10. КРИВИЗНА ОКРУЖНОСТИ

Окружность является простейшей из кривых линий, так как она изгибается равномерно.

Рассмотрим движение точки М по окружности радиусомR (рис. 15). УголΔτ между касательными в двух положенияхМ 1 иМ 2 точкиМ – это централь-

ный угол М 1 ОМ 2 между радиусамиОМ 1 иОМ 2 , поэтомуΔτ = R S радиан.

Δτ S= R S= R1 .

Полагая S → 0 , можно сказать, что кривизна окружности равна обратной величине радиуса во всех ее точках:k = R 1 .

кривизны в точке А 1 (рис. 16).

11. КРИВЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Алгебраические кривые, которые описываются уравнением второй степени относительно текущих координат, называют кривыми второго порядка.

Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид

Оно определяет уравнение эллиптического типа – эллипс или (в частном случае) окружность.

Если положить A = 1 a 2

уравнение

которое определяет кривую гиперболического типа – гиперболу или пару пересекающихся прямых.

Если положить A = 0,B = 0,C = 1,D = − P ,E = 0,F = 0 , то получим уравнение

y2 = 2 Px,

определяющее кривую параболического типа – параболу, пару параллельных прямых (в частном случае совпадающих) или мнимое множество точек.

Рассмотрим подробнее свойства кривых второго порядка.

11.1. ЭЛЛИПС

Эллипсом называется замкнутая плоская кривая линия, сумма расстояний от каждой точки которой до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная, бо´льшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть в плоскости даны две точки F A иF B (фокусы) на расстоянии 2с друг от друга (рис. 17).

Любая точка Е плоскости принадлежит эллипсу, если соблюдается условие

EF A +EF B = 2а ,

где 2а – данная длина (величина большой оси эллипса). Если фокусыF A иF B совпадают, то

EFA = EFB = а.

Получается множество точек, равноудаленных от одной данной точки, т. е. окружность (частный вид эллипса).

Каноническое уравнение эллипса:

Отрезки AB иCD , соединяющие противоположные вершины эллипса, равные 2а и 2b , называют соответственнобольшой и малой осями эллипса.

Окружность - это плоская кривая с постоянным радиусом кривизны. Т.е. радиус окружности это и есть радиус кривизны окружности:

R окр = ρ (542.2)

Как определить радиус окружности, мы рассмотрим ниже.

Кривизна дуги

Любая дуга - это часть окружности. Соответственно радиус дуги равен радиусу окружности:

Рисунок 542.1 . Дуга - часть окружности

На рисунке 542.1 мы видим дугу АВ , показанную оранжевым цветом, являющуюся частью окружности с радиусом R . Кроме того, мы видим, что угол α , образованный радиусами в точках А и В , равен углу между касательными (показаны фиолетовым цветом) к окружности в этих точках.

Эти закономерности позволяют определить радиус дуги и найти центр окружности даже тогда, когда изначально мы окружность не видим, а только имеем дугу.

Понятие кривизны дуги формулируется так:

Кривизна дуги - это отношение угла между касательными, проведенными в начале и конце дуги, к длине дуги

Т.е. зная длину дуги m и угол α между касательными, мы можем определить кривизну дуги:

k д. = α/m (542.3)

А так как длина дуги зависит от угла между радиусами или между касательными в концах дуги:

m = Rα (542.4)

то, подставив значение длины дуги в уравнение (542.3), получим:

k д. = α/m = α /Rα = 1/R (542.1.2)

Примечание : При измерении угла между касательными не в радианах, а в градусах уравнение длины дуги имеет другой вид:

m = П Rα /180 (542.4.1)

но сути дела это не меняет. Такая запись по-прежнему означает, что мы рассматриваем часть длины окружности. Так при α = 360° дуга становится окружностью

m = П R360/180 = 2П R = l окр. (542.4.2)

Более того, сама идея радианов на этой формуле и основана, так прямой угол 90° = П /2 , развернутый 180° = П и т.д.

И еще одно интересное свойство дуги : Если соединить точки А и В прямой линией, то угол между этой линией и касательными будет равен α /2 , а сама прямая линия - это и есть расстояние между точками А и В . Если дуга расположена в плоскости соответствующим образом, например так, как показано на рисунке 542.2:

Рисунок 542.2 . Дуга из точки начала координат.

то расстояние между точками - это проекция l дуги на ось х . А максимальное расстояние между дугой и осью х - это стрела дуги h .

Радиус кривизны прямой линии

Любая прямая линия, даже бесконечно длинная, может рассматриваться как бесконечно малая часть окружности, т.е. как дуга. Соответственно в каких единицах измерять радиус такой окружности даже трудно представить.

Поэтому обычно прямой линией называют кривую с бесконечно большим радиусом:

ρ п.л. = ∞ (542.5)

k п.л = 1/∞ = 0 (542.6)

Про до сих пор неразрешенный парадокс, возникающий при подобных подходах к прямой линии и к окружности, я уже упоминал в статье "Основы геометрии . Определения основных элементов, пятый элемент". Здесь лишь добавлю, что через прямую линию можно провести бесконечное множество плоскостей и в любой из этих плоскостей радиус кривизны прямой линии будет равен бесконечности. При этом через окружность можно провести две взаимно перпендикулярные плоскости, в одной из которых окружность будет окружностью, а в другой - прямой линией конечной длины. Поэтому

все линии, которые в одной из плоскостей имеют бесконечно большой радиус кривизны, считаются плоскими

Ну и на закуску еще несколько парадоксов, на этот раз связанных с определениями кривизны и радиуса:

1. Из уравнения (542.1) можно сделать вывод, что:

kp = 1 (542.7)

Соответственно для прямой линии:

0·∞ = 1 (542.7.2)

Т.е. если бесконечно много раз взять ноль, то на единичку мы наскребем. Впрочем дальше будет еще веселее.

2. Если прямая - это дуга с бесконечно большим радиусом, соответственно касательные, проведенные в концах такой дуги, совпадают с прямой, а угол, образованный касательными, равен нулю.

Это означает, что радиусы проведенные в концах дуги - прямой линии, являются параллельными прямыми и не могут пересекаться. А между тем по определению это радиусы, которые обязательно должны сходиться в некоторой точке - центре окружности.

Получается, что параллельные прямые пересекаться не должны, но где-то в бесконечности все-таки пересекаются.

Разрешить этот парадокс пытались многие математики, однако в пределах евклидовой геометрии при принятом толковании определений данный парадокс не разрешим.

Такие дела.

Радиус кривизны точки

Точка - это самый простой и самый сложный элемент геометрии . Одни считают, что точка не имеет размеров, а значит и определить кривизну или радиус кривизны точки не возможно. Другие, в частности Евклид, считают, что точка не имеет частей, а каковы при этом размеры точки - не совсем понятно. Я же считаю, что точка - это начальный, далее не делимый элемент геометрии, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с остальными рассматриваемыми элементами. В этом случае для точки будут справедливыми следующие уравнения кривизны и радиуса кривизны:

ρ т. = 0 (542.8)

k т. = 1/0 = ∞ (542.9)

И хотя нас с первых лет обучения в школе учат, что делить на 0 нельзя и даже встроенный в операционную систему калькулятор пишет, что "деление на ноль невозможно", тем не менее делить на ноль можно, а результатом деления всегда будет бесконечность.

Как и в случае с прямой мы имеем парадоксальный результат, выражаемый формулой (542.5.2). Тем не менее точку также можно отнести к плоской кривой, имеющей постоянный радиус кривизны.

Примечание : На мой взгляд большинство из описанных выше парадоксов возникают из-за неправильного толкования понятия "бесконечность". Бесконечность как некая абсолютная величина не имеет пределов, а значит и никакому измерению не поддается. Кроме того бесконечность - это даже не постоянная, а переменная величина. Например луч - это прямая линия с началом в некоторой точке. Длина луча может быть бесконечно большой. При этом прямая линия тоже может быть бесконечно длинной при этом не иметь ни начала ни конца. Получается, что с одной стороны бесконечно длинный луч вроде бы в 2 раза короче, чем бесконечно длинная прямая. А с другой стороны длины их бесконечны и поэтому равны.

Возможным выходом из этой ситуации является принятие понятия "бесконечность", как относительного. Например, кривизна прямой линии является пренебрежимо малой величиной по отношению к радиусу кривизны. Или радиус кривизны прямой линии несопоставимо больше кривизны. Подобные толкования допускают и наличие кривизны прямой и некое конечное значение радиуса кривизны прямой и многое другое. Я бы назвал такой относительный подход к рассмотрению проблемы реалистичным, а подходы, использующие абсолютные понятия - идеализированными. Впрочем прямого отношения к теме данной статьи это не имеет. Продолжим рассмотрение плоских кривых.

И окружность и прямая линия являются плоскими кривыми с постоянным радиусом кривизны. При этом радиус кривизны прямой линии всегда известен, так как равен бесконечности, а для окружности всегда можно определить радиус, воспользовавшись теоремой Пифагора. Так в частном случае, если центр окружности совпадает с началом координат рассматриваемой плоскости (u = 0; v = 0 - координаты центра окружности), то:

Рисунок 541.4 . Радиус окружности, как гипотенуза прямоугольного треугольника.

А в общем случае, когда координаты центра окружности не совпадают с началом координат:

Рисунок 542.3 . Окружность, центр которой не совпадает с началом координат.

R 2 = (x - u) 2 + (y - v) 2 (542.10)

Но в жизни достаточно часто приходится сталкиваться с кривыми, радиус кривизны которых - не постоянная величина. Более того, этот радиус может изменяться в двух плоскостях измерения. Тем не менее так далеко углубляться в геометрию и алгебру мы не будем и далее рассмотрим, как можно определить радиус плоской кривой в некоторой точке.

Плоские кривые с изменяющимся радиусом кривизны

Примеров плоских кривых с изменяющимся радиусом кривизны очень много, это и гиперболы, и параболы, и синусоиды и т.п. Определение радиуса кривизны таких кривых основано на следующих теоретических предпосылках:

1. Любую окружность можно рассматривать как некоторое множество дуг.

2. Если количество дуг, составляющих окружность, стремится к бесконечности, то соответственно длина таких дуг стремится к нулю (m → 0).

3. Если мы обозначим длину такой очень короткой дуги как приращение функции длины окружности (m = Δl ), то уравнение кривизны (542.3) примет следующий вид:

(542.3.1)

4. Тогда любую плоскую кривую с изменяющимся радиусом можно рассматривать как стремящееся к бесконечности множество дуг с постоянным радиусом. Другими словами в пределах любой кривой, описываемой параметрическими уравнениями, всегда можно выделить дугу, пусть даже и очень малой длины, стремящейся к точке и определить для нее кривизну и радиус кривизны в рассматриваемой точке.

Это означает, что самый точный способ определения радиуса кривизны в таком случае - это использование дифференциальных исчислений. В общем случае для этого нужно два раза продифференцировать уравнение радиуса окружности (542.10) по аргументу функции х , а затем извлечь квадратный корень из полученного результата. В итоге (полный вывод уравнения здесь не привожу из-за повышенной сложности записи, а для особо заинтересованных есть справочники и другие сайты) мы получим следующую формулу для определения радиуса кривизны:

(542.11)

Соответственно кривизна плоской кривой в рассматриваемой точке будет равна:

(542.12)

В частном случае, когда тангенс угла между касательными - первая производная от функции - является относительно малой величиной, например, tg2° = 0.035 соответственно (tg2°) 2 = 0.0012, то влиянием куба суммы первой производной и единицы на кривизну можно пренебречь (значение знаменателя дроби сводится к единице) и тогда:

k = y" = d 2 y/dx 2 (542.12.2)

Т.е. формально в таких случаях кривизной считается не отношение угла наклона между касательными к длине дуги, а некоторая величина, примерно соответствующая высоте h на рисунке 542.2.

Эта особенность второй производной очень активно используется в частности для упрощения определения прогиба элементов строительных конструкций.

Инструкция

Наиболее часто встречаются задачи на радиуса кривизны траектории брошенного тела в заданный промежуток времени. Траектория движения в данном случае описывается уравнениями на координатных осях: х = f(t), y = f(t), где t – время, в момент которого требуется найти радиус. Его вычисление будет основываться на применении формулы аn = V²/R. Здесь радиус R выявляется из отношения аn и мгновенной скорости V движения тела. Узнав данные величины, можно легко найти искомую компоненту R.

В случае, если известен только диаметр, то формула будет выглядеть как «R = D/2».

Если длина окружности неизвестна, но есть данные о длине определенного , то формула будет иметь вид «R = (h^2*4 + L^2)/8*h», где h – высота сегмента (является расстоянием от середины хорды до самой выступающей части указанной дуги), а L – длина сегмента (которая не является длиной хорды).Хорда – отрезок , которая соединяет две точки окружности .

Обратите внимание

Следует различать понятия «окружность» и «круг». Круг является частью плоскости, которая, в свою очередь, ограничивается окружностью определенного радиуса. Чтобы найти радиус, необходимо знать площадь круга. В таком случае уравнение будет иметь вид «R = (S/π)^1/2», где S является площадью. Чтобы вычислить площадь, в свою очередь следует знать радиус («S = πr^2»).

Чтобы найти мгновенную скорость при равномерном движении, поделите расстояние, пройденное телом, на время, за которое оно преодолевалось. При неравномерном движении, узнайте значение ускорения и рассчитывайте скорость в каждый момент времени. При свободном падении мгновенная скорость зависит от ускорения свободного падения и времени. Мгновенную скорость можно измерить спидометром или радаром.

Вам понадобится

• Для определения мгновенной скорости возьмите радар, спидометр, секундомер, рулетку или дальномер, акселерометр.

Инструкция

Определение мгновенной скорости при равномерном движении Если тело движется равномерно, измерьте с помощью рулетки или дальномера отрезок пути в метрах, после чего поделите полученное значение на промежуток времени в секундах, за которое этот отрезок был пройден. Время измерьте секундомером. После этого найдите среднюю скорость , поделив длину пути на время его прохождения (v=S/t). А поскольку движение равномерное, то средняя скорость будет мгновенной скорости.

Определение мгновенной скорости при неравномерном движенииОсновным видом неравномерного движения равноускоренное движение. С помощью акселерометра или любым другим способом измерьте значение ускорения. После этого, зная начальную скорость движения, прибавьте к ней произведение ускорения , на протяжении которого тело находится в движении. Результатом будет значение мгновенной скорости в данный момент времени. (v=v0+a t). При расчетах учтите, что если тело уменьшает свою скорость (тормозит), то значение ускорения будет отрицательным. В случае если движение начинается из состояния покоя, начальная скорость равна нулю.

Определение мгновенной скорости при свободном паденииДля определения мгновенной скорости свободно падающего тела нужно время падения умножить на ускорение свободного падения (9,81 м/с²), расчет произвести по v= g t. Учтите, что при начальная скорость тела равна нулю. Если тело с известной , то для определения мгновенной скорости в момент падения с этой высоты умножьте ее значение в метрах на число 19,62, а из полученного числа извлеките квадратный .

Определение мгновенной скорости спидометром или радаром Если движущееся тело оборудовано спидометром (), то на его шкале или электронном табло будет непрерывно отображаться мгновенная скорость в данный момент времени. При наблюдении за телом с неподвижной точки (), направьте на него сигнал радара, на его табло отобразится мгновенная скорость тела в данный момент времени.

Видео по теме

Для изучения движения некоторого физического объекта (автомобиль, велосипедист, шарик в рулетке) достаточно изучить движение некоторых его точек. При исследовании движения оказывается, что все точки описывают некоторые кривые линии.

Инструкция

Знайте, что кривыми можно описать движение жидкости, газа, световых , линий тока. Радиусом кривизны для плоской кривой в определенной точке является касательной в этой точке. В некоторых случаях кривая задается , и кривизны вычисляется по . Соответственно, чтобы узнать радиус кривизны, необходимо узнать радиус окружности, касающейся определенной точки.

Определите на плоскости кривой точку А, вблизи нее возьмите еще одну точку В. Постройте касательные к имеющейся кривой, которые проходят через точки А и В.

Проведите через точки А и В линии, перпендикулярные построенным касательным, продлите их до пересечения. Обозначьте точку пересечения перпендикуляров, как О. Точка О является центром касательной окружности в данной точке. Значит ОА – радиус окружности, т.е. кривизны в данной конкретной точке А.

Если для точки в пространстве определить кривизны в двух взаимно перпендикулярных направлениях, то эти кривизны будут называться главными. Направление главных кривизн должно быть обязательно 900. Для вычислений часто используют среднюю кривизну, равную полусумме главных кривизн, и гауссову кривизну, равную их произведению. Существует также кривизны кривой. Это величина, обратная радиусу кривизны.

Ускорение является важным фактором движения точки. Кривизна траектории напрямую влияет на ускорение. Ускорение возникает в том случае, когда с постоянной скоростью начинает двигаться по кривой. Меняется не только скорости, но и ее направление, возникает центростремительное ускорение. Т.е. в реальности точка начинает двигаться по окружности, которой касается в момент времени.

Нормальное ускорение наблюдается в том случае, когда тело движется по окружности. Причем движение это может быть равномерным. Природа этого ускорения связанна с тем, что тело, которое движется по окружности, постоянно меняет направление скорости, поскольку линейная скорость направлена по касательной к каждой точке окружности.

Вам понадобится

• спидометр или радар, секундомер, дальномер.

Инструкция

С помощью спидометра или радара измерьте линейную скорость тела, которое . Дальномером измерьте ее радиус. Чтобы найти тела, которое движется по окружности, возьмите значение скорости в данный момент , возведите его в квадрат и поделите на радиус окружности траектории движения: a=v²/R.

Долгое время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую знаменитую библиотеку древнего мира. Помимо того, что он вычислил размер нашей планеты, сделал еще ряд важных изобретений и открытий. Изобрел нехитрый метод определять простые числа, называемый теперь «решето Эрастофена».

Нарисовал «карту мира», в которой показал все части света, известные на тот момент древним грекам. Карта считалась одной из лучших для своего времени. Разработал систему долготы и широты и календарь, включавший високосные годы. Изобрел армиллярную сферу, механическое устройство, используемое ранними астрономами, чтобы демонстрировать и предсказывать видимое движение звезд на небе. Также составил звездный каталог, включавший в себя 675 звезд.

Источники:

• Греческий ученый Эратосфен Киренский впервые в мире вычислил радиус Земли
• Eratosthenes" Calculation of Earth"s Circumference
• Eratosthenes

Во многих исследованиях представляется удобным приближенно заменить кривую вблизи рассматриваемой точки - окружностью, имеющей ту же кривизну, что и кривая в этой точке.

Мы будем называть кругом кривизны кривой в данной на ней точке М - круг, который

1) касается кривой в точке М;

3) имеет ту же кривизну, что и кривая в точке М (рис. 157).

Центр С круга кривизны называется просто центром кривизны, а радиус этого круга - радиусом кривизны (кривой в данной точке).

Из определения круга кривизны явствует, что центр кривизны всегда лежит на нормали - к кривой в рассматриваемой точке со стороны вогнутости (т. е. со стороны, обратной той, куда направлена выпуклость кривой). Если кривизну кривой в данной точке обозначить через к, то, вспоминая , что для окружности имели формулу:

теперь для радиуса кривизны, очевидно, будем иметь

Пользуясь различными выражениями, введенными в предыдущем п° для кривизны, мы можем сразу же написать ряд формул для

радиуса кривизны:

которые и применяются в соответственных случаях.

Из всех формул радиус кривизны получается со знаком, как и выше - кривизна. Однако здесь мы знака не станем отбрасывать, а постараемся установить его геометрический смысл.

С этой целью введем понятие о положительном направлении нормали к кривой. Мы разъяснили уже в 249, что на касательной положительным считается направление в сторону возрастания дуг. На нормали же мы за положительное выберем такое направление, чтобы оно относительно (положительно направленной) касательной было так же ориентировано, как ось у относительно оси х. Например, при обычном расположении этих осей нормаль должна составлять с касательной угол против часовой стрелки.

Теперь, рассматривая радиус кривизны как направленный отрезок, лежащий на нормали, естественно приписывать ему знак плюс, если он откладывается по нормали в положительном направлении, и знак минус в противном случае. Так, на рис. 158 в случае кривой радиус кривизны будет иметь знак плюс, а в случае кривой (II) знак минус.

Мы утверждаем, что знак радиуса кривизны, получаемый по любой из выведенных выше формул, в точности соответствует только что данному определению. При этом, однако, важно подчеркнуть, что во всех случаях положительное направление отсчета дуг предполагается соответствующим возрастанию параметра ( или ).