В этой статье мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями :
- сокращение дробей
- умножение дробей
- деление дробей
Начнем с сокращения алгебраических дробей .
Казалось бы, алгоритм очевиден.
Чтобы сократить алгебраические дроби , нужно
1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.
2. Сократить одинаковые множители.
Однако, школьники часто делают ошибку, "сокращая" не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби "сокращают" на и получают в результате , что, разумеется, неверно.
Рассмотрим примеры:
1.
Сократить дробь: 
1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов
2. Разделим числитель и знаменатель на
2.
Сократить дробь: 
1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.
2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.
3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:
Умножение алгебраических дробей.
При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.
Важно!
Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе - произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.
Рассмотрим примеры:
3. Упростите выражение:
1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:
2. Разложим каждую скобку на множители:
Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения и отличаются только знаком:
и в результате деления первого выражения на второе получим -1.
Итак, 
Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:
То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на "перевернутую".
Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.
Рассмотрим пример:
4. Упростите выражение:
На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Умножение и деление алгебраических дробей
Правила умножения и деления алгебраических абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:
То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).
Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).
Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:
Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .
Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.
Пример 1
Примечание:
при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами
называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными
. Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: 
.
Пример 2
Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.
Пример 3
Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.
Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.
Пример 4
Пример 5
Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.
Пример 6
Пример 7
Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.
Пример 14
Пример 15
Пример 16
Пример 17
Пример 18
Тема: Умножение и деление алгебраических дробей
Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто
Лауэ
Цели:
Образовательные:
закрепить ЗУН по теме
провести первичный текущий контроль знаний
работать над пробелами
Развивающие:
способствовать развитию коммуникативной компетенции, т.е. умению эффективно сотрудничать с другими людьми.
способствовать развитию кооперативной компетенции, т.е. умению работать в парах.
способствовать развитию проблемной компетенции, т.е. умению понимать неизбежности возникновения трудностей в ходе любой деятельности.
Воспитательные:
прививать умение адекватно оценивать работу, проделанную товарищем;
при работе в парах воспитывать качества взаимопомощи, поддержки.
Методические:
создание условий для проявления индивидуальности, познавательной активности учащихся;
показать методику проведения урока с проектированием результатов учебной деятельности и способам их исследования на основе компетентностного подхода.
Оборудование: доска, цветной мел. Таблица "Умножение и деление алгебраических дробей"; карточки для индивидуальной работы, карточки-"памятки". Задание в свободную минуту.
Ход урока
Организационный момент
План урока записан на доске:
Устная разминка.
Индивидуальная работа.
Решение заданий.
Парная работа.
Итог урока.
Домашнее задание.
Учитель: В старину на Руси считалось, что если человек был сведущ в математике, то это означало высшую степень учености. А умение правильно видеть и слышать первый шаг к мудрости. Хочется, чтобы сегодня все ученики вашего класса показали насколько они мудры и насколько сведущие люди в алгебре 7 класса.
Итак, тема урока "Умножение и деление алгебраических дробей" На прошлом уроке вы начали изучать данную тему, и мы обсуждали, зачем ее изучаем. Давайте вспомним, где она нам пригодится уже через несколько уроков.
Учащиеся: Для совместных действий с алгебраическими дробями, для решения уравнений, а значит и задач.
Учитель: Еще в старину на Руси говорили, что умноженье - мученье, а с делением - беда. Тот, кто умел быстро и безошибочно умножать и делить считался большим математиком.
Какие вы цели поставите перед собой?
Учащиеся: Продолжить изучать тему, научиться быстро и безошибочно умножать и делить.
Учитель: Чтобы достичь поставленных целей мы (открывает план, записанный на доске, проговаривает его)
1. Устная разминка: (в это время 3 - 4 человека решают тренажер по сокращению дробей в парах) разложите на множители, заполнив пропуски
1= (у-1) (…), 5а+5b=… (a+b), ху-х=х (…), 14-2х=…
сократите дробь
Дроби, дроби, дроби бей сокращай их не жалей.
найдите ошибку, допущенную при умножении и делении алгебраических дробей
Учитель: Где допущена ошибка? Почему ошибка допущена? Какого правила, ученик не знал? Какое знал? Как надо правильно сделать?
2. Работа в тетради, № из учебника 488 (1) Анализ, решение, проверка.
Учитель: А сейчас вам представится возможность показать свои знания при выполнении теста, а чтобы воодушевить вас на работу прочитаю стишок "Чтоб записал учитель "5" в твой дневник числитель на числитель сумей умножить вмиг, а чтоб преподаватель доволен был тобой, ты первый знаменатель умножишь на второй"
Самопроверка, взаимопроверка. По критериям (вывешены на доске) В-1 (321), В-2 (132) по правильным кодам оценивание в парах. Первоначальный результат. Оценки.
Работа над ошибками в парах "ученик-учитель"
Если в парах нет ошибок делают задание в свободную минуту.
Упростите выражение и найдите его значение при
5. Итог урока
В заключение урока, мне хотелось бы узнать у вас, какие виды работы вызвали у вас затруднения? Как вы думаете, почему? Что узнали нового? Кто из вас доволен своей работой на уроке? Как вы считаете, цели, поставленные в начале урока достигнуты?
Учитель: Закончить урок я хотела бы словами французского инженера-физика Лауэ: "Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто"
Надеюсь, что этот материал вы не забудете, чтобы этого не случилось надо выполнить д/з №486,487,488 четные.
Чтобы выполнить умножение алгебраических (рациональных) дробей, надо:
1) В числитель записать произведение числителей, в знаменатель — произведение знаменателей этих дробей.
При этом многочлены нужно .
2) Если можно, сократить дробь.
Замечание.
При умножении сумму и разность необходимо заключить в скобки.
Примеры умножения алгебраических дробей.
При умножении алгебраических дробей отдельно умножаем числители, отдельно — знаменатели этих дробей:
Сокращаем 36 и 45 на 9, 22 и 55 на 11, a² и на a a, b и b на b, c⁵ и c² на c²:
Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Так как в числителях и знаменателях данных дробей стоят многочлены, их нужно .
В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 3. Числитель второй дроби раскладываем на множители как разность квадратов. В знаменателе первой дроби — квадрат разности. В знаменателе второй дроби выносим за скобки общий множитель 5:
Дробь можно сократить на (x+3) и (2x-1):
Умножаем числитель на числитель, знаменатель — на знаменатель. Знаменатель второй дроби раскладываем на множители по формуле разности квадратов:
(a-b) и (b-a) отличаются только знаком. Вынесем «минус» за скобки, например, в числителе. После этого сократим дробь на (a-b) и на a:
При умножении алгебраических дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Входящие в них многочлены пытаемся разложить на множители.
В первой дроби в числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — сумма кубов. Во второй дроби в числителе — (часть формулы суммы кубов), в знаменателе есть общий множитель 3, который выносим за скобки:
Сокращаем дробь на (x+3)² и (x²-3x+9):
В алгебре действия с алгебраическими (рациональными) дробями могут встречаться как в виде отдельного задания, так и в ходе решении других примеров, например, решения уравнений и неравенств. Вот почему важно вовремя научиться умножать, делить, складывать и вычитать такие дроби.
Рубрика: | краткое содержание других презентаций«Преобразование алгебраических выражений» - Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей. Работа по закреплению навыков сложения, вычитания, умножения. План урока. Алгебраические выражения и их преобразование. Выполнить действие умножения дробей. Найдите ошибки. Выражение, состоящее из чисел и букв. Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Порядок выполнения действий. Сократить дробь и каждой дроби найти равную ей дробь.
««Квадратичная функция» алгебра» - Формулы сокращенного умножения. Квадратные уравнения. Функция. График какой квадратичной функции изображен на рисунке. Решение неравенств. Квадратичная функция. Постройте график функции. Парабола. Y = x2 + 4x. Справочный материал.
«Комбинаторные задачи и их решения» - Школьнику о теории вероятностей. Появление стохастической линии. Комбинаторные задачи и их решения. Содержание программы. Требования к уровню подготовки. Презентации. Поурочное планирование. Углубление знаний учащихся. Учебно-тематический план. Пояснительная записка.
«Алгебра «Геометрическая прогрессия»» - Записать первые пять членов геометрической прогрессии. Сравните математические объекты в каждой группе. Геометрическая прогрессия. Выберите утверждение, которое подходит вам. Математический диктант. Личностные цели. Физкультминутка. Напишите в один из столбиков любую последовательность чисел. Проверка выполнения. «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед…» Айвен Нивен. Основное свойство геометрической прогрессии.
«Решение неравенств с двумя переменными» - Проверь себя. Х2+У2?9 и Х2+У2. Области решения неравенства. Подберем пару чисел, которая будет являться решением. Понятие неравенств с двумя переменными. Правило пробной точки. Пара значений. Графики функций. Решение неравенств с двумя переменными. Решение неравенств.
«Прогрессии в жизни» - Сведения из истории. Последовательности: путешествие в глубь веков. Сколько брёвен находится в одной кладке. Задачи с практическим содержанием из современных учебников по алгебре. Средняя стоимость изготовления. О поселковых слухах. Одно растение одуванчика. Формулы. Прогрессии в банковских расчетах и в промышленности. Тли. Инфузории. Свойства арифметической и геометрической прогрессий. Прогрессии и банковские расчеты.
