1. Преобразовать заданное уравнение к виду F(x) = 0.
2. Построить таблицу значений функции на заданном отрезке.
3. Построить график функции F(x).
4. Локализовать корни, т. е. найти интервалы, на которых корни уравнения существуют. Такими интервалами локализации корней могут служить промежутки, на концах которых функция имеет противоположные знаки.
5. Определить по графику первый из корней уравнения и первый отрезок локализации этого корня.
6. Методом половинного деления найти корень уравнения с точностью e=0,001.
7. Повторить пункты 5 и 6 для следующих корней уравнения.
Вариант уравнения выбирается по номеру студента в списке.
Варианты уравнений
1. Найти корни нелинейного алгебраического уравнения
2. Найти корни нелинейного алгебраического уравнения
на отрезке .
3. Найти корни нелинейного алгебраического уравнения
при .
4. Решить нелинейное уравнение
на отрезке .
5. Решить нелинейное уравнение
и найти его корни на отрезке .
6. Найти корни нелинейного алгебраического уравнения
Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.
F(x,y,y")=0
1. Из уравнения F(x,y,y")=0 выразить y" через x и y . Получится одно или несколько уравнений вида y"=f(x,y), каждое из которых надо решить.
Пример.
у" 2 -y 2 =0
y"=y и y"=-y
dy/y=dx и dy/y=-dx
ln|y|=x+lnC и ln|y|=-xlnD
y=Ce x и y=De -x
2. Метод параметра (простейший вариант метода).
Пусть уравнение F(x,y,y")=0 y .
y=f(x,y") .
Введем параметр p=y"=dy/dx
Тогда y=f(x,p)
Возьмем полный дифференциал от обеих частей, заменив dy через pdx , получим
pdx=f x "dx+f y "dy
Если решение этого уравнения найдено в виде x=φ(p) , то получим решение исходного уравнения в параметрической форме:
Пример
y=ln(1+y" 2)
p=y"=dy/dx, y=ln(1+p 2)
При делении на р потеряли решение у=0
3. Если уравнение F(x,y,y")=0 можно разрешить относительно х :
x=f(y,y") , то также как в 2 вводим параметр p=y"=dy/dx
4. Уравнение Лагранжа
y=xφy"+Ψ(y")
и уравнение Клеро
y=xy"+Ψ(y")
являются частными случаями, рассмотренными в пункте 2.
5) Немного об особых решениях. Решение y=φ(х) уравнения F(x,y,y")=0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое ршение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение φ(х) , но не совпадающее сним в сколь угодно малой окрестности этой точки. Пусть F(x,y,y"), δF/δy и δF/δy" непрерывны. Тогда любое особое решение уравнения F(x,y,y")=0 удовлетворяет и уравнению δ F(x,y,y")/δy"=0 .
Чтобы отыскать особые решения, надо из системы
исключить y
". Полученное уравнение называется дискриминантной кривой
. Для каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, является ли эта ветвь решением и если является, то будет ли оно особым (т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке).
Пример .
y=xy"-y 2 - Уравнение Клеро
p=y"=dy/dx, y=xp-p 2
pdx=pdx+xdp-2pdp
(x-2p)dp=0
dp=0, p=c , следовательно
x=2p, y=xp-p 2
y=Cx-C 2 или y=(x 2 /2)-(x 2 /4)
y=x 2 /4 -особое решение
y=x 2 /4 решение исходного уравнения. Докажем, что особое.
Берем произвольную точку на решении y=x 2 /4 , например (x o ,x 2 o /4 ). найдем С , при котором прямая y=Cx-C 2 также проходила через эту точку x 2 o /4=Cx o -C 2 , следовательно C=x o /2, т.е. y=(x o /2)x-(x 2 o /4) .
Пусть дано уравнение f(x) = 0 . Число x называется корнем данного уравнения, если оно, будучи подставленным в уравнение, обращает его в равенство, то есть f(x) = 0 . Число x называют нулем функции f(x) .Нахождение корней уравнения с определенной точностью можно разделить на два этапа:
1) отделение корней, то есть установление промежутков, в которых содержится один корень уравнения;
2) вычисление корня, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.
Известно, что если функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка [a, b ] значения разных знаков, то есть f(a)× f(b) < 0 , то внутри этого отрезка найдется нуль функции.
Для отделения (или локализации) корня уравнения f(x) = 0 для непрерывной в области определения функции f(x) можно составить таблицу значений функции у = f(x) на определенном промежутке изменения аргумента х . Если для некоторых соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то нуль функции находится между ними.
Пусть дано уравнение f(x) = 0
, где функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, b
]
и f(a)× f(b) < 0
.Для вычислениякорня данного уравнения
x Î
[a, b
]
находится середина этого отрезка x 1 = 0,5(a+b)
. Если f(x 1) ¹ 0
, то для продолжения вычислений выбирается та из частей данного отрезка
[a, х 1
]
или [х 1 , b
]
, на концах которой функция f(x)
имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначаются а 1
и b 1
. Новый отрезок [a 1 , b 1
]
снова делится пополам и производятся вычисления по изложенной схеме и так далее. В результате получается либо точный корень заданного уравнения на каком-то этапе, либо последовательность вложенных отрезков [a, b
]
,
[a 1 , b 1
]
, … , [a n , b n
]
, …, таких что:
f(a n)× f(b n) < 0 , n =1, 2, …
Число x - общий предел последовательностей (а n) и (b n) – является корнем уравнения f(x) = 0 .
Оценка погрешности решения на n -ом шаге вычислений имеет вид.
Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.
А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:
- Касательная к графику тоже не существует. Классический пример - функция y = |x | в точке (0; 0).
- Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).
Уравнение касательной
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k - угловой коэффициент. Касательная - не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)
Здесь f ’(x 0) - значение производной в точке x 0 , а f (x 0) - значение самой функции.
Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.
Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f
(x
0) = f
(2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f
’(x
) = (x
3)’ = 3x
2 ;
Подставляем в производную x
0 = 2: f
’(x
0) = f
’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y
= 12 · (x
− 2) + 8 = 12x
− 24 + 8 = 12x
− 16.
Это и есть уравнение касательной.
Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.
В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие - укажем лишь ключевые шаги. Имеем:
f
(x
0) = f
(π
/2) = 2sin (π
/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f
’(x
) = (2sin x
+ 5)’ = 2cos x
;
f
’(x
0) = f
’(π
/2) = 2cos (π
/2) = 0;
Уравнение касательной:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет - просто мы наткнулись на точку экстремума.
Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .
Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.
y = kx + b .
В нём k - угловой коэффициент.
Отсюда получаем следующую запись:
y - y 0 = k (x - x 0 ) .
Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .
Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".
Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .
Пример 1.
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции 
, если абсцисса точки
касания .
Найдём производную функции:
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.
Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.
Пример 2.
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.
