Вектором называется упорядоченная пара точек. Первая точка называется началом вектора, вторая - концом вектора. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю. Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым. Ненулевой вектор можно определить также как направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая - второй (концом вектора). Направление нулевого вектора, естественно, не определено.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается и изображается стрелкой, обращенной острием к концу вектора (рис.1.1,а). Начало вектора называют также его точкой приложения. Говорят, что вектор \overrightarrow{AB} приложен к точке A . Длина вектора \overrightarrow{AB} или \vec{a} равна длине отрезка AB или a и обозначается \vline\,\overrightarrow{AB}\,\vline или |\vec{a}| . Имея в виду это обозначение, длину вектора называют также модулем, абсолютной величиной. Нулевой вектор, например \overrightarrow{CC} , обозначается символом \vec{o} и изображается одной точкой (точка C на рис.1.1,а). Вектор, длина которого равна единице или принята за единицу, называется единичным вектором.

Ненулевой вектор АВ кроме направленного отрезка определяет также содержащие его луч AB (с началом в точке A ) и прямую AB (рис.1.1,а).

Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они принадлежат либо одной прямой, либо - двум параллельным прямым, в противном случае они называются неколлинеарными. Коллинеарность векторов обозначается знаком \parallel . Поскольку направление нулевого вектора не определено, он считается коллинеарным любому вектору. Каждый вектор коллинеарен самому себе.

Два ненулевых коллинеарных вектора называются одинаково направленными (сонаправленными), если они принадлежат параллельным прямым и их концы лежат в одной полуплоскости от прямой, проходящей через их начала (рис.1.2,а); либо, если векторы принадлежат одной прямой, и луч, определяемый одним вектором, целиком принадлежит лучу, определяемому другим вектором (рис. 1.2,6). В противном случае коллинеарные векторы называются противоположно направленными (рис.1.2,в,г). Одинаково направленные и противоположно направленные векторы обозначаются парами стрелок \uparrow\uparrow и \uparrow\downarrow соответственно. Понятия коллинеарных, одинаково направленных векторов распространяются на любое число векторов.

Компланарные векторы

Три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях (рис.1.3,а), в противном случае они называются некомпланарными (рис. 1.3,6). Так как направление нулевого вектора не определено, он считается компланарным с любыми двумя векторами. Понятие компланарных векторов распространяется на любое число векторов.

Равные векторы

Два вектора называются равными, если они:

а) коллинеарны, одинаково направлены;

б) имеют равные длины.

Все нулевые векторы считаются равными друг другу.

Это определение равенства векторов характеризует так называемые свободные векторы. Данный свободный вектор можно переносить, не меняя его направления и длины, в любую точку пространства (откладывать от любой точки), при этом будем получать векторы, равные данному. Таким образом, свободный вектор определяет целый класс равных ему векторов, отличающихся только точкой приложения. Далее будут рассматриваться, как правило, свободные векторы, при этом слово "свободные" будет опускаться.

Замечания 1.1.

1. Определение равенства векторов можно сформулировать, не используя понятия длины вектора. Два вектора \overrightarrow{AB} и , не лежащие на одной прямой, называются равными, если четырехугольник ABCD является параллелограммом (рис.1.4,а). Векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} , принадлежащие одной прямой, считаются равными, если существует равный им вектор \overrightarrow{EF} , не принадлежащий этой прямой (рис. 1.4,6). Это определение эквивалентно следующему: два вектора \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} называются равными, если середины отрезков AD и AD совпадают (рис. 1.4,в).

2. Отношение равенства векторов является отношением эквивалентности. В самом деле, для отношения равенства = ( \vec{a}=\vec{b} - "вектор \vec{a} равен вектору \vec{b} "), определенного на множестве упорядоченных пар \langle\vec{a},\vec{b}\rangle векторов, выполняются следующие условия:

а) каждый вектор равен самому себе (рефлексивность);

б) если вектор \vec{a} равен вектору \vec{b} , то вектор \vec{b} равен вектору \vec{a} (симметричность);

в) если вектор \vec{a} равен вектору \vec{b} и вектор \vec{b} равен вектору \vec{c} , то вектор \vec{a} равен вектору \vec{c} (транзитивность).

Это означает, что множество векторов разбивается на непересекающиеся классы (см. разд.В.З), т.е. с каждым вектором связывается целый класс равных ему векторов, отличающихся только точками приложения. Поэтому говорят , что свободный вектор определяет класс равных ему векторов.

3. Для любой точки A и любого вектора \vec{a} существует единственная точка B , для которой . В самом деле, если вектор \vec{a} ненулевой, то через точку A проходит единственная прямая, параллельная вектору a (рис.1.5,а), либо его содержащая (рис. 1.5,б). На этой прямой существуют две точки, удаленные от точки A на расстояние |\vec{a}|>0 . Из этих двух точек выберем такую точку B , для которой векторы \overrightarrow{AB} и \vec{a} оказываются одинаково направленными. По построению получаем \overrightarrow{AB}=\vec{a} . Если вектор \vec{a} нулевой, то искомая точка B совпадает с данной точкой A .

Таким образом, любой вектор \vec{a} ставит в соответствие каждой точке A единственную точку B такую, что \overrightarrow{AB}=\vec{a} . Это соответствие называют параллельным переносом. Поэтому свободный вектор можно отождествить с параллельным переносом.

4. Построение, рассмотренное в пункте 3, называется откладыванием вектора \vec{a} от точки A или приложением вектора \vec{a} к точке A .


Используя это построение, можно дать эквивалентные определения коллинеарности и компланарности. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если после приложения их к одной точке они лежат на одной прямой. Три ненулевых вектора называются компланарными, если после приложения их к одной точке они лежат в одной плоскости.

5. Кроме свободных векторов в приложениях векторной алгебры используются скользящие векторы, связанные (приложенные) векторы и др., которые отличаются от свободных векторов определением равенства. Например, скользящие векторы называются равными, если они лежат на одной прямой, одинаково направлены и имеют равные длины. Другими словами, в отличие от свободного вектора, скользящий вектор можно переносить, не меняя направления и длины, только вдоль содержащей этот вектор прямой. Например, в механике сила, действующая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, а угловая скорость - свободным вектором. Сила, действующая на деформируемое тело, является примером так называемого приложенного вектора. Изменение точки приложения силы приведет к изменению ее воздействия на тело.

Пример 1.1. Дан треугольник ABC (рис. 1.6), точки L,M,N - середины его сторон. Для векторов, изображенных на рис. 1.6, указать коллинеарные, одинаково направленные, противоположно направленные, равные.

Решение. По теореме о средней линии треугольника заключаем, что ML \parallel AB,~LN \parallel AC . Поэтому векторы \overrightarrow{AM},\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NL} - коллинеарные (так как лежат на одной или параллельных прямых), одинаково направленные и имеют равные длины. Следовательно, это равные векторы: \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NL} . Аналогично, находим

\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ML},\quad \overrightarrow{AN} \uparrow\downarrow \overrightarrow{BN},\quad \overrightarrow{BN} \uparrow\downarrow \overrightarrow{ML},\quad \overrightarrow{CL} \uparrow\downarrow \overrightarrow{BL}\,.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Введение

С уверенностью можно сказать, что мало кто из людей задумывается о том, что векторы окружают нас повсюду и помогают нам в повседневной жизни. Рассмотрим ситуацию: парень назначил девушке свидание в двухстах метрах от своего дома. Найдут ли они друг друга? Конечно, нет, так как юноша забыл указать главное: направление, то есть по-научному – вектор. Далее, в процессе работы над данным проектом, я приведу ещё множество не менее интересных примеров векторов.

Вообще, я считаю, что математика – это интереснейшая наука, в познании которой нет границ. Я выбрала тему о векторах не случайно, меня очень заинтересовало то, что понятие «вектор» выходит далеко за рамки одной науки, а именно математики, и окружает нас практически везде. Таким образом, каждый человек должен знать, что такое вектор, поэтому, я думаю, что эта тема весьма актуальна. В психологии, биологии, экономике и многих других науках употребляют понятие «вектор». Подробнее об этом я расскажу позже.

Целями данного проекта являются приобретение навыков работы с векторами, умение видеть необычное в обычном, выработка внимательного отношения к окружающему миру.

История возникновения понятия вектор

Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками. В соответствии с требованиями новой программы по математике и физике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Векторы в математике

Вектором называется направленный отрезок, который имеет начало и конец.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В принято обозначать как АВ. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда - чёрточкой) над ними, например .

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector, несущий). Действительно, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор АВ естественно определяет перенос, при котором точка А перейдет в точку В, также и обратно, параллельный перенос, при котором А переходит в В, определяет собой единственный направленный отрезок АВ.

Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ, её обычно обозначают АВ. Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону, противоположно направленными, если коллинеарны и направлены в разные стороны.

Операции над векторами

Модуль вектора

Модулем вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ. Обозначается, как АВ. Через координаты вычисляется, как:

Сложение векторов

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

){\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}

Для геометрического построения вектора суммы {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}}c = используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов{\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :

Правило многоугольника

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же {\displaystyle n} векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом {\displaystyle n}- го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Вычитание векторов

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

‚ {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})}

Для получения вектора разности {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} начала векторов соединяются и началом вектора {\displaystyle {\vec {c}}} будет конец {\displaystyle {\vec {b}}}, а концом - конец {\displaystyle {\vec {a}}}. Если записать, используя точки векторов, то AC-AB=BC{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}}.

Умножение вектора на число

Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha 0}, даёт сонаправленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha , даёт противоположно направленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:

{\displaystyle \alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})}

Скалярное произведение векторов Скалярное

Скалярным произведением называют число, которое получается при умножении вектора на вектор. Находится по формуле:

Скалярное произведение можно найти ещё через длину векторов и угол между ними. Применение векторов в смежных науках Векторы в физике Векторы - мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Векторы в литературе Вспомним басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех сил приложенных к возу сил равна нулю. А сила, как известно, векторная величина. Векторы в химии

Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектором выражают действие или явление, имеющее четкую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора – координатами его начала и конца.

Однако утверждение, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Тем не менее основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов».

Все прямые химических реакций проходят через начало координат. Любую прямую в пространстве нетрудно выразить векторами, но поскольку прямая химической реакции проходит через начало системы координат, то можно принять, что вектор прямой химической реакции находится на самой прямой и называется радиус-вектором. Начало этого вектора совпадает с началом системы координат. Таким образом, можно сделать вывод: любая химическая реакция характеризуется положением ее вектора в пространстве. Векторы в биологии

Вектор (в генетике) - молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

Векторы в экономике

Одним из разделов высшей математики является линейная алгебра. Ее элементы широко применяются при решении разнообразных задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора.

Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.

Векторы в психологии

На сегодняшний день имеется огромное количество информационных источников для самопознания, направлений психологии и саморазвития. И не трудно заметить, что все больше обретает популярность такое необычное направление, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов.

Векторы в повседневной жизни

Я обратила внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются мне каждый день. Так, например, во время прогулки в парке, я заметила, что ель, оказывается, можно рассматривать как пример вектора в пространстве: нижняя её часть – начало вектора, а верхушка дерева является концом вектора. А вывески с изображением вектора при посещении больших магазинов помогают нам быстро найти тот или иной отдел и сэкономить время.

Векторы в знаках дорожного движения

Каждый день, выходя из дома, мы становимся участниками дорожного движения в роли пешехода либо в роли водителя. В наше время практически каждая семья имеет машину, что, разумеется, не может не отразиться на безопасности всех участников дорожного движения. И, чтобы избежать казусов на дороге, стоит соблюдать все правила дорожного движения. Но не стоит забывать того, что в жизни всё взаимосвязано и, даже в простейших предписывающих знаках дорожного движения, мы видим указательные стрелки движения, в математике называемые – векторами. Эти стрелки (векторы) указывают нам направления движения, стороны движения, стороны объезда, и ещё многое другое. Всю эту информацию можно прочитать на знаках дорожного движения на обочинах дорог.

Заключение

Базовое понятие «вектор», рассмотренное нами ещё на уроках математики в школе, является основой для изучения в разделах общей химии, общей биологии, физики и других наук. Я наблюдаю необходимость векторов в жизни, которые помогают найти нужный объект, сэкономить время, они выполняют предписывающую функцию в знаках дорожного движения.

Выводы

    Каждый человек постоянно сталкивается с векторами в повседневной жизни.

    Векторы необходимы нам для изучения не только математики, но и других наук.

    Каждый должен знать, что такое вектор.

Источники

    Башмаков М.А. Что такое вектор?-2-е изд., стер.- М.: Квант, 1976.-221с.

    Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.-3-е изд., стер. - М.: Наука, 1978.-186с.

    Гусятников П.Б. Векторная алгебра в примерах и задачах.-2-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 1985.-302с.

    Зайцев В.В. Элементарная математика. Повторительный курс.-3-е изд., стер.- М.: Наука,1976.-156с.

    Коксетер Г.С. Новые встречи с геометрией.-2-е изд., стер. - М.: Наука,1978.-324с.

    Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- 3-е изд., стер. - М.: Квант,1968.-235с.

Чтение графиков реальных зависимостей


  1. Найдите разность между наибольшим значением температуры и наименьшим. Ответ дайте в градусах Цельсия.
  2. По рисунку задачи 1 найдите разность между наибольшим значением температуры и наименьшим.
  3. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия.
    Найдите наибольшее значение температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия.
  4. По рисунку задачи 3 определите, сколько часов температура превышала 2 o C.
  5. По рисунку задачи 3 определите, сколько часов в первой половине дня температура не превышала 2 o C.
  6. Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета.
    На оси абсцисс откладывается скорость (в км/ч), на оси ординат - сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, при какой скорости (в км/ч) подъемная сила достигает 1 тонны силы.
  7. В некоторый момент подъемная сила равнялась одной тонне силы. Определите по рисунку задачи 6, на сколько километров в час надо увеличить скорость, чтобы подъемная сила увеличилась до 4 тонн сил.
  8. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числе его оборотов в минуту.
    На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат - крутящий момент в Н м. Какое число оборотов в минуту должен совершать двигатель, чтобы крутящий момент был не менее 20 Н м?
  9. По графику задачи 8 определите, на сколько Н м увеличился крутящий момент, если число оборотов двигателя возросло с 1000 до 2500?
  10. На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них.
    Сколько всего тысяч телезрителей проголосовало за первые 50 минут дебатов?
  11. На диаграмме показано количество SMS, присланных слушателями за каждый час четырехчасового эфира программы по заявкам на радио.
    Определите, на сколько больше сообщений было прислано за первые два часа программы по сравнению с последними двумя часами этой программы.

  13. Андрей и Иван соревновались в 50-метровом бассейне на дистанции 100 м. Графики их заплывов показаны на рисунке.
    По горизонтальной оси отложено время, а по вертикали - расстояние пловца от старта. Кто выиграл соревнование? В ответ запишите, на сколько секунд он обогнал соперника.

Дорогие друзья! Для вас очередные три задачи на чтение графиков и диаграмм. Если интересно, посмотрите задачи про . Тип заданий этой категории является одним из самых простых. Рассмотрим задания:

26868. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.


Сразу обратите внимание, что наибольшую температуру необходимо определить на промежутке от 00:00 часов 22 января до 00:00 часов 23 января.


Наибольшая температура будет –10 градусов Цельсия (лежит во временном интервале от 12:00 до 18:00 часов).

Ответ: –10

26869. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 27 апреля. Ответ дайте в градусах Цельсия.


Наименьшую температуру необходимо определить на промежутке от 00:00 часов 27 апреля до 00:00 часов 28 апреля:


По графику видно, что наименьшая температура будет –7 0 С (лежит во временном интервале от 00:00 до 6:00 часов).

Ответ: –7

26870. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.


Обратите внимание, что разность температур необходимо определить для даты 15 июля:


Минимальная температура будет 8С 0 , максимальная 21С 0 .

Разность составляет 13.

Ответ: 13

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Родительские собрания всё больше напоминают моления сектантов: все внимательно слушают классного руководителя, потом отдают ему деньги и в задумчивости расходятся в сумерках…

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

1. Вычислите значение выражения Ответ запишите десятичной дробью. Решение: 2. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Найдите наибольшее значение температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия. Ответ: 0,23125 Ответ: Первоначально футболка стоила 320 рублей. На распродаже её цена снизилась на 15%. Сколько рублей стала стоить футболка после скидки? Решение: Ответ: На координатной прямой отмечено число а. Из следующих неравенств выберите верное: Решение: Ответ: 4


5. Укажите наибольшее из следующих чисел: Решение: Ответ: 3 Наибольшее из чисел – наибольшее подкоренное число 6. Проектор полностью освещает экран А высотой 70 см, расположенный на расстоянии 170 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран В высотой 210 см, чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными?. КСТ ~ МСР: Решение: Ответ: Решите уравнение Решение: Ответ: В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 66 0, АВ = ВС. Найдите угол А треугольника АВС. Ответ дайте в градусах. А В С 66 0 Решение: В равнобедренном АВС: А= С, По свойству внешнего угла треугольника: А + С = 66 0 А = 33 0 Ответ: 33 С М К Р Т х


9. Сократите дробь. Решение: Ответ: 4у 10. На диаграмме показано распределение земель Приволжского Федерального округа по категориям. Определите по диаграмме, в каких пределах находится доля земель сельскохозяйственного назначения. 25% Решение: Проведем два перпендикулярных диаметра. Круг разделился на 4 равных сектора, на каждый из которых приходится по 25% Сектор земель с/хоз назначения лежит в пределах 50-75% Ответ: Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, не меньшее, чем 3? Решение: Бросок кубика, выпадение очков: Все возможные исходы – 6 Благоприятных исходов (число очков, не меньше, чем 3) – 4 (это 3, 4, 5, 6) Ответ: 2 / 3


12. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Решение: Можно воспользоваться следующим способом: 1)А) парабола, ей соответствует формула 4) 2)Б) гипербола, ей соответствует формула 2) 3)В) прямая пропорциональность, ей могут соответствовать две формулы 1) или 3) Выберем точку графика, например: (1;2), она удовлетворяет формуле 3) Ответ: Геометрическая (а n) задана формулой а n = 3. 2 n. Какое из следующих чисел не является членом этой прогрессии? 1) 24 2) 72 3) 192 4) 384 1)Самый простой, но длительный способ – составить последовательность, т.е. вместо n подставлять номера 1,2,3,4,… а 1 =3. 2=6, а 2 =3. 4=12, а 3 =3. 8=24, и т.д. 2) Составить уравнения относительно переменной n, если получится корень натуральным числом, то а n – член прогрессии. Ответ: 2 Решение:


14. В треугольнике АВС проведена высота СН. Известно, что АВ = 3СН, СН = 3. Найдите площадь треугольника. Решение: АВ = 9, S=0, = 13,5 Ответ: 13,5 15. Укажите номера верных утверждений. 1) Через любые две различные точки плоскости можно провести не более одной прямой. 2) Через любые две различные точки плоскости можно провести не менее одной прямой. 3) Если угол равен 54 0, то вертикальный с ним угол равен) Любые две различные прямые проходят через одну общую точку. 5) Через любые три различные точки плоскости можно провести прямую. 1)верно, больше одной нельзя провести прямой. 2)верно, меньше одной провести нельзя 3)неверно, т.к. вертикальные углы равны 4)Неверно, т.к. две прямые могут быть параллельными, и не иметь общих точек. 5)Неверно, т.к. через три точки не всегда проходит прямая. Ответ: 12 АВ С Н


16. В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых -8х - 4у = -1 и 4х + 8у = 8? 1) в I четверти 2) во II четверти 3) в III четверти 4) в IV четверти 1 способ: Построить графики функций: 1)-8х - 4у = -1 2) 4х + 8у =8 у = -2х + 0,25 у = -0,5х способ: X0 2 четверть 17. Из формулы длины окружности C = 2 r выразите радиус r. Ответ: 2 Решение: Ответ: r = C / Решите неравенство. 0,5-6 Ответ: (-; -6) ; (0,5; +) 2 r = C, r = C / 2


19. Решите уравнение х 3 - 5х 2 -4х + 20 =0. Разложим на множители левую часть методом группировки: Ответ: -2; 2; 5 Область определения уравнения: x R 20. На рисунке ВЕ = CD, АЕ = AD. Докажите, что BD = CE. Дано: ВЕ = CD, AE = AD Доказать: BD = CE Доказательство: 1)Т.к. ВЕ = CD, AE = AD, то ВЕ + АЕ = CD + AD, AB = AC 2) DAB = EAC (по двум сторонам и углу между ними): АD = AE (по условию) АВ = АС (по 1) действию) А – общий Значит, BD = CE (как соответствующие стороны равных треугольников) ч.т.д.


S (км) V(км/ч)t (ч) Против течению 60х - 2 По течения 60х Моторная лодка прошла против течения реки 60 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 45 минут меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Зная, что на обратный путь лодка затратила на 45 мин = 45 / 60 ч = 3 / 4, составляем уравнение: ОДЗ: (х-2)(х+2) 0 Ответ: 18 км/ч 22. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. Прямая у = m параллельна оси Ох Очевидно, что одну точку пересечения данного графика с прямой будет При m 9 / 4 Ответ: 1; 2 9/49/4 Ответ: m 9 / 4 или (- ;0) U (2,25;+)


23. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне СD пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия трапеции равна 21, боковые стороны 13 и 15. A B C D G N Решение: 1) AMB = MBC (как накрест лежащие при AD BC и секущей BM) Тогда ABM – равнобедренный и AB = AM AF – биссектриса, медиана, т.е. BF=FM 2) Аналогично получаем, что СG = GN 3) FG – ср.линия трапеции MNBC, значит FG BC AD Проведем через отрезок FG прямую до пересечения С боковыми сторонами трапеции ABCD. По т.Фалеса, если KF AM b BF = FM, то BK = AK, Аналогично CP = DP Значит, КР = 21 – средняя линия трапеции ABCD КF – ср. линия АВМ, КF = 13: 2 = 6,5 GP – ср. линия CDN, PG = 15: 2 = 7,5 FG = KP – KF – PG = 21 – 6,5 – 7,5 = 7 Ответ: 7 F M К Р