Модуль 2.

Лекция 17. Функция нескольких переменных

Раздел 17.1. n-мерное пространство

1. Многомерные пространства

2. Понятие расстояния (метрики). Метрическое пространство

3. Принципы кластерного анализа

Раздел 17.2 Функция нескольких переменных

1. Функция нескольких переменных

2. Частные производные

3. Двойной интеграл

4. Полярные координаты и интеграл Эйлера-Пуассона

Программные положения

В лекции рассматриваются вопросы, связанные с пространствами размерности больше двух: введение понятия расстояния, использования расстояния в кластерном анализе, функция нескольких (в нашем случае – двух) переменных, характеристика ее с помощью частных производных, а также вычисления площади и объема. Понятия функции двух переменных и двойного интеграла понадобятся нам при изучении случайных векторов в теории вероятностей. Завершается материал лекции вычислением интеграла Эйлера-Пуассона – одного из основных в теории вероятностей (неопределенный интеграл от функции Гаусса относится к неберущимся, а в случае наличия пределов интегрирования для вычисления подобных интегралов требуется применение неочевидных методов, один из которых и приводится здесь).

Перед изучением материала лекции повторите определение функции, производной, интеграла.

Литература

Б.П.Демидович, В.А.Кудрявцев «Краткий курс высшей математики» Глава ХХ (§1, 2.3,10), Глава XXIV (§1, 2,3,4,7)

Вопросы для самоконтроля

1. Какое пространство называется n-мерным?

2. Каким условиям должно удовлетворять расстояние?

3. Какое пространство называется метрическим?

4. Для чего используется кластерный анализ?

5. Что представляет собой график функции 2 переменных? Что такое линии уровня?

6. Что такое частная производная?

7. Дайте определение двойного интеграла. Как с его помощью вычислить площадь и объем?

8. Найдите расстояние между точками А(1,2,3) и В(5,1,0) (используя разные расстояния)

9.Найти линии уровня функций

z = x + y.

10. Найти частные производные функции

11.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

12. Вычислить

Раздел 17.1. Понятие многомерного пространства

Определение 17.1.1 . n-мерного пространства.

Если на плоскости R2 фиксирована прямоугольная система координат, то между точками плоскости и всевозможными парами чисел (х, у) (х и у - координаты точек) существует взаимно однозначное соответствие. Если в пространстве задана аналогичная система координат, то между точками пространства и их координатами - всевозможными тройками (x,y,z) - также существует взаимно однозначное соответствие.

Расстояние (метрика). Метрическое пространство

Определение 17.1.2

Метрическое пространство (M ,d ) есть множество точек М, на квадрате которого (то есть для любой пары точек из М) задана функция расстояния (метрика) . Она определяется следующим образом:

Для любых точек x , y , z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .

Наиболее привычным для нас является евклидово расстояние. Однако, это далеко не единственный способ его задания. Например, будет удовлетворять вышеупомянутым аксиомам такое расстояние: d(x,y) = 1 , если x ≠ y и d(x,y) = 0 , если x = y.

В зависимости от конкретных нужд или свойств пространства можно рассматривать различные метрики.

Рассмотрим несколько примеров расстояний:

Определения 17.1.3.

Евклидово расстояние. Это, по-видимому, наиболее общий тип расстояния. Оно попросту является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом:

d(x,y) = { i (x i - y i) 2 } 1/2

Заметим, что евклидово расстояние (и его квадрат) вычисляется по исходным, а не по стандартизованным данным. Это обычный способ его вычисления, который имеет определенные преимущества (например, расстояние между двумя объектами не изменяется при введении в анализ нового объекта, который может оказаться выбросом). Тем не менее, на расстояния могут сильно влиять различия между осями, по координатам которых вычисляются эти расстояния. К примеру, если одна из осей измерена в сантиметрах, а вы потом переведете ее в миллиметры (умножая значения на 10), то окончательное евклидово расстояние (или квадрат евклидова расстояния), вычисляемое по координатам, сильно изменится, и, как следствие, результаты кластерного анализа могут сильно отличаться от предыдущих.

Квадрат евклидова расстояния. Стандартное евклидово расстояние возводят в квадрат, чтобы придать большие веса более отдаленным друг от друга объектам. Это расстояние вычисляется следующим образом (к нему также относится замечание о влиянии единиц измерения из предыдущего пункта):

d(x,y) = i (x i - y i) 2

Расстояние городских кварталов (манхэттенское расстояние). Это расстояние является просто средним разностей по координатам. В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как и для обычного расстояния Евклида. Однако отметим, что для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не возводятся в квадрат). Манхэттенское расстояние вычисляется по формуле:

d(x,y) = i |x i - y i |

Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как "различные", если они различаются по какой-либо одной координате (каким-либо одним измерением). Расстояние Чебышева вычисляется по формуле:

d(x,y) = max |x i - y i |

(max означает максимум – наибольшее из всех значений модулей разностей)

Степенное расстояние. Иногда желают прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к размерности, для которой соответствующие объекты сильно отличаются. Это может быть достигнуто с использованием степенного расстояния . Степенное расстояние вычисляется по формуле:

d(x,y) = ( i |x i - y i | p) 1/r

где r и p - параметры, определяемые пользователем. Несколько примеров вычислений могут показать, как "работает" эта мера. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если оба параметра - r и p , равны двум, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида.

Основные меры расстояний для переменных, измеренных на метрических шкалах.

1. Евклидово расстояние.

Многомерное евклидово расстояние (1ц между двумя объектами i и ∕ определяется по формуле

где i = 1,2, ..., гг, k – число переменных.

Все переменные стандартизованы, не имеют размерности. Это обеспечивает возможность суммирования расстояний по разным переменным.

Другими словами, дц – это геометрическое расстояние между двумя объектами в многомерном пространстве. Многомерным пространством называют пространство, имеющее число измерений более трех. В нашем случае в формуле (10.5) имеем ^-мерное пространство.

Вычисление многомерного евклидова расстояния по формуле (10.5) чаще называют простым евклидовым расстоянием.

Взвешенное евклидово расстояние применяется в том случае, если переменные ранжированы между собой по степени важности, т.е. им присвоены веса. Вес показателя показывает, насколько важно учесть при классификации данный признак, т.е. при расчете меры сходства учитывается важность показателя, оцененная путем дополнительных исследований, например, экспертным путем.

Взвешенное евклидово расстояние рассчитывается следующим образом:

(10.6)

где Wj – вес у-го показателя,

Сумма всех весов должна равняться 1.

Если трудно определиться с важностью показателя и все веса равнозначны, то рекомендуется использовать простое евклидово расстояние.

2. Квадрат евклидова расстояния:

где– номер объекта,– объем выборки.

Квадрат евклидова расстояния находится как расстояние между двумя элементами г и ∕ через сумму квадратов разности значений всех переменных. Квадрат евклидова расстояния используется для придания больших весов наиболее удаленным друг от друга объектам. Особенно это важно использовать для стандартизованных переменных.

3. Расстояние Чебышева:

(10.8)

Расстояние Чебышева равно максимальному расстоянию между соответствующими координатами объектов. Расстояние Чебышева используют тогда, когда требуется определить различие двух объектов г и ∕ по какой-либо одной координате. Расстояние Чебышева является грубой мерой различия, так как значительная часть имеющейся информации игнорируется.

4. Расстояние Хэмминга (расстояние городских кварталов или манхэттенское расстояние):

Расстояние Хэмминга вычисляется как сумма абсолютных значений координатных расстояний. В большинстве случаев эта мера расстояний приводит к таким же результатам, как и простое евклидово расстояние.

5. Расстояние Минковского:

(10.10)

При р = 2 формула расстояния Минковского принимает вид евклидова расстояния; при р = 1 получаем расстояние Хэмминга.

Расстояния между объектами, рассчитанные по какой-либо из перечисленных выше формул, представляют в виде матрицы расстояний:

(10.11)

Как видим, матрица расстояний представляет собой квадратную матрицу типа "объект – объект" (порядка п ), где в качестве элементов выступают расстояния между объектами в метрическом пространстве. Диагональные элементы такой матрицы равны нулю.

Расстояния между различными объектами в пространстве.

1) Расстояние от точки до плоскости .

Найдем расстояние от т. М 0 (x 0 , y 0 , z 0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 . Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проведем через М 0 прямую, перпендикулярную плоскости. т. N 0 – точка пересечения прямой и плоскости.

а) Составим параметрические уравнения прямой:

l= N= (A, B, C) ║прямой,

т. М 0 (x 0 , y 0 , z 0) Є прямой.

б) т. N 0 – общая для прямой и плоскости, поэтому подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости и найдем параметр, соответствующий т. N 0:

A(At+ x 0) + B(Bt+ y 0) + C(Ct+ z 0) + D=0;

(A 2 + B 2 + C 2)t+ Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D=0;

координаты т. N 0 .

- расстояние от точки до плоскости .

2) Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

На одной плоскости нужно взять произвольную точку и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

3) Расстояние между прямой и параллельной плоскостью.

На прямой нужно взять произвольную точку и найти расстояние от этой точки до плоскости.

4) Расстояние от точки до прямой.

т. М 0 (3, 1, -1), прямая
.

M 0

N 0

Проведем через т. М 0 плоскость, перпендикулярную прямой (проектирующая плоскость). Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

а) Составим уравнение плоскости:

l= N= (1, 2, 0) ^ плоскости,

т. М 0 (3, 1, -1) Є плоскости.

A(x- x 0) + B(y- y 0) + C(z- z 0)= 0,

1(x- 3) + 2(y- 1) + 0(z+ 1)= 0,

x+ 2y- 5= 0 - уравнение плоскости.

б) Составим параметрические уравнения прямой:

в) т. N 0 – точка пересечения прямой и плоскости. Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости.

(t+ 1)+ 2(2t- 1)- 5= 0, t+ 1+ 4t- 2- 5= 0, 5t- 6= 0, 5t= 6.

Во взаимодействии человека с окружающей средой восприятие пространства играет большую роль, являясь условием ориентировки. Представляет оно собой отражение объективно существующего пространства и включает в себя:

Восприятие отдаления;
Восприятие расстояния между объектами;
Восприятие направления;
Восприятие величины объектов;
Восприятие формы объектов.

Тело человека тоже взаимодействует со средой и имеет свою систему координат, а сам человек имеет определенное место в пространстве. Среди всего, что воспринимает человек, восприятие пространства занимает особое место. В пространстве находятся все объекты материального мира и свершаются различные природные и социальные явления.

К пространственным свойствам одного объекта относятся величина и форма, а если этот же объект рассматривается в связи с другими объектами, то добавляется положение в пространстве, направление, расстояние. В пространственной ориентировке особую роль выполняет двигательный анализатор. С его помощью устанавливается взаимодействие между различными анализаторами. Бинокулярное зрение, бинауральный слух, бимануальное осязание, дириническое обоняние относят к специальным механизмам пространственной ориентировки.

Восприятие пространства в психологии рассматривается как отражение пространственных характеристик объектов внешней среды.

Зрительные восприятия одновременно базируются и на зрительных, и на двигательных ощущениях. Слуховые и обонятельные восприятия играют вспомогательную роль, а двигательные и осязательные – на близких расстояниях.

Зрение человека имеет способность различать удаленность предметов на расстоянии до 2,5 км. Предметы, расположенные дальше этого предела, воспринимаются человеком как размещенные на одной плоскости, звезды, например, представляются «размещенными» на внутренней поверхности сферы на одинаковом расстоянии от точки наблюдения, т.е. от глаз человека.

Визуальное восприятие удаленности обеспечивается бинокулярным зрением, т.е. видение двумя глазами. Ощущение удаленности появляется, потому что возникают зрительные различия в зрительных ощущениях от каждого глаза. Данные эффекты имеют физиологическую основу:

Раздраженные одновременно точки на сетчатках левого и правого глаза не совпадают;
Мускульные ощущения глазных мышц.

Чтобы определить расстояние до нескольких известных объектов чаще всего используют результат их взаимного соотнесения, если, например, футбольный мяч меньше теннисного, то совершенно понятно, что он расположен значительно дальше.

Определять расстояния до предметов человек может не только с помощью зрения, но еще с помощью слуха и обоняния, хотя вероятность становится меньше. Точность отражения в данном случае будет зависеть от индивидуальных особенностей человека. Двигательное восприятие тоже может дать определенную информацию о расстоянии, но только в пределах досягаемости руки или ноги. В качестве примера можно назвать перемещение человека в темной комнате – во избежание столкновения обычно вперед вытягивается рука или обшаривается пол ногой.

Восприятие величины

Величина предмета, которую воспринимает человек, зависит от их угловой величины и расстояния, с которого этот предмет наблюдается. Если знать величину предмета, то по его угловой величине можно определить расстояние до него. И, наоборот, зная, на каком расстоянии находится предмет, по его угловым размерам, определяется величина предмета.

Например, если смотреть в бинокль, зная величину предметов, человек видит их приблизившимися, но не увеличенными, а если на печатный шрифт смотреть в лупу, то буквы будут увеличенными, но не приблизившимися. Таким образом, в результате опыта развивается способность глаза сравнивать пространственные величины, направления и удаленность объекта от наблюдателя. Эта способность получила название глазомера.

Глазомер человека трехмерный, что значит, имеет способность сравнивать пространственные формы, расположенные в трех измерениях, включая плоскостный и глубинный. Сравнение это может относиться к линиям, поверхностям и объемам.

Плоскостный глазомер дает возможность сравнивать формы на плоскости, которая расположена в направлении, перпендикулярной зрительной оси.

Глубинный глазомер способен сравнивать пространственные формы в глубину.

Восприятие формы

Плоскостная форма предмета и её восприятие предполагает отчетливое различение его очертаний и границ, зависит это от четкости изображения, получающегося на сетчатке глаза.

На основании проведенных исследований константность формы объясняется действием периферических и центральных факторов. Восприятие трехмерных предметов насыщенно глубинными ощущениями и предметы, расположенные близко, кажутся несколько меньше. Действие фактора компенсирует действие перспективных сокращений.

С другой стороны, в константности восприятия формы, существенную роль играют представления, прошлый опыт. В экспериментах с псевдоскопом роль прошлого опыта выявлялась очень наглядно. Восприятие псевдоскоп ставит в условия обратной перспективы – ближние точки пространства переходят в дальние, а дальние в ближние. Следовательно, все вогнутые предметы должны восприниматься как выпуклые, а выпуклые, наоборот, как вогнутые. В результате получилось, что формы экспонатов, не закрепленных опытом, действительно так и воспринимаются.

Явление константности не срабатывает при восприятии объектов, которые находятся на очень большом удалении, у воспринимаемого объекта сглаживаются острые углы. Исчезают некоторые мелкие детали. Интересно, что лицо человека никогда не воспринимается в обратной перспективе.

Действие центральных факторов корригируют данные периферических раздражений и фактическое восприятие предметов обусловлено не только наличными периферическими раздражениями, но и прошлым опытом.

Восприятие направления

Данное восприятие является одним из важных моментов пространственного различения. Направление, в котором человек видит объект, определяется местом его изображения на сетчатке глаза и положением тела относительно окружающих предметов. Относительно горизонтальной плоскости Земли, тело человека занимает вертикальное положение. Данное положение и будет являться исходным для определения направления. В восприятии направления, кроме зрительных ощущений, большую роль играют кинестезические ощущения движений глаз, рук и статические ощущения – ощущения равновесия и положения тела.

Направление видимого предмета при бинокулярном зрении определяется законом тождественного направления, по которому раздражители, падающие на сетчатку, видятся в одном и том же направлении. Это направление дается линией, идущей как бы от одного «циклопического глаза», расположенного посередине лба.

Предметы, на которые смотрит человек, на сетчатке глаза перевернуты. Перемещение наблюдаемого объекта вызывает перемещение сетчаточного изображения в обратном направлении. Но, человек воспринимает предметы, как движущиеся, так и неподвижные вовсе не в искаженном виде, а такими, какими оптическая система глаз передает их на сетчатку. Происходит это благодаря сочетанию зрительных ощущений с тактильными, кинестезическими и другими сигналами.

При бинауральном слушании осуществляется восприятие направления звука. В основе дифференцировки направлений звука лежит разность во времени поступления сигналов в кору головного мозга от обоих ушей. Звуки могут локализоваться в разном направлении – по вертикали и горизонтали. В первом случае, как показали эксперименты, для восприятия пространственного расположения звука необходимы движения головы. Механизм локализации звука, таким образом, учитывает не только слуховые сигналы, но и данные других анализаторных систем.

Объединение или метод древовидной кластеризации используется при формировании кластеров несходства или расстояния между объектами. Эти расстояния могут определяться в одномерном или многомерном пространстве. Например, если вы должны кластеризовать типы еды в кафе, то можете принять во внимание количество содержащихся в ней калорий, цену, субъективную оценку вкуса и т.д. Наиболее прямой путь вычисления расстояний между объектами в многомерном пространстве состоит в вычислении евклидовых расстояний. Если вы имеете двух- или трёхмерное пространство, то эта мера является реальным геометрическим расстоянием между объектами в пространстве (как будто расстояния между объектами измерены рулеткой). Однако алгоритм объединения не «заботится» о том, являются ли «предоставленные» для этого расстояния настоящими или некоторыми другими производными мерами расстояния, что более значимо для исследователя; и задачей исследователей является подобрать правильный метод для специфических применений.

расстояние(x,y) = {? i (x i — y i) 2 } 1/2

Квадрат евклидова расстояния. Иногда может возникнуть желание возвести в квадрат стандартное евклидово расстояние, чтобы придать большие веса более отдаленным друг от друга объектам. Это расстояние вычисляется следующим образом (см. также замечания в предыдущем пункте):

расстояние(x,y) = ? i (x i — y i) 2

расстояние(x,y) = ? i |x i — y i |

Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как «различные», если они различаются по какой-либо одной координате (каким-либо одним измерением). Расстояние Чебышева вычисляется по формуле:

расстояние(x,y) = Максимум|x i — y i |

расстояние(x,y) = (? i |x i — y i | p) 1/r

где r и p — параметры, определяемые пользователем. Несколько примеров вычислений могут показать, как «работает» эта мера. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если оба параметра — r и p , равны двум, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида.

Процент несогласия. Эта мера используется в тех случаях, когда данные являются категориальными. Это расстояние вычисляется по формуле:

расстояние(x,y) = (Количество x i ?y i)/ i

Правила объединения или связи

На первом шаге, когда каждый объект представляет собой отдельный кластер, расстояния между этими объектами определяются выбранной мерой. Однако когда связываются вместе несколько объектов, возникает вопрос, как следует определить расстояния между кластерами? Другими словами, необходимо правило объединения или связи для двух кластеров. Здесь имеются различные возможности: например, вы можете связать два кластера вместе, когда любые два объекта в двух кластерах ближе друг к другу, чем соответствующее расстояние связи. Другими словами, вы используете «правило ближайшего соседа» для определения расстояния между кластерами; этот метод называется методом одиночной связи . Это правило строит «волокнистые» кластеры, т.е. кластеры, «сцепленные вместе» только отдельными элементами, случайно оказавшимися ближе остальных друг к другу. Как альтернативу вы можете использовать соседей в кластерах, которые находятся дальше всех остальных пар объектов друг от друга. Этот метод называется метод полной связи . Существует также множество других методов объединения кластеров, подобных тем, что были рассмотрены.

Одиночная связь (метод ближайшего соседа). Как было описано выше, в этом методе расстояние между двумя кластерами определяется расстоянием между двумя наиболее близкими объектами (ближайшими соседями) в различных кластерах. Это правило должно, в известном смысле, нанизывать объекты вместе для формирования кластеров, и результирующие кластеры имеют тенденцию быть представленными длинными «цепочками».

Полная связь (метод наиболее удаленных соседей). В этом методе расстояния между кластерами определяются наибольшим расстоянием между любыми двумя объектами в различных кластерах (т.е. «наиболее удаленными соседями»). Этот метод обычно работает очень хорошо, когда объекты происходят на самом деле из реально различных «рощ». Если же кластеры имеют в некотором роде удлиненную форму или их естественный тип является «цепочечным», то этот метод непригоден.

Невзвешенное попарное среднее. В этом методе расстояние между двумя различными кластерами вычисляется как среднее расстояние между всеми парами объектов в них. Метод эффективен, когда объекты в действительности формируют различные «рощи», однако он работает одинаково хорошо и в случаях протяженных («цепочного» типа) кластеров. Отметим, что в своей книге Снит и Сокэлвводят аббревиатуру UPGMA метод невзвешенного попарного арифметического среднего

Взвешенное попарное среднее. Метод идентичен методу невзвешенного попарного среднего , за исключением того, что при вычислениях размер соответствующих кластеров (т.е. число объектов, содержащихся в них) используется в качестве весового коэффициента. Поэтому предлагаемый метод должен быть использован (скорее даже, чем предыдущий), когда предполагаются неравные размеры кластеров. В книге Снита и Сокэлавводится аббревиатура WPGMA для ссылки на этот метод, как на метод взвешенного попарного арифметического среднего

Невзвешенный центроидный метод. В этом методе расстояние между двумя кластерами определяется как расстояние между их центрами тяжести. Снит и Сокэл используют аббревиатуру UPGMC для ссылки на этот метод, как на

Взвешенный центроидный метод (медиана). тот метод идентичен предыдущему, за исключением того, что при вычислениях используются веса для учёта разницы между размерами кластеров (т.е. числами объектов в них). Поэтому, если имеются (или подозреваются) значительные отличия в размерах кластеров, этот метод оказывается предпочтительнее предыдущего. Снит и Сокэл использовали аббревиатуру WPGMC для ссылок на него, как на метод невзвешенного попарного центроидного усреднения

Метод Варда. Этот метод отличается от всех других методов, поскольку он использует методы дисперсионного анализа для оценки расстояний между кластерами. Метод минимизирует сумму квадратов (SS) для любых двух (гипотетических) кластеров, которые могут быть сформированы на каждом шаге. Подробности можно найти в работе Варда В целом метод представляется очень эффективным, однако он стремится создавать кластеры малого размера.

Расстояние (метрика). Метрическое пространство. Расстояние между объектами (метрика)

Расстояния между различными объектами в пространстве.

Восприятие величины

Восприятие формы

Восприятие направления