Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат - его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Введение

С уверенностью можно сказать, что мало кто из людей задумывается о том, что векторы окружают нас повсюду и помогают нам в повседневной жизни. Рассмотрим ситуацию: парень назначил девушке свидание в двухстах метрах от своего дома. Найдут ли они друг друга? Конечно, нет, так как юноша забыл указать главное: направление, то есть по-научному – вектор. Далее, в процессе работы над данным проектом, я приведу ещё множество не менее интересных примеров векторов.

Вообще, я считаю, что математика – это интереснейшая наука, в познании которой нет границ. Я выбрала тему о векторах не случайно, меня очень заинтересовало то, что понятие «вектор» выходит далеко за рамки одной науки, а именно математики, и окружает нас практически везде. Таким образом, каждый человек должен знать, что такое вектор, поэтому, я думаю, что эта тема весьма актуальна. В психологии, биологии, экономике и многих других науках употребляют понятие «вектор». Подробнее об этом я расскажу позже.

Целями данного проекта являются приобретение навыков работы с векторами, умение видеть необычное в обычном, выработка внимательного отношения к окружающему миру.

История возникновения понятия вектор

Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками. В соответствии с требованиями новой программы по математике и физике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Векторы в математике

Вектором называется направленный отрезок, который имеет начало и конец.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В принято обозначать как АВ. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда - чёрточкой) над ними, например .

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector, несущий). Действительно, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор АВ естественно определяет перенос, при котором точка А перейдет в точку В, также и обратно, параллельный перенос, при котором А переходит в В, определяет собой единственный направленный отрезок АВ.

Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ, её обычно обозначают АВ. Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону, противоположно направленными, если коллинеарны и направлены в разные стороны.

Операции над векторами

Модуль вектора

Модулем вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ. Обозначается, как АВ. Через координаты вычисляется, как:

Сложение векторов

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

){\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}

Для геометрического построения вектора суммы {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}}c = используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов{\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :

Правило многоугольника

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же {\displaystyle n} векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом {\displaystyle n}- го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Вычитание векторов

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

‚ {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})}

Для получения вектора разности {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} начала векторов соединяются и началом вектора {\displaystyle {\vec {c}}} будет конец {\displaystyle {\vec {b}}}, а концом - конец {\displaystyle {\vec {a}}}. Если записать, используя точки векторов, то AC-AB=BC{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}}.

Умножение вектора на число

Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha 0}, даёт сонаправленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha , даёт противоположно направленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:

{\displaystyle \alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})}

Скалярное произведение векторов Скалярное

Скалярным произведением называют число, которое получается при умножении вектора на вектор. Находится по формуле:

Скалярное произведение можно найти ещё через длину векторов и угол между ними. Применение векторов в смежных науках Векторы в физике Векторы - мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Векторы в литературе Вспомним басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех сил приложенных к возу сил равна нулю. А сила, как известно, векторная величина. Векторы в химии

Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектором выражают действие или явление, имеющее четкую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора – координатами его начала и конца.

Однако утверждение, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Тем не менее основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов».

Все прямые химических реакций проходят через начало координат. Любую прямую в пространстве нетрудно выразить векторами, но поскольку прямая химической реакции проходит через начало системы координат, то можно принять, что вектор прямой химической реакции находится на самой прямой и называется радиус-вектором. Начало этого вектора совпадает с началом системы координат. Таким образом, можно сделать вывод: любая химическая реакция характеризуется положением ее вектора в пространстве. Векторы в биологии

Вектор (в генетике) - молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

Векторы в экономике

Одним из разделов высшей математики является линейная алгебра. Ее элементы широко применяются при решении разнообразных задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора.

Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.

Векторы в психологии

На сегодняшний день имеется огромное количество информационных источников для самопознания, направлений психологии и саморазвития. И не трудно заметить, что все больше обретает популярность такое необычное направление, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов.

Векторы в повседневной жизни

Я обратила внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются мне каждый день. Так, например, во время прогулки в парке, я заметила, что ель, оказывается, можно рассматривать как пример вектора в пространстве: нижняя её часть – начало вектора, а верхушка дерева является концом вектора. А вывески с изображением вектора при посещении больших магазинов помогают нам быстро найти тот или иной отдел и сэкономить время.

Векторы в знаках дорожного движения

Каждый день, выходя из дома, мы становимся участниками дорожного движения в роли пешехода либо в роли водителя. В наше время практически каждая семья имеет машину, что, разумеется, не может не отразиться на безопасности всех участников дорожного движения. И, чтобы избежать казусов на дороге, стоит соблюдать все правила дорожного движения. Но не стоит забывать того, что в жизни всё взаимосвязано и, даже в простейших предписывающих знаках дорожного движения, мы видим указательные стрелки движения, в математике называемые – векторами. Эти стрелки (векторы) указывают нам направления движения, стороны движения, стороны объезда, и ещё многое другое. Всю эту информацию можно прочитать на знаках дорожного движения на обочинах дорог.

Заключение

Базовое понятие «вектор», рассмотренное нами ещё на уроках математики в школе, является основой для изучения в разделах общей химии, общей биологии, физики и других наук. Я наблюдаю необходимость векторов в жизни, которые помогают найти нужный объект, сэкономить время, они выполняют предписывающую функцию в знаках дорожного движения.

Выводы

Каждый человек постоянно сталкивается с векторами в повседневной жизни.

Векторы необходимы нам для изучения не только математики, но и других наук.

Каждый должен знать, что такое вектор.

Источники

Башмаков М.А. Что такое вектор?-2-е изд., стер.- М.: Квант, 1976.-221с.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.-3-е изд., стер. - М.: Наука, 1978.-186с.

Гусятников П.Б. Векторная алгебра в примерах и задачах.-2-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 1985.-302с.

Зайцев В.В. Элементарная математика. Повторительный курс.-3-е изд., стер.- М.: Наука,1976.-156с.

Коксетер Г.С. Новые встречи с геометрией.-2-е изд., стер. - М.: Наука,1978.-324с.

Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- 3-е изд., стер. - М.: Квант,1968.-235с.

Скалярное произведение векторов

Продолжаем разбираться с векторами. На первом уроке Векторы для чайников мы рассмотрели понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора и простейшие задачи с векторами. Если вы зашли на эту страничку впервые с поисковика, настоятельно рекомендую прочитать вышеуказанную вводную статью, поскольку для усвоения материала необходимо ориентироваться в используемых мной терминах, обозначениях, обладать базовыми знаниями о векторах и уметь решать элементарные задачи. Данный урок является логическим продолжением темы, и на нём я подробно разберу типовые задания, в которых используется скалярное произведение векторов. Это ОЧЕНЬ ВАЖНОЕ занятие . Постарайтесь не пропускать примеры, к ним прилагается полезный бонус – практика поможет вам закрепить пройденный материал и «набить руку» на решении распространенных задач аналитической геометрии.

Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математики не придумали что-нибудь ещё. Помимо уже рассмотренных действий, существует ряд других операций с векторами, а именно: скалярное произведение векторов , векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов . Скалярное произведение векторов знакомо нам со школы, два других произведения традиционно относятся к курсу высшей математики. Темы несложные, алгоритм решения многих задач трафаретен и понятен. Единственное. Информации прилично, поэтому нежелательно пытаться освоить-прорешать ВСЁ И СРАЗУ. Особенно это касается чайников, поверьте, автор совершенно не хочет чувствовать себя Чикатило от математики. Ну и не от математики, конечно, тоже =) Более подготовленные студенты могут использовать материалы выборочно, в известном смысле, «добирать» недостающие знания, для вас я буду безобидным графом Дракулой =)

Приоткроем же, наконец, дверь и увлечённо посмотрим, что происходит, когда два вектора встречают друг друга….

Определение скалярного произведения векторов.
Свойства скалярного произведения. Типовые задачи

Понятие скалярного произведения

Сначала про угол между векторами . Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка, которую многие уже представили мысленно:

Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания. Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений.

может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства: либо (в радианах).

В литературе значок угла часто пропускают и пишут просто .

Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Вот это вот уже вполне строгое определение.

Акцентируем внимание на существенной информации:

Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .

Результат операции является ЧИСЛОМ : Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом.

Сразу пара разминочных примеров:

Пример 1

Решение: Используем формулу . В данном случае:

Ответ:

Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице . Рекомендую её распечатать – потребуется практически во всех разделах вышки и потребуется много раз.

Чисто с математической точки зрения скалярное произведение безразмерно, то есть результат, в данном случае , просто число и всё. С точки же зрения задач физики скалярное произведение всегда имеет определенный физический смысл, то есть после результата нужно указать ту или иную физическую единицу. Канонический пример по вычислению работы силы можно найти в любом учебнике (формула в точности представляет собой скалярное произведение). Работа силы измеряется в Джоулях, поэтому, и ответ запишется вполне конкретно, например, .

Пример 2

Найти , если , а угол между векторами равен .

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока.

Угол между векторами и значение скалярного произведения

В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: . Длины ненулевых векторов всегда положительны: , поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.

Примечание: Для более качественного понимания нижеприведенной информации лучше изучить график косинуса в методичке Графики и свойства функции . Посмотрите, как ведёт себя косинус на отрезке .

Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах , и при этом возможны следующие случаи:

1) Если угол между векторами острый : (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным сонаправлены , то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: .

2) Если угол между векторами тупой : (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно : . Особый случай: если векторы направлены противоположно , то угол между ними считается развёрнутым : (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как

Справедливы и обратные утверждения:

1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.

2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.

Но особый интерес представляет третий случай:

3) Если угол между векторами прямой : (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю : . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны . Короткая математическая запись:

! Примечание : повторим основы математической логики : двусторонний значок логического следствия обычно читают «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Как видите, стрелки направлены в обе стороны – «из этого следует это, и обратно – из того, следует это». В чём, кстати, отличие от одностороннего значка следования ? Значок утверждает, только то , что «из этого следует это», и не факт, что обратное справедливо. Например: , но не каждый зверь является пантерой, поэтому в данном случае нельзя использовать значок . В то же время, вместо значка можно использовать односторонний значок. Например, решая задачу, мы выяснили, что и сделали вывод, что векторы ортогональны: – такая запись будет корректной, и даже более уместной, чем .

Третий случай имеет большую практическую значимость , поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Данную задачу мы решим во втором разделе урока.

Свойства скалярного произведения

Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены . В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: .

А что будет, если вектор умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой:

Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора:

Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:

Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места. Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения .

Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

Зачастую, всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: . Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц . Неверно оно и для векторного произведения векторов . Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя.

Пример 3

.

Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором . Что это вообще такое? Сумма векторов и представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через . Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в статье Векторы для чайников . Та же петрушка с вектором – это сумма векторов и .

Итак, по условию требуется найти скалярное произведение . По идее, нужно применить рабочую формулу , но беда в том, что нам неизвестны длины векторов и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов , поэтому мы пойдём другим путём:

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов, пошлую скороговорку можно найти в статье Комплексные числа или Интегрирование дробно-рациональной функции . Повторяться уж не буду =) Кстати, раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения. Имеем право.

(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .

(4) Приводим подобные слагаемые: .

(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата , о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .

(6) Подставляем данные условия , и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.

Ответ:

Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между векторами является тупым.

Задача типовая, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .

Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора . Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой:

Пример 5

Найти длину вектора , если .

Решение будет следующим:

(1) Поставляем выражение вектора .

(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .

(3) Используем школьную формулу квадрата суммы . Обратите внимание, как она здесь любопытно работает: – фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить векторы местами: – получилось то же самое с точностью до перестановки слагаемых.

(4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач.

Ответ:

Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы».

Пример 6

Найти длину вектора , если .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:

А части поменяем местами:

В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

Скалярное произведение – это число? Число. Длины векторов – числа? Числа. Значит, дробь тоже является некоторым числом . А если известен косинус угла: , то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: .

Пример 7

Найти угол между векторами и , если известно, что .

Решение: Используем формулу:

На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .

Итак, если , то:

Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице . Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим.

Ответ:

Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах).

Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:

Пример 7*

Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .

Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое.
Разберём алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .

2) Находим скалярное произведение (см. Примеры № 3, 4).

3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры № 5, 6).

4) Концовка решения совпадает с Примером № 7 – нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:

Краткое решение и ответ в конце урока.

Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет даже проще, чем в первой части.

Скалярное произведение векторов,
заданных координатами в ортонормированном базисе

Ответ:

Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее.

Пример 14

Найти скалярное произведение векторов и , если

Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать , а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа провокационный пример на вычисление длины вектора:

Пример 15

Найти длины векторов , если

Решение: снова напрашивается способ предыдущего раздела: , но существует и другая дорога:

Найдём вектор :

И его длину по тривиальной формуле :

Скалярное произведение здесь вообще не при делах!

Как не при делах оно и при вычислении длины вектора :
Стоп. А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора? Что можно сказать о длине вектора ? Данный вектор длиннее вектора в 5 раз. Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Очевидно, что длина вектора равна произведению модуля числа на длину вектора :
– знак модуля «съедает» возможный минус числа .

Таким образом:

Ответ:

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами

Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами выразить через координаты векторов :

Косинус угла между векторами плоскости и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :
.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Пример 16

Даны три вершины треугольника . Найти (угол при вершине ).

Решение: По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:

Требуемый угол помечен зелёной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: – особое внимание на среднюю букву – это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно было также записать просто .

Из чертежа совершенно очевидно, что угол треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: .

Проведённый анализ желательно научиться выполнять мысленно.

Найдём векторы:

Вычислим скалярное произведение:

И длины векторов:

Косинус угла:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Более подготовленные читатели могут записывать вычисления «одной строкой»:

Вот и пример «плохого» значения косинуса. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. Не повредите покрытие монитора =)

Ответ:

В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: , найденное с помощью калькулятора.

Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы , и убедиться в справедливости канонического равенства

Пример 17

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти угол между сторонами и

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Небольшой заключительный раздел будет посвящен проекциям, в которых тоже «замешано» скалярное произведение:

Проекция вектора на вектор. Проекция вектора на координатные оси.
Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим векторы и :

Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии). Представьте, что на вектор перпендикулярно падают лучи света. Тогда отрезок (красная линия) будет «тенью» вектора . В данном случае проекцией вектора на вектор является ДЛИНА отрезка . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.

Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.

Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».

Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ» , попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».

Если угол между векторами острый (как на рисунке), то

Если векторы ортогональны , то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина, но взятая со знаком минус).

Отложим данные векторы от одной точки:

Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется

На-пом-ним, что су-ще-ству-ют такие фи-зи-че-ские ве-ли-чи-ны, для ко-то-рых важна не толь-ко ве-ли-чи-на, но и на-прав-ле-ние. Такие ве-ли-чи-ны на-зы-ва-ют-ся век-тор-ны-ми, или век-то-ра-ми, и обо-зна-ча-ют-ся они на-прав-лен-ным от-рез-ком, то есть таким от-рез-ком, у ко-то-ро-го от-ме-че-ны на-ча-ло и конец. Вве-де-но было по-ня-тие кол-ли-не-ар-ных век-то-ров, то есть таких, ко-то-рые лежат либо на одной пря-мой, либо на па-рал-лель-ных пря-мых.

Мы рас-смат-ри-ва-ем век-тор, ко-то-рый можно от-ло-жить от любой точки, за-дан-ный век-тор от про-из-воль-но вы-бран-ной точки можно от-ло-жить един-ствен-ным об-ра-зом.

Было вве-де-но по-ня-тие рав-ных век-то-ров - это такие со-на-прав-лен-ные век-то-ры, длины ко-то-рых равны. Со-на-прав-лен-ны-ми на-зы-ва-ют-ся кол-ли-не-ар-ные век-то-ры, на-прав-лен-ные в одну сто-ро-ну.

Были вве-де-ны пра-ви-ла тре-уголь-ни-ка и па-рал-ле-ло-грам-ма - пра-ви-ла сло-же-ния век-то-ров.

За-да-ны два век-то-ра - век-то-ры и . Най-дем сумму этих двух век-то-ров . Для этого от-ло-жим из неко-то-рой точки А век-тор . - на-прав-лен-ный от-ре-зок, точка А - его на-ча-ло, а точка В - конец. Из точки В от-ло-жим век-тор . Тогда век-тор на-зы-ва-ют сум-мой за-дан-ных век-то-ров: - пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 1).

За-да-но два век-то-ра - век-то-ры и . Най-дем сумму этих двух век-то-ров по пра-ви-лу па-рал-ле-ло-грам-ма.

От-кла-ды-ва-ем из точки А век-тор и век-тор (см. Рис. 2). На от-ло-жен-ных век-то-рах можно по-стро-ить па-рал-ле-ло-грамм. Из точки В от-кла-ды-ва-ем век-тор , век-то-ры и равны, сто-ро-ны ВС и

АВ1 па-рал-лель-ны. Ана-ло-гич-но па-рал-лель-ны и сто-ро-ны АВ и В1С, таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли па-рал-ле-ло-грамм. АС - диа-го-наль па-рал-ле-ло-грам-ма.

2. Правила сложения векторов

Для сло-же-ния несколь-ких век-то-ров при-ме-ня-ют пра-ви-ло мно-го-уголь-ни-ка (см. Рис. 3). Нужно из про-из-воль-ной точки от-ло-жить пер-вый век-тор, из его конца от-ло-жить вто-рой век-тор, из конца вто-ро-го век-то-ра от-ло-жить тре-тий и так далее, когда все век-то-ры от-ло-же-ны - со-еди-нить на-чаль-ную точку с кон-цом по-след-не-го век-то-ра, в итоге по-лу-чит-ся сумма несколь-ких век-то-ров.

Кроме того, мы рас-смот-ре-ли по-ня-тие об-рат-но-го век-то-ра - век-то-ра, име-ю-ще-го такую же длину, как за-дан-ный, но ему про-ти-во-на-прав-лен-но-го.

3. Решение примеров

При-мер 1 - за-да-ча 747: вы-пи-ши-те пары кол-ли-не-ар-ных со-на-прав-лен-ных век-то-ров, ко-то-рые опре-де-ля-ют-ся сто-ро-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма; ука-жи-те про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные век-то-ры;

Задан па-рал-ле-ло-грамм MNPQ (см. Рис. 4). Вы-пи-шем пары кол-ли-не-ар-ных век-то-ров. В первую оче-редь это век-то-ры и . Они не толь-ко кол-ли-не-ар-ные, но и рав-ные, т.к. они со-на-прав-ле-ны, и длины их равны по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма (в па-рал-ле-ло-грам-ме про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны). Сле-ду-ю-щая пара . Ана-ло-гич-но

вы-пи-шем кол-ли-не-ар-ные век-то-ры вто-рой пары сто-рон: ; .

Про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные век-то-ры: , , , .

При-мер 2 - за-да-ча 756: на-чер-ти-те по-пар-но некол-ли-не-ар-ные век-то-ры , и . По-строй-те век-то-ры ;; ;.

Для вы-пол-не-ния дан-но-го за-да-ния можем поль-зо-вать-ся пра-ви-лом тре-уголь-ни-ка или па-рал-ле-ло-грам-ма.

Спо-соб 1 - с по-мо-щью пра-ви-ла тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 5):

Спо-соб 2 - с по-мо-щью пра-ви-ла па-рал-ле-ло-грам-ма (см. Рис. 6):

Ком-мен-та-рий: мы при-ме-ня-ли в пер-вом спо-со-бе пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка - от-кла-ды-ва-ли из про-из-воль-но вы-бран-ной точки А пер-вый век-тор, из его конца - век-тор, про-ти-во-по-лож-ный вто-ро-му, со-еди-ня-ли на-ча-ло пер-во-го с кон-цом вто-ро-го, и таким об-ра-зом по-лу-ча-ли ре-зуль-тат вы-чи-та-ния век-то-ров. Во вто-ром спо-со-бе мы при-ме-ни-ли пра-ви-ло па-рал-ле-ло-грам-ма - по-стро-и-ли на нуж-ных век-то-рах па-рал-ле-ло-грамм и его диа-го-наль - ис-ко-мую раз-ность, помня тот факт, что одна из диа-го-на-лей - это сумма век-то-ров, а вто-рая - раз-ность.

При-мер 3 - за-да-ча 750: до-ка-жи-те, что если век-то-ры и равны, то се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют. До-ка-жи-те об-рат-ное утвер-жде-ние: если се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют, то век-то-ры и равны (см. Рис. 7).

Из ра-вен-ства век-то-ров и сле-ду-ет, что пря-мые АВ и CD па-рал-лель-ны, и что от-рез-ки АВ и CD равны. Вспом-ним при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма: если у че-ты-рех-уголь-ни-ка пара про-ти-во-по-лож-ных сто-рон лежит на па-рал-лель-ных пря-мых, и их длины равны, то дан-ный че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм.

Таким об-ра-зом, че-ты-рех-уголь-ник ABCD, по-стро-ен-ный на за-дан-ных век-то-рах, - па-рал-ле-ло-грамм. От-рез-ки AD и BC яв-ля-ют-ся диа-го-на-ля-ми па-рал-ле-ло-грам-ма, одно из свойств ко-то-ро-го: диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма пе-ре-се-ка-ют-ся и в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам. Таким об-ра-зом, до-ка-за-но, что се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют.

До-ка-жем об-рат-ное утвер-жде-ние. Для этого вос-поль-зу-ем-ся дру-гим при-зна-ком па-рал-ле-ло-грам-ма: если в неко-то-ром че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-на-ли пе-ре-се-ка-ют-ся и точ-кой пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм. От-сю-да че-ты-рех-уголь-ник ABCD - па-рал-ле-ло-грамм, и его про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны па-рал-лель-ны и равны, таким об-ра-зом, век-то-ры и кол-ли-не-ар-ны, оче-вид-но, что они со-на-прав-ле-ны, и мо-ду-ли их равны, от-сю-да век-то-ры и равны, что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

При-мер 4 - за-да-ча 760: до-ка-жи-те, что для любых некол-ли-не-ар-ных век-то-ров и спра-вед-ли-во нера-вен-ство (см. Рис. 8)

От-ло-жим из про-из-воль-ной точки А век-тор , по-лу-чим точку В, из нее от-ло-жим некол-ли-не-ар-ный ему век-тор . По пра-ви-лу па-рал-ле-ло-грам-ма или тре-уголь-ни-ка по-лу-чим сумму век-то-ров - век-тор . Имеем тре-уголь-ник .

Длина суммы век-то-ров со-от-вет-ству-ет длине сто-ро-ны АС тре-уголь-ни-ка. По нера-вен-ству тре-уголь-ни-ка длина сто-ро-ны АС мень-ше, чем сумма длин двух дру-гих сто-рон АВ и ВС, что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

При-ме-не-ние век-то-ров к ре-ше-нию задач

4. Выражение вектора через два неколлинеарных

На-пом-ним, что мы уже изу-чи-ли неко-то-рые факты о век-то-рах, и те-перь умеем опре-де-лять рав-ные век-то-ры, кол-ли-не-ар-ные век-то-ры, со-на-прав-лен-ные и про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные. Также мы умеем скла-ды-вать век-то-ры по пра-ви-лу тре-уголь-ни-ка и па-рал-ле-ло-грам-ма, скла-ды-вать несколь-ко век-то-ров по пра-ви-лу мно-го-уголь-ни-ка, умеем умно-жать век-тор на число. Ре-ше-ние задач с век-то-ра-ми ис-поль-зу-ет все эти зна-ния. Пе-рей-дем к ре-ше-нию неко-то-рых при-ме-ров.

При-мер 1 - за-да-ча 769: от-ре-зок ВВ1 - ме-ди-а-на тре-уголь-ни-ка . Вы-ра-зи-те через век-то-ры и век-то-ры , , и .

От-ме-тим, что век-то-ры и некол-ли-не-ар-ны, то есть пря-мые АВ и АС не па-рал-лель-ны.

В даль-ней-шем мы узна-ем, что любой век-тор может быть вы-ра-жен через два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра.

Вы-ра-зим пер-вый век-тор (см. Рис. 1): , т. к. по усло-вию ВВ1 - ме-ди-а-на тре-уголь-ни-ка, зна-чит, век-то-ры и имеют рав-ные мо-ду-ли, кроме того, оче-вид-но, что они кол-ли-не-ар-ны и при этом со-на-прав-ле-ны, зна-чит, дан-ные век-то-ра равны.

Для вы-ра-же-ния сле-ду-ю-ще-го век-то-ра вос-поль-зу-ем-ся пра-ви-лом па-рал-ле-ло-грам-ма для вы-чи-та-ния. Мы пом-ним, что одна из диа-го-на-лей па-рал-ле-ло-грам-ма, по-стро-ен-но-го на двух век-то-рах, со-от-вет-ству-ет сумме этих век-то-ров, а вто-рая - их раз-но-сти. Диа-го-наль, со-от-вет-ству-ю-щая раз-но-сти век-то-ров, сле-ду-ет от конца к на-ча-лу, таким об-ра-зом, если по-стро-ить на за-дан-ных век-то-рах и па-рал-ле-ло-грамм, то его диа-го-наль будет со-от-вет-ство-вать раз-но-сти .

Век-тор яв-ля-ет-ся про-ти-во-по-лож-ным к за-дан-но-му век-то-ру , от-сю-да .

Век-тор ана-ло-гич-но век-то-ру можно пред-ста-вить в виде раз-но-сти век-то-ров . При вы-ра-же-нии сле-ду-ет учесть тот факт, что точка В1 яв-ля-ет-ся се-ре-ди-ной от-рез-ка АС, зна-чит, век-то-ры и равны, зна-чит, век-тор можно пред-ста-вить как удво-ен-ное про-из-ве-де-ние век-то-ра .

Перед ре-ше-ни-ем за-да-чи мы ска-за-ли, что через за-дан-ные два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра можно вы-ра-зить любой век-тор. Вы-ра-зим, на-при-мер, ме-ди-а-ну АА1 (см. Рис. 2).

По-лу-чи-ли си-сте-му урав-не-ний, вы-пол-ним их сло-же-ние:

Век-то-ры в сумме со-став-ля-ют ну-ле-вой век-тор, так как они кол-ли-не-ар-ны и про-ти-во-на-прав-ле-ны, а мо-ду-ли их равны, таким об-ра-зом по-лу-ча-ем:

По-де-лим обе части урав-не-ния на два, по-лу-чим:

Из дан-ной за-да-чи можно сде-лать вывод, что если за-да-ны два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра, то любой тре-тий век-тор на плос-ко-сти можно од-но-знач-но вы-ра-зить через эти два век-то-ра. Для этого необ-хо-ди-мо при-ме-нить пра-ви-ло сло-же-ния век-то-ров, либо ме-то-дом тре-уголь-ни-ка, либо па-рал-ле-ло-грам-ма, и пра-ви-ло умно-же-ния век-то-ра на число.

5. Свойство средней линии треугольника

При-мер 2: до-ка-зать с по-мо-щью век-то-ров свой-ство сред-ней линии тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 3).

Задан про-из-воль-ный тре-уголь-ник , точки M и N - се-ре-ди-ны сто-рон АВ и АС со-от-вет-ствен-но, MN - сред-няя линия тре-уголь-ни-ка. Свой-ство сред-ней линии: сред-няя линия па-рал-лель-на ос-но-ва-нию тре-уголь-ни-ка и равна его по-ло-вине.

До-ка-за-тель-ство дан-но-го свой-ства ана-ло-гич-но для тре-уголь-ни-ка и тра-пе-ции.

Вы-ра-зим век-тор двумя спо-со-ба-ми:

По-лу-чи-ли си-сте-му урав-не-ний:

Вы-пол-ним сло-же-ние урав-не-ний си-сте-мы:

Сумма век-то-ров - это ну-ле-вой век-тор, длины этих век-то-ров равны по усло-вию, кроме того, они оче-вид-но кол-ли-не-ар-ны и про-ти-во-на-прав-ле-ны. Ана-ло-гич-но сум-мой век-то-ров будет ну-ле-вой век-тор. По-лу-ча-ем:

По-де-лим обе части урав-не-ния на два:

Таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли, что сред-няя линия тре-уголь-ни-ка равна по-ло-вине его ос-но-ва-ния. Кроме того, из ра-вен-ства век-то-ра по-ло-вине век-то-ра сле-ду-ет, что эти век-то-ры кол-ли-не-ар-ны и со-на-прав-ле-ны, а зна-чит, пря-мые MN и ВС па-рал-лель-ны.