Решение интеграла лапласа. Локальная и интегральная теоремы лапласа

Теорема 2 (Муавра-Лапласа (локальная)). А в каждом из n независимых испытаниях равна р n испытаниях событие А наступит раз, приближенно равна (чем больше n , тем точнее) значению функции

,

где , . Таблица значений функции приведена в прил. 1.

Пример 6.5. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна . Какова вероятность того, что среди 300 грибов белых будет 75?

Решение. По условию задачи , . Находим . По таблице находим .

.

Ответ: .

Теорема 3 (Муавра-Лапласа (интегральная)). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов m находится между и , приближенно равна (чем больше n , тем точнее)

,

где р - вероятность появления успеха в каждом испытании, , , значения приведены в прил. 2.

Пример 6.6. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью . Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет в пределах от 564 до 600.

Решение. По условию По интегральной теореме Лапласа

Ответ:

Пример 6.7. Город ежедневно посещает 1000 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно быть для этого в его ресторане?

Решение. Пусть А = «турист пообедал у заинтересованного владельца». Наступление события А будем считать «успехом», , . Нас интересует такое наименьшее число k , что вероятность наступления не менее чем k «успехов» в последовательности из независимых испытаний с вероятностью успеха р = 0,5 приблизительно равна 1 – 0,99 = 0,01. Это как раз вероятность переполнения ресторана. Таким образом, нас интересует такое наименьшее число k , что . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа

Откуда следует, что

.

Используя таблицу для Ф (х ) (прил. 2), находим , значит . Следовательно, в ресторане должно быть 537 мест.

Ответ: 537 мест.

Из интегральной теоремы Лапласа можно получить формулу

.

Пример 6.8. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Таблица значений функции φ(x); для отрицательных значений x пользуются этой же таблицей (функция φ (x) четная: φ(-x) = φ(x)).

Пример №1 . В каждом из 700 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найдите вероятность того, что событие A происходит: а) ровно 270 раз; б) меньше чем 270 и больше чем 230 раз; в) больше чем 270 раз.
Решение. Так как количество опытов n = 700 довольно велико, то используем формулы Лапласа.
а) Задано: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Найдем P 700 (270). Используем локальную теорему Лапласа.
Находим:

Значение функции φ(x) найдем из таблицы:

б) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Найдем P 700 (230 < k < 270).
Используем интегральную теорему Лапласа (23), (24). Находим:

Значение функции Ф(x) найдем из таблицы :

в) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Найдем P 700 (k > 270).
Имеем:

Пример №2 . При установившемся технологическом процессе на ткацкой фабрике происходит 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Определите: а) вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити; б) наивероятнейшее число обрывов нити на 80 веретенах в течение часа.
Решение. Статистическая вероятность обрыва нити в течение часа равна p = 10/100 = 0,1 и, следовательно, q = 1 – 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Поскольку n велико, то используется локальная теорема Лапласа (23). Вычисляем:

Воспользуемся свойством φ(-x) = φ(x), находим φ(0,37) ≈ 0,3726, а затем вычисляем искомую вероятность:

Таким образом, вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити, приближенно равна 0,139.
Наивероятнейшее число k 0 наступлений события при повторных испытаниях определим по формуле (14). Находим: 7,1 < k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

Пример №3 . Вероятность того, что деталь первого сорта равна 0.4. Сделано 150 деталей. Найти вероятность того, что среди них 68 деталей первого сорта.

Пример №4 . Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна p .
Найти вероятность того, что событие состоится n раз, если проведения m испытаний.
Ответ представить с точностью до трех значащих цифр.
р=0.75, n=87, m=120

Локальная теорема Муавра-Лапласа { 1730 г. Муавр и Лаплас }

Если вероятность $p$ появлений события $A$ постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, то вероятность $P_n (k)$ - того, что событие $A$ появится $k$ раз в $n$ испытаниях, равна приближенно { чем больше $n$, тем точнее } значению функции $y=\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \cdot e^ { - { x^2 } / 2 } =\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi (x)$

при $x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $. Имеются таблицы, где помещены значения функции $\varphi (x)=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \cdot e^ { - { x^2 } / 2 } $

итак \begin{equation} \label { eq2 } P_n (k)\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi (x)\,\,где\,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \qquad (2) \end{equation}

функция $\varphi (x)=\varphi ({ -x })$ -четная.

Пример. Найти вероятность того, что событие $A$наступит ровно 80 раз при 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании $p=0,2$.

Решение. Если $p=0,2$ тогда $q=1-p=1-0,2=0,8$.

$P_ { 400 } ({ 80 })\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \varphi (x)\,\,где\,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $

$ \begin{array} { l } x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } =\frac { 80-400\cdot 0,2 } { \sqrt { 400\cdot 0,2\cdot 0,8 } } =\frac { 80-80 } { \sqrt { 400\cdot 0,16 } } =0 \\ \varphi (0)=0,3989\,\,P_ { 400 } ({ 80 })\approx \frac { 0,3989 } { 20\cdot 0,4 } =\frac { 0,3989 } { 8 } =0,0498 \\ \end{array} $

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность P наступления события $A$ в каждом испытании постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, тогда вероятность $P_n ({ k_1 ,k_2 })$ того, что событие $A$ наступит от $k_ { 1 } $ до $k_ { 2 } $ раз в $n$ испытаниях, равна $ P_n ({ k_1 ,k_2 })\approx \frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int\limits_ { x_1 } ^ { x_2 } { e^ { - { z^2 } / 2 } dz } =\Phi ({ x_2 })-\Phi ({ x_1 })$

где $x_1 =\frac { k_1 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } , x_2 =\frac { k_2 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $ ,где

$\Phi (x)=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int { e^ { - { z^2 } / 2 } dz } $ -находят по таблицам

$\Phi ({ -x })=-\Phi (x)$-нечетная

Нечетная функция. Значения в таблице даны для $x=5$, для $x>5,\Phi (x)=0,5$

Пример. Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. Если брака 10%, то стандартных изделий 90%. Тогда по условию, $n=625, p=0,9, q=0,1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5$. Получим $ \begin{array} { l } P_ { 625 } (550,575)\approx \Phi ({ \frac { 575-562,5 } { \sqrt { 625\cdot 0,9\cdot 0,1 } } })- \Phi ({ \frac { 550-562,5 } { \sqrt { 626\cdot 0,9\cdot 0,1 } } })\approx \Phi (1,67)- \Phi (-1,67)=2 \Phi (1,67)=0,9052 \\ \end{array} $

Рассмотрим последовательность из $n$ независимых опытов, в каждом из которых событие $A$ может произойти с вероятностью $p$, либо не произойти — с вероятностью $q=1-p$. Обозначим через P n (k ) вероятность того, что событие $A$ произойдет ровно $k$ раз из $n$ возможных.

В таком случае величину P n (k ) можно найти по теореме Бернулли (см. урок «Схема Бернулли. Примеры решения задач »):

Эта теорема прекрасно работает, однако у нее есть недостаток. Если $n$ будет достаточно большим, то найти значение P n (k ) становится нереально из-за огромного объема вычислений. В этом случае работает Локальная теорема Муавра — Лапласа , которая позволяют найти приближенное значение вероятности:

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число $n$ велико, а число $p$ отлично от 0 и 1, тогда:

Функция φ (x ) называется функцией Гаусса. Ее значения давно вычислены и занесены в таблицу, которой можно пользоваться даже на контрольных работах и экзаменах.

Функция Гаусса обладает двумя свойствами, которые следует учитывать при работе с таблицей значений:

1. φ (−x ) = φ (x ) — функция Гаусса — четная;
2. При больших значениях x имеем: φ (x ) ≈ 0.

Локальная теорема Муавра — Лапласа дает отличное приближение формулы Бернулли, если число испытаний n достаточно велико. Разумеется, формулировка «число испытаний достаточно велико» весьма условна, и в разных источниках называются разные цифры. Например:

1. Часто встречается требование: n · p · q > 10. Пожалуй, это минимальная граница;
2. Другие предлагают работать по этой формуле только для $n > 100$ и n · p · q > 20.

На мой взгляд, достаточно просто взглянуть на условие задачи. Если видно, что стандартная теорема Бернулли не работает из-за большого объема вычислений (например, никто не будет считать число 58! или 45!), смело применяйте Локальную теорему Муавра — Лапласа.

К тому же, чем ближе значения вероятностей $q$ и $p$ к 0,5, тем точнее формула. И, наоборот, при пограничных значениях (когда $p$ близко к 0 или 1) Локальная теорема Муавра — Лапласа дает большую погрешность, значительно отличаясь от настоящей теоремы Бернулли.

Однако будьте внимательны! Многие репетиторы по высшей математике сами ошибаются в подобных расчетах. Дело в том, что в функцию Гаусса подставляется довольно сложное число, содержащее арифметический квадратный корень и дробь. Это число обязательно надо найти еще до подстановки в функцию. Рассмотрим все на конкретных задачах:

Задача. Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик.

Итак, всего испытаний по схеме Бернулли n = 100. Кроме того, p = 0,512, q = 1 − p = 0,488.

Поскольку n = 100 — это достаточно большое число, будем работать по Локальной теореме Муавра — Лапласа. Заметим, что n · p · q = 100 · 0,512 · 0,488 ≈ 25 > 20. Имеем:

Поскольку мы округляли значение n · p · q до целого числа, ответ тоже можно округлить: 0,07972 ≈ 0,08. Учитывать остальные цифры просто нет смысла.

Задача. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.

По схеме Бернулли, n = 200, p = 0,02, q = 1 − p = 0,98. Заметим, что n = 200 — это неслабое число, поэтому используем Локальную теорему Муавра — Лапласа. Для начала найдем n · p · q = 200 · 0,02 · 0,98 ≈ 4. Конечно, 4 — это слишком мало, поэтому результаты будут неточными. Тем не менее, имеем:

Округлим ответ до второго знака после запятой: 0,17605 ≈ 0,18. Учитывать больше знаков все равно не имеет смысла, поскольку мы округляли n · p · q = 3,92 ≈ 4 (до точного квадрата).

Задача. Магазин получил 1000 бутылок водки. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит ровно две разбитых бутылки.

По схеме Бернулли имеем: n = 1000, p = 0,003, q = 0,997. Отсюда n · p · q = 2,991 ≈ 1,73 2 (подобрали ближайший точный квадрат). Поскольку число n = 1000 достаточно велико, подставляем все числа в формулу Локальной теоремы Муавра — Лапласа:

Мы сознательно оставляем лишь один знак после запятой (на самом деле там получится 0,1949...), поскольку изначально использовали довольно грубые оценки. В частности: 2,991 ≈ 1,73 2 . Тройка в числителе внутри функции Гаусса возникла из выражения n · p = 1000 · 0,003 = 3.

При достаточно большом формула Бернулли дает громоздкие вычисления. Поэтому в таких случаях применяют локальную теорему Лапласа.

Теорема (локальная теорема Лапласа). Если вероятностьpпоявления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
того, что событие А появится вnнезависимых испытаниях ровноkраз, приближенно равна значению функции:

,

.

Имеются таблицы, в которых находятся значения функции
, для положительных значенийx.

Заметим, что функция
четна.

Итак, вероятность того, что событие А появится в nиспытаниях ровноkраз приближенно равна

, где
.

Пример. На опытном поле посеяли 1500 семян. Найти вероятность того, что всходы дадут 1200 семян, если вероятность того, что зерно взойдет, равна 0,9.

Решение.

Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие А появится не менееk1 раз и не болееk2 раз вычисляется по интегральной теореме Лапласа.

Теорема (интегральная теорема Лапласа). Если вероятность р наступления события а в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А вnиспытаниях появится не менееk 1 раз и не болееk 2 раз приближенно равна значению определенного интеграла:

.

Функция
называется интегральной функцией Лапласа, она нечетна и ее значение находятся по таблице для положительных значенийx.

Пример. В лаборатории из партии семян, имеющих всхожесть 90%, высеяно 600 семян, давших всходы, не менее 520 и не более 570.

Решение.

Формула Пуассона

Пусть производится nнезависимых испытаний, вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р. Как мы уже говорили, вероятность появления события А вnнезависимых испытаниях ровноkраз можно найти по формуле Бернулли. При достаточно большомnиспользуют локальную теорему Лапласа. Однако, эта формула непригодна, когда вероятность появления события в каждом испытании мала или близка к 1. А при р=0 или р=1 вообще не применима. В таких случаях пользуются теоремой Пуассона.

Теорема (теорема Пуассона). Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и близка к 0 или 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что вnнезависимых испытаниях событие А появится ровноkраз находится по формуле:

.

Пример. Рукопись объемом в тысячу страниц машинописного текста содержит тысячу опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит хотя бы одну опечатку.

Решение.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте классическое определение вероятности события.

Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.

Дайте определение полной группы событий.

Запишите формулу полной вероятности.

Запишите формулу Бейеса.

Запишите формулу Бернулли.

Запишите формулу Пуассона.

Запишите локальную формулу Лапласа.

Запишите интегральную формулу Лапласа.

Тема 13. Случайная величина и ее числовые характеристики

Литература: ,,,,,.

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Так принято называть переменную величину, которая принимает свои значения в зависимости от случая. Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. Случайные величины принято обозначать X,Y,Z.

Случайная величина Х называется непрерывной (дискретной), если она может принимать лишь конечное или счетное число значений. Дискретная случайная величина Х определена, если даны все ее возможные значения х 1 , х 2 , х 3 ,…х n (число которых может быть как конечным, так и бесконечным) и соответствующие вероятности р 1 , р 2 , р 3 ,…р n .

Закон распределения дискретной случайной величины Х обычно задается таблицей:

Первая строка состоит из возможных значений случайной величины Х, а во второй строке указаны вероятности этих значений. Сумма вероятностей, с которыми случайная величина Х принимает все свои значения, равна единице, то есть

р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки М 1 (х 1 ,р 1), М 2 (х 2 ,р 2), М 3 (х 3 ,р 3),…М n (x n ,p n) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения случайной величины Х.

Пример. Дискретная величина Х задана следующим законом распределения:

Требуется вычислить: а) математическое ожидание М(Х), б) дисперсию D(X), в) среднее квадратическое отклонение σ.

Решение. а) Математическое ожидание М(Х), дискретной случайной величины Х называется сумма попарных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности этих возможных значений. Если дискретная случайная величина Х задана с помощью таблицы (1), то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

М(Х)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)

Математическое ожидание М(Х) называют также средним значением случайной величины Х. Применяя (2), получим:

М(Х)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.

б) Если М(Х) есть математическое ожидание случайной величины Х, то разность Х-М(Х) называется отклонением случайной величины Х от среднего значения. Эта разность характеризует рассеяние случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Таким образом, по самому определению имеем:

D(X)=M 2 . (3)

Вычислим все возможные значения квадрата отклонения.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Чтобы вычислить дисперсию D(X), составим закон распределения квадрата отклонения и затем применим формулу (2).

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Следует отметить, что для вычисления дисперсии часто используют следующее свойство: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания, то есть

D(X)-M(X 2)- 2 . (4)

Чтобы вычислить дисперсию по формуле (4), составим закон распределения случайной величины Х 2:

Теперь найдем математическое ожидание М(Х 2).

М(Х 2)= (48) 2 ∙0,2+(53) 2 ∙0,4+(57) 2 ∙0,3 +(61) 2 ∙0,1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Применяя (4), получим:

D(X)=2931,2-(54) 2 =2931,2-2916=15,2.

Как видно, мы получили такой же результат.

в) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Поэтому для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения более удобно рассматривать величину, которая равна арифметическому значению корня квадратного из дисперсии, то есть
. Эту величину называют средним квадратическим отклонением случайной величины Х и обозначают через σ. Таким образом

σ=
. (5)

Применяя (5), имеем: σ=
.

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсияD(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4;7).

Решение .Известно, что если случайная величина Х задана дифференциальной функциейf(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), вычисляется по формуле

. (1)

Если величина Х распределена по нормальному закону, то дифференциальная функция

,

где а =М(Х) и σ=
. В этом случае получаем из (1)

. (2)

Формулу (2) можно преобразовать, используя функцию Лапласа.

Сделаем подстановку. Пусть
. Тогда
илиdx =σ∙ dt .

Следовательно
, гдеt 1 иt 2 соответствующие пределы для переменнойt.

Сократив на σ, будем иметь

Из введенной подстановки
следует, что
и
.

Таким образом,

(3)

По условию задачи имеем: а=5; σ=
=0,8; α=4; β=7. Подставив эти данные в (3), получим:

=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=

=Ф(2,5)+Ф(1,25)=0,4938+0,3944=0,8882.

Пример. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) а=40 см, среднее квадратическое отклонение σ=0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение .Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-δ,а+δ), где а=40 и δ=0,6.

Положив в формулу (3) α= а-δ и β= а+δ, получим

. (4)

Подставив в (4) имеющиеся данные, получим:

Следовательно, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.

Пример. Диаметр деталей, изготавливаемых заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина диаметраа=2,5 см, среднее квадратическое отклонение σ=0,01. В каких границах можно практически гарантировать длину диаметра этой детали, если за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973?

Решение. По условию задачи имеем:

а=2,5; σ=0,01; .

Применяя формулу (4), получаем равенство:

или
.

По таблице 2 находим, что такое значение функция Лапласа имеет при х=3. Следовательно,
; откуда σ=0,03.

Таким образом, можно гарантировать, что длина диаметра будет изменяться в пределах от 2,47 до 2,53 см.