На этом уроке мы вспомним, что такое одночлен, стандартный вид одночлена, дадим определение подобным одночленам. Научимся отличать подобные одночлены от неподобных. Сформулируем правила сложения и вычитания подобных одночленов. Научимся решать типовые задачи с использованием сложения и вычитания.

Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Сложение и вычитание одночленов

Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Одночлен - это произведение чисел и степеней. Рассмотрим два примера:

Оба выражения являются одночленами и перед тем, как приступить к сложению или вычитанию, необходимо привести их к стандартному виду:

Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.

Выясним, можно ли складывать наши два одночлена - нет, нельзя, потому что можно складывать лишь те одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, то есть только подобные одночлены. То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены.

Рассмотрим примеры подобных одночленов:

Одночлены и являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть -

Еще один пример. Запишем одночлен и одночлен . Мы можем приписать второму одночлену абсолютно любой численный коэффициент и получим одночлен, подобный первому. Выберем, например, коэффициент и получим два подобных одночлена: и

Рассмотрим следующий пример. Первый одночлен , его коэффициент равен единице. Запишем теперь его буквенную часть и добавим к ней произвольный численный коэффициент, например, . Имеем два подобных одночлена: и .

Сделаем вывод : подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.

Теперь приведем примеры не подобных одночленов:

И ; данные одночлены имеют разную буквенную часть, переменная а в них представлена в разных степенях, поэтому одночлены не являются подобными

Еще один пример: одночлены и также не являются подобными, их буквенные части отличаются степенями переменной а.

Рассмотрим третью пару одночленов: и также не являются подобными.

Теперь разберем сложение подобных одночленов, для этого выполним пример:

Сложить два одночлена:

Очевидно, что данные одночлены подобны, так как легко заметить, что буквенные части их одинаковы, однако математически подобие одночленов можно доказать заменив буквенную часть другой буквой, и если для обоих одночленов эта буква окажется одинаковой, то одночлены подобны. Переходя к примеру, заменим в первом одночлене на ? Тогда и во втором одночлене ту же самую буквенную часть заменим на

Сложив два эти выражения, получим . Теперь вернемся к исходным переменным - заменим в ответе переменную t на , получаем окончательный ответ:

Теперь сформулируем правило сложения одночленов :

Для того чтобы получить сумму подобных одночленов необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть дописать такую же, как у исходных слагаемых.

Рассмотрим примеры:

2)

Комментарий к примеру №1: сначала мы записываем в результат сумму коэффициентов одночленов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений, то есть

Комментарий к примеру №2: аналогично первому примеру сначала записываем сумму коэффициентов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений - .

Перейдем к правилу вычитания одночленов . Рассмотри примеры:

Правило вычитания подобных одночленов аналогично правилу сложения: буквенную часть переписываем без изменений, а коэффициенты вычесть, при чем вычесть в правильном порядке. Для нашего примера:

Сделаем вывод : складывать и вычитать можно любые, но только подобные одночлены, для этого нужно складывать или вычитать их коэффициенты, буквенную часть переписывая в исходном виде. Не подобные одночлены ни складывать, ни вычитать нельзя.

Теперь, зная алгоритм сложения и вычитания подобных одночленов, мы можем решать некоторые типовые задачи.

Задачи на упрощение:

Упростить выражение:

Первый одночлен записан в стандартном виде, его больше упростить нельзя, второй и третий не в стандартном виде, значит, первым действием при упрощении выражений с одночленами выполняем приведение к стандартному виду одночленов, которые можно к нему привести.

Итак, приведем к стандартному виду вначале второй, а потом и третий одночлены:

Перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований:

Мы видим одинаковую буквенную часть у всех трех одночленов, а, значит, они подобны, то есть мы имеем право складывать их и вычитать. Согласно правилу, мы выполним необходимые действия с коэффициентами, а буквенную часть перепишем без изменений:

Существует обратная задача . Задан одночлен . Представить одночлен в виде суммы одночленов.

У всех одночленов, в виде суммы которых мы представим заданный, будет одинаковая буквенная часть, одинаковая также и с заданным одночленом - . Представим наш одночлен, например, в виде суммы двух слагаемых. Для этого представим коэффициент как сумму.

Слайд 2

Урок – путешествиепо вершинам знаний

  • Слайд 3

    Слайд 4

    1 этап: «Повторение - мать учения» Расшифруй слово: АЛГЕБРА от арабского слова “Аль” - джебр” (в переводе означает - восстановление.)

    Слайд 5

    Слайд 6

    1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. 2. Одночленами считают так же все числа, любые переменные, степени переменных. 3. Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. 4. Алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведенных в степени с натуральным показателем, называют одночленом

    Слайд 7

    5. Сумма показателей степеней всех букв входящих в одночлен называемый степенью одночлена. 6. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами. 7. Два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, называют подобными одночленами. 8. В результате сложения одночленов получается одночлен.

    Слайд 8

    9. Одночлен, в котором перемножены все числовые множители и их произведение поставлено на первое место, перемножены все имеющиеся степени с одинаковым буквенным основанием, перемножены все степени с другим буквенным основанием называется одночленом стандартного вида. 10. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак “+”, скобки надо опустить, сохранив знак каждого члена, который был заключен в скобки. 11. Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак “-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, меняют на противоположные.

    Слайд 9

    Слайд 10

    Найди ошибку:

    Слайд 11

    Из записанных одночленов выбрать подобные и найти их сумму:

    Слайд 12

    А Д У Г С И

    Слайд 13

    Первый этап - составление математической модели. (СММ) Пусть весь путь х км, тогда в первый день прошли Во второй день прошли

    Слайд 14

    Так как на третий день осталось 25 км, то получим математическую модель: Второй этап - работа с составленной моделью. РММ

    Слайд 15

    2. РММ 3 этап: Ответ на вопрос задачи: (ОВЗ) За х мы приняли длину пути, значит она равна 55 км. Ответ: длина пути 55 км.

    Слайд 16

    А З Д У Г С И

    Слайд 17

    «Книга – книгой, а мозгами двигай» № 292 № 293

    Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.

    Подобные одночлены

    Подобные одночлены - одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:

    5ab 2 и -7ab 2 - подобные одночлены

    5a 2 b и 5ab - не подобные одночлены

    Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить, поэтому, прежде чем приступать к определению подобны ли данные одночлены или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду . Например, возьмём два одночлена:

    5abb и -7b 2 a

    Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить являются ли они подобными. Чтобы это узнать приведём одночлены к стандартному виду:

    5ab 2 и -7ab 2

    Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.

    Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными . Например:

    5a 2 bc и -5a 2 bc - противоположные одночлены.

    Приведение подобных одночленов - это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых .

    Сложение одночленов

    Чтобы сложить одночлены надо:

    1. Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим
    2. Привести подобные слагаемые, для этого нужно:

    Пример 1. Сложить одночлены 12ab , -4a 2 b и -5ab .

    Решение: составим сумму одночленов:

    12ab + (-4a 2 b ) + (-5ab )

    12ab - 4a 2 b - 5ab

    Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:

    12ab - 4a 2 b - 5ab = (12 + (-5))ab - 4a 2 b = 7ab - 4a 2 b

    Пример 2. Сложить одночлены 5a 2 bc и -5a 2 bc .

    Решение: составим сумму одночленов:

    5a 2 bc + (-5a 2 bc )

    Раскроем скобки:

    5a 2 bc - 5a 2 bc

    Эти два одночлена являются противоположными, то есть отличаются только знаком. Значит если мы сложим их численные множители, то получим нуль:

    5a 2 bc - 5a 2 bc = (5 - 5)a 2 bc = 0a 2 bc = 0

    Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль .

    Общее правило сложения одночленов:

    Чтобы сложить несколько одночленов следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки, и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).

    Вычитание одночленов

    Чтобы произвести вычитание одночленов надо:

    1. Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком - (минус)
    2. Привести все одночлены к стандартному виду
    3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении
    4. Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
      1. сложить их численные множители
      2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений

    Пример. Найти разность одночленов 8ab 2 , -5a 2 b и -ab 2 .

    Решение: составим разность одночленов:

    8ab 2 - (-5a 2 b ) - (-ab 2)

    Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите .

    8ab 2 + 5a 2 b + ab 2

    Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:

    8ab 2 + 5a 2 b + ab 2 = (8 + 1)ab 2 + 5a 2 b = 9ab 2 + 5a 2 b

    Общее правило вычитания одночленов:

    Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.

    § 1 Подобные одночлены

    Надо отметить, что все арифметические операции осуществляют только с одночленами стандартного вида. Это значит, что прежде чем выполнять какие-либо действия, надо обязательно привести одночлен к стандартному виду. Из практики мы знаем, что складывать и вычитать можно только одинаковые величины. Фактически мы ведём подсчёт количества той или иной величины или предметов. А какие одночлены можно считать одинаковыми?

    В математике существует термин подобные одночлены.

    Дадим определение:

    Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными.

    Например, одночлены 2аb2 и -5аb2 будут подобными, т.к. у них одинаковая буквенная часть аb2. А многочлены 4ас и 4ас2 не будут подобны, т. к. имеют не одинаковую буквенную часть (множитель с содержится в разных степенях). И ещё раз отметим, что определить одинаковая ли буквенная часть у одночленов можно только после того, как они будут записаны в стандартном виде.

    § 2 Сложение и вычитание одночленов

    Теперь давайте рассмотрим сумму одночленов 5k2у и 2k2у. Применим распределительное свойство умножения и вынесем за скобку общий множитель k2у. Получим:

    5k2у + 2k2у = k2у(5 + 2) = 7k2у.

    Можно заметить, что складывать подобные одночлены легко. Для этого достаточно сложить их коэффициенты и помножить полученное число на общую буквенную часть.

    Выполним здание:

    Найти сумму одночленов 2ааbk + 0,2а∙3аkb. Прежде всего, нам надо привести каждый из одночленов к стандартному виду.

    2а2bk + 0,6а2bk

    Теперь мы видим, что перед нами подобные одночлены, значит можно воспользоваться ранее выведенным правилом. Складываем коэффициенты 2 и 0,6 и полученное число 2,6 умножаем на общую буквенную часть а2bk. В итоге ответ: 2,6а2bk.

    Аналогичны действия и при вычитании одночленов. Например:

    7bс - 9bс = (7 - 9)bс = - 2bс

    Здесь мы вычли коэффициенты и помножили получившееся число -2 на общую буквенную часть bс.

    Что касается неподобных одночленов, то их складывать и вычитать нельзя.

    Список использованной литературы:

    1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
    2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
    3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
    4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
    5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010