И на всякий случай напоминаем, что ты можешь у нас на сайте. Прямо сейчас ... Вдруг ты не знаешь.
Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).
ОДЗ
Помнишь, что такое ОДЗ?
Например, в уравнении присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ - это решения неравенства.
Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.
Взять, например, такую задачу:
При возведении в квадрат получаем, то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?
Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например:
Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше. Значит, решением задачи будет ОДЗ:
Неравенства вида.
Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.
Как решить такое неравенство?
Для начала вспомним, что функция - монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.
Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?
Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:
А как будет выглядеть это правило, если неравенство нестрогое? Вот так:
Подумай сам, почему именно так.
Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат:
Теперь решаем по шаблону:
Теперь необходимо сравнить числа, и. Вспоминаем тему :
Тогда система превратится в:
Неравенства вида.
Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:
Корни степени больше
Если же корень в неравенстве не кваратный, важна четность его степени.
I. Корни четной степени.
Корни, и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему !):
Например:
II. Корни нечетной степени.
С нечетными степенями (, …) все намного проще!
Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему !)
Что это значит?
Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений - просто возводим все в нужную степень и решаем:
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Иррациональное неравенство - это неравенство, содержащее переменную под корнем
1. Неравенства вида.
2. Неравенства вида или.
3. Неравенства вида.
4. Неравенства вида.
5. Неравенства вида.
6. Корни четной степени.
Например:
7. Корни нечетной степени.
корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.
На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.
Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
В данном уроке мы рассмотрим решение иррациональных неравенств, приведем различные примеры.
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Иррациональные неравенства
При решении иррациональных неравенств довольно часто необходимо возводить обе части неравенства в некоторую степень, это довольно ответственная операция. Напомним особенности.
Обе части неравенства можно возвести в квадрат, если обе они неотрицательны, только тогда мы получаем из верного неравенства верное неравенство.
Обе части неравенства можно возвести куб в любом случае, если исходное неравенство было верным, то при возведении в куб мы получим верное неравенство.
Рассмотрим неравенство вида:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Функция может принимать любые значения, необходимо рассмотреть два случая.
В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) больше отрицательного выражения, значит, неравенство выполняется всегда.
Итак, имеем следующую схему решения:
В первой системе мы не защищаем отдельно подкоренное выражение, т. к. при выполнении второго неравенства системы подкоренное выражение автоматически должно быть положительно.
Пример 1 - решить неравенство:
Согласно схеме, переходим к эквивалентной совокупности двух систем неравенств:
Проиллюстрируем:
Рис. 1 - иллюстрация решения примера 1
Как мы видим, при избавлении от иррациональности, например, при возведении в квадрат, получаем совокупность систем. Иногда эту сложную конструкцию можно упростить. В полученной совокупности мы имеем право упростить первую систему и получить эквивалентную совокупность:
В качестве самостоятельного упражнения необходимо доказать эквивалентность данных совокупностей.
Рассмотрим неравенство вида:
Аналогично предыдущему неравенству, рассматриваем два случая:
В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) меньше отрицательного выражения, значит, неравенство противоречиво. Вторую систему рассматривать не нужно.
Имеем эквивалентную систему:
Иногда иррациональное неравенство можно решить графическим методом. Данный способ применим, когда соответствующие графики можно достаточно легко построить и найти их точки пересечения.
Пример 2 - решить неравенства графически:
а)
б)
Первое неравенство мы уже решали и знаем ответ.
Чтобы решить неравенства графически, нужно построить график функции, стоящей в левой части, и график функции, стоящей в правой части.
Рис. 2. Графики функций и
Для построения графика функции необходимо преобразовать параболу в параболу (зеркально отобразить относительно оси у), полученную кривую сместить на 7 единиц вправо. График подтверждает, что данная функция монотонно убывает на своей области определения.
График функции - это прямая, ее легко построить. Точка пересечения с осью у - (0;-1).
Первая функция монотонно убывает, вторая монотонно возрастает. Если уравнение имеет корень, то он единственный, по графику легко его угадать: .
Когда значение аргумента меньше корня, парабола находится выше прямой. Когда значение аргумента находится в пределах от трех до семи, прямая проходит выше параболы.
Имеем ответ:
Эффективным методом решения иррациональных неравенств является метод интервалов.
Пример 3 - решить неравенства методом интервалов:
а)
б)
согласно методу интервалов, необходимо временно отойти от неравенства. Для этого перенести в заданном неравенстве все в левую часть (получить справа ноль) и ввести функцию, равную левой части:
теперь необходимо изучить полученную функцию.
ОДЗ:
Данное уравнение мы уже решали графически, поэтому не останавливаемся на определении корня.
Теперь необходимо выделить интервалы знакопостоянства и определить знак функции на каждом интервале:
Рис. 3. Интервалы знакопостоянства к примеру 3
Напомним, что для определения знаков на интервале необходимо взять пробную точку и подставить ее в функцию, полученный знак функция будет сохранять на всем интервале.
Проверим значение в граничной точке:
Очевиден ответ:
Рассмотрим следующий тип неравенств:
Сначала запишем ОДЗ:
Корни существуют, они неотрицательны, обе части можем возвести в квадрат. Получаем:
Получили эквивалентную систему:
Полученную систему можно упростить. При выполнении второго и третьего неравенств первое истинно автоматически. Имеем::
Пример 4 - решить неравенство:
Действуем по схеме - получаем эквивалентную систему.
Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:
В первом случае корень меньше функции g (x ), во втором - больше. Если g (x ) - константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.
Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа - они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:
Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида
Равносильно системе неравенств:
Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:
- f (x ) ≤ g 2 (x ) - тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
- f (x ) ≥ 0 - это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
- g (x ) ≥ 0 - это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g (x ) ≥ 0 отсекает их.
Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x ) ≤ g 2 (x ) - и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.
Поскольку иррациональные неравенства - достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.
Примеры решения задач
Задача. Решите неравенство:
Перед нами классическое иррациональное неравенство : f (x ) = 2x + 3; g (x ) = 2 - константа. Имеем:
Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:
Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие .
Задача. Решите неравенство:
Применяем теорему:
Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:
2x
2 − 18x
+ 16 < (x
− 4) 2 ;
2x
2 − 18x
+ 16 < x
2 − 8x
+ 16:
x
2 − 10x
< 0;
x
(x
− 10) < 0;
x
∈ (0; 10).
Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен :
2x
2 − 18x
+ 16 ≥ 0;
x
2 − 9x
+ 8 ≥ 0;
(x
− 8)(x
− 1) ≥ 0;
x
∈ (−∞; 1]∪∪∪∪}