Параллельность двух прямых можно доказать на основе теоремы, согласно которой, два проведенных перпендикуляра по отношению к одной прямой, будут параллельны. Существуют определенные признаки параллельности прямых – всего их три, и все их мы рассмотрим более конкретно.

Первый признак параллельности

Прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой, образуемые внутренние углы, лежащие накрест, будут равны.

Допустим, при пересечении прямых АВ и СD прямой линией ЕF, были образованы углы /1 и /2. Они равны, так как прямая линия ЕF проходит под одним уклоном по отношению к двум остальным прямым. В местах пересечения линий, ставим точки Ки L – у нас получился отрезок секущей ЕF. Находим его середину и ставим точку О (черт. 189).

На прямую АВ опускаем перпендикуляр из точки О. Назовем его ОМ. Продолжаем перпендикуляр до тех пор, пока он не пересечется с прямой СD. В результате, первоначальная прямая АВ строго перпендикулярна МN, а это значит, что и СD_|_МN, но это утверждение требует доказательства. В результате проведения перпендикуляра и линии пересечения, у нас образовалось два треугольника. Один из них – МОЕ, второй – NОК. Рассмотрим их более подробно. признаки параллельности прямых 7 класс

Данные треугольники равны, поскольку, в соответствии с условиями теоремы, /1 =/2, а в соответствии с построением треугольников, сторона ОK = стороне ОL. Угол МОL =/NОК, поскольку это вертикальные углы. Из этого следует, что сторона и два угла, прилежащие к ней одного из треугольников соответственно равны стороне и двум углам, прилежащим к ней, другого из треугольников. Таким образом, треугольник МОL =треугольникуNОК, а значит, и угол LМО = углу КNО, но нам известно, что/LМО прямой, значит, и соответствующий ему, угол КNО тоже прямой. То есть, нам удалось доказать, что к прямой МN, как прямая АВ, так и прямая СD перпендикулярны. То есть, АВ и СD по отношению друг к другу являются параллельными. Это нам и требовалось доказать. Рассмотрим остальные признаки параллельности прямых (7 класс), которые отличаются от первого признака по способу доказательства.

Второй признак параллельности

Согласно второму признаку параллельности прямых, нам необходимо доказать, что углы, полученные в процессе пересечения параллельных прямых АВ и СD прямой ЕF, будут равны. Таким образом, признаки параллельности двух прямых, как первый, так и второй, основывается на равности углов, получаемых при пересечении их третьей линией. Допускаем, что /3 = /2, а угол 1 = /3, поскольку он вертикален ему. Таким образом, и /2 будет равен углу1, однако следует учитывать, что как угол 1, так и угол 2 являются внутренними, накрест лежащими углами. Следовательно, нам остается применить свои знания, а именно то, что два отрезка будут параллельными, если при их пересечении третьей прямой образованные, накрест лежащие углы будут равными. Таким образом, мы выяснили, что АВ || СD.

Нам удалось доказать, что при условии параллельности двух перпендикуляров к одной прямой, согласно соответствующей теореме, признак параллельности прямых очевиден.

Третий признак параллельности

Существует еще и третий признак параллельности, который доказывается посредством суммы односторонних внутренних углов. Такое доказательство признака параллельности прямых позволяет сделать вывод, что две прямые будут параллельны, если при пересечении их третье прямой, сумма полученных односторонних внутренних углов, будет равна 2d. См. рисунок 192.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

На рисунке углы 1 и 3 , а также углы 2 и 4 - вертикальные. Угол2 является смежным как с углом 1 , так и с углом 3. По свойству смежных углов 1 +2 =180 0 и 3 +2 =180 0 . Отсюда получаем: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Таким образом, градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда следует, что и сами углы равны. Итак, вертикальные углы равны.

2.Признаки равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3.Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1 признак равенства треугольников:

Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 , у которых АВ=А 1 В 1 , АС=А 1 С 1 , углы А и А 1 равны. Докажем, что АВС=А 1 В 1 С 1 .
Так как (у)А=(у)А 1 , то треугольник АВС можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и А 1 С 1 . Поскольку АВ=А 1 В 1 , АС=А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 , а сторона АС - со стороной А 1 С 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и С 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 . Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит они равны. ЧТД

3.Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Обратимся к рисунку, на котором АВС - равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD - его биссектриса.

Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников: AD – общая; углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса; AB=AC, т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D - середина стороны ВС и поэтому АD - медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. ЧТД.

4. Если прямые параллельны -> угол…. (на выбор)

5. Если угол…..-> прямые параллельны (на выбор)

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Пусть при пересечении прямых а и б секущей с соответственные углы равны, например 1=2.

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то 2=3. Из этих двух равенств следует, что 1=3. Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые а и б параллельные. ЧТД.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180 0 .