Рассмотрим поле точечного заряда $q$, найдем поток вектора напряжённости ($\overrightarrow{E}$) через замкнутую поверхность $S$. Будем считать, что заряд находится внутри поверхности. Поток вектора напряженности через любую поверхность равен количеству линий вектора напряженности, которые выходят наружу (начинаются на заряде, если $q>0$) или количеству линий $\overrightarrow{E}$входящих внутрь, если $q \[Ф_E=\frac{q}{{\varepsilon }_0}\ \left(1\right),\]

где знак потока совпадает со знаком заряда.

Теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме

Допустим, что внутри поверхности S находится N точечных зарядов, величины $q_1,q_2,\dots q_N.$ Из принципа суперпозиции мы знаем, что результирующая напряженность поля всех N зарядов может быть найдена как сумма напряженностей полей, которые создаются каждым из зарядов, то есть:

Следовательно, для потока системы точечных зарядов можно записать:

Используем формулу (1), получаем, что:

\[Ф_E=\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }\left(4\right).\]

Уравнение (4) значит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые находятся внутри данной поверхности, деленой на электрическую постоянную. Это теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме. Данная теорема является следствием закона Кулона. Значение данной теоремы заключается в том, что она позволяет довольно просто вычислять электрические поля при различных распределениях зарядов.

Как следствие теоремы Остроградского - Гаусса надо сказать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$) через замкнутую поверхность в случае при котором заряды находятся вне данной поверхности, равен нулю.

В том случае, когда можно не учитывать дискретность зарядов используют понятие объемной плотности заряда ($\rho $), если заряд распределен по объему. Она определена как:

\[\rho =\frac{dq}{dV}\left(5\right),\]

где $dq$ - заряд, который можно считать точечным, $dV$ -- малый объем. (Относительно $dV$ необходимо сделать следующее замечание. Данный объем мал настолько, чтобы плотность заряда в нем можно было считать постоянной, но достаточно велик, чтобы не начала проявляться дискретность заряда). Суммарный заряд, который находится в полости, можно найти как:

\[\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }=\int\limits_V{\rho dV}\left(6\right).\]

В таком случае формулу (4) перепишем в виде:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(7\right).\]

Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме

Используя формулу Остроградского - Гаусса для любого поля векторной природы, с помощью которой осуществляется переход от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по объему:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{a}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{a}dV\ \left(8\right),\]

где $\overrightarrow{a}-$вектор поля (в нашем случае это $\overrightarrow{E}$), $div\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$ -- дивергенция вектора $\overrightarrow{a}$ в точке с координатами (x,y,z), которая отображает векторное поле на скалярное. $\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$ - оператор набла. (В нашем случае будет $div\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$) -- дивергенция вектора напряженности. Следуя вышесказанному, формулу (6) перепишем как:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{E}dV=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(9\right).\]

Равенства в уравнении (9) выполняются для любого объема, а это осуществимо только, если функции, которые находятся в подынтегральных выражениях, равны в каждой токе пространства, то есть мы можем записать, что:

Выражение (10) -- теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме. Трактовка ее такова: заряды являются источниками электрического поля. Если $div\overrightarrow{E}>0$, то в этих точках поля (заряды положительные) мы имеем источники поля, если $div\overrightarrow{E}

Задание: Заряд равномерно распределен по объему, в этом объеме выделена кубическая поверхность, со стороной b. Она вписана в сферу. Найдите отношение потоков вектора напряженности сквозь эти поверхности.

Согласно теореме Гаусса поток ($Ф_E$) вектора напряженности $\overrightarrow{E}$ через замкнутую поверхность при равномерном распределении заряда по объему равен:

\[Ф_E=\frac{1}{{\varepsilon }_0}Q=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{dV}=\frac{\rho V}{{\varepsilon }_0}}\left(1.1\right).\]

Следовательно, нам необходимо определить объемы куба и шара, если шар описать вокруг этого куба. Для начала, объем куба ($V_k$) если сторона его b равен:

Найдем объем шара ($V_{sh}$) по формуле:

где $D$ -- диаметр шара и (так как шар описан вокруг куба), главная диагональ куба. Следовательно, нам необходимо выразить диагональ куба через его сторону. Это легко сделать, если использовать теорему Пифагора. Для вычисления диагонали куба, например, (1,5) нам сначала необходимо найти диагональ квадрата (нижнего основания куба) (1,6). Длина диагонали (1,6) равна:

В таком случает длина диагонали (1,5) равна:

\[{D=D}_{15}=\sqrt{b^2+{(\sqrt{b^2+b^2\ \ \ })}^2}=b\sqrt{3}\ \left(1.5\right).\]

Подставим в (1.3) найденный диаметр шара, получим:

Теперь мы можем найти потоки вектора напряженности через поверхность куба, она равна:

\[Ф_{Ek}=\frac{\rho V_k}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho b^3}{{\varepsilon }_0}\left(1.7\right),\]

через поверхность шара:

\[Ф_{Esh}=\frac{\rho V_{sh}}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\frac{\sqrt{3}}{2}\pi b^3\ \left(1.8\right).\]

Найдем отношение $\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}$:

\[\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}=\frac{\frac{с}{\varepsilon_0}\frac{\sqrt{3}}{2} \pi b^3}{\frac{сb^3}{\varepsilon_0}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{3}\ \approx 2,7\left(1.9\right).\]

Ответ: Поток через поверхность шара в 2,7 раза больше.

Задание: Докажите, что заряд проводника располагается на его поверхности.

Используем для доказательства теорему Гаусса. Выделим в проводнике замкнутую поверхность произвольной формы около поверхности проводника (рис.2).

Допустим, что заряды внутри проводника есть, запишем с теорему Остроградского - Гаусса для дивергенции поля имеем для любой точки поверхности S:

где $\rho -плотность\ $внутреннего заряда. Однако поля внутри проводника нет, то есть $\overrightarrow{E}=0$, следовательно, $div\overrightarrow{E}=0\to \rho =0$. Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме локальна, то есть, она записана для точки поля, мы специальным образом точку не выбирали, следовательно, плотность заряда равна нулю в любой точке поля внутри проводника.

Численное интегрирование определённых интегралов

с высокой точностью. Квадратурные формулы

типа Гаусса.

Как было отмечено на предыдущей лекции численное вычисление определённых интегралов сводится к вычислению квадратурной суммы вида

где – любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси; р(х) – весовая функция, учитывающая особенности поведения подынтегральной функции; f(x) – произвольная гладкая функция; A k – квадратурные коэффициенты, x k – квадратурные узлы..

Квадратурная сумма однозначно определяется 2n+1 параметром: n значений А к, n – значений х k и сам параметр n – число разбиений отрезка . Чтобы получить более точный результат при вычислениях с помощью простейших квадратурных формул, следует дробить отрезок интегрирования на достаточно большое число интервалов. (Это наблюдалось, при рассмотрении простейших квадратурных формул трапеций и Симпсона)

Однако возможны и другие способы повышения точности квадратурных формул. Достижение точности можно добиться за счёт правильного или оптимального выбора узлов x k и квадратурных коэффициентов A k .

Если по условию задачи узлы можно выбирать произвольным образом и функция f(x) обладает высокой степенью гладкости, то для вычисления определённых интегралов применяют квадратурные формулы типа Гаусса.

Формула Гаусса.

Пусть необходимо вычислить определённый интеграл вида:

где f(x) – имеет высокую степень гладкости на интервале [-1; 1].

Данную задачу можно решить с помощью квадратурной формулы

.

Гауссом было доказано, что для достижения наивысшей точности результата интегрирования необходимо в качестве узлов квадратурной формулы взять корни многочлена Лежандра

.

Коэффициенты А к при этом вычисляются по формулам

.

Рассмотрим применение этих формул.

При n=1 имеем одну узловую точку внутри отрезка [-1; 1], которая определяется из уравнения

Т.к.
, то узловую точку находим из уравнения
Отсюда

Т.к.
,то
.

При n=2 получаем две узловые точки внутри отрезка [-1; 1], которые определяется из уравнения

Преобразовав его получаем

.

Его решение
. Т.к.
,

то общая формула для вычисления квадратурных коэффициентов приобретёт вид
. Подставляя узловые точки, получаем:

при
;

при
.

Для различного числа разбиения отрезка [-1; 1] можно получить таблицу узлов x k и коэффициентов A k . (Как это сделать будет показано на практическом занятии)

В случае произвольного интервала интегрирования (когда он не совпадает с отрезком [-1; 1]) предварительно делают замену переменной

.

А уже к преобразованному интегралу можно применить формулу Гаусса. Получим

,

где

–узлы квадратурной формулы Гаусса;

–соответствующие коэффициенты;

–остаток квадратуры.

Остаток квадратурной формулы Гаусса определяется по формуле

где

Пример. По формуле Гаусса вычислить интеграл I=(приn=5).

Т.к. интервал интегрирования не совпадает с отрезком [-1; 1], применим

.

Формула Остроградского – Гаусса

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой области V и на ее кусочно гладкой границе .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса

Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля через поверхность .

Доказательство. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольности P, Q, R состоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поля P, Q, R. В самом деле, можно взять P = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит только R. Остальные части формулы (при P = 0, R = 0, Q = 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы

2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область V в виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными оси OZ. Доказательство можно проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах.

Итак, будем доказывать соотношение для цилиндрического тела V, проектирующегося в область D на плоскости OXY. Пусть «верхняя» граница цилиндрического тела – поверхность описывается уравнением , «нижняя» граница – поверхность описывается уравнением . Боковую поверхность цилиндрического тела, параллельную оси OZ, обозначим .

Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю. Действительно, , так как нормаль на боковой поверхности ортогональна оси OZ и .

Заметим также, что на «верхней» поверхности , а на «нижней поверхности . Поэтому при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно менять знак не надо.

Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде

Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .

Дивергенция векторного поля (расходимость) есть .

Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Покажем это.

Инвариантное определение дивергенции.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестность V M – шар радиуса r с центром в точке M. Обозначим - ее границу – сферу радиуса r. По теореме о среднем для тройного интеграла

(по формуле Остроградского – Гаусса).

Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точке M.

Это и есть инвариантное определение дивергенции .

Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если >0) или стока (если <0) векторного поля в точке M.

Если >0, то точка M – источник векторного поля, если <0, то точка M – сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.

Все точки, для которых 2xy+xz >0 – источники, все точки, для которых 2xy+xz <0 – стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M – источник, так как .

М.В. Остроградский - российский математик и физик времен Российской империи, академик. Внес огромный вклад в развитие математического анализа, теории вероятностей, механики (раздела физики), теории чисел. В 1826 году вывел формулу, называемую сейчас формулой Остроградского - Гаусса.

История открытия

Впервые формула Остроградского - Гаусса была упомянута Жозефом Лагранжем в 1762 году.

Далее основной способ приведения тройного интеграла к поверхностному был доказан Карлом Гауссом, который использовал в качестве основы для доказательства решение проблем в электродинамике. Произошло это в первой половине XIX века.

Смысл формулы Остроградского

Формула Остроградского-Гаусса соотносит тройной интеграл по пространственному объему с интегралом по поверхности на его грани. Она является аналогом формулы Грина, которая соотносит двойной интеграл по плоскости с криволинейным по ее границам.

Вывод формулы

Формула Остроградского - Гаусса: вывод. Допустим, что в области W определена подынтегральная функция R (x, y, z), которая является определенной и непрерывной. Аналогичной является и ее производная во всей области W, включая ее границу. В таком виде известна сейчас теорема Остроградского - Гаусса (формула приведена ниже).

Причем S - поверхность, которая ограничивает тело, а интеграл справа распространен на ее внешнюю сторону.

И абсолютно верно,

Если аналогично брать во внимание и интегралы по поверхности, то

при этом справа находится сумма двух интегралов - первый из них соотносится с верхней частью поверхности (S 2), а второй - с нижней частью поверхности (S 1). Если приписать к данному равенству справа интеграл, указанный ниже, то его справедливость не будет нарушена:

Он соотносится с внешней частью поверхности S 3 по причине равенства нулю.

Если объединить все три вышеуказанных интеграла в один, будет получен частный случай формулы Остроградского.

Несложно осознать, что данная формула верна для более широкого класса тел и справедлива так же для фигур, ограниченных абсолютно любыми нелинейными поверхностями.

Аналогично справедливы и следующие формулы:

если функции Q и P непрерывны в области вместе со своими производными dP/dx и dQ/dy.

Если сложить оба равенства, будет получено выражение формулы Остроградского. Она отображает интеграл по поверхности, соотнесенный с внешней частью поверхности, через тройной интеграл, который берется по самому телу, границей которого является вышеуказанная поверхность.

Следует понимать, что формулы Грина, Стокса и Остроградского выражают интеграл, связанный с некоторым геометрическим телом, через интеграл, который берется на его границе. Формула Грина используется только в случае двумерности пространства, формула Стокса - к искривленному двумерному пространству.

Формулу Ньютона-Лейбница можно также рассматривать как некоторый аналог этих формул, но для одномерного пространства.

Применение данной формулы

Пусть в какой-либо незамкнутой области пространства заданы непрерывные функции A, B и C. Взяв любую замкнутую поверхность, находящуюся в данной области и ограничивающую некоторое тело, можно рассмотреть следующий интеграл по поверхности:

Необходимо найти такие значения A, B и C, чтобы при любых x, y и z данный интеграл оказывался равен нулю.

Для этого необходимо использовать формулу Остроградского-Гаусса. Одним из подразумеваемых условий является определенность и непрерывность функций A, B и C и их производных.

Так же требуется специально ввести наиболее данное для данного случая ограничение: и тело, и ограничивающая его поверхность должны содержаться одновременно в конкретной и указанной области, называемую односвязной. Основная его особенность заключается в отсутствии пустого пространства (в том числе и точечного). Таким образом, границей тела будет являться одна и при том единственная поверхность.

После применения формулы возможно получение следующего условия, которое является достаточным:

Чтобы доказать, что условие является так же и необходимым, достаточно воспользоваться дифференцированием тройного интеграла.

В заключении необходимо сказать об областях использования.

Как же применяется на практике формула Остроградского-Гаусса? Примеры использования можно обнаружить в самых разных сферах: для вывода некоторых формул в физике (например, уравнение диффузии), преобразования интегралов, вычисления интегралов Гаусса, доказательства некоторых формул и многого иного.

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой областиV и на ее кусочно гладкой границе .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса

Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля
через поверхность .

Доказательство. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольностиP, Q, Rсостоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поляP, Q, R. В самом деле, можно взятьP = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит толькоR. Остальные части формулы (приP= 0, R= 0, Q= 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы

2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область Vв виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными осиOZ. Доказательство можно проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах.

Итак, будем доказывать соотношение
для цилиндрического телаV, проектирующегося в областьDна плоскостиOXY. Пусть «верхняя» граница цилиндрического тела – поверхность описывается уравнением
, «нижняя» граница – поверхность описывается уравнением
. Боковую поверхность цилиндрического тела, параллельную осиOZ, обозначим.

Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю. Действительно, , так как нормаль на боковой поверхности ортогональна осиOZи
.

Заметим также, что на «верхней» поверхности
, а на «нижней поверхности
. Поэтому при переходе от поверхностного интеграла пок двойному интегралу по областиDи обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного интеграла пок двойному интегралу по областиDи обратно менять знак не надо.

Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде

- поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .

Дивергенция векторного поля (расходимость) есть
.

Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Покажем это.

Инвариантное определение дивергенции.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестностьV M – шар радиусаrс центром в точкеM. Обозначим
- ее границу – сферу радиусаr. По теореме о среднем для тройного интеграла

(по формуле Остроградского – Гаусса).

Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точкеM.

. Это и естьинвариантное определение дивергенции .

Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если
>0) или стока (если
<0) векторного поля в точке M .

Если
>0, то точкаM– источник векторного поля, если
<0, то точка M– сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля. Выяснить, является ли точкаM(1,2,3)источником или стоком.

Все точки, для которых 2xy+xz >0 – источники, все точки, для которых 2xy+xz <0– стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M– источник, так как.