Теперь нам нетрудно выяснить, как станет двигаться тело, если ему сообщить начальную скорость, направленную не под произвольным углом к горизонту, а горизонтально. Так движется, например, тело, оторвавшееся от горизонтально летящего самолета (или сброшенное с него).

По-прежнему считаем, что на такое тело действует только сила тяжести. Она, как всегда, сообщает ему ускорение направленное вниз.

В предыдущем параграфе мы видели, что тело, брошенное под углом к горизонту, в определенный момент времени достигает высшей точки своей траектории (точка В на рисунке 134). В этот момент скорость тела направлена горизонтально.

Мы уже знаем, как движется тело после этого. Траекторией его движения является правая ветвь параболы, изображенной на рисунке 134. Подобную траекторию движения будет иметь и всякое другое тело, брошенное горизонтально. На рисунке 135 изображена такая траектория. Ее тоже называют параболой, хотя это только часть параболы.

Тело, брошенное горизонтально, движется по ветви параболы. Вычислим дальность полета для этого движения тела.

Если тело брошено с высоты то время, в течение которого оно будет падать, мы получим из формулы

Все время, пока тело падает вниз с ускорением вертикальная ось (рис. 133) движется в горизонтальном направлении со скоростью

Поэтому за время падения она переместится на расстояние

Следовательно,

Эта формула позволяет определить дальность полета тела, брошенного на высоте горизонтально с начальной скоростью

Мы рассмотрели несколько примеров движения тела под действием силы тяжести. Из них видно, что во всех случаях тело движется с ускорением сообщаемым ему силой тяжести. Это ускорение совершенно не зависит от того, движется ли еще тело и в горизонтальном направлении или нет. Можно даже сказать, что во всех этих случаях тело совершает свободное падение.

Поэтому, например, пуля, выпущенная стрелком из ружья в горизонтальном направлении, упадет на землю одновременно с пулей, случайно оброненной стрелком в момент выстрела. Но оброненная пуля упадет у ног стрелка, а вылетевшая из ружейного ствола - в нескольких сотнях метров от него.

На цветной вклейке представлена стробоскопическая фотография двух шариков, из которых один падает вертикально, а второму одновременно с началом падения первого сообщена скорость в горизонтальном направлении. На фотографии видно, что в одни и те же моменты времени (моменты вспышек света) оба шарика находятся на одной и той же высоте и, конечно, одновременно достигают земли.

Траекторию движения тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту, можно наглядно увидеть в простом опыте. Бутыль, наполненную водой, помещают на некоторой высоте над столом и соединяют ее резиновой трубкой с наконечником, снабженным краном (рис. 136). Выпускаемые струи непосредственно показывают траектории частиц воды. Изменяя угол, под которым выпускают струю, можно убедиться в том, что наибольшая дальность достигается при угле 45°.

Рассматривая движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, мы считали, что оно находится под действием только силы тяжести. В действительности это не так. Наряду с силой тяготения на тело всегда действует сила сопротивления (трения) со стороны воздуха. А она приводит к уменьшению скорости.

Поэтому дальность полета тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, всегда меньше, чем это следует из формул,

полученных нами в этом параграфе и § 55; высота подъема тела, брошенного по вертикали, всегда меньше, чем вычисленная по формуле, приведенной в § 21, и т. д.

Действие силы сопротивления приводит также к тому, что траекторией движения тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, оказывается не парабола, а более сложная кривая.

Упражнение 33

При ответах на вопросы этого упражнения трением пренебречь.

1. Что общего в движении тел, брошенных вертикально, горизонтально и под углом к горизонту?

3. Одинаково ли ускорение тела, брошенного горизонтально, во всех точках его траектории?

4. Находится ли тело, брошенное горизонтально, во время своего движения в состоянии невесомости? А тело, брошенное под углом к горизонту?

5. Тело брошено горизонтально с высоты 2 м над землей со скоростью 11 м/сек. Через какое время оно упадет? Какое расстояние пролетит тело в горизонтальном направлении?

6. Тело брошено с начальной скоростью 20 м/сек в горизонтальном направлении на высоте 20 м над поверхностью Земли. На каком расстоянии от точки бросания оно упадет на землю? С какой высоты его нужно бросить с такой же скоростью, чтобы дальность полета стала вдвое больше?

7. Самолет летит в горизонтальном направлении на высоте 10 км со скоростью 720 км/ч. На каком расстоянии от цели (по горизонтали) летчик должен сбросить бомбу, чтобы попасть в цель?

Тело брошено горизонтально

Если скорость направлена не вертикально, то движение тела будет криволинейным.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с высоты h со скоростью (рис. 1). Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy. Начало отсчета координат совместим с начальным положением тела. Из рисунка 1 видно, что .

Тогда движение тела опишется уравнениями:

Анализ этих формул показывает, что в горизонтальном направлении скорость тела остается неизменной, т. е. тело движется равномерно. В вертикальном направлении тело движется равноускоренно с ускорением , т. е. так же, как тело, свободно падающее без начальной скорости. Найдем уравнение траектории. Для этого из уравнения (1) найдем время и, подставив его значение в формулу (2), получим

Это уравнение параболы. Следовательно, тело, брошенное горизонтально, движется по параболе. Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к параболе (см. рис. 1). Модуль скорости можно рассчитать по теореме Пифагора:

Зная высоту h, с которой брошено тело, можно найти время , через которое тело упадет на землю. В этот момент координата y равна высоте: . Из уравнения (2) находим

Обновлено:

На нескольких примерах (которые я изначально решал, как обычно, на otvet.mail.ru) рассмотрим класс задач элементарной баллистики: полет тела, запущенного под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью, без учета сопротивления воздуха и кривизны земной поверхности (то есть направление вектора ускорения свободного падения g считаем неизменным).

Задача 1. Дальность полета тела равна высоте его полета над поверхностью Земли. Под каким углом брошено тело? (в некоторых источниках почему-то приведен неправильный ответ - 63 градуса).

Обозначим время полета как 2*t (тогда в течение t тело поднимается вверх, и в течение следующего промежутка t - спускается). Пусть горизонтальная составляющая скорости V1, вертикальная - V2. Тогда дальность полета S = V1*2*t. Высота полета H = g*t*t/2 = V2*t/2. Приравниваем
S = H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Отношение вертикальной и горизонтальной скоростей есть тангенс искомого угла α, откуда α = arctan(4) = 76 градусов.

Задача 2. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью V0 под углом α к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела: а) в начале движения; б) в верхней точке траектории.

В обоих случая источник криволинейности движения - это гравитация, то есть ускорение свободного падения g, направленное вертикально вниз. Все что здесь требуется - найти проекцию g, перпендикулярную текущей скорости V, и приравнять ее центростремительному ускорению V^2/R, где R - искомый радиус кривизны.

Как видно из рисунка, для начала движения мы можем записать
gn = g*cos(a) = V0^2/R
откуда искомый радиус R = V0^2/(g*cos(a))

Для верхней точки траектории (см. рисунок) имеем
g = (V0*cos(a))^2/R
откуда R = (V0*cos(a))^2/g

Задача 3. (вариация на тему) Снаряд двигался горизонтально на высоте h и разорвался на два одинаковых осколка, один из которых упал на землю через время t1 после взрыва. Через какое время после падения первого осколка упадёт второй?

Какую бы вертикальную скорость V ни приобрел первый осколок, второй приобретет ту же по модулю вертикальную скорость, но направленную в противоположную сторону (это следует из одинаковой массы осколков и сохранения импульса). Кроме того, V направлена вниз, поскольку иначе второй осколок прилетит на землю ДО первого.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Второй полетит вверх, потеряет вертикальную скорость через время V/g, и затем через такое же время долетит вниз до начальной высоты h, и время t2 его задержки относительно первого осколка (не время полета от момента взрыва) составит
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

дополнено 2018-06-03

Цитата:
Камень брошен со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Определить тангенциальное и нормальное ускорение тела спустя 1,0 с после начала движения, радиус кривизны траектории в этот момент времени, длительность и дальность полета. Какой угол образует вектор полного ускорения с вектором скорости при t = 1,0 с

Начальная горизонтальная скорость Vг = V*cos(60°) = 10*0.5 = 5 м/с, и она не меняется в течение всего полёта. Начальная вертикальная скорость Vв = V*sin(60°) = 8.66 м/с. Время полёта до максимально высокой точки t1 = Vв/g = 8.66/9.8 = 0.884 сек, а значит длительность всего полёта 2*t1 = 1.767 с. За это время тело пролетит по горизонтали Vг*2*t1 = 8.84 м (дальность полёта).

Через 1 секунду вертикальная скорость составит 8.66 - 9.8*1 = -1.14 м/с (направлена вниз). Значит угол скорости к горизонту составит arctan(1.14/5) = 12.8° (вниз). Поскольку полное ускорение здесь единственное и неизменное (это ускорение свободного падения g , направленное вертикально вниз), то угол между скоростью тела и g в этот момент времени составит 90-12.8 = 77.2°.

Тангенциальное ускорение - это проекция g на направление вектора скорости, а значит составляет g*sin(12.8) = 2.2 м/с2. Нормальное ускорение - это перпендикулярная к вектору скорости проекция g , она равна g*cos(12.8) = 9.56 м/с2. И поскольку последнее связано со скоростью и радиусом кривизны выражением V^2/R, то имеем 9.56 = (5*5 + 1.14*1.14)/R, откуда искомый радиус R = 2.75 м.

Если скорость \(~\vec \upsilon_0\) направлена не вертикально, то движение тела будет криволинейным.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с высоты h со скоростью \(~\vec \upsilon_0\) (рис. 1). Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy . Начало отсчета координат совместим с начальным положением тела. Из рисунка 1 видно, что υ 0x = υ 0 , υ 0y = 0, g x = 0, g y = g .

Тогда движение тела опишется уравнениями:

\(~\upsilon_x = \upsilon_0,\ x = \upsilon_0 t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_y = gt,\ y = \frac{gt^2}{2}. \qquad (2)\)

Анализ этих формул показывает, что в горизонтальном направлении скорость тела остается неизменной, т. е. тело движется равномерно. В вертикальном направлении тело движется равноускоренно с ускорением \(~\vec g\), т. е. так же, как тело, свободно падающее без начальной скорости. Найдем уравнение траектории. Для этого из уравнения (1) найдем время \(~t = \frac{x}{\upsilon_0}\) и, подставив его значение в формулу (2), получим\[~y = \frac{g}{2 \upsilon^2_0} x^2\] .

Это уравнение параболы. Следовательно, тело, брошенное горизонтально, движется по параболе. Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к параболе (см. рис. 1). Модуль скорости можно рассчитать по теореме Пифагора:

\(~\upsilon = \sqrt{\upsilon^2_x + \upsilon^2_y} = \sqrt{\upsilon^2_0 + (gt)^2}.\)

Зная высоту h , с которой брошено тело, можно найти время t 1 , через которое тело упадет на землю. В этот момент координата y равна высоте: y 1 = h . Из уравнения (2) находим\[~h = \frac{gt^2_1}{2}\]. Отсюда

\(~t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}. \qquad (3)\)

Формула (3) определяет время полета тела. За это время тело пройдет в горизонтальном направлении расстояние l , которое называют дальностью полета и которое можно найти на основании формулы (1), учитывая, что l 1 = x . Следовательно, \(~l = \upsilon_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}\) - дальность полета тела. Модуль скорости тела в этот момент \(~\upsilon_1 = \sqrt{\upsilon^2_0 + 2gh}.\).

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 15-16.