для известного элемента, чтобы получить первый член последовательности: a 15 = 14*d+a 1 , откуда: a 1 =a 15 -14*d = 7-14*0,625 = -1,75.

Проверим полученный результат, для этого найдем a 1 через второе выражение: a 23 = d*22+a 1 или a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Пример решения задачи №5: найдите сумму n элементов

Как можно было заметить, до этого момента для решения использовалась всего одна формула арифметической прогрессии (9 класс). Теперь приведем задачу, для решений которой понадобиться знание второй формулы, то есть для суммы S n .

Имеется следующая упорядоченный ряд чисел -1,1, -2,1, -3,1,..., нужно вычислить сумму ее 11 первых элементов.

Из данного ряда видно, что он является убывающим, и a 1 = -1,1. Его разность равна: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Теперь определим 11-й член: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Выполнив подготовительные вычисления, можно воспользоваться отмеченной выше формулой для суммы, имеем: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Поскольку все слагаемые являлись отрицательными числами, то и их сумма имеет соответствующий знак.

Пример решения задачи №6: найдите сумму элементов от n до m

Пожалуй, этот тип задач является самым сложным для большинства школьников. Приведем типичный пример: дан ряд чисел 2, 4, 6, 8 ..., необходимо найти сумму с 7-го по 13-й членов.

Формулы арифметической прогрессии (9 класс) используются точно такие же, как и во всех задачах ранее. Эту задачу рекомендуется решать поэтапно:

  1. Сначала найти сумму 13 членов по стандартной формуле.
  2. Затем рассчитать эту сумму для 6 первых элементов.
  3. После этого вычесть из 1-й суммы 2-ю.

Приступим к решению. Так же как и в предыдущем случае, проведем подготовительные вычисления: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Вычислим две суммы: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Берем разницу и получаем искомый ответ: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Отметим, что при получении этого значения использовалась в качестве вычитаемого именно сумма 6 элементов прогрессии, поскольку 7-й член входит в сумму S 7-13 .

Конспект урока алгебры в 9 классе

Тема урока: Определение арифметической и геометрической прогрессии.

Формула n-ого члена арифметической и геометрической

прогрессии.

Тип урока : урок изучения нового материала

Цель урока:

Формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии, как видов числовых последовательностей; вывод формулы n-ого члена арифметической и геометрической последовательности.

Знакомство с характеристическим свойством членов арифметической и геометрической прогрессии.

Формирование умений учащихся использовать полученные знания при решении задач.


Задачи урока:

Образовательные: ввести понятия арифметической и геометрической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметической и геометрической прогрессий.

Развивающие: повышать сознательное усвоение материала посредством противопоставления; вырабатывать умение сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, видеть закономерности, проводить рассуждения по аналогии, развивать память и логическое мышление.

Воспитательные: создать условия для развития познавательного интереса к предмету .

План урока:

1. Организация начала урока, постановка целей и задач урока.

2. Мотивация к изучению темы («Легенда о шахматной доске»)

3. Изучение нового материала

4. Первичное закрепление

5. Подведение итогов урока

6. Домашнее задание

Ход урока

1. Организация начала урока.

Назвать тему урока, цель урока, поставленные задачи.

2. Мотивация к изучению темы.

«Легенда о шахматной доске».

Шахматы -одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и не удивительно, что с нею связаны предания, правдивость которых за давностью времени невозможно проверить. Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы - достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что игра изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель - его звали Сета - явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал,- сказал царь.

Мудрец поклонился.

Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание,- продолжал царь.- Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

Не робей,- ободрил его царь.- Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его!

Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

Повелитель,- сказал Сета,- прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

Простое пшеничное зерно? - изумился царь.

Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два зерна, за третью - четыре, за четвертую - 8, за пятую- 16, за шестую - 32...

Довольно! - с раздражением прервал его царь.- Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай! Слуги мои вынесут тебе мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

Повелитель,- был ответ,- приказание твое, исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился - он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь Шерам еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

Повелитель,- ответили ему,- математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

Почему медлят с этим делом?! - гневно воскликнул царь.- Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю!

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

Прежде чем скажешь о твоем деле,- объявил Шерам.- я желаю услышать, выдана ли наконец Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний" час,- ответил старик.- Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико...

Как бы велико оно ни было,- надменно перебил царь,- житницы мои не оскудеют! Награда обещана и должна быть выдана...

Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыри. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

Назови же мне это чудовищное число,-сказал он в раздумье.

Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель! (18 446 744 073 709 551 615)

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом.

Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в

12 000 000 000 000 куб. м, или 12 000 куб. км. При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км, то есть вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!

Конечно, индийский царь не в состоянии был выдать подобной награды.

3. Изложение нового материала.

Раздать каждому учащемуся листы, на которых изложен теоретический материал в виде таблицы, показывающей различия в определениях арифметической и геометрической прогрессий, их характеристических свойств, формулах нахождения n-ого члена, формулах для нахождения суммы n-первых членов и для геометрической прогрессии дана формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Арифметическая прогрессия (а/п)

Геометрическая прогрессия (г/п)

Опр. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Например: -6; -4; -2; 0; 2; 4;…

6; = -4; = -2; =0; = 2…

Опр. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю.

Например: 5; 15; 45; 135, …

5; =15; =45; =135; …

d = 2 – разность а/п

d = - ;

d = -

q = 3 – знаменатель г/п

q = ;

Q =

Формула n-ого члена а/п

D = + 2 d ;

D = + 3 d ; = + 4 d ;

Формула n-ого члена г/п

Q = ;

Q = ;

Формула среднего члена а/п