Клод Анри де Ревруа Сен-Симон (1760-1825 гг.) принадлежал к аристократическому роду. Получил домашнее образование под руководством, Д"Аламбера. Поступив на военную службу, он в составе французских войск участвовал в борьбе североамериканских колоний за независимость, что значительно повлияло на формирование его политических и правовых взглядов. В 1783 г. вернулся во Францию. Воспитанный на идеях энциклопедистов и на опыте американской революции, Сен-Симон с энтузиазмом принял Французскую революцию. Он выступал с пропагандой принципов свободы, призывал Национальное собрание отменить привилегии дворян и духовенства, отказался от дворянского звания и графского титула. Одновременно занимался спекуляцией (скупал по предельно низкой цене конфискованные земли). В 1793 г. был арестован (скорее всего, по ошибке), вскоре освобожден. К наполеоновской эпохе он уже растратил все свое состояние и последующие 20 лет прожил в крайней бедности. Одно время работал переписчиком бумаг в ломбарде. Но к 60-ти годам его жизнь несколько налаживается. У него появляются ученики и продолжатели. Богатые последователи обеспечивают ему возможность жить в достатке и работать. В мае 1825 г. Сен-Симон умер.

Основные произведения : «Письма Женевского обитателя к современникам», «Очерк науки о человеке», «Катехизис промышленников», «Новое христианство».

Государство и право. Взгляды Сен-Симона на государство и право в основном определялись его концепцией исторического прогресса. Он считал, что каждый крупный переворот в экономической и политической жизни общества является следствием переворота в философских воззрениях. Человечество, закономерно развиваясь, движется к своему «золотому веку» и проходит при этом три стадии:

теологическая (период античности и феодализма, господство религии), руководство обществом принадлежало священникам и феодалам;

метафизическая (период крушения теологической системы, господства буржуазных отношений), руководят юристы и метафизики (лжеученые);

позитивная (будущий общественный строй - «золотой век», основанный на науке), обществом руководят ученые и промышленники. Этот период завершается установлением такого строя, который сделает жизнь большинства людей наиболее счастливой.

Проект социального устройства общества. Новая социальная система рассматривалась Сен-Симоном как система индустриализма.

Индустриализм - строй, построенный в соответствии с научно составленным планом всеобщей комбинированной деятельности, выполняемой всем обществом. Основные черты нового общества - введение обязательного для всех производительного труда, распределение его результатов по потребностям, государственное планирование производства, превращение государственной власти из орудия управления людьми в орудие организации производства, постепенное утверждение всемирной ассоциации народов и всеобщий мир при стирании национальных границ. Однако в будущем обществе следует сохранить частную собственность и классовое разделение.

Форма государства Сен-Симон полагал, что введение на позитивной стадии системы индустриализма не потребует разрушения традиционных государственно-правовых форм. Останется монарх, сохранятся правительство и двухпалатный парламент. Их функция - поддержание порядка. Но между королем и парламентом создаются две промежуточные инстанции, в руках которых концентрируется вся полнота светской власти: Совет ученых, разрабатывающий планы социальных преобразований и Совет промышленников (представителей индустрии и банков), составляющий бюджет страны и контролирующий его исполнение. Сен-Симон считал, что реформы будут осуществляться сверху. Что касается непосредственно народа (в интересах которого и проводится преобразование общества), то ему, согласно убеждению Сен-Симона, незачем вмешиваться в дело реорганизации общества.

Сенсимонизм - учение, развитое последователями Сен-Симона на основе его идей, однако в ряде существенных черт идущее значительно дальше учения самого основоположника. Они придали мыслям учителя большую социальную остроту. Так, в характеристике исторических периодов, намного резче подчеркивали значение эксплуатации и необходимости борьбы с ней. «Человек, заявили они, до сих пор эксплуатировал человека: господа-рабы; патриции-плебеи; сеньоры-крепостные; земельные собственники-арендаторы; празднолюбцы-труженики - вот прогрессивная история человечества до наших дней». Сенсимонисты требовали обобществления собственности, отмены наследственных привилегий, планового хозяйствования и эмансипации женщин. Сенсимонизм прекратил свое существование в начале 30-х годов XIX в.

Конечно, приведенная позиция А. Сен-Симона объективно отвечала определенным интересам промышленной буржуазии. Но она отвечала им постольку, поскольку эти интересы тогда еще совпадали с потребностями всемерного развития производительных сил общества. Такое развитие, сулившее громадный рост общественного богатства, казалось А. Сен-Симону главным путем освобождения трудящихся от негативных последствий прогресса капитализма. Апологетом экономических интересов лишь класса предпринимателей А. Сен-Симон никогда не выступал.

Начать коренное переустройство общества, по мнению Сен-Симона, следовало с частичных реформ, устранения наследственной знати; выкупа земель у землевладельцев, не занимающихся сельским хозяйством; облегчения положения крестьянства и т.д. После проведения этой подготовительной работы можно будет заниматься полной реорганизацией политического строя путем отстранения от власти непроизводительных классов и передачи власти индустриалам. При этом народ не должен принимать участия в реорганизации, оставаться пассивным. Здесь наиболее наглядно проявляются основные черты утопического социализма: отрицательное отношение к движению масс, ошибочные мысли солидарности интересов капиталистов и рабочих. После смерти Сен-Симона его учение развивалось учеными - О. Родригом, Б. Анфантеном, С. Базаром и др. сен-симонисты назвали свой главный труд - «Изложение учения Сен-Симона». Они сделали шаг вперед по сравнению с Сен-Симоном, требуя уничтожения частной собственности путем отмены права наследия.

Социально-политические взгляды Шарля Фурье

Если Сен-Симон признавал важность вопросов, связанных с публичной властью, и считался с необходимостью их определенного решения для установления и торжества новых принципов человеческого общежития, то иным было отношение к этим же вопросам другого крупного французского социалиста - Шарля Фурье (1772-1837).

Франсуа Мари Шарль Фурье (1772-1837 гг.) в Безансоне в семье торговца одеждой. В годы Великой французской революции участвовал в Лионском антиправительственном восстании. Его семейная собственность была конфискована, а самого Фурье посадили в тюрьму. Спустя некоторое время он был призван на военную службу. В 1799 г. стал коммивояжером.

В середине XIX века система Фурье, переработанная и уточненная, оказывала заметное влияние на мыслителей, устремленных к поиску нового социального идеала. Последователи Фурье провели социальный эксперимент в США на знаменитой Брук-Фарм в Роксбери (штат Массачусетс).

Основные произведения: «Теория четырех движений и всеобщих судеб», «Трактат о домоводческо-земледельческой ассоциации» (1822), «Новый хозяйственный социетарный мир» (1829) и «Ложная промышленность» (1835-1836).

Государство и право. Мировоззрение Ш. Фурье даже в большей степени, чем мировоззрение А. де Сен-Симона, окрашено в морально-религиозные тона. Он провозглашает себя пророком, которому Бог открыл истинные закономерности общественного развития и поручил указать человечеству путь ликвидации существующих несправедливых общественных порядков и установления нового строя всеобщей «гармонии» и всеобщего благоденствия. Ш. Фурье заявляет, что бог управляет природой и обществом по своему соизволению, но сообразуясь с законами математики. Бог устанавливает законы развития как природы, вселенной в целом, так и человеческого общества.

Муки и бедствия человечества, запутавшегося в паутине несправедливой капиталистической цивилизации, объясняются, по Ш. Фурье, тем обстоятельством, что до сих пор общество не сумело познать предусмотренный богом истинно справедливый «социальный кодекс». Этот божественный социальный кодекс, честь открытия которого случайно выпала на долю Ш. Фурье, исходит, по его мнению, из признания главным и решающим фактором общественного прогресса естественных природных свойств отдельного человека, его страстей, являющихся орудием осуществления воли божьей, направленной на благо всего человечества. В учении Ш. Фурье о роли естественных, природных свойств и страстей человека явно чувствуется, несмотря на все своеобразие этого учения, влияние теории естественного права.

Вся история человечества представляет собой, по мнению мыслителя, лишь определенные этапы на пути постижения божественного социального кодекса. Это - путь от социальной «беспорядочности», «бессвязности», «дисгармонии» к социальной гармонии, к справедливому социальному строю.

Человеку, замечает он, присущи согласно божьему провидению естественные страсти и влечения, полное удовлетворение которых может быть обеспечено лишь вступлением общества в эпоху «гармонии», когда оно будет полностью руководствоваться познанным им божественным социальным кодексом.

Мыслитель делит всю предшествующую историю человечества на следующие периоды: дикость, варварство, патриархат, цивилизация. В высшей степени примечательно, что одним из главных факторов, обусловливающих переход от одного периода к другому, он считает, наряду с таким фактором, как изменение правового положения женщины в обществе, уровень развития промышленности. В частности, Ш. Фурье обнаруживает понимание прогрессивного значения развития крупной промышленности, а также науки и техники в период цивилизации, под которой он разумеет господство буржуазных отношений как необходимых объективных предпосылок, обеспечивающих возможность перехода от «дисгармонического», «цивилизованного» строя к строю «гармонии» или «ассоциаций».

Право ничто, если человек не имеет материальных гарантий для его осуществления: «На деле право является иллюзорным, когда не можешь осуществить его. Свидетельство тому - конституционное право на суверенитет, которое имеет народ. Вопреки этой блещущей великолепием прерогативе плебей не имеет даже возможности пообедать, если у него нет ни су в кармане. А ведь очень далеко от притязания на суверенитет до притязания пообедать. Так много прав существует на бумаге, но не в действительности, и предоставление их становится оскорблением для того, кто не может достигнуть прав, во сто крат меньших». В своей критике апологетов цивилизации Ш. Фурье высказывает мысль о решающем влиянии права на труд в системе прав человека в обществе; он указывает, что эти апологеты, говоря о правах человека, забывают «выдвинуть в качестве принципа право на труд, которое воистину неосуществимо при цивилизации, но без которого ничего не стоят все остальные права».

Его идеал - это мирное сотрудничество всех классов, мирное преобразование существующего неразумного, несправедливого строя цивилизации в строй справедливый, где царствует «социальная гармония» на основе дружественного союза всех социальных групп в рамках производительных ассоциаций, или, по терминологии Ш. Фурье, фаланг.

Каждая фаланга, по проекту мыслителя, должна представлять собой земледельческо-промышленное объединение, охватывающее примерно 1600-1700 человек. Разделение труда в фалангах целиком должно быть приспособлено к индивидуальным страстям и способностям каждого члена фаланги. Люди, обладающие примерно одними и теми же влечениями и страстями, объединяются внутри фаланги в соответствующие производственные «серии», или группы.

Вся производственная, бытовая и культурная жизнь членов фаланги должна регулироваться, по Ш. Фурье, механизмом человеческих страстей, которые при строе цивилизации всячески подавляются и находятся в разладе друг с другом, а при строе ассоциаций впервые образуют гармоническую, стройную и согласованную систему. Этот механизм включает двенадцать страстей: пять чувственных (вкус, осязание, зрение, слух, обоняние), четыре душевных (дружба, честолюбие, любовь, отцовство) и три «распределительных», или управляющих (страсть к интригам, страсть к разнообразию и страсть, выражающаяся в энтузиазме, воодушевлении). Решающее значение в деятельности механизма страстей Ш. Фурье придает именно последним трем, то есть «распределительным» страстям. Только в условиях строя ассоциаций, основанного на учете природных свойств и влечений каждого ее члена, «все двенадцать страстей будут развиты и удовлетворены у каждого отдельного человека и, следовательно, каждый достигнет счастья, которое заключается в полном свободном развитии страстей». Эту свою доктрину Ш. Фурье провозглашает единственно соответствующей «заветам природы и предугадываемым предначертанием Бога».

Мыслитель полагал, что, так как в ассоциации будет обеспечен свободный переход ее членов из одной производственной группы в другую, максимально разовьется творческое соревнование между представителями всех видов и родов физического и умственного труда. В результате труд, являющийся в строе цивилизации, как правило, принудительным, внушающим человеку отвращение, превратится для членов фаланги в наслаждение, в естественную жизненную потребность. Все это приведет к необычайному повышению производительности труда, обеспечивающему возможность всестороннего удовлетворения материальных и культурных потребностей и желаний членов фаланги. Ш. Фурье подчеркивает, что в этих условиях самый бедный член фаланги будет богаче и счастливее самого богатого человека строя цивилизации.

Фурье писал, что обострение социальных противоречий между богатыми и бедными чревато революцией. Но он не был сторонником революции. Он считал, что к новому строю нужно идти путем агитации. Перейти к новому общественному строю возможно путем открытия закона, на основе которого общество должно жить и развиваться.

Французский мыслитель, социалист-утопист. Движущими силами исторического

развития считал прогресс научных знаний, морали и религии. В сочинении "Новое

христианство" (1825) объявлял освобождение рабочего класса целью своих стремлений, решение этой задачи видел в утверждении "новой" религии ("все люди - братья").

Каждое утро в роскошные покои, где спал юный отпрыск графа Бальтазара де Сен-

Симона, входил лакей и произносил одни и те же слова: "Вставайте, граф, вас

ожидают великие дела". Это была не вольная прихоть простолюдина. Соблюдать эту

церемонию приказал молодой аристократ, который еще на заре своей жизни уверовал,

что судьба дарует ему бессмертие.

научного изучения человека и общества В основе этой концепции Сен-Симона лежал

принцип историзма, то есть рассмотрение общества как целостного организма,

который закономерно развивается от низших стадий к высшим

Сен-Симон разработал схему исторического прогресса, по которой каждая конкретная

общественная система покоится на определенной системе взглядов и убеждений, и

если такие взгляды и убеждения теряют доверие, социальный порядок рушится Так он

полагал, что победа Просвещения над теологией привела к разрушению феодального

строя Только новый уровень идей - современные "позитивные" науки - могут быть

основой для постфеодально-

го, индустриального порядка Это произойдет после того, как на смену старым

правящим классам - землевладельцам и духовенству - придет восходящий класс

ученых, инженеров, художников, а также промышленников и производителей

Сен-Симон был одним из первых мыслителей, кто определил главные черты возникшего

индустриального общества (или "индустриальной системы") Подвергая критике

капиталистическое общество того времени, Сен-Симон говорит, что "оно являет

собой воистину картину мира, перевернутого вверх ногами", в нем "менее

обеспеченные ежедневно лишают себя части необходимых им средств для того, чтобы

увеличить излишек крупных собственников"

Сен-Симон считал, что лишь всемерное развитие производства может избавить

трудящиеся массы от бедствий путем эффективного использования научных принципов

организации общества Этими принципами должны быть внедрение всеобщего

обязательного производительного труда, обеспечение всем равных возможностей

применить свои способности, создание плановой организации производства, которое

должно обеспечить все потребности общества Общество должно стать большой

производительной ассоциацией, а весь мир постепенно превратится во всемирную

ассоциацию народов Основной социальной целью должен быть производительный труд,

а политической силой, которая осуществляется обученными администраторами, будет

прикладная наука о производстве

Сен-Симон не считал, что будущее общество будет бесклассовым, но полагал, что

рабочие и буржуазия объединяются в едином классе "индустриалов", где рабочие

должны подчиняться их "естественным" лидерам В дальнейшем все люди будут

принадлежать к единому классу производителей, имеющих общие интересы и

будут ликвидированы

Учение Сен-Симона оказало большое влияние на многих мыслителей и имело

последователей Была создана школа сен-симонизма, которая с течением времени

превратилась в религиозную секту, но вскоре распалась Одним из учеников Сен-

Симона был Конт, одно время служивший секретарем Сен-Симона, который продолжал

разрабатывать теорию позитивистской науки и философии и то, что он называл новой

наукой - социологией

Прожив жизнь удивительных метаморфоз, потомок аристократического рода Клод Анри

Анри де Сен-Симон (1760-1825) прожил жизнь, которой хватило бы на несколько остросюжетных романов. Потомок Карла Великого, сиятельный граф, блестяще образованный человек посвятил свою жизнь служению идее освобождения человечества от гнета эксплуатации и невежества.

В ранних сочинениях восхищение Сен-Симона наукой было похоже на идолопоклонство, но он не хотел отправлять этот культ в одиночку и рекомендовал его для всеобщего принятия. Сен-Симон в своей первой публикации ("Письма гражданина Женевы своим современникам", 1803) прокламирует создание "Религии Ньютона" и рекомендует образовать "Совет Ньютона", который бы состоял из 21 выдающегося ученого, схолара и деятеля искусств. Члены этого Совета могли бы стать авторитетными жрецами нового социального порядка. Та же сущностная идея об обществе, возглавляемом научной элитой, содержится и в последнем его сочинении, увидевшем свет сразу же после его смерти ("Новое Христианство", 1825). Между первым и последним сочинениями происходит существенное изменение во взглядах Сен-Симона. От физики в качестве парадигмы для социальной науки он приходит к убеждению, что предпочтительно биология и физиология могут стать фундаментом социологии. От интеллектуалов как элитного слоя нового общества Сен-Симон приходит к пониманию, что ведущую роль в обществе должны выполнять люди индустрии и коммерции. Но он не изменил своему первоначальному убеждению в том, что именно эксперты могут и должны стать во главе общества, и, что мировой порядок, социальная справедливость, благосостояние масс требуют того, чтобы они обладали неограниченной властью. Демократическая республика не являлась политическим идеалом Сен-Симона.

Научное познание человеческих и социальных явлений, по Сен-Симону, должно использовать прежде всего методологию естествознания. Он был убежден, что все явления (неважно физические ли, химические ли, биологические или социальные) отражают действие одного принципа. После многочисленных консультаций со своей интуицией он приходит к выводу: этим монистическим принципом является ньютоновский закон гравитационного притяжения. Сен-Симон, как обычно, не объясняет это, а просто пишет памфлет об универсальной гравитации (1813), где убеждает ученых мужей последовать его озарению. Для описания науки об обществе Сен-Симон использует понятия "социальная физика" или "социальная психология", что характерно для ранней позитивистской литературы.

Во французском позитивизме начала XIX в. описательная и предписывающая ориентации науки были неразделимы. И это выразилось в разделении человеческого интеллектуального развития якобы на три стадии: "теологическую", "метафизическую" и "позитивную". Так называемый "закон трех стадий" станет впоследствии центральным концептом контовской философии истории. Позитивизм, согласно этому взгляду, выступает не только понятием, давшим название последней стадии, но служит также директивой к методологическим правилам, которые и должны управлять научной деятельностью. Сущность закона "трех стадий" была изложена Сен-Симоном в 1813 году, за четыре года до встречи с Контом, задолго до того, когда последний стал работать секретарем у Сен-Симона.


Сен-Симон не сомневался, что прошлое, настоящие и будущее человеческого общества управляются законом. Законы истории суть законы судьбы, которые неизбежно ведут общество к определенному концу, к прекрасному общественному устройству, интуитивно увиденному Сен-Симоном. Он не был абсолютным детерминистом или фаталистом. Согласно его представлениям, общие законы истории непоколебимы, их конечная цель неизбежна. Однако в человеческих силах определить детали прекрасного будущего, и, что более важно, облегчить и придать ускорение работе этих законов. На этом пути человек не только должен индивидуально способствовать исторической динамике, но просто морально обязан действовать в гармонии с историческим законом. Сен-Симон считал моральным преступлением любые попытки остановить или направить в другое русло силу истории. Моральная доблесть человека, таким образом, заключалась в оказании помощи этому процессу. На этом пути каждый обязан был морально и интеллектуально признать Сен-Симона своим господином и учителем и присоединиться к его учению.

Именно такие стороны учения Сен-Симона привлекли Карла Маркса, затем они были развиты Марксом и его последователями. К. Маркс и В.И. Ленин критиковали Сен-Симона за излишне детализированное описание будущего социалистического порядка. Но, несмотря на это, на Красной площади в Москве стоит обелиск, на котором высечено имя Анри де Сен-Симона среди тех, кто признаётся предшественником научного коммунизма.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .



На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).



Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2 , отрицательные - при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:



Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.



На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.


График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).



Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х < 0 (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|.


Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.


ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 3 Линейные функции и их графики

Рассмотрим равенство

у = 2х + 1. (1)

Каждому значению буквы х это равенство ставит в соответствие вполне определенное значение буквы у . Если, например, x = 0, то у = 2 0 + 1 = 1; если х = 10, то у = 2 10 + 1 = 21; при х = - 1 / 2 имеем у = 2 (- 1 / 2) + 1= 0 и т. д. Обратимся к еще к одному равенству:

у = х 2 (2)

Каждому значению х это равенство, как и равенство (1), ставит в соответствие вполне определенное значение у . Если, например, х = 2, то у = 4; при х = - 3 получаем у = 9 и т. д. Равенства (1) и (2) связывают между собой две величины х и у так, что каждому значению одной из них (х ) ставится в соответствие вполне определенное значение другой величины (у ).

Если каждому значению величины х соответствует вполне определенное значение величины у , то эта величина у называется функцией от х . Величина х при этом называется аргументом функции у .

Таким образом, формулы (1) и (2) определяют две различные функции аргумента х .

Функция аргумента х , имеющая вид

у = ах + b , (3)

где а и b - некоторые заданные числа, называется линейной . Примером линейной функции может служить любая из функций:

у = х + 2 (а = 1, b = 2);
у = - 10 (а = 0, b = - 10);
у = - 3х (а = - 3, b = 0);
у = 0 (а = b = 0).

Как известно из курса VIII класса, графиком функции у = ах + b является прямая линия . Поэтому-то данная функция и называется линейной.

Напомним, как строится график линейной функции у = ах + b .

1. График функции у = b . При a = 0 линейная функция у = ах + b имеет вид у = b . Ее графиком служит прямая, параллельная оси х и пересекающая ось у в точке с ординатой b . На рисунке 1 вы видите график функции у = 2 (b > 0), а на рисунке 2- график функции у = - 1 (b < 0).

Если не только а , но и b равно нулю, то функция у= ах+ b имеет вид у = 0. В этом случае ее график совпадает с осью х (рис. 3.)

2. График функции у = ах . При b = 0 линейная функция у = ах + b имеет вид у = ах .

Если а =/= 0, то графиком ее является прямая, проходящая через начало координат и наклоненная к оси х под углом φ , тангенс которого равен а (рис. 4). Для построения прямой у = ах достаточно найти какую-нибудь одну ее точку, отличную от начала координат. Полагая, например, в равенстве у = ах х = 1, получим у = а . Следовательно, точка М с координатами (1; а ) лежит на нашей прямой (рис. 4). Проводя теперь прямую через начало координат и точку М, получаем искомую прямую у = аx .

На рисунке 5 для примера начерчена прямая у = 2х (а > 0), а на рисунке 6 - прямая у = - х (а < 0).

3. График функции у = ах + b .

Пусть b > 0. Тогда прямая у = ах + b у = ах на b единиц вверх. В качестве примера на рисунке 7 показано построение прямой у = x / 2 + 3.

Если b < 0, то прямая у = ах + b получается посредством параллельного сдвига прямой у = ах на - b единиц вниз. В качестве примера на рисунке 8 показано построение прямой у = x / 2 - 3

Прямую у = ах + b можно построить и другим способом.

Любая прямая полностью определяется двумя своими точками. Поэтому для построения графика функции у = ах + b достаточно найти какие-нибудь две его точки, а затем провести через них прямую линию. Поясним это на примере функции у = - 2х + 3.

При х = 0 у = 3, а при х = 1 у = 1. Поэтому две точки: М с координатами (0; 3) и N с координатами (1;1) - лежат на нашей прямой. Отметив эти точки на плоскости координат и соединив их прямой линией (рис. 9), получим график функции у = - 2х + 3.

Вместо точек М и N можно было бы взять, конечно, и другие две точки. Например, в качестве значений х мы могли бы выбрать не 0 и 1, как выше, а - 1 и 2,5. Тогда для у мы получили бы соответственно значения 5 и - 2. Вместо точек М и N мы имели бы точки Р с координатами (- 1; 5) и Q с координатами (2,5; - 2). Эти две точки, так же как и точки М и N, полностью определяют искомую прямую у = - 2х + 3.

Упражнения

15. На одном и том же рисунке построить графики функций:

а) у = - 4; б) у = -2; в) у = 0; г) у = 2; д) у = 4.

Пересекаются ли эти графики с осями координат? Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения.

16. На одном и томже рисунке построить графики функций:

а) у = x / 4 ; б) у = x / 2 ; в) у = х ; г) у = 2х ; д) у = 4х .

17. На одном и том же рисунке построить графики функций:

а) у = - x / 4 ; б) у = - x / 2 ; в) у = - х ; г) у = - 2х ; д) у = - 4х .

Построить графики данных функций (№ 18-21) и определить координаты точек пересечения этих графиков с осями координат.

18. у = 3+ х . 20. у = - 4 - х .

19. у = 2х - 2. 21. у = 0,5(1 - 3х ).

22. Построить график функции

у = 2x - 4;

используя этот график, выяснить: а) при каких значениях х y = 0;

б) при каких значениях х значения у отрицательны и при каких - положительны;

в) при каких значениях х величины х и у имеют одинаковые знаки;

г) при каких значениях х величины х и у имеют разные знаки.

23. Написать уравнения прямых, представленных на рисунках 10 и 11.

24. Какие из известных вам физических законов описываются с помощью линейных функций?

25. Как построить график функции у = - (ах + b ), если задан график функции у = ах + b ?