Основная идея Шрёдингера состоит в том, чтобы математическую аналогию между геометрической оптикой и классической механикой перенести на волновые свойства света и частиц.
Получим уравнение Шрёдингера из выражения для волновой функции свободного электрона . Перепишем его в комплексной форме .
Используя связи частоты с энергией, а волнового числа с импульсом, получаем: 
.
В общем случае – полная энергия частицы, , – кинетическая энергия и –энергия взаимодействия.
Найдем первую производную по и вторую по координате от ф-ции Y: (1), (2).
Домножим уравнение (1) на , а уравнение (2) на (таким образом множители в правых частях будут иметь размерность энергии):
, 
.
Сложим полученные уравнения:
.
Так как , то последнее равенство перепишется в виде 
.
Это и есть уравнение Шрёдингера. Оно получено для одной координаты . Если его переписать для 3 координат , то введя оператор Лапласа, окончательно будем иметь
.
Уравнение Шрёдингера нельзя непосредственно вывести из фундаментальных законов классической физики. Уравнение Шрёдингера позволяет находить волновую функцию в произвольный момент времени. Для этого надо знать волновую ф-цию в фиксированный момент времени, массу частицы и энергию взаимодействия частицы с силовым полем. Найденная волновая ф-ция дает возможность рассчитать вероятность нахождения частицы в произвольной точке пространства для любого момента времени.
Основные свойства, которым должны удовлетворять волновые функции – решения уравнения Шрёдингера:
1. Волновая функция линейна, т.е. если …- решения уравнения, то их линейная комбинация – решение.
2. Первые частные производные по координатам являются линейными
3. Волновая функция и её пространственные производные должны быть однозначными, конечными и непрерывными.
4. При стремлении к ∞ значение волновой функции должно стремиться к нулю.
Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний.
Если силовое поле, в котором движется описываемая частица, стационарно, то потенциал его не зависит явно от времени, а функция имеет смысл потенциальной энергии и зависит только от координат . В этом случае волновую функцию можно представить как произведение двух. Одна функция зависит только от , другая – только от времени :
Подставим последнее выражение в уравнение Шрёдингера
После сокращения на временной множитель и некоторых элементарных преобразований получим: 
(*).
Это уравнение Шрёдингера для стационарных состояний. В него входит только координатная часть волновой ф-ции – . Если последняя будет найдена, то полная волновая ф-ция находится домножением координатной части на временной множитель .
Поскольку вероятность определяется квадратом волновой ф-ции, а квадрат комплексной величины находится умножением на комплексно сопряженную, то имеет место следующее соотношение для стационарных волновых функций:
Таким образом, чтобы найти волновую ф-цию для стационарных состояний, необходимо решить уравнение (*) и знать полную энергию .
Свободное движение частиц.
Во время свободного движения квантовой частицы никакие силы на нее не действуют и можно ее потенциальную энергию равной нулю. Пусть движение частицы происходит в направлении , тогда (*) принимает вид: 
.
Частным решением этого уравнения является ф-ции вида 
, где и – константы. Если подставить искомое решение в само уравнение, то мы получим связь энергии частицы и величины :
Полная волновая функция с учетом зависимости от времени для свободной частицы имеет вид . Это плоская монохроматическая волна с частотой и волновым числом . Так как , а , то .
Эту лекцию я читаю вам для развлечения. Захотелось посмотреть, что получится, если начать читать в немного ином стиле. В курс она не входит, и не думайте, что это попытка обучить вас в последний час чему-то новому. Я скорее воображаю, будто провожу семинар или будто делаю отчет об исследованиях перед более подготовленной аудиторией, перед людьми, которые в квантовой механике уже многое понимают. Основное различие между семинаром и регулярной лекцией в том, что на семинаре докладчик не приводит все стадии, всю алгебру выкладок. Он просто говорит: «Если вы проделаете то-то и то-то, то получится вот что», а в детали не входит. Вот и в этой лекции будут только высказываться идеи и приводиться результаты расчетов. А вы должны понимать, что вовсе не обязательно во всем немедленно и до конца разбираться, надо только верить, что если проделать все выкладки, то все так и получится.
Но это не все. Главное – что об этом мне хочется говорить. Это такая свежая, актуальная, современная тема, что вполне законно вынести ее на семинар. Тема эта – классический аспект уравнения Шредингера, явление сверхпроводимости.
Обычно та волновая функция, которая появляется в уравнении Шредингера, относится только к одной или к двум частицам. И сама волновая функция классическим смыслом не обладает в отличие от электрического поля, или векторного потенциала, или других подобных вещей. Правда, волновая функция отдельной частицы - это «поле» в том смысле, что она есть функция положения, но классического значения она, вообще говоря, не имеет. Тем не менее бывают иногда обстоятельства, в которых квантовомеханическая волновая функция действительно имеет классическое значение, именно их я и хочу коснуться. Своеобразие квантовомеханического поведения вещества в мелких масштабах обычно не дает себя чувствовать в крупномасштабных явлениях, если не считать стандартных выводов о том, что оно вызывает к жизни законы Ньютона, законы так называемой классической механики. Но существуют порой обстоятельства, в которых особенности квантовой механики могут особым образом сказаться в крупномасштабных явлениях.
При низких температурах, когда энергия системы очень-очень сильно убывает, вместо прежнего громадного количества состоянии в игру включается только очень-очень малое количество состояний - тех, которые расположены неподалеку от основного. При таких условиях квантовомеханический характер этого основного состояния может проявиться на макроскопическом уровне. Вот целью этой лекции и будет продемонстрировать связь между квантовой механикой и крупномасштабными эффектами – не обычное обсуждение пути, по которому квантовая механика в среднем воспроизводится ньютоновой механикой, а специальный случай, когда квантовая механика вызывает свои собственные, характерные для нее эффекты в крупных, «макроскопических» размерах.
Начну с того, что напомню вам кое-какие свойства уравнения Шредингера. Я хочу с помощью уравнения Шредингера описать поведение частицы в магнитном поле, потому что явления сверхпроводимости связаны с магнитными полями. Внешнее магнитное поле описывается векторным потенциалом, и вопрос состоит в том, каковы законы квантовой механики в поле векторного потенциала. Принцип, определяющий квантовомеханическое поведение частицы в поле векторного потенциала, очень прост. Амплитуда того, что частица при наличии поля перейдет по некоторому пути из одного места в другое (фиг. 19.1), равна амплитуде того, что она прошла бы по этому пути без поля, умноженной на экспоненту от криволинейного интеграла от векторного потенциала, умноженного в свою очередь на электрический заряд и деленного на постоянную Планка [см. гл. 15, § 2 (вып. 6)]:
Это исходное утверждение квантовой механики.
Фиг. 19.1. Амплитуда перехода из в по пути пропорциональна 
.
И вот в отсутствие векторного потенциала уравнение Шредингера для заряженной частицы (нерелятивистской, без спина) имеет вид
где – электрический потенциал, так что – потенциальная энергия. А уравнение (19.1) равнозначно утверждению, что в магнитном поле градиенты в гамильтониане нужно каждый раз заменять на градиент минус , так что (19.2) превращается в
Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле .
Чтобы
стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстрировать это простым примером,
когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси на расстоянии друг от друга, и
существует амплитуда того, что электрон перепрыгнет в
отсутствие поля от одного атома к другому. Тогда, согласно уравнению (19.1),
если имеется вектор-потенциал в -направлении, то амплитуда перескока
по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на 
- экспоненту с
показателем, равным произведению на векторный потенциал,
проинтегрированный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать 
, поскольку , вообще говоря,
зависит от .
Если обозначить через амплитуду того, что электрон
обнаружится возле атома , расположенного в точке , то скорость
изменения этой амплитуды будет даваться уравнением
В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке , есть некоторая энергия . Это, как обычно, дает член . Затем имеется член , т. е. амплитуда того, что электрон от атома , расположенного в , отпрыгнул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии векторного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться согласно правилу (19.1). Если на расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать попросту в виде значения посредине, умноженного на расстояние. Итак, произведение на интеграл равно . А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже берется векторный потенциал с другой стороны от , на расстоянии , и умножается на расстояние . Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке .
Но
дальше мы знаем, что если функция достаточно плавная (мы берем
длинноволновый предел) и если мы сдвинем атомы потеснее, то уравнение (14.4)
(стр. 80) будет приблизительно описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому
следующим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням , считая очень малым. К
примеру, если ,
то правая часть будет равна просто 
, так что в нулевом приближении
энергия равняется . Затем пойдут степени , но из-за того,
что знаки показателей экспонент противоположны, останутся только четные
степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора , и экспоненты и соберете затем члены
с , вы
получите.
А теперь вспомните, что решения в нулевом магнитном поле (см. гл. И, § 3)
изображают частицу с эффективной массой , даваемой формулой
Если
вы затем положите и снова вернетесь к 
, то легко
убедитесь, что (19.6) это то же самое, что первая часть (19.3). (Происхождение
члена с потенциальной энергией хорошо известно, и я не буду им заниматься.)
Утверждение (19.1) о том, что векторный потенциал умножает все амплитуды на
экспоненциальный множитель, равнозначно правилу, что оператор импульса заменяется на , как мы и сделали
в уравнении Шредингера (19.3).
Частица со спином обладает также и определенным «собственным» магнитным моментом . Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору спина s, т. е. может быть, записан в виде
где s - величина спина частицы, - характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны Отсюда видно, что коэффициент (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение достигаемое при проекции спина
Отношение дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси ). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно (см. II, § 44). Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона он равен - т. е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака - см. IV, § 33). Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, где
Эту величину называют магнетоном Бора.
Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как где - масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона.
Обратим внимание на то, что величины и s, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру: обе являются аксиальными векторами.
Аналогичное же равенство для электрического двпольного момента противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства.
В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории.
В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном воле имеет вид
где - скалярный, А - векторный потенциал поля, - обобщенный импульс частицы (см. II, § 16). Если частица не обладает едином, то переход к квантовой механике производится обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором и мы получим гамильтониан
Если же частица обладает спином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения (в 111,3) дополнительного члена - соответствующего энергии магнитного момента , в поле Н. Таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид
При раскрытии квадрата надо иметь ввиду, оператор , вообще говоря, не коммутативен с вектором А, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать
Согласно правилу коммутации (16,4) оператора импульса с любой функцией координат имеем
Таким образом, и А коммутативны, если , в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде
(111,7)
Уравнение с гамильтонианом (111,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, - симметричные спиноры ранга
Волновые функции частины в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно (см. II, § 18), последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования
где - произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (111,8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно
(111,9)
Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой не входят в явном виде потенциалы).
В классической механике обобщенный импульс частицы связан с ее скоростью соотношением Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор с гамильтонианом.
Простое вычисление приводит к результату
(111,10)
в точности аналогичному классическому. Для операторов компонент скорости имеют место правила коммутации
которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.
При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит (см. § 18 и 60), что уравнение Шредингера должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4), за исключением члена - это непосредственно очевидно. Член же
Нахождение электрона в поле ядра можно приближенно считать движением в трехмерной потенциальной яме. Высота этой ямы определяется величиной кулоновского поля ядра.
Рассмотрим простейший случай – движение частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» – потенциальная энергия на границах имеет бесконечно большое значение. Потенциальная энергия такой ямы шириной l имеет вид:
Рис. 5.1. Одномерная потенциальная яма
Ограничимся рассмотрением стационарных состояний системы, уравнение Шредингера для одномерной задачи в этом случае имеет вид:
(5.16)
Поскольку частица не может проникнуть за пределы потенциальной ямы, то волновая функция ψ(x ) вне ямы тождественна нулю. В силу условия непрерывностиψ(x ) должна быть равна нулю и на границах ямы:
(5.17)
Выражение (5.17) является граничным условием задачи.
В пределах ямы (0 ≤ x ≤ l ) U =0 , следовательно, уравнение Шредингера имеет вид:
(5.18)
Обозначив через
(5.19)
получим уравнение, описывающее колебательный процесс:
(5.20)
Решение этого уравнения имеет вид: (5.21)
Подстановка граничных условий позволяет найти константы ω иα :
,
из чего следует, чтоα=0
.
,
отсюда получаем:
(n
=1, 2, 3,...)
(5.22)
При n = 0 решение лишено физического смыла, так какψ = 0 означает, что частица нигде не находится, т.е. не существует.
Подставив ω
из (5.22) в выражение
(5.20), можно найти собственные значения
энергии частицы:
(n
=
1, 2, 3, ...)
(5.23)
Итак, энергия, которой может обладать частица в одномерной потенциальной яме, представляет собой дискретный набор значений, то есть энергетический спектр частицы является дискретным. Минимальное значение энергии частицы, находящейся в потенциальной яме, отлично от нуля. Это проявление волновых свойств частиц. Такой результат может быть получен из соотношения неопределенности.
Как будет двигаться электрон, можно
узнать, рассчитав волновые функции:
Подстановка найденного значения
параметра ω
в формулу (5.21) дает вид
собственных функций задачи:
(5.24)
Подставив волновую функцию (5.24) в
условие нормировки (4.18),
,
найдем параметр
.
Таким образом, собственные функции имеют вид:
(n
=1,2,3,...)
(5.25)
На рисунке показаны волновые функции первых трех энергетических состояний частицы в потенциальной яме шириной l , а также вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямыψ 2 =ψ * ψ .
Рис. 5.2. а) энергетический спектр (первые 5 состояний) частицы в потенциальной яме шириной L ; б) волновая функция частицы в первых трех состояния; в) квадрат волновой функции частицы = вероятность нахождения частицы в определенной точке потенциальной ямы в первых трех состояниях
В частности видно, что в состоянии n = 2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю. Напомним, что согласно классическим (не квантовым) соображениям, частица с одинаковой вероятностью может находиться в любой точке ямы.
Такое поведение микрочастиц иллюстрирует тот факт, что к ним не применимо понятие траектория . В частности в состоянииn = 2 частица «перемещается» из левой части ямы в правую и при этом не проходит через «середину» этой ямы.
Оценим расстояние между уровнями:
Видно, что чем больше масса частицы и геометрические размеры области, в которой эта частица ограничена, тем меньше расстояние между соседними уровнями. Разумеется, для тел с большой массой ни о каких квантовых эффектах говорить не приходится. Но даже, если взять m порядка массы молекулы (~10 –26 кг), аl порядка 0.1 м (размер сосуда, в котором находится молекула), расстояние между уровнями составит∆ E n ≈n·10 –20 эВ. Спектр с такой густотой линий будет восприниматься как сплошной, а молекула будет вести себя как классическая частица.
Такая же приблизительно ситуация складывается с движением электрона в проводнике. В этом случае в формулу (5.26) нужно подставить массу электрона m ~ 10 –30 кг, геометрические размеры области, в которой ограничен электрон, для определенности возьмемl = 0.1 м. Тогда∆ E n ≈n·10 –16 эВ, то есть квантовые эффекты будут мало заметны, и поведение электрона в проводнике также будет иметь классический характер.
Итак, квантовый характер движения будет иметь только малая частица (нуклон, электрон, атом и даже молекула), ограниченная в очень малой области пространства. Эти условия выполняются, например, для электронов, находящихся в поле ядра. В этом случае масса электрона m ~ 10 –30 кг,l ≈ 10 –9 м, тогда расстояние между уровнями будет∆ E n ≈n·1 эВ. В этом случае квантование энергии будет выраженным, следовательно, и поведение электрона будет отличным от классического.
Можно показать, что стационарные уровни в потенциальной яме возникают лишь в том случае, если Е 1 ˂ U . То есть в потенциальной яме рассматриваемого вида уровни возникают лишь при условии:
(5.27)
В левой части этого неравенства стоят параметры потенциальной ямы (глубина и ширина), а в правой – только постоянные числа и универсальные постоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Такие случаи встречаются не так уж редко. Силы взаимодействия между двумя нейтронами являются слабыми силами притяжения. Эти силы определяют величину потенциальной энергии U . Ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе не существует, так как потенциальная яма, в которой должны находиться два нейтрона в каких-либо состояниях, не удовлетворяет указанному выше условию (5.27). Аналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов. Сила взаимодействия между протоном и нейтроном совсем немного больше, чем сила взаимодействия двух нейтронов или протонов. Но этой небольшой разницы достаточно, чтоб потенциальная энергияU уже удовлетворяла условию (5.27). В такой яме может образоваться только один уровень – одно состояние. Связанное состояние нейтрона и протона называется дейтроном. Возбужденного состояния дейтрона не существует, так как в соответствующей потенциальной яме может образоваться только одно состояние.
Пусть частица движется вдоль оси X. При этом движение ограничено отрезком (0,l ). В точках x=0 и x=l установлены непроницаемые бесконечно высокие стенки. Потенциальная энергия в этом случае имеет вид
Такая зависимость потенциальной энергии от x получила название потенциальной ямы .
Запишем стационарное уравнение Шредингера
Поскольку пси-функция зависит только от координаты x, то уравнение упрощается следующим образом
Внутри потенциальной ямы U=0
За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Соответственно и пси-функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что ψ должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е. 
. Это граничное условие, которому должны удовлетворять решения уравнения.
Введем обозначение
и получим уравнение, хорошо известное из теории колебаний
Решение такого уравнения имеет вид гармонической функции
Выбор соответствующих параметров k и α определяется граничными условиями, а именно,
n = 0 отпадает, т.к. в этом случае ψ = 0 и частица нигде не находится. Следовательно, число k принимает лишь определенные дискретные значения, удовлетворяющие условию . Отсюда следует очень важный результат. Найдем собственные значения энергии частиц
т.е. энергия электрона в потенциальной яме не произвольна, а принимает дискретные значения, т.е. является квантованной. Величина Е n зависит от целого числа n , которое принимает значение от 1 до ∞ и носит название главного квантового числа . Квантованные значения энергии называются энергетическими уровнями, а квантовое число n определяет номер энергетического уровня . Таким образом, электрон в потенциальной яме может находиться на определенном энергетическом уровне E n . Причем минимальное значение энергии, соответствующее первому энергетическому уровню, отлично от нуля
.
Определим расстояние между соседними энергетическими уровнями
При больших m и l расстояние между уровнями становится мало, и спектр становится квазинепрерывным. Относительное расстояние между уровнями
при n → ∞ ,
т. е. спектр становится непрерывен. В этом заключается принцип соответствия Бора : при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.
Вернемся к задаче определения собственных функций. После применения граничных условий имеем
Для нахождения коэффициента А воспользуемся условием нормировки
Значение интеграла равно l /2.
Таким образом, собственные функции имеют вид
Графики собственных функций имеют вид
Окончательно сформулируем основные выводы :
1. Энергетический спектр частицы в потенциальной яме дискретный – энергия квантуется.
2. Минимальное значение кинетической энергии не может быть равно нулю.
3. Дискретный характер энергетических уровней проявляется при малых m , l и n , при больших m , l ,n движение становится классическим.
4. Положения микрочастицы в яме не равновероятны, а определяются собственными функциями, в то время как в случае классической частицы все положения равновероятны.
Вопросы для самоконтроля:
1. Как определить вероятность нахождения частицы в некоторой точке?
2. Что называется потенциальной ямой?
3. Каково значение уравнения Шредингера? Что позволяет найти уравнение Шредингера?
4. Какие условия накладываются на пси-функцию?
5. Каков физический смысл главного квантового числа?
6. Почему квантовая механика является статистической теорией?
7. В чем состоит принцип соответствия Бора?
