Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые характеристики одинаковы.
Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин X 1 , X 2 , …,X n , которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин.
Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :
.
Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.
1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем
Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно а , получим
.
2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин:
Доказательство . Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем
Приняв во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна D , получим
.
3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения а каждой из величин:
Доказательство . Так как , то среднее квадратическое отклонение равно
.
Общий вывод из формул (7.3) и (7.4): вспоминая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины, заключаем, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.
Поясним на примере значение этого вывода для практики.
Пример. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений, а затем находят среднее арифметическое полученных чисел, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ принимают за приближенное значение измеряемой величины. Предполагая, что измерения производятся в одних и тех же условиях, доказать:
а) среднее арифметическое дает результат более надежный, чем отдельные измерения;
б) с увеличением числа измерений надежность этого результата возрастает.
Решение . а) Известно, что отдельные измерения дают неодинаковые значения измеряемой величины. Результат каждого измерения зависит от многих случайных причин (изменение температуры, колебания прибора и т.п.), которые не бывают заранее полностью учтены.
По этой причине мы вправе рассматривать возможные результаты n отдельных измерений в качестве случайных величин X 1 , X 2 , …,X n (индекс указывает номер измерения). Эти величины имеют одинаковое распределение вероятностей (измерения производятся по одной и той же методике и теми же приборами), а следовательно, и одинаковые числовые характеристики; кроме того, они взаимно независимы (результат каждого отдельного измерения не зависит от остальных измерений).
Как было показано, среднее арифметическое таких величин имеет меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. Иначе говоря, среднее арифметическое оказывается более близким к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения. Это и означает, что среднее арифметическое нескольких измерений дает более надежный результат, чем отдельное измерение.
б) Известно, что при возрастании числа отдельных случайных величин рассеяние среднего арифметического убывает. Это значит, что с увеличением числа измерений среднее арифметическое нескольких измерений все менее отличается от истинного значения измеряемой величины. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, увеличивая число измерений, получают более надежный результат.
К примеру, если среднее квадратическое отклонение отдельного измерения s = 6 м, а всего произведено n = 36 измерений, то среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих измерений равно лишь 1 м. Действительно,
.
Очевидно, что среднее арифметическое нескольких измерений, как и следовало ожидать, оказалось более близким к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения.
Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые характеристики одинаковы.
Рассмотрим п взаимно независимых случайных величин Х 1 , Х 2 , ...., Х п, которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин, чем мы и займемся в настоящем параграфе.
Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :
= (X 1 +X 2 +…+X n )/n.
Следующие ниже три положения устанавливают связьмежду числовыми характеристиками среднего арифметического X и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.
1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных, величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
M ()=a
Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем
М ( ) = М
Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно а, получим
M ()=na/n=a.
2. Дисперсия среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величии в п раз меньше дисперсии D каждой из величин:
D ()=D/n. (* )
Доказательство. Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем
D ( )=D
Приняв во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна D, получим
D ( ) = nD/n 2 =D/n.
3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадраитческого отклонения s каждой из величин:
Доказательство. Так как D () = D/n, то среднее квадратическое отклонение равно
s( )= .
Общий вывод из формул (*) и (**): вспоминая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины, заключаем, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.
Поясним на примере значение этого вывода для практики.
Пример. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений, а затем находят среднее арифметическое полученных чисел, которое принимают за приближенное значение измеряемой величины. Предполагая, что измерения производятся в одних и тех же условиях, доказать:
а)среднее арифметическое дает результат более надежный, чем отдельные измерения;
б)с увеличением числа измерений надежность этого результата возрастает.
Решение. а) Известно, что отдельные измерения дают неодинаковые значения измеряемой величины. Результат каждого измерения зависит от многих случайных причин (изменение температуры, колебания прибора и т. п.), которые не могут быть заранее полностью учтены.
Поэтому мы вправе рассматривать возможные результаты n отдельных измерений в качестве случайных величин X 1 , Х 2 , ..., Х п (индекс указывает номер измерения). Эти величины имеют одинаковое распределение вероятностей (измерения производятся по одной и той же методике и теми же приборами), а следовательно, и одинаковые числовые характеристики; кроме того, они взаимно независимы (результат каждого отдельного измерения не зависит от остальных измерений).
Мы уже знаем, что среднее арифметическое таких величин имеет меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. Иначе говоря, среднее арифметическое оказывается более близким к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения. Это и означает, что среднее арифметическое нескольких измерений дает более надежный результат, чем отдельное измерение.
б) Нам уже известно, что при возрастании числа отдельных случайных величин рассеяние среднего арифметического убывает. Это значит, что с увеличением числа измерений среднее арифметическое нескольких измерений все менее отличается от истинного значения измеряемой величины. Таким образом, увеличивая число измерений, получают более надежный результат.
Например, если среднее квадратическое отклонение отдельного измерения s= 6 м, а всего произведено n = 36 измерений, то среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих измерений равно лишь 1 м. Действительно,
s( )= 
Мы видим, что среднее арифметическое нескольких измерений, как и следовало ожидать, оказалось более близким к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения.
«Наша цель - доказать, что если взять одинаково распределённые независимые случайные величины с конечной дисперсией, то зная только среднее и...»
Наша цель --- доказать, что если взять одинаково распределённые независимые случайные величины с конечной
дисперсией, то зная только среднее и дисперсию можно довольно точно оценивать вероятность принятия средним
из этих величин значений в заданном интервале.
Сначала определим распределение вероятностей на множестве исходов R так, чтобы разрешить себе более, чем
счётное, количество событий.
Рассмотрим распределение вероятностей, у которого исходы --- числа. Что мы тогда можем заметить про вероятности (не выделяя особо элементарные события)?
Перечислим базовые свойства вероятности, которые верны для нашего определения, и которые надо сохранить.
Определение 1. Вероятность любого события неотрицательна. Вероятность достоверного события равна 1. Если событие является объединением не более, чем счётного числа непересекающихся событий, вероятности которых известны, то его вероятность определена и равна сумме их вероятностей.
Мы можем полностью задать это распределение неубывающей функцией F (a) : F (a) = P ({x | x a}).
Теорема 1. При этом будет выполнено P ({x | x a}) = lim F (b).
ba+ Доказательство 1. Действительно, R \ {x | x a} = {x | x a} = {x | x a + 1} }
