Случайные процессы и их характеристики. Характеристики случайных процессов. Понятие случайной функции. Дискретные алгоритмы оценивания параметров СП

Комплексной слуюйной функцией называютфункцию

Z (t )=X (t )+Y (t )i ,

где Х (t ) и Y (t )-действительные случайные функции действительного аргумента t .

Обобщим определения математического ожидания и дисперсии на комплексные случайные функции так, чтобы, в частности, при Y=0 эти характеристики совпали с ранее введенными характеристиками для действительных случайных функций, т. е. чтобы выполнялись требования:

m z (t )=m x (t )(*)

D z (t )=D x (t )(**)

Математическим , ожиданием , комплексной случайной функции Z (t )=Х (t )+Y (t )i называют комплексную функцию (неслучайную)

m z (t )=m x (t )+m y (t )i .

В частности, при Y=0 получим т z (t )=т x (t ),т.е. требование (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной функции Z (t ) называют математическое ожидание квадрата модуля центрированной функции Z (t ):

D z (t )=M [| (t )| 2 ].

В частности, при Y==0 получим D z (t )= M [| (t )|] 2 =D x (t ), т. е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

D z (t )=M [| (t )| 2 ]= M {[ (t )] 2 + [ (t ) 2 ]}= M [ (t )] 2 +M [ (t ) 2 ]= D x (t )+D y (t ).

Итак,дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D z (t )=D x (t )+D y (t ).

Известно, что корреляционная функция действительной случайной функции Х (t ) при разных значениях аргументов равна дисперсии D x (t ). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Z (t ) так, чтобы при равных значениях аргументов t 1 =t 2 =t корреляционная функция K z (t , t ) была равна дисперсии D z (t ), т. е. чтобы выполнялось требование

K z (t , t )=D z (t ). (***)

Корреляционной функцией комплексной случайной функции Z (t ) называют корреляционный момент сечений (t 1)и (t 2)

K z (t 1 , t 2)= M .

В частности, при равных значениях аргументов

K z (t , t )= M =M [| | 2 ]= D z (t ).

т. е. требование (***) выполняется.

Если действительные случайные функции Х (t ) и Y (t )коррелированы, то

K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2)+ [R xy (t 2 ,t 1)]+ [ R xy (t 1 ,t 1)].

если Х (t ) и Y (t ) не коррелированы, то

K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2).

Обобщим определение взаимной корреляционной функции на комплексные случайные функции Z 1 (t )=Х 1 (t )+ Y 1 (t )i и Z 2 (t )=Х 2 (t )+ Y 2 (t )i так, чтобы, в частности, при Y 1 =Y 2 = 0 выполнялось требование

Взаимной корреляционной функцией двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную)

В частности, при Y 1 =Y 2 =0 получим

т. е. требование (****) выполняется.

Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой:

Задачи

1. Найти математическое ожидание случайных функций:

a) X (t )=Ut 2 , где U- случайная величина, причем M (U )=5 ,

б ) Х (t )=U cos2t+Vt , где U и V- случайные величины, причем M (U )=3 , M (V )=4 .

Отв. а) m x (t)=5t 2 ; б) т x (t)=3 cos2t+4t.

2. К х (t 1 ,t 2) случайной функции X (t ). Найти корреляционные функции случайных функций:

a) Y (t )=X (t )+t; б) Y (t )=(t +1)X (t ); в) Y (t )=4X (t ).

Отв. a) К y (t 1 ,t 2)= К х (t 1 ,t 2); б) К y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) К х (t 1 ,t 2); в) К y (t 1 ,t 2)=16 К x (t 1 ,t 2)=.

3. Задана дисперсия D x (t ) случайной функции Х (t ). Найти дисперсию случайных функций: a) Y (t )=Х (t )+e t б ) Y (t )=tX (t ).

Отв . a) D y (t )=D x (t ); б) D y (t )=t 2 D x (t ).

4. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции Х (t )=Usin 2t , где U- случайная величина, причем M (U )=3 , D (U )=6 .

Отв . а)m x (t ) =3sin 2t; б) К х (t 1 ,t 2)= 6sin 2t 1 sin 2t 2 ; в) D x (t )=6sin 2 2t .

5. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t ), зная ее корреляционную функцию К х (t 1 ,t 2)=3cos (t 2 -t 1).

Отв. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормированную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X (t )=(t +1)U , и Y(t )= (t 2 + 1)U , где U- случайная величина, причем D (U )=7.

Отв . a) R xy (t 1 ,t 2)=7(t 1 +l)(t 2 2 +l); б) ρ xy (t 1 ,t 2)=1.

7. Заданы случайные функции Х (t )= (t- 1)U и Y (t )=t 2 U , где U и V - некоррелированные случайные величины, причем M (U )=2, M (V )= 3, D (U )=4 , D (V )=5 . Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z (t )=X (t )+Y (t ).

Указание. Убедиться, что взаимная корреляционная функция заданных случайных функций равна нулю и, следовательно, Х (t ) и Y (t ) не коррелированы.

Отв . а) m z (t )=2(t - 1)+3t 2 ; б) К z (t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)(t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; в) D z (t )=4(t - 1) 2 +6t 4 .

8. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +1 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание ее производной.

9. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +3 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание случайной функции Y (t )=tХ" (t )+t 3 .

Отв. m y (t)=t 2 (t+2).

10. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции X (t ). Найти корреляционную функцию ее производной.

11. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции Х (t ). Найти взаимные корреляционные функции.

Задание на курсовую работу

Дано: пять начальных моментов

а1 = 1, а2 = 2, а3 = 2, а4 = 1, а5 = 1 (µ г = 0, µ 0 = 1).

Найти: пять центральных моментов.

Имея в своём распоряжении пять начальных и пять центральных моментов, вычислить значения:

а) математическое ожидание;

б) дисперсию;

в) стандартное отклонение;

г) коэффициент вариации;

д) коэффициент асимметрии;

е) коэффициент эксцессии.

По полученным данным качественно описать плотность вероятности данного процесса.

1. Теоретические сведения

Распределения случайных величин и функции распределения

Распределение числовой случайной величины - это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

Первое - если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задается функцией Р (Х = х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины X вероятность того, что X = х.

Второе - если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задается набором вероятностей Р (а Х для всех пар чисел а, b таких, что аРаспределение может быть задано с помощью т.н. функции распределения F(x) = Р (Х<х), определяющей для всех действительных х вероятность того, что случайная величина X принимает значения, меньшие х. Ясно, что

Р (а Х

Это соотношение показывает, что как распределение может быть рассчитано по функции распределения, так и, наоборот, функция распределения - по распределению.

Используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями.

Дискретные функции распределения соответствуют дискретным случайным величинам, принимающим конечное число значений или же значения из множества, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами (такие множества в математике называют счетными). Их график имеет вид ступенчатой лестницы (рис. 1).

Пример 1. Число X дефектных изделий в партии принимает значение 0 с вероятностью 0,3, значение 1 с вероятностью 0,4, значение 2 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,1. График функции распределения случайной величины X изображен на рис. 1.

Рис. 1. График функции распределения числа дефектных изделий.

Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают при увеличении аргумента - от 0 при х→∞ до 1 при х→+∞. Случайные величины, имеющие непрерывные функции распределения, называют непрерывными.

Непрерывные функции распределения, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, имеют производные. Первая производная f(x) функции распределения F(x) называется плотностью вероятности,

По плотности вероятности можно определить функцию распределения:

Для любой функции распределения

Перечисленные свойства функций распределения постоянно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, из последнего равенства вытекает конкретный вид констант в формулах для плотностей вероятностей, рассматриваемых ниже.

Пример 2. Часто используется следующая функция распределения:

(1)

где а и b - некоторые числа, аНайдем плотность вероятности этой функции распределения:

(в точках х = а их = b производная функции F(x) не существует).

Случайная величина с функцией распределения (1) называется «равномерно распределенной на отрезке ».

Смешанные функции распределения встречаются, в частности, тогда, когда наблюдения в какой-то момент прекращаются. Например, при анализе статистических данных, полученных при использовании планов испытании на надежность, предусматривающих прекращение испытаний по истечении некоторого срока. Или при анализе данных о технических изделиях, потребовавших гарантийного ремонта.

Пример 3. Пусть, например, срок службы электрической лампочки - случайная величина с функцией распределения F(t), а испытание проводится до выхода лампочки из строя, если это произойдет менее чем за 100 часов от начала испытаний, или до момента t 0 = 100 часов. Пусть G(t) - функция распределения времени эксплуатации лампочки в исправном состоянии при этом испытании. Тогда

Функция G(t) имеет скачок в точке t 0 , поскольку соответствующая случайная величина принимает значение t 0 с вероятностью 1-F(t 0 )>0.

Характеристики случайных величин. В вероятностно-статистических методах принятия решений используется ряд характеристик случайных величин, выражающихся через функции распределения и плотности вероятностей.

При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях используется такое понятие, как «квантиль порядка р», где 0 <р < 1 (обозначается х р ). Квантиль порядка р - значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньшер до значения больше р (рис. 2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль х р порядка р (рис. 2), причем

F(x p )=p. (2)

Рис. 2. Определение квантиля х р порядка р.

Пример 4. Найдем квантиль х р порядка р для функции распределения F(x) из (1).

При 0 <р < 1 квантиль х р находится из уравнения

т.е. х р = а + p (b - а) = а (1-р) +bр. При р = 0 любое х а является квантилем порядка p = 0. Квантилем порядка р = 1 является любое число х b.

Для дискретных распределений, как правило, не существует х р , удовлетворяющих уравнению (2). Точнее, если распределение случайной величины дается табл. 1, где x 1 < х 2 <… < х к , то равенство (2), рассматриваемое как уравнение относительно х р , имеет решения только для k значений р, а именно,

p =p 1

p =p 1 +p 2 ,

p = p 1 +p 2 +p 3 ,

p = p 1 +p 2 + р т , 3<т<к,

р =р, + р 2 +… +p k

Таблица 1. Распределение дискретной случайной величины

Значения х случайной величины Xх 1 х 2 …х k Вероятности Р (Х =х)P 1 Р 2 …Р k

Для перечисленных к значений вероятности р решение х р уравнения (2) неединственно, а именно,

F(x) =р, +р 2 +… + Р т

для всех х таких, что х т < х < х т+1 . Т.е. х р - любое число из интервала (х т ; x m+1 ). Для всех остальных р из промежутка (0; 1), не входящих в перечень (3), имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р. А именно, если

p 1 +p 2 +… + p т 1 +p 2 + … + p т + p т+1 ,

то x р =x т+1 .

Рассмотренное свойство дискретных распределений создает значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможным оказывается точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны.

Большое значение в статистике имеет квантиль порядка p = ½. Он называется медианой (случайной величины X или ее функции распределения F(x)) и обозначается Ме(Х). В геометрии есть понятие «медиана» - прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство F(x 0,5 ) = 0,5 означает, что вероятность попасть левее x 0,5 и вероятность попасть правее x 0,5 (или непосредственно x 0,5 ) равны между собой и равны ½ , т.е.

Медиана указывает «центр» распределения. С точки зрения одной из современных концепций - теории устойчивых статистических процедур - медиана является более хорошей характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание . При обработке результатов измерений в порядковой шкале (см. главу о теории измерений) медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием - нет.

Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как мода - значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины.

Если х 0 - мода случайной величины с плотностью f(x), то, как известно

из дифференциального исчисления,

У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения (1) каждая точка х такая, что а < х < b, является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными.

Математическое ожидание для дискретных случайных величин с конечным числом значений рассмотрено в главе «События и вероятности». Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) удовлетворяет равенству

Пример 5. Математическое ожидание для равномерно распределенной случайной величины X равно

Для рассматриваемых в настоящей главе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений.

Замечание. В настоящем учебнике сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, -алгебры событий и т.п. Желающим освоить эти понятия необходимо обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии .

Каждая из трех характеристик - математическое ожидание, медиана, мода - описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами - отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений - симметричных унимодальных - все три характеристики совпадают.

Плотность распределения f(x) - плотность симметричного распределения, если найдется число х 0 такое, что

(3)

Равенство (3) означает, что график функции у =f(х) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии х = х 0 . Из (3) следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению

(4)

Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны х 0 .

Наиболее важен случай симметрии относительно 0, т.е. х п = 0. Тогда (3) и (4) переходят в равенства

(5)

(6)

соответственно. Приведенные соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех х, достаточно иметь таблицы при х х 0 .

Отметим еще одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения

Р(а) = Р (-а <Х а) = F(a) - F(-a),

где F - функция распределения случайной величины X. Если функция распределения F симметрична относительно 0, т.е. для нее справедлива формула (6), то

Р(а) =2F(a) - 1.

Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если

Если и - квантили порядка α и 1-α соответственно (см. (2)) функции распределения, симметричной относительно 0, то из (6) следует, что

От характеристик положения - математического ожидания, медианы, моды - перейдем к характеристикам разброса случайной величины X:

дисперсии , среднему квадратическому отклонению σ и коэффициенту вариации v . Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

Среднее квадратическое отклонение - это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации применяется при М(Х)>0. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение - в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины X найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где с = (b - а )/2. Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно , а коэффициент вариации таков:

По каждой случайной величине X определяют еще три величины - центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y - это разность между данной случайной величиной X и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y= Х - М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Г равно 0, а дисперсия - дисперсии данной случайной величины: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Функция распределения F Y (x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x) исходной случайной величины X соотношением:

F Y (x) =F (x + М(Х)).

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

f Y (x) =f (x + М(Х)).

Нормированная случайная величина V -это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению σ, т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:

где v - коэффициент вариации исходной случайной величины X. Для функции распределения F v (x) и плотности f v (x) нормированной случайной величины V имеем:

где F(x) - функция распределения исходной случайной величины X, a f(x) - ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U - это центрированная и нормированная случайная величина:

Для приведенной случайной величины:

(7)

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y= аХ+ b, где а и b - некоторые числа, то

(8)

Пример 7. Если то У - приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной X можно связать множество случайных величин Y, заданных формулой У = аХ+b при различных а>0 и b. Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной X. Функции распределения F Y (x) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо Y= аХ+ b часто используют запись

(9)

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х - результат измерения некоторой величины - переходит в У - результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение X называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины X рассматривают Y= gX, где lgX -десятичный логарифм числа X. Цепочка равенств

Лекция 13 Случайные процессы Основные понятия. Закон распределения и . Стационарные, эргодичес

Лекция 13
Случайные процессы
Основные понятия. Закон распределения и основные характеристики
случайных процессов. Стационарные, эргодические, элементарные случайные
процессы
(Ахметов С.К.)

Определения

Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при
любом фиксированном t = ti является СВ X(ti)
Реализацией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция
х(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате опыта
Сечение случайного процесса (случайной функции) – это случайная
величина X(ti) при t = ti.

Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным
временем, если система, в которой он протекает, может менять
свои состояния только в моменты t1, t2, t3….. tn, число которых
конечно или счетно

временем, если переходы системы из состояния в состояние могут
происходить в любой момент времени t наблюдаемого периода
Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным
состоянием, если его сечение в любой момент t представляет
собой не дискретную, а непрерывную величину
Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным
состоянием, если в любой момент времени t множество его
состояний конечно или счетно, то есть, если его сечение в любой
момент t характеризуется дискретной случайной величиной

Классификация случайных процессов

Таким образом, все СП можно разделить на 4 класса:
Процессы
временем;
Процессы
временем;
Процессы
временем;
Процессы
временем.
с дискретным состоянием и дискретным
с дискретным состоянием и непрерывным
с непрерывным состоянием и дискретным
с непрерывным состоянием и непрерывным
Большинство гидрологических процессов являются
процессами с непрерывным состоянием и непрерывным
временем. Но при вводе шага дискретности по времени они
превращаются из процесса с непрерывным временем в
процесс с дискретным временем. При этом процесс остается
непрерывным по состоянию

Основные характеристики случайных процессов

Сечение случайного процесса х(t) при любом фиксированном значении
аргумента t представляет собой СВ, которая имеет закон распределения
F (t, x) = P{X(t) < x}
Это одномерный закон распределения случайного процесса X(t)
Но, он не является исчерпывающей характеристикой СП, так как
характеризует свойства любого, но отдельно взятого сечения и не дает
представления о совместном распределении двух или более сечений.
Это видно на рисунке, где показаны два СП с разными вероятностными
структурами, но примерное одинаковыми распределениями СВ в каждом
сечении

Основные характеристики случайных процессов

Поэтому более полной характеристикой СП является двумерный закон
распределения
F(t1,t2,x1,x2) = P {X(t1) < x1, X(t2) < x2}
В общем случае исчерпывающей характеристикой СП является n мерный закон распределения
На практике вместо многомерных законов распределения используют
основные характеристики СП, такие как МО, дисперсия, начальные и
центральные моменты, но только для СП эти характеристики будут не
числами, а функциями
Математическое ожидание СП X(t) - неслучайная функция mx(t),
которая при любом значении аргумента t равна математическому
ожиданию соответствующего сечения СП:
где f1(x,t) – одномерная плотность распределения СП X(t)

Основные характеристики случайных процессов

МО СП представляет собой некоторую «среднею» функцию, вокруг
которой происходит разброс СП
Если из СП X(t) вычесть его МО, то получим центрированный СП:
X0(t) = X(t) – mx(t)
Дисперсией СП X(t) называется неслучайная функция СП X(t), которая
при любом значении аргумента t равна дисперсии соот – го сечения СП X(t)
СП X(t) = D = M{2}
Среднеквадратическим отклонением СП X(t) называется неслучайная
функция σx(t), которая равна корню квадратному из дисперсии СП:
σx(t) = σ = √Dx(t)

Основные характеристики случайных процессов

Для полной характеристики СП необходимо учитывать взаимосвязь
между различными сечениями. Поэтому, к комплексу перечисленных
характеристик нужно добавить также корреляционную функцию СП:
Корреляционной (или ковариационной) функцией СП X(t) называется
неслучайная функция Kx(t,t’), которая при каждой паре значений
аргументов t и t’ равна корреляции соответствующих сечений X(t) и X(t’)
Kx(t,t’) = M{ x }
или
Kx(t,t’) = M = M - mx(t) mx(t’)
Свойства корреляционной функции:
- при равенстве t = t’ корреляционная функция равна дисперсии СП, т. е.
Kx(t,t’) = Dx(t)
- корреляционная функция Kx(t,t’) симметрична относительно своих
аргументов, то есть
Kx(t,t’) = Kx(t’,t)

Основные характеристики случайных процессов

Нормированной корреляционной функцией rx(t,t’) СП X(t) называется
функция, полученная делением корреляционной функции на произведение
среднеквадратических отклонений σx(t) σx(t’)
rx(t,t’) = /(σx(t)σx(t’)) = /(√(Dx(t)Dx(t’))
Свойства нормированной корреляционной функции:
- при равенстве аргументов t и t’ нормированная корреляционная функция
равна единице rx(t,t’) = 1
-нормированная корреляционная функция симметрична относительно
своих аргументов, то есть rx(t,t’) = rx(t’,t)
- нормированная корреляционная функция по модулю не превышает
единицу rx(t,t’) ≤ 1

Основные характеристики случайных процессов

Скалярный СП – это когда речь идет об одном СП, как было до сих
пор.
Векторный СП – это когда рассматриваются 2 и более СП.
Допустим заданы расходы воды в нескольких створах во времени
В этом случае для характеристики СП нужно знать для каждого
скалярного процесса:
-МО
-корреляционную функцию
-взаимную корреляционную функцию
Взаимной корреляционной функцией Ri,j(t,t’) двух случайных
процессов X(t) и X(t’) называется неслучайная функция двух
аргументов t и t’, которая при каждой паре значений t и t’ равна
ковариации (линейной связи) двух сечений СП X(t) и X(t’)
Ri,j(t,t’) = M

Стационарные случайные процессы

Стационарные СП – это СП, у которых все вероятностные
характеристики не зависят от времени, то есть:
- mx = const
- Dx = const
Отличие стационарных и нестационарных СП показано на рисунке
а) стационарный СП
б) нестационарный СП по МО
с) нестационарный СП по дисперсии

Свойства корреляционной функции стационарного СП

Четность функции от своего аргумента, то есть kx(τ) = kx(-τ)
τ – сдвиг всех временных аргументов СП на одинаковую величину Θ
k – корреляционная функция СП при Kx(t1,t2) = kx(τ)
Значение корреляционной функции стационарного СП при нулевом
сдвиге τ равно дисперсии СП
Dx = Kx(t1,t2) = kx(t - t) = kx(0)
|kx(τ)| ≤ kx(0)
Помимо корреляционной функции используется нормированная
корреляционная функция стационарного СП, которую называют
автокорреляционной функцией
rx(τ) = kx(τ)/Dx = kx(τ)/kx(0)

Эргодические случайные процессы

Эргодическое свойство СП – это когда по одной достаточно
продолжительной реализации СП можно судить о СП в целом
Достаточным условием эргодичности СП является условие
lim kx(τ) = 0
при τ → ∞, т.е. при увеличении сдвига между сечениями
корреляционная функция затухает
На рисунке показаны а) неэргодический и б) эргодический СП
На практике (чаще всего) мы вынуждены принимать гипотезу о
стационарности и эргодичности гидрологических процессов, чтобы по
имеющемуся раду судить о всей генеральной совокупности

Элементарные случайные процессы

Элементарный СП (э.с.п) – это такая функция аргумента t, для
которой зависимость от t представлена обычной неслучайной функцией,
в которую в качестве аргумента входит одна или несколько обычных СВ
То есть каждая СВ порождает свою реализацию СП
К примеру, если в каком – то створе ветвь спада половодья является
устойчивой и описывается уравнением
Q(t) = Qнe-at
a - районный параметр (a>0)
Qн - расход воды в начальный момент времени t = t0
то процесс спада половодья можно считать э.с.п., где a - неслучайная
величина, Qн -случайная величина

1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

До определенных пор теория вероятностей ограничивалась понятием случайных величин. Их использование позволяет выполнять статические расчеты, учитывающие случайные факторы. Однако механические системы подвергаются также разнообразным динамическим, то есть изменяющимся во времени воздействиям случайного характера. К ним относятся, в частности, вибрационные и ударные воздействия при движении транспортных средств, аэродинамические силы, вызванные атмосферной турбулентностью, сейсмические силы, нагрузки, обусловленные случайными отклонениями от номинальных режимов работы машин.

Случайные динамические явления изучаются при анализе тенденций в экономике (например, изменения курса акций или валюты). Работа в условиях случайных возмущений характерна для систем управления разнообразными динамическими объектами.

Для анализа подобных явлений используется понятие случайной функции . Случайной функцией X (t ) называется такая функция аргумента t , значение которой при любом t является случайной величиной. Если аргумент принимает дискретные значения t 1 , t 2 , …, t k то говорят о случайной последовательности X 1 , X 2 ,…, X k , где X i = X (t i ).

Во многих практических задачах неслучайный аргумент t имеет смысл времени, при этом случайную функцию называют случайным процессом , а случайную последовательность – временным рядом . Вместе с тем, аргумент случайной функции может иметь и иной смысл. Например, речь может идти о рельефе местности Z (x , y ), где аргументами являются координаты местности x и y , а роль случайной функции играет высота над уровнем моря z. В дальнейшем, для определенности, имея в виду приложения случайных функций к исследованию динамических систем, будем говорить о случайных процессах.

Предположим, что при исследовании случайного процесса X (t ) произведено n независимых опытов, и получены реализации

представляющие собой n детерминированных функций. Соответствующее семейство кривых в определенной мере характеризует свойства случайного процесса. Так, на рис.1.1а представлены реализации случайного процесса с постоянными средним уровнем и разбросом значений возле среднего, на рис. 1.1б – реализации случайного процесса с постоянным средним и изменяющимся разбросом, на рис. 1.1в – реализации случайного процесса с изменяющимися во времени средним и разбросом.

Рис.1.1. Типичные реализации случайных процессов

На рис. 1.2 показаны реализации двух случайных процессов, имеющих одинаковый средний уровень и разброс, но различающихся плавностью. Реализации случайного процесса на рис. 1.2а имеют высокочастотный характер, а на рис. 1.2б – низкочастотный.

Рис. 1.2. Высокочастотный и низкочастотный случайные процессы

Таким образом, X (t ) можно рассматривать и как совокупность всевозможных реализаций, которая подчиняется определенным вероятностным закономерностям. Как и для случайных величин, исчерпывающую характеристику этих закономерностей дают функции или плотности распределения. Случайный процесс считается заданным, если заданы все многомерные законы распределения случайных величин X (t i ), X (t 2 ), …, X (t n ) для любых значений t 1 , t 2 , …, t n из области изменения аргумента t . Речь идет, в частности, об одномерной плотности распределения , двумерной плотности распределения и т.д. .

Для упрощения анализа в большинстве случаев ограничиваются моментными характеристиками, причем чаще всего используют моменты первого и второго порядков. Для характеристики среднего уровня случайного процесса служит математическое ожидание

. (1.1)

Для характеристики амплитуды отклонений случайного процесса от среднего уровня служит дисперсия

Для характеристики изменчивости (плавности) случайного процесса служит корреляционная (автокорреляционная) функция

(1.3)

Как следует из (1.3), корреляционная функция представляет собой ковариацию случайных величин X (t 1) и X (t 2). Ковариация же, как известно из курса теории вероятностей, характеризует взаимозависимость между X (t 1) и X (t 2).

В рамках корреляционной теории случайных функций, которая оперирует лишь моментами первого и второго порядков, могут быть решены многие технические задачи. В частности, могут быть определены априорная, а также условная вероятности выхода случайного процесса за пределы заданных границ. Вместе с тем, некоторые важные в практическом плане задачи не решаются средствами корреляционной теории и требуют использования многомерных плотностей распределения. К таким задачам относится, например, расчет среднего времени нахождения случайного процесса выше или ниже заданной границы.

2. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.1. Квазидетерминированные случайные процессы

100 р бонус за первый заказ

Выберите тип работы Дипломная работа Курсовая работа Реферат Магистерская диссертация Отчёт по практике Статья Доклад Рецензия Контрольная работа Монография Решение задач Бизнес-план Ответы на вопросы Творческая работа Эссе Чертёж Сочинения Перевод Презентации Набор текста Другое Повышение уникальности текста Кандидатская диссертация Лабораторная работа Помощь on-line

Узнать цену

Случайная функция – функция, которая в результате опыта может принять тот или иной неизвестный заранее конкретный вид. Обычно аргументом случайной функции (с.ф.) является время, тогда с.ф. называют случайным процессом (с.п.).

С.ф. непрерывно изменяющегося аргумента t называется такая с.в., распределение которой зависит не только от аргумента t=t1 , но и от того, какие частные значения принимала эта величина при других значениях данного аргумента t=t 2. Эти с.в. корреляционно связаны между собой и тем больше, чем ближе одни к другим значения аргументов. В пределе при интервале между двумя значениями аргумента, стремящемся к нулю, коэффициент корреляции равен единице:

т.е. t 1 и t1+Dt1 при Dt1 ®0 связаны линейной зависимостью.

С.ф. принимает в результате одного опыта бесчисленное (в общем случае несчетное) множество значений – по одному для каждого значения аргумента или для каждой совокупности значений аргументов. Эта функция имеет одно вполне определенное значение для каждого момента времени. Результат измерения непрерывно изменяющейся величины является такой с.в., которая в каждом данном опыте представляет собой определенную функцию времени.

С.ф. можно также рассматривать как бесконечную совокупность с.в., зависящую от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров t . Каждому данному значению параметра t соответствует одна с.в Xt. Вместе все с.в. X t определяют с.ф. X(t). Эти с.в. корреляционно связаны между собой и тем сильнее, чем ближе друг к другу.

Элементарная с.ф. – это произведение обычной с.в. Х на некоторую неслучайную функцию j(t): X(t)=X×j(t) , т.е. такая с.ф., у которой случайным является не вид, а только ее масштаб.

С.ф. - имеет м.о. равное нулю. p – плотность распределения с.в. Х (значения с.ф. X(t) ), взятой при произвольном значении t 1 аргумента t .

Реализация с.ф. X(t) – описывается уравнением x=f1(t) при t=t1 и уравнением x=f2(t) при t=t2 .

Вообще функции x=f1(t) и x=f2(t) – различные функции. Но эти функции тождественны и линейны тем более, чем более (t1 ®t2 ) t 1 ближе к t 2.

Одномерная плотность вероятности с.ф. p(x,t) – зависит от х и от параметра t . Двумерная плотность вероятности p(x1,x2;t1,t2) – совместный закон распределения значений X(t1) и X(t2) с. ф. X(t) при двух произвольных значениях t и t ¢ аргумента t .

. (66.5)

В общем случае функция X(t) характеризуется большим числом n -мерных законов распределения .

М.о. с.ф. X(t) - неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна м.о. ординаты с.ф. при этом аргументе t.

- функция, зависящая от x и t .

Аналогично и дисперсия - неслучайная функция.

Степень зависимости с.в. для различных значений аргумента характеризуется автокорреляционной функцией.

Автокорреляционная функция с.ф. X(t) Kx(ti,tj) , которая при каждой паре значений ti, tj равна корреляционному моменту соответствующих ординат с.ф. (при i=j корреляционная функция (к.ф.) обращается в дисперсию с.ф.);

где - совместная плотность распределения двух с.в. (значений с.ф.), взятых при двух произвольных значениях t 1 и t 2 аргумента t . При t1=t2=t получаем дисперсию D(t).

Автокорреляционная функция - совокупность м.о. произведений отклонений двух ординат с.ф. , взятых при аргументах t1 и t 2, от ординат неслучайной функции м.о. , взятых при тех же аргументах.

Автокорреляционная функция характеризует степень изменчивости с.ф. при изменении аргумента. На рис. видно, что зависимость между значениями с.ф., соответствующим двум данным значениям аргумента t - слабее в первом случае.

Рис . Корреляционно связанные случайные функции

Если две с.ф. X(t) и Y(t) , образующие систему не являются независимыми, то тождественно не равна нулю их взаимная корреляционная функция:

где - совместная плотность распределения двух с.в. (значений двух с.ф. X(t) и Y(t) ), взятых при двух произвольных аргументах (t 1 - аргумент функции X(t) , t 2 - аргумент функции Y(t) ).

Если X(t) и Y(t) независимы, то K XY(t1,t2 )=0. Система из n с.ф. X 1(t), X2(t),...,Xn(t) характеризуется n м.о. , n автокорреляционными функциями и еще n (n -1)/2 корреляционными функциями .

Взаимная корреляционная функция (характеризует связь между двумя с.ф., т.е. стохастическую зависимость) двух с.ф. X(t) и Y(t) - неслучайная функция двух аргументов t i и t j, которая при каждой паре значений t i, t j равна корреляционному моменту соответствующих сечений с.ф. Она устанавливает связь между двумя значениями двух функций (значения - с.в.), при двух аргументах t 1 и t 2.

Особое значение имеют стационарные случайные функции , вероятностные характеристики которых не меняются при любом сдвиге аргумента. М.о. стационарной с.ф. постоянно (т.е. не является функцией), а корреляционная функция зависит лишь от разности значений аргументов t i и t j.

Это четная функция (симметрично OY ).

При большом значении интервала времени t=t2-t1 отклонение ординаты с.ф. от ее м.о. в момент времени t 2 становится практически независимым от значения этого отклонения в момент времени t 1. В этом случае функция KX(t), дающая значение корреляционного момента между X(t1) и X(t2), при ½t ½®¥ стремится к нулю.

Многие стационарные с.ф. обладают эргодическим свойством, которое заключается в том, что при неограниченно возрастающем интервале наблюдения среднее наблюденное значение стационарной с.ф. с вероятностью, равной 1, будет неограниченно приближаться к ее м.о. Наблюдение стационарной с.ф. при разных значениях t на достаточно большом интервале в одном опыте равноценно наблюдению ее значений при одном и том же значении t в ряде опытов.

Иногда требуется определить характеристики преобразованных с.ф. по характеристикам исходных с.ф. Так если

(70.5),

то т.е. м.о. интеграла (производной) от с.ф. равно интегралу (производной) от м.о. (y(t) - скорость изменения с.ф. X(t) , - скорость изменения м.о.).

При интегрировании или дифференцировании с.ф. получаем также с.ф. Если X(t) распределена нормально, то Z(t) и Y(t) распределены тоже нормально. Если X(t) – стационарная с.ф., то Z(t) уже не стационарная с.ф., т.к. зависит от t .

Примеры корреляционных функций.

1) (из (2) при b®0); 2) ;

3) ; 4) ;

5) (из (3) при b ®0); 6) (из (4) при b ®0).

На графиках a = 1, b = 5, s = 1.

a - характеризует быстроту убывания корреляционной связи между ординатами с.ф. при увеличении разности аргументов этих ординат t.

a/b - характеризует "степень нерегулярности процесса". При малом a/b ординаты процесса оказываются сильно коррелированными и реализация процесса похожа на синусоиду; при большом a/b (71.5).

Формула (71) для стационарной функции примет вид:

Корреляционная функция с.ф. и ее производной . Для дифференцируемого стационарного процесса ордината с.ф. и ее производной, взятая в тот же момент времени являются некоррелированными с.в. (а для нормального процесса и независимыми).

При умножении с.ф. на детерминированную получаем с.ф. Z(t)=a(t)X(t) , корреляционная функция которой равна

KZ(t1,t2)=a(t1)a(t2) KX(t1,t2) (72.5),

где a(t) - детерминированная функция.

Сумма двух с.ф. является тоже с.ф. Z(t)=X(t)+Y(t) и ее корреляционная функция при наличии корреляционной связи между X(t) и Y(t):

KZ(t1,t2)=KX(t1,t2)+ KY(t1,t2)+ 2KXY(t1,t2), (73.5)

где KXY(t1,t2) - см. (68.5) - взаимная корреляционная функция двух зависимых с.ф. X(t) и Y(t).

Если X(t) и Y(t) независимы, то KXY(t1,t2) =0. М.о. с.ф. Z(t): .