На данном уроке мы с вами научимся раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители. Для этого необходимо вспомнить теорему Виета и обратную ей. Данное умение поможет нам быстро и удобно раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители, а также упростит сокращение дробей, состоящих из выражений.

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

Где - старший коэффициент, - корни уравнения.

Итак, мы имеем квадратное уравнение - квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если - корни квадратного трёхчлена, у которого , то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

Мы видим, что, по теореме Виета, , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

А мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.

Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.

Задача №1

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Поскольку - корни уравнения, то - это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:

Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если - корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант . Поскольку , то знак зависит от произведения ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.

Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .

Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

Необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .

Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x 2 +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не должно равняться нулю.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена a*x 2 +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x 2 +b*x+c обращается в нуль.

Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x 2 +b*x+c=0.

Как найти корни квадратного трехчлена

Для решения можно использовать один из известных способов.

  • 1 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b 2 -4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.

x = -b±√D / 2*a

Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.

Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.

  • 2 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена x 2 +2*x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x 2 +2*x-3=0;

Преобразуем это уравнение:

В левой части уравнения стоит многочлен x 2 +2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:

(x 2 +2*x+1) -1=3

То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена

Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.

В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.

Ответ: х=1, х=-3.

В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.

Тип урока: урок закрепления и систематизации знаний.

Вид урока: Проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий.

Цели:

  • Образовательные:
– выработать у учащихся умение раскладывать квадратный трехчлен на множители;
– закрепление знаний в процессе решения различных заданий по указанной теме;
– формирование математического мышления;
– повысить интерес к предмету в процессе повторения пройденного материала.
  • Воспитательные:
    • – воспитание организованности, сосредоточенности;
    – воспитание положительного отношения к учебе;
    – воспитание любознательности.
  • Развивающие:
    • – развивать умение осуществлять самоконтроль;
    – развивать умение рационально планировать работу;
    – развитие самостоятельности, внимания.

    Оборудование: дидактический материал для устной работы, самостоятельной работы, тестовые задания для проверки знаний, карточки с домашним заданием, учебник по алгебре Ю.Н. Макарычева.

    План урока.

    Этапы урока Время, мин Приемы и методы
    I. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы 2 Беседа учителя
    II. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о формуле разложения квадратного трехчлена на множители. 10 Объяснение учителя. Эвристическая беседа
    III. Формирование умений и навыков. Закрепление изученного материала 25 Решение задач.
    Ответы на вопросы учащихся
    IV. Проверка усвоения знаний. Рефлексия 5 Сообщение учителя.
    Сообщение учащихся
    V. Домашнее задание 3 Задание на карточках

    Ход урока

    I. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы.

    Организационный момент.

    Сегодня на уроке мы проведем обобщение и систематизацию знаний по теме: “Разложение квадратного трехчлена на множители”. Выполняя различные упражнения, вы должны отметить для себя моменты, на которые вам необходимо уделить особое внимание при решении уравнений и практических задач. Это очень важно при подготовке к экзамену.
    Запишите тему урока: “Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение примеров”.

    II. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о формуле разложения квадратного трехчлена на множители.

    Устная работа.

    – Для успешного разложения квадратного трехчлена на множители нужно помнить как формулы нахождения дискриминанта и формулы нахождения корней квадратного уравнения, формулу разложения квадратного трехчлена на множители и применять их на практике.

    1. Посмотрите на карточки “Продолжите или дополните утверждение”.

    2. Посмотрите на доску.

    1. Какой из предложенных многочленов не является квадратным?

    1) х 2 – 4х + 3 = 0;
    2) – 2х 2 +х – 3 = 0;
    3) х 4 – 2х 3 + 2 = 0;
    4) 2х 3 – 2х 2 + 2 = 0;

    Дайте определение квадратного трехчлена. Дайте определение корня квадратного трехчлена.

    2. Какая из формул не является формулой для вычисления корней квадратного уравнения?

    1) х 1,2 = ;
    2) х 1,2 = – b + ;
    3) х 1,2 = .

    3. Найти коэффициенты а, b, с квадратного трехчлена – 2х 2 + 5х + 7

    1) – 2; 5; 7;
    2) 5; – 2; 7;
    3) 2; 7; 5.

    4. Какая из формул является формулой для вычисления корней квадратного уравнения

    x 2 + px+ q = 0 по теореме Виета?

    1) x 1 + x 2 = p ,
    x     1 · x 2 = q .

    2) x 1 + x 2 = – p ,
    x     1 · x 2 = q .

    3) x 1 + x 2 = – p ,
    x     1 · x 2 = – q .

    5. Разложить квадратный трехчлен х 2 – 11х + 18 на множители.

    Ответ: (х – 2)(х – 9)

    6. Разложить квадратный трехчлен у 2 – 9у + 20 на множители

    Ответ: (х – 4)(х – 5)

    III. Формирование умений и навыков. Закрепление изученного материала.

    1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
    а) 3x 2 – 8x + 2;
    б) 6x 2 – 5x + 1;
    в) 3x 2 + 5x – 2;
    г) -5x 2 + 6x – 1.

    2. Разложение на множители помогает нам при сокращении дробей.

    3. Не используя формулу корней, найдите корни квадратного трехчлена:
    а) x 2 + 3x + 2 = 0;
    б) x 2 – 9x + 20 = 0.

    4. Составьте квадратный трехчлен, корнями которого являются числа:
    а) x 1 = 4; x 2 = 2;
    б) x 1 = 3; x 2 = -6;

    Самостоятельная работа.

    Самостоятельно по вариантам выполнить задание с последующей проверкой. На первые два задания необходимо дать ответ “Да” или “нет”. Вызываются по одному ученику от каждого варианта (они работают на отворотах доски). После того как самостоятельная работа выполнена на доске, проводится совместная проверка решения. Учащиеся оценивают свои работы.

    1-й вариант:

    1. D<0. Уравнение имеет 2 корня.

    2. Число 2 является корнем уравнения х 2 + 3х – 10 = 0.

    3. Разложить квадратный трехчлен на множители 6x 2 – 5x + 1;

    2-й вариант:

    1. D>0. Уравнение имеет 2 корня.

    2.Число 3 является корнем квадратного уравнения х 2 – х – 12 = 0.

    3.Разложить квадратный трехчлен на множители 2х 2 – 5х + 3

    IV. Проверка усвоения знаний. Рефлексия.

    – Урок показал, что вы знаете основной теоретический материал этой темы. Мы обобщили знания

    Разложение квадратных трехчленов на множители относится к школьным заданиям, с которыми рано или поздно сталкивается каждый. Как его выполнить? Какова формула разложения квадратного трехчлена на множители? Разберемся пошагово с помощью примеров.

    Общая формула

    Разложение квадратных трехчленов на множители осуществляется решением квадратного уравнения. Это несложная задача, которую можно решить несколькими методами - нахождением дискриминанта, при помощи теоремы Виета, существует и графический способ решения. Первые два способа изучаются в средней школе.

    Общая формула выглядит так: lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

    Алгоритм выполнения задания

    Для того чтобы выполнить разложение квадратных трехчленов на множители, нужно знать теорему Вита, иметь под рукой программу для решения, уметь находить решение графически или искать корни уравнения второй степени через формулу дискриминанта. Если дан квадратный трехчлен и его надо разложить на множители, алгоритм действий такой:

    1) Приравнять исходное выражение к нулю, чтобы получить уравнение.

    2) Привести подобные слагаемые (если есть такая необходимость).

    3) Найти корни любым известным способом. Графический метод лучше применять в случае, если заранее известно, что корни - целые и небольшие числа. Нужно помнить, что количество корней равно максимальной степени уравнения, то есть у квадратного уравнения корней два.

    4) Подставить значение х в выражение (1).

    5) Записать разложение квадратных трехчленов на множители.

    Примеры

    Окончательно понять, как выполняется это задание, позволяет практика. Иллюстрируют разложение на множители квадратного трехчлена примеры:

    необходимо разложить выражение:

    Прибегнем к нашему алгоритму:

    1) х 2 -17х+32=0

    2) подобные слагаемые сведены

    3) по формуле Виета найти корни для этого примера сложно, потому лучше воспользоваться выражением для дискриминанта:

    D=289-128=161=(12,69) 2

    4) Подставим найденные нами корни в основную формулу для разложения:

    (х-2,155) * (х-14,845)

    5) Тогда ответ будет таким:

    х 2 -17х+32=(х-2,155)(х-14,845)

    Проверим, соответствуют ли найденные дискриминантом решения формулам Виета:

    14,845 . 2,155=32

    Для данных корней применяется теорема Виета, они были найдены правильно, а значит полученное нами разложение на множители тоже правильно.

    Аналогично разложим 12х 2 +7х-6.

    x 1 =-7+(337) 1/2

    x 2 =-7-(337) 1/2

    В предыдущем случае решения были нецелыми, но действительными числами, найти которые легко, имея перед собой калькулятор. Теперь рассмотрим более сложный пример, в котором корни будут комплексными: разложить на множители х 2 +4х+9. По формуле Виета корни найти не получится, и дискриминант отрицательный. Корни будут на комплексной плоскости.

    D=-20

    Исходя из этого, получаем нтересующие нас корни -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2 , поскольку (-20) 1/2 =2i*5 1/2 .

    Получаем искомое разложение, подставив корни в общую формулу.

    Еще один пример: нужно разложить на множители выражение 23х 2 -14х+7.

    Имеем уравнение 23х 2 -14х+7 =0

    D=-448

    Значит, корни 14+21,166i и 14-21,166i. Ответ будет такой:

    23х 2 -14х+7 =23(х-14-21,166i )*(х-14+21,166i ).

    Приведем пример, решить который можно без помощи дискриминанта.

    Пусть нужно разложить квадратное уравнение х 2 -32х+255. Очевидно, его можно решить и дискриминантом, однако быстрее в данном случае подобрать корни.

    x 1 =15

    x 2 =17

    Значит х 2 -32х+255 =(х-15)(х-17).