Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тема “Решение математических задач средствами EXCEL”, является значимой в курсе “Информатика и информационные технологии”, которая возникает на различных этапах изучения предмета. Например, вычисления алгебраических выражений, решения квадратных уравнений в различных средах, построение графиков функций и т.д.
На протяжении почти всего курса математики учащиеся изучают различные методы решения уравнений и систем уравнений. Когда школьники изучат методы решения систем уравнений на уроках алгебры, на уроках информатики целесообразно рассмотреть дополнительные, более эффективные, по времени, инструменты для выполнения таких заданий. Данная тема не является сложной для учащихся, но очень трудоемкая для учителя, необходимо делать много записей на доске, фактически учитель весь урок стоит спиной к учащимся. Для оптимизации и эффективности учебной деятельности учителя на уроке была создана презентация, которая может применяться на любом этапе прохождения темы фрагментарно или полностью учителями математики, а особенно полезна учителям информатики из-за ограниченного количества часов по предмету.
Данный урок можно отнести к интегрированным урокам, построенным на деятельной основе с применением проблемно-исследовательской технологии. Ценность урока заключается в том, что ученики решают стандартные математические задачи нестандартным способом – применяя современные компьютерные технологии. Этим достигается мотивационная цель – побуждение интереса, показ необходимости знаний по математике и информатики в реальной жизни. На уроке ученики покажут владение компьютером, умение работать с пакетом программ Microsoft Office, знания, умения и навыки, полученные на уроках математики. В результате будет достигнута образовательная цель урока: по математики обобщение знаний по темам: “Матрицы. Действия с матрицами. Решение систем линейных уравнений методом Крамера, Гаусса”, по информатике у учащихся формируется навык работы с табличными формулами, познакомятся с возможностями Excel для решения различных уравнений и систем уравнений.
11 класс, информатика.
Тема: “Применение табличного процессора MS Excel для решения систем линейных алгебраических уравнений”.
Тема рассчитана на два урока.
Тип урока: комбинированный урок, совершенствование знаний, умений и навыков.
Вид урока: интегрированный.
Цели урока:
обучающие:
- повторение и закрепление знаний учащихся математического аппарата по теме;
- отработать умение переходить от математической записи выражений к записи в среде электронных таблиц;
- продемонстрировать учащимся рациональность использования электронных таблиц для решения систем п линейных уравнений с п неизвестными;
Развитие внимания, памяти, представления, мышления, речи. Развитие интереса к предмету, навыка самостоятельной работы.
Развивающие и воспитательные:
- формирование умений анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии;
- развитие умения применять имеющиеся знания и умения в новой ситуации;
- развивать гибкость мышления, отыскивать наиболее краткий путь достижения цели развивать целенаправленность, рациональность, критичность мышления.
- умение устанавливать межпредметные связи.
- формирование способностей, позволяющих осуществлять быструю смену видов учебной деятельности.
Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая, коллективная.
Методы и приемы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемного изложения, наглядно-иллюстративный, практический, эвристическая беседа.
Оборудование: доска, компьютеры, мультимедийный проектор и экран, презентация, карточки с индивидуальным заданием, папка с электронным материалом для урока.
Средства обучения: презентация учителя MS PowerPoint “Решение математических задач средствами Excel”, ресурсы Интернет.
Компьютерное программное обеспечение: пакет программ Microsoft Office 2007.
Структура урока
| № | Название этапа | Приемы педагогической техники | Время (мин.) |
| 1 | Организационный момент. Постановка цели урока и проблемы исследования | Вступительное слово учителя. Рефлексия. Ознакомление с темой, постановка цели. | 2 |
| 2 | Актуализация опорных знаний | Фронтальная работа с классом. Работа с формулами в Excel. Относительные и абсолютные ссылки. Применение логических функций. Приложение 2. | 10 |
| 4 | Изучение нового материала | Формирование понятие
табличной формулы. Частично-поисковая работа. Презентация учителя. |
10 |
| 5 | Подготовка к осмысление и применениеизученного материала. Повторение, обобщение математических знаний, дополненных демонстрацией новых функций Excel. Тренировочная практическая работа. | Объяснительно -
иллюстративный, повторение и обобщение
необходимых знаний из математики с дополнениями
новых функций в Excel. Эвристическая беседа Презентация учителя. Задания для практической работы. (Выполняется вместе с учителем. Приложение 3) |
25 |
| 6 | Закрепление (тренировка, отработка умений). Практическая работа. | Беседа по вопросам из
презентация учителя. Практическая работа. Приложение 3. |
25 |
| 10 | Итог урока. Контроль. | Анализ работы на уроке. Проверка достижений поставленной цели урока: обобщение изученного материала, выполнение практической работы, активность учащихся на всех этапах урока. | 3 |
| 9 | Постановка домашнего задания. | Домашнее задание творческое. | 3 |
| 11 | Самооценка деятельности. | Рефлексия. | 2 |
| Резерв времени 10 минут на индивидуальную работу при выполнении практической работы | |||
Описание урока
1. Организационный момент.
- Учитель сообщает учащимся тему и цель урока. Учащиеся записывают тему урока Слайд Титульный лист.
- Рассказывает о том, как будет построен урок.
- Знакомит с задачами, которые должны быть решены в ходе урока.
2. Актуализация опорных знаний.
Учитель. Для успешного проведения занятия по теме нам необходимо будет вспомнить и повторить материал из уроков математики “Методы решения линейных систем уравнений” и из информатики “Работа с формулами в Excel. Логические формулы. Относительные и абсолютные ссылки”.
Откройте файл D://Уроки_11/Решение СЛАУ/Приложение 2. У учащихся файл без листа Решение.
Заполните все поля таблицы.
Фронтальная работа с учащимися по проверки знаний и умений работы с формулами и функциями в Excel. На экране демонстрируется пример таблицы,
в которой необходимо заполнить все поля. Учащиеся предлагают алгоритмы заполнения полей. В тетради выписывают формулу для заполнения столбца K (победители, призеры), далее сравнивают свое решение с решением, представленным на экране (лист Решение, Приложение 2).
3. Изучение нового материала.
Учитель
Какие методы решения линейных уравнений вы знаете? Если не просмотрели файл выложенный в домашнее задание предыдущего урока, то можете открыть файл D://Уроки_11/Решение СЛАУ/Приложение 1 .
Учащиеся
Метод последовательного исключения неизвестных, метод Крамера.
Учитель
Посмотрите описание метода Крамера, с какими элементами нужно уметь работать при применении этого метода?
Учащиеся
С определителями.
Учитель
Т.е. с матрицами, на экране демонстрируется пример матрицы. Откройте файл D://Уроки_11/Решение СЛАУ/Приложение 3, лист Пример и выполните задание.
Учащиеся открывают документ Приложение 3 (лист Пример 1).
Выполняются задания, представленные на экране.
Учитель
Для работы с матрицами в Excel существуют специальные формулы, формулы для работы с массивом или их ещё называют табличные формулы.
Презентация. Слайд 3, 4. Учащиеся записывают понятие табличной формулы и особенности её ввода.
4. Подготовка к осмысление и применение изученного материала. Практическая работа.
Эвристическая беседа.
1. Для решения, каких задач можно применять табличные формулы?
Ответ может быть предопределен заданием, которое они выполняли – действия с матрицами, если решением должна получиться тоже матрица.
2. Дайте понятие матрицы? Может ли сказать, что любая прямоугольная таблица, заполненная числовыми значениями, есть матрица?
Ответ утвердительный. Слайд 5
3. Какие виды матриц вы знаете, чем они отличаются друг от друга? (заполнение, размерность и т.д.)
После обсуждения представить Слайд 6.
4. Можно ли с матрицами производить какие-либо действия?
Учащиеся могу перечислить некоторые действия с матрицами, сложение, умножение на число и т.д. Слайд 7.
Учитель информирует учащихся, о широких возможностях табличного процессора Excel для работы с матрицами.
Ученики записывают тему пункта темы Слайд8.
Повторение, обобщение математических знаний, дополненных демонстрацией новых функций Excel.
Презентация Слайды 9-14.
Демонстрация каждого слайда предопределяется вопросами по теме слайда.
В тетрадь учащиеся записывают только функции Excel для работы с матрицами и одновременно выполняют тренировочные практические задания из Приложение 3 Листы: пример 2, пример 3, пример 4. Подробно остановиться на примере 5, Приложение 3, Слайд 14.
Учитель
Теперь непосредственно перейдем к решению СЛАУ и познакомимся с методом, который вы рассматривали на уроках математики, это матричный метод. Слайд 16. Как вы думаете почему вы не решали системы матричным методом?
Учащиеся
Сложность вычисления обратной матрицы
Учитель
Запишите в тетрадь алгоритм решения системы матричным способом.
Откройте новую книгу Excel и решим вместе систему представленную на экране. Слайды 18-21.
Учитель открывает файл – заготовку упражнения и вместе с учащимися решает упражнение.
Решение сопровождается подробным объяснением. Решение учащихся сравнивается с предложенным решением в презентации. Слайды 18-21.
Учитель
Рассмотрим теперь решение СЛАУ методом Крамера, этот метод вам знаком, но на уроках математики вы решали, в основном, системы из двух уравнений с двумя неизвестными, почему? Слайд 22.
Ученики
Нужно много времени для вычисления определителей.
Учитель
Возможности Excel решают эту проблему. Откройте новый лист в книге и вместе решим систему уравнений представленную на экране.
Свои решения учащиеся сравнивают с решением, представленным в презентации. Слайды 23-25.
5. Закрепление (эвристическая беседа, тренировка, отработка умений).
Обсуждение темы по вопросам. Презентация. Слайд 26.
Практическая работа по группам: группа (практики) Приложение 3 Листы пример 6, пример 7, группа (технологи) Лист пример 8 решить систему методом Гаусса (можно воспользоваться Интернет-ресурсами), группа (программисты) создать программу на языке программирования Паскаль или С# решение системы уравнений методом Крамера, можно для ограниченного количества строк и столбцов.
6. Итог урока.
Проверка практической работы, обсудить проблемы в выполнении с каждой группой, если были выполнены не все задания, то откорректировать домашнее задание. Выставление оценок за урок.
Домашнее задание. На выбор:
1. (Приложение 4) Выполнить один из вариантов из карточки, разобрать программы решения систем уравнений на языке Паскаль из теоретического материала (Приложение 1)
2. Выполнить один из вариантов из карточки. Создать отдельно программу для решения систем методом Гаусса или матричным методом, группе программистов доработать программу метод Крамера.
7. Заключение.
Опыт работы с интегрированными уроками показывает, что у учащихся повышается качество знаний, оно может и не выражаться в оценках, но расширяется кругозор, развиваются творческие способности, повышается интерес к предметам, и вообще интерес к обучению, формируется убеждение, что учащиеся могут изучить больше, чем дается по программе.
Предложенное занятие по содержанию и выполнению заданий, кажется, насыщенным и перегруженным теорией и практическими упражнениями, но применение презентации, заготовок файлов (приложение 3) помогает выполнить все запланированные действия. Такое занятие рекомендуется проводить в математических классах, когда учащиеся уже изучили методы решения СЛАУ. За неделю до изучения этой темы выложить в эл. дневник, для ознакомления, информационный материал по методам решения систем уравнений и описание создания программ для решения систем уравнений на языке программирования.
Литература
1. Воронина Т.П. Образование в эпоху новых информационных технологий / Т.П. Воронина.- М.: АМО, 2008. -147 с.
2. Глинская Е. А. Межпредметные связи в обучении / Е.А. Глинская, С.В. Титова. – 3-е изд. – Тула: Инфо, 2007. - 44 с.
3. Данилюк Д. Я. Учебный предмет как интегрированная система /Д.Я. Данилюк //Педагогика. - 2007. - № 4. - С. 24-28.
4. Иванова М.А. Межпредметные связи на уроках информатики / М.А. Иванова, И.Л. Карева // Информатика и образование. – 2005. - №5. – С. 17-20.
5. А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер "Информатика", Москва, ACADEMA, 2000 г.
6. С.А. Немнюгин, "Турбо ПАСКАЛЬ", Практикум, Питер, 2002 г.
Краткая теория из курса алгебры:
Пусть дана система линейных уравнений (1). Матричный способ решения систем линейных уравнений используется в тех случаях, когда число уравнений равно числу переменных.
Введем обозначения. Пусть А – матрица коэффициентов при переменных, B – вектор свободных членов, X – вектор значений переменных. Тогда X = A -1 × B , где А -1 – матрица, обратная А . Причем обратная матрица А -1 существует, если определитель матрицы А не равен 0. Произведение исходной матрицы А и обратной А -1 должно быть равно единичной матрице:
А -1 А=АА -1 =Е.
Задание : Решить систему линейных уравнений:
Технология работы:
Пусть на диапазоне А11:С13, задана исходная матрица А, составленная из коэффициентов системы. Сначала найдите определитель матрицы А. Для этого в ячейке F15 необходимо вызвать Мастер функций , В категории "Ссылки и массивы " найдите функцию МОПРЕД() , задайте ее аргумент A11:С13. Получили результат 344. Так как определитель исходной матрицы А не равен 0, т.е. существует обратная ей матрица, поэтому следующим этапом и будет нахождение обратной матрицы. Для этого выделите диапазон А15:С17, где будет размещаться обратная матрица. Вызвав Мастера функций , в категории "Ссылки и массивы " найдите функцию МОБР( ), задайте ее аргумент A11:С13 и нажмите Shift+Ctrl+Enter. Чтобы проверить правильность обратной матрицы, умножьте ее на исходную с помощью функции МУМНОЖ() . Вызовите эту функцию, предварительно выделив диапазон А19:А21. В качестве аргументов укажите исходную матрицу А, т.е. диапазон А11:С13 и обратную матрицу, т.е. диапазон А15:С17 и нажмите Shift+Ctrl+Enter. Получили единичную матрицу. Таким образом, обратная матрица найдена верно. Теперь для нахождения результата, выделите для него диапазон F18:F20. Вызовите функцию МУМНОЖ() , используя Мастера функций , укажите два массива-диапазона, которые будете перемножать − обратную матрицу и столбец свободных членов, т.е. А15:С17 и Е11:Е13 и нажмите Shift+Ctrl+Enter. Результат показан на рисунке 6.
Теперь можно произвести проверку правильности найденных решений х 1
, х 2
и х 3
. Для этого, выполните вычисление каждого уравнения, используя найденные значения х 1
, х 2
и х 3
. Например, в ячейке G11 подсчитайте значение 
, при этом результат должен быть равен 3. Введем следующую формулу =A11*$F$18+B11*$F$19+C11*$F$20 . Скопируйте эту формулу в две ячейки, расположенные ниже, т.е. в G12 и G13. Снова получите столбец свободных членов. Таким образом, решение системы линейных уравнений выполнено верно (рис.80).
Рисунок 80 - Решение системы линейных уравнений
Варианты индивидуальных заданий
Задание № 1. Средствами Microsoft Excel вычислить значение выражения:
Таблица 16 – Индивидуальные варианты лабораторной работы
Вычислить значения корней сформированной системы уравнений двумя методами: обратной матрицы и методом Крамера.
Введем данные значения в ячейки А2:С4 – матрица А и ячейки D2:D4 – матрица В.
Решение системы уравнений методом обратной матрицы
Найдем матрицу, обратную матрице А. Для этого в ячейку А9 введем формулу =МОБР(A2:C4). После этого выделим диапазон А9:С11, начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмем клавишу F2, а затем нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Формула вставится как формула массива. =МОБР(A2:C4).
Найдем произведение матриц A-1 * b. В ячейки F9:F11 введем формулу: =МУМНОЖ(A9:C11;D2:D4) как формулу массива. Получим в ячейках F9:F11
корни уравнения:
Решение системы уравнений методом Крамера
Решим систему методом Крамера, для этого найдем определитель матрицы.
Найдем определители матриц, полученных заменой одного столбца на столбец b.
В ячейку В16 введем формулу =МОПРЕД(D15:F17),
В ячейку В17 введем формулу =МОПРЕД(D19:F21).
В ячейку В18 введем формулу =МОПРЕД(D23:F25).
Найдем корни уравнения, для этого в ячейку В21 введем: =B16/$B$15, в ячейку В22 введем: = =B17/$B$15, в ячейку В23 введем: ==B18/$B$15.
Получим корни уравнения:
В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.
Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.
Решение уравнений методом подбора параметров Excel
Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.
Путь к команде: «Данные» - «Работа с данными» - «Анализ «что-если»» - «Подбор параметра».
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:
Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».
Как решить систему уравнений матричным методом в Excel
Дана система уравнений:
Получены корни уравнений.
Решение системы уравнений методом Крамера в Excel
Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:
Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.
Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.
Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).
Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D x / |A|).
Для расчета Х 1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х 2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:
Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel
Для примера возьмем простейшую систему уравнений:
3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9
Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.
Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.
Примеры решения уравнений методом итераций в Excel
Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:
Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:
Х n+1 = X n – F (X n) / M, n = 0, 1, 2, … .
M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:
f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.
Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.
В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).
В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.
Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:
Корень на заданном промежутке один.
Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.
Способ 1: матричный метод
Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:
14x1
+2x2
+8x4
=218
7x1
-3x2
+5x3
+12x4
=213
5x1
+x2
-2x3
+4x4
=83
6x1
+2x2
+x3
-3x4
=21
- Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1 . Обозначаем полученную таблицу, как вектор A .
- Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B .
- Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он МОБР
. Он имеет довольно простой синтаксис:
МОБР(массив)
Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.
Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию» , расположенную около строки формул.
- Выполняется запуск Мастера функций . Переходим в категорию «Математические» . В представившемся списке ищем наименование «МОБР» . После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK» .
- МОБР . Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – «Массив» . Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку «OK» , но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды Enter . Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке Enter , а произвести набор сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter . Выполняем эту операцию.
- Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.
- Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B
, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно»
в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ
. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
МУМНОЖ(Массив1;Массив2)
Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций , нажав значок «Вставить функцию» .
- В категории «Математические» , запустившегося Мастера функций , выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK» .
- Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ . В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2» , только на этот раз выделяем значения колонки B . После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter , а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1 , X2 , X3 и X4 . Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.
Способ 2: подбор параметров
Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение
Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x .
Способ 3: метод Крамера
Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1 :
14x1
+2x2
+8x4
=218
7x1
-3x2
+5x3
+12x4
=213
5x1
+x2
-2x3
+4x4
=83
6x1
+2x2
+x3
-3x4
=21
- Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно» .
- Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A , только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B . У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.
- Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД
. Синтаксис данного оператора следующий:
МОПРЕД(массив)
Таким образом, как и у функции МОБР , единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.
Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию» .
- Активируется окно Мастера функций . Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД» . После этого жмем на кнопку «OK» .
- Запускается окно аргументов функции МОПРЕД . Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив» . В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK» . Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740 , то есть, не является равным нулю, что нам подходит.
- Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.
- На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.
- Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148 , которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5 , 14 , 8 и 15 . Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1 , что подтверждает правильность решения системы уравнений.
Способ 4: метод Гаусса
Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:
14x1
+2x2
+8x3
=110
7x1
-3x2
+5x3
=32
5x1
+x2
-2x3
=17
- Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A , а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B . Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.
- Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:
B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)
Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.
После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter . К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.
- После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.
- Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать» , которая расположена на ленте во вкладке «Главная» .
- Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка» . В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения» .
- В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:
B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)
После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:
Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:
=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16
Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.
- Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:
=(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15
Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter .
- Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4 , 7 и 5 ) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1 , X2 и X3 в выражения.
Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.
