Простое число умножить на дробь. Умножение дроби на целое число. Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.

Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.

В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Как умножать десятичные дроби

Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311 , а 0,01 как 1 .

Получили 311 . Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй - два. Общее количество цифр после запятых:

Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.

У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

При умножении любой десятичной дроби на 10; 100; 1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

70,1 · 10 = 701
0,023 · 100 = 2,3
5,6 · 1 000 = 5 600

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

Считаем и ноль целых!

12 · 0,1 = 1,2
0,05 · 0,1 = 0,005
1,256 · 0,01 = 0,012 56

Умножение дробей

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

Умножение смешанных чисел

Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Как умножить дробь на целое число правило

I. Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их было после запятой в данной дроби.

Примеры. Выполнить умножение: 1) 1,25·7; 2) 0,345·8; 3) 2,391·14.

Решение.

II . Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном результате отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Примеры. Выполнить умножение: 1) 18, 2·0,09; 2) 3,2·0,065; 3) 0,54·12,3.

Решение.

III. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр.

Примеры. Выполнить умножение: 1) 3,25·10; 2) 0,637·100; 3) 4,307·1000; 4) 2,04·1000; 5) 0,00031·10000.

Решение.

IV. Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.

Примеры. Выполнить умножение: 1) 28,3·0,1; 2) 324,7·0,01; 3) 6,85·0,01; 4) 6179,5·0,001; 5) 92,1·0,0001.

www.mathematics-repetition.com

Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Переходим к изучению следующего действия с десятичными дробями, сейчас мы всесторонне рассмотрим умножение десятичных дробей . Сначала обговорим общие принципы умножения десятичных дробей. После этого перейдем к умножению десятичной дроби на десятичную дробь, покажем, как выполняется умножение десятичных дробей столбиком, рассмотрим решения примеров. Дальше разберем умножение десятичных дробей на натуральные числа, в частности на 10, 100 и т.д. В заключение поговорим об умножении десятичных дробей на обыкновенные дроби и смешанные числа.

Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях умножение рациональных чисел и умножение действительных чисел .

Навигация по странице.

Общие принципы умножения десятичных дробей

Обсудим общие принципы, которых следует придерживаться при проведении умножения с десятичными дробями.

Так как конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются десятичной формой записи обыкновенных дробей, то умножение таких десятичных дробей по сути является умножением обыкновенных дробей. Иными словами, умножение конечных десятичных дробей , умножение конечной и периодической десятичных дробей , а также умножение периодических десятичных дробей сводится к умножению обыкновенных дробей после перевода десятичных дробей в обыкновенные.

Рассмотрим примеры применения озвученного принципа умножения десятичных дробей.

Выполните умножение десятичных дробей 1,5 и 0,75 .

Заменим умножаемые десятичные дроби соответствующими обыкновенными дробями. Так как 1,5=15/10 и 0,75=75/100 , то. Можно провести сокращение дроби, после чего выделить целую часть из неправильной дроби, а удобнее полученную обыкновенную дробь 1 125/1 000 записать в виде десятичной дроби 1,125 .

Следует отметить, что конечные десятичные дроби удобно умножать столбиком, об этом способе умножения десятичных дробей мы поговорим в следующем пункте.

Рассмотрим пример умножения периодических десятичных дробей.

Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36) .

Выполним перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:

Тогда. Можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь:

Если среди умножаемых десятичных дробей присутствуют бесконечные непериодические, то все умножаемые дроби, в том числе конечные и периодические, следует округлить до некоторого разряда (смотрите округление чисел ), после чего выполнять умножение полученных после округления конечных десятичных дробей.

Выполните умножение десятичных дробей 5,382… и 0,2 .

Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38 . Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости. Таким образом, 5,382…·0,2≈5,38·0,2 . Осталось вычислить произведение конечных десятичных дробей: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076 .

Умножение десятичных дробей столбиком

Умножение конечных десятичных дробей можно выполнять столбиком, аналогично умножению столбиком натуральных чисел.

Сформулируем правило умножения десятичных дробей столбиком . Чтобы умножить десятичные дроби столбиком, надо:

не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам умножения столбиком натуральных чисел;
в полученном числе отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков в обоих множителях вместе, при этом если в произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.

Рассмотрим примеры умножения десятичных дробей столбиком.

Выполните умножение десятичных дробей 63,37 и 0,12 .

Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые:

Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить 4 цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37 и два в дроби 0,12). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Закончим запись:

В итоге имеем 3,37·0,12=7,6044 .

Вычислите произведение десятичных дробей 3,2601 и 0,0254 .

Выполнив умножение столбиком без учета запятых, получаем следующую картину:

Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Но в произведении только 7 цифр, поэтому, нужно слева приписать столько нулей, чтобы можно было отделить запятой 8 цифр. В нашем случае нужно приписать два нуля:

На этом умножение десятичных дробей столбиком закончено.

Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.

Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 0,1 , 0,01 и так далее. Поэтому целесообразно сформулировать правило умножения десятичной дроби на эти числа, которое следует из рассмотренных выше принципов умножения десятичных дробей.

Итак, умножение данной десятичной дроби на 0,1 , 0,01 , 0,001 и так далее дает дробь, которая получается из исходной, если в ее записи перенести запятую влево на 1 , 2 , 3 и так далее цифр соответственно, при этом если не хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое количество нулей.

Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1 , надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434 , то есть, 54,34·0,1=5,434 . Приведем еще один пример. Умножим десятичную дробь 9,3 на 0,0001 . Для этого нам нужно в умножаемой десятичной дроби 9,3 перенести запятую на 4 цифры влево, но запись дроби 9,3 не содержит такого количества знаков. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093 .

Заметим, что озвученное правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, … справедливо и для бесконечных десятичных дробей. К примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 93,938…·0,1=9,3938… .

Умножение десятичной дроби на натуральное число

По своей сути умножение десятичных дробей на натуральные числа ничем не отличается от умножения десятичной дроби на десятичную дробь.

Конечную десятичную дробь умножать на натуральное число удобнее всего столбиком, при этом следует придерживаться правил умножения столбиком десятичных дробей, рассмотренных в одном из предыдущих пунктов.

Вычислите произведение 15·2,27 .

Проведем умножение натурального числа на десятичную дробь столбиком:

При умножении периодической десятичной дроби на натуральное число, периодическую дробь следует заменить обыкновенной дробью.

Умножьте десятичную дробь 0,(42) на натуральное число 22 .

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

Теперь выполним умножение: . Этот результат в виде десятичной дроби имеет вид 9,(3) .

А при умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на натуральное число нужно предварительно провести округление.

Выполните умножение 4·2,145… .

Округлив до сотых исходную бесконечную десятичную дробь, мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби. Имеем 4·2,145…≈4·2,15=8,60 .

Умножение десятичной дроби на 10, 100, …

Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях.

Озвучим правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. При умножении десятичной дроби на 10, 100, … в ее записи нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифры соответственно и отбросить лишние нули слева; если в записи умножаемой дроби не хватает цифр для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа.

Умножьте десятичную дробь 0,0783 на 100 .

Перенесем в записи дроби 0,0783 на две цифры вправо, при этом получим 007,83 . Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38 . Таким образом, 0,0783·100=7,83 .

Выполните умножение десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

Чтобы умножить 0,02 на 10 000 , нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо. Очевидно, в записи дроби 0,02 не хватает цифр для переноса запятой на 4 цифры, поэтому допишем несколько нулей справа, чтобы можно было осуществить перенос запятой. В нашем примере достаточно дописать три нуля, имеем 0,02000 . После переноса запятой получим запись 00200,0 . Отбросив нули слева, имеем число 200,0 , которое равно натуральному числу 200 , оно и является результатом умножения десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

Озвученное правило справедливо и для умножения бесконечных десятичных дробей на 10, 100, … При умножении периодических десятичных дробей нужно быть аккуратными с периодом дроби, которая является результатом умножения.

Умножьте периодическую десятичную дробь 5,32(672) на 1 000 .

Перед умножением распишем периодическую десятичную дробь как 5,32672672672… , это нам позволит не допустить ошибки. Теперь перенесем запятую вправо на 3 знака, имеем 5 326,726726… . Таким образом, после умножения получается периодическая десятичная дробь 5 326,(726) .

5,32(672)·1 000=5 326,(726) .

При умножении бесконечных непериодических дробей на 10, 100, … нужно предварительно провести округление бесконечной дроби до некоторого разряда, после чего проводить умножение.

Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число

Для умножения конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, нужно десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби, после чего провести умножение.

Проведите умножение десятичной дроби 0,4 на смешанное число.

Так как 0,4=4/10=2/5 и, то. Полученное число можно записать в виде периодической десятичной дроби 1,5(3) .

При умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, обыкновенную дробь или смешанное число следует заменить десятичной дробью, после чего провести округление умножаемых дробей и закончить вычисления.

Так как 2/3=0,6666… , то. После округления умножаемых дробей до тысячных, приходим к произведению двух конечных десятичных дробей 3,568 и 0,667 . Выполним умножение в столбик:

Полученный результат следует округлить до тысячных, так как умножаемые дроби были взяты с точностью до тысячных, имеем 2,379856≈2,380 .

www.cleverstudents.ru

Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.

Продолжим изучать действия с обыкновенными дробями. Сейчас в центре внимания умножение обыкновенных дробей . В этой статье мы дадим правило умножения обыкновенных дробей, рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Также остановимся на умножении обыкновенной дроби на натуральное число. В заключение рассмотрим, как проводится умножение трех и большего количества дробей.

Навигация по странице.

Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь

Начнем с формулировки правила умножения обыкновенных дробей : умножение дроби на дробь дает дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

То есть, умножению обыкновенных дробей a/b и c/d отвечает формула .

Приведем пример, иллюстрирующий правило умножения обыкновенных дробей. Рассмотрим квадрат со стороной 1 ед. , при этом его площадь равна 1 ед 2 . Разделим этот квадрат на равные прямоугольники со сторонами 1/4 ед. и 1/8 ед. , при этом исходный квадрат будет состоять из 4·8=32 прямоугольников, следовательно, площадь каждого прямоугольника составляет 1/32 долю площади исходного квадрата, то есть, она равна 1/32 ед 2 . Теперь закрасим часть исходного квадрата. Все наши действия отражает рисунок ниже.

Стороны закрашенного прямоугольника равны 5/8 ед. и 3/4 ед. , значит, его площадь равна произведению дробей 5/8 и 3/4 , то есть, ед 2 . Но закрашенный прямоугольник состоит из 15 «маленьких» прямоугольников, значит, его площадь равна 15/32 ед 2 . Следовательно, . Так как 5·3=15 и 8·4=32 , то последнее равенство можно переписать как , что подтверждает формулу умножения обыкновенных дробей вида .

Заметим, что с помощью озвученного правила умножения можно умножать и правильные и неправильные дроби, и дроби с одинаковыми знаменателями, и дроби с разными знаменателями.

Рассмотрим примеры умножения обыкновенных дробей .

Выполните умножение обыкновенной дроби 7/11 на обыкновенную дробь 9/8 .

Произведение числителей умножаемых дробей 7 и 9 равно 63 , а произведение знаменателей 11 и 8 равно 88 . Таким образом, умножение обыкновенных дробей 7/11 и 9/8 дает дробь 63/88 .

Вот краткая запись решения: .

Не следует забывать про сокращение полученной дроби, если в результате умножения получается сократимая дробь, и про выделение целой части из неправильной дроби.

Выполните умножение дробей 4/15 и 55/6 .

Применим правило умножения обыкновенных дробей: .

Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 10 позволяет утверждать, что числитель и знаменатель дроби 220/90 имеют общий множитель 10). Выполним сокращение дроби 220/90: НОД(220, 90)=10 и . Осталось выделить целую часть из полученной неправильной дроби: .

Заметим, что сокращение дроби можно проводить до вычисления произведений числителей и произведений знаменателей умножаемых дробей, то есть, когда дробь имеет вид . Для этого числа a , b , c и d заменяются их разложениями на простые множители, после чего сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.

Для пояснения, вернемся к предыдущему примеру.

Вычислите произведение дробей вида .

По формуле умножения обыкновенных дробей имеем .

Так как 4=2·2 , 55=5·11 , 15=3·5 и 6=2·3 , то . Теперь сокращаем общие простые множители: .

Остается лишь вычислить произведения в числителе и знаменателе, после чего выделить целую часть из неправильной дроби: .

Следует отметить, что для умножения дробей характерно переместительное свойство, то есть, умножаемые дроби можно менять местами: .

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Начнем с формулировки правила умножения обыкновенной дроби на натуральное число : умножение дроби на натуральное число дает дробь, числитель которой равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби.

С помощью букв правило умножения дроби a/b на натуральное число n имеет вид .

Формула следует из формулы умножения двух обыкновенных дробей вида . Действительно, представив натуральное число как дробь со знаменателем 1, получим .

Рассмотрим примеры умножения дроби на натуральное число.

Выполните умножение дроби 2/27 на 5 .

Умножение числителя 2 на число 5 дает 10 , поэтому в силу правила умножения дроби на натуральное число, произведение 2/27 на 5 равно дроби 10/27 .

Все решение удобно записывать так: .

При умножении дроби на натуральное число полученную дробь часто приходится сокращать, а если она еще и неправильная, то представлять ее в виде смешанного числа.

Умножьте дробь 5/12 на число 8 .

По формуле умножения дроби на натуральное число имеем . Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 2 указывает на общий делитель 2 числителя и знаменателя). Выполним сокращение дроби 40/12: так как НОК(40, 12)=4 , то . Осталось выделить целую часть: .

Вот все решение: .

Отметим, что сокращение можно было провести, заменив числа в числителе и знаменателе их разложениями на простые множители. В этом случае решение выглядело бы так: .

В заключение этого пункта заметим, что умножение дроби на натуральное число обладает переместительным свойством, то есть, произведение дроби на натуральное число равно произведению этого натурального числа на дробь: .

Умножение трех и большего количества дробей

То, как мы определили обыкновенные дроби и действие умножение с ними, позволяет утверждать, что все свойства умножения натуральных чисел распространяются и на умножение дробей.

Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют однозначно определить умножение трех и большего количества дробей и натуральных чисел . При этом все происходит по аналогии с умножением трех и большего количества натуральных чисел. В частности, дроби и натуральные числа в произведении можно для удобства вычисления переставлять местами, а при отсутствии скобок, указывающих порядок выполнения действий, мы можем сами расставить скобки любым из допустимых способов.

Рассмотрим примеры умножения нескольких дробей и натуральных чисел.

Выполните умножение трех обыкновенных дробей 1/20 , 12/5 , 3/7 и 5/8 .

Запишем произведение, которое нам нужно вычислить . В силу правила умножения дробей записанное произведение равно дроби, числитель которой равен произведению числителей всех дробей, а знаменатель – произведению знаменателей: .

Прежде чем вычислить произведения в числителе и знаменателе, целесообразно заменить все множители их разложениями на простые множители и провести сокращение (можно, конечно, сократить дробь и после умножения, но во многих случаях это требует больших вычислительных усилий): .

Выполните умножение пяти чисел .

В этом произведении удобно сгруппировать дробь 7/8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5/36 , это позволит упростить вычисления, так как при такой группировке очевидно сокращение. Имеем
.

www.cleverstudents.ru

Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь

То есть, умножению обыкновенных дробей a/b и c/d отвечает формула .

Рассмотрим примеры умножения обыкновенных дробей .

Выполните умножение обыкновенной дроби 7/11 на обыкновенную дробь 9/8 .

Вот краткая запись решения: .

Выполните умножение дробей 4/15 и 55/6 .

Применим правило умножения обыкновенных дробей: .

Для пояснения, вернемся к предыдущему примеру.

Вычислите произведение дробей вида .

По формуле умножения обыкновенных дробей имеем .

Так как 4=2·2 , 55=5·11 , 15=3·5 и 6=2·3 , то . Теперь сокращаем общие простые множители: .

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

С помощью букв правило умножения дроби a/b на натуральное число n имеет вид .

Рассмотрим примеры умножения дроби на натуральное число.

Выполните умножение дроби 2/27 на 5 .

Все решение удобно записывать так: .

Умножьте дробь 5/12 на число 8 .

Вот все решение: .

Умножение трех и большего количества дробей

Рассмотрим примеры умножения нескольких дробей и натуральных чисел.

Выполните умножение трех обыкновенных дробей 1/20 , 12/5 , 3/7 и 5/8 .

Выполните умножение пяти чисел .

Умножение дробей

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Умножение дроби на натуральное число

Умножение смешанных чисел

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Умножение смешанных чисел: правила, примеры, решения.

В этой статье мы разберем умножение смешанных чисел . Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять умножение смешанного числа и обыкновенной дроби.

Навигация по странице.

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого достаточно выполнить перевод смешанных чисел в неправильные дроби.

Запишем правило умножения смешанных чисел :

Во-первых, умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дробь.

Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.

Выполните умножение смешанных чисел и .

Сначала представим умножаемые смешанные числа в виде неправильных дробей: и . Теперь мы можем умножение смешанных чисел заменить умножением обыкновенных дробей: . Применив правило умножения дробей, получаем . Полученная дробь несократима (смотрите сократимые и несократимые дроби), но она неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), поэтому, для получения окончательного ответа осталось выполнить выделение целой части из неправильной дроби: .

Запишем все решение в одну строку: .

Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение еще одного примера.

Выполните умножение .

Смешные числа и равны соответственно дробям 13/5 и 10/9 . Тогда . На этом этапе самое время вспомнить про сокращение дроби: заменим все числа в дроби их разложениями на простые множители, и выполним сокращение одинаковых множителей.

Умножение смешанного числа и натурального числа

После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа приводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа.

Выполните умножение смешанного числа и натурального числа 45 .

Смешанное число равно дроби , тогда . Заменим числа в полученной дроби их разложениями на простые множители, произведем сокращение, после чего выделим целую часть: .

Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно проводить с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения. В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть, .

Вычислите произведение .

Заменим смешанное число суммой целой и дробной части, после чего применим распределительное свойство умножения: .

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби удобнее всего свести к умножению обыкновенных дробей, представив умножаемое смешанное число в виде неправильной дроби.

Умножьте смешанное число на обыкновенную дробь 4/15 .

Заменив смешанное число дробью , получаем .

Умножение дробных чисел

§ 140. Определения . 1) Умножение дробного числа на целое определяется так же, как и умножение целых чисел, а именно: умножить какое-нибудь число (множимое) на целое число (множитель) – значит составить сумму одинаковых слагаемых, в которой каждое слагаемое равно множимому, а число слагаемых – множителю.

Так умножить на 5 – значит найти сумму:
2) Умножить какое-нибудь число (множимое) на дробь (множитель) значит найти эту дробь множимого.

Таким образом, нахождение дроби от данного числа, рассмотренное нами перед этим, мы будем теперь называть умножением на дробь.

3) Умножить какое-нибудь число (множимое) на смешанное число (множитель) – значит умножить множимое сперва на целое число множителя, потом на дробь множителя, и результаты этих двух умножений сложить между собой.

Например:

Число, получаемое после умножения, во всех этих случаях называется произведением , т. е. так же, как и при умножении целых чисел.

Из этих определений видно, что умножение дробных чисел есть действие всегда возможное и всегда однозначное.

§ 141. Целесообразность этих определений. Чтобы уяснить себе целесообразность введения в арифметику двух последних определений умножения, возьмем такую задачу:

Задача. Поезд, двигаясь равномерно проходит в час 40 км; как узнать, сколько километров пройдет этот поезд в данное число часов?

Если бы мы остались при том одном определении умножения, которое указывается в арифметике целых чисел (сложение равных слагаемых), то наша задача имела бы три различных решения, а именно:

Если данное число часов целое (например 5 часов), то для решения задачи надо 40 км умножить на это число часов.

Если данное число часов выражается дробью (например часа), то придется найти величину этой дроби от 40 км.

Наконец, если данное число часов смешанное (например часа), то надо будет 40 км умножить на целое число, заключающееся в смешанном числе, и к результату добавить еще такую дробь от 40 км, какая есть в смешанном числе.

Данные нами определения позволяют на все эти возможные случаи дать один общий ответ:

надо 40 км умножить на данное число часов, каково бы оно ни было.

Таким образом, если задачу представить в общем виде так:

Поезд, двигаясь равномерно, проходит в час v км. Сколько километров поезд пройдет в t часов?

то, какие бы ни были числа v и t, мы можем высказать один ответ: искомое число выражается формулой v · t.

Примечание. Найти какую-нибудь дробь данного числа, по нашему определению, означает то же самое, что умножить данное число на эту дробь; поэтому, например, найти 5% (т.е. пять сотых) данного числа означает то же самое, что умножить данное число на или на ; найти 125% данного числа означает то же, что умножить это число на или на , и т. д.

§ 142. Замечание о том, когда от умножения число увеличивается и когда оно уменьшается.

От умножения на правильную дробь число уменьшается, а от умножения на неправильную дробь число увеличивается, если эта неправильная дробь больше единицы, и остается без изменения, если она равна единице.
Замечание. При умножении дробных чисел, так же как и целых, произведение принимается равным нулю, если какой-нибудь из сомножителей равен нулю так, .

§ 143. Вывод правил умножения.

1) Умножение дроби на целое число. Пусть требуется дробь умножить на 5. Это значит увеличить в 5 раз. Чтобы увеличить дробь в 5 раз, достаточно увеличить ее числитель или уменьшить ее знаменатель в 5 раз (§ 127).

Поэтому:
Правило 1-е. Чтобы умножить дробь на целое число, надо умножить на это целое число числитель, а знаменатель оставить тот же; вместо этого можно также разделить на данное целое число знаменатель дроби (если это возможно), а числитель оставить тот же.

Замечание. Произведение дроби на ее знаменатель равно ее числителю.

Так:
Правило 2-е. Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить целое число на числитель дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби.
Правило 3-е. Чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе знаменателем произведения.

Замечание. Это правило можно применять и к умножению дроби на целое число и целого числа на дробь, если только целое число будем рассматривать как дробь со знаменателем единица. Так:

Таким образом, изложенные сейчас три правила заключаются в одном, которое в общем виде можно выразить так:
4) Умножение смешанных чисел.

Правило 4-е. Чтобы умножить смешанные числа, надо обратить их в неправильные дроби и затем умножить по правилам умножения дробей . Например:
§ 144. Сокращение при умножении . При умножении дробей, если это возможно, надо делать предварительное сокращение, как это видно из следующих примеров:

Такое сокращение возможно делать потому, что величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее будут уменьшены в одинаковое число раз.

§ 145. Изменение произведения с изменением сомножителей. Произведение дробных чисел при изменении сомножителей изменится совершенно так же, как и произведение целых чисел (§ 53), а именно: если увеличить (или уменьшить) какой-нибудь сомножитель в несколько раз, то и произведение увеличится (или уменьшится) во столько же раз.

Так, если в примере:
чтобы перемножить несколько дробей, надо перемножить их числители между собой и знаменатели между собой и первое произведение сделать числителем, а второе знаменателем произведения.

Замечание. Это правило можно применять и к таким произведениям, в которых некоторые множители числа целые или смешанные, если только целое число будем рассматривать как дробь, у которой знаменатель единица, а смешанные числа будем обращать в неправильные дроби. Например:
§ 147. Основные свойства умножения. Те свойства умножения, которые были нами указаны для целых чисел (§ 56, 57, 59), принадлежат и умножению дробных чисел. Укажем эти свойства.

1) Произведение не изменяется от перемены мест сомножителей.

Например:

Действительно, согласно правилу предыдущего параграфа первое произведение равно дроби , а второе равно дроби . Но эти дроби одинаковы, потому что их члены отличаются только порядком целых сомножителей, а произведение целых чисел не изменяется при перемене мест сомножителей.

2) Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.

Например:

Результаты получаются одинаковыми.

Из этого свойства умножения можно вывести такое заключение:

чтобы умножить какое-нибудь число на произведение, можно умножить это число на первый сомножитель, полученное число умножить на второй и т.д.

Например:
3) Распределительный закон умножения (относительно сложения). Чтобы умножить сумму на какое-нибудь число, можно умножить на это число каждое слагаемое отдельно и результаты сложить.

Закон этот был нами объяснен (§ 59) в применении к целым числам. Он остается верным без всяких изменений и для дробных чисел.

Покажем, в самом деле, что равенство

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(распределительный закон умножения относительно сложения) остается верным и тогда, когда буквы означают дробные числа. Рассмотрим три случая.

1) Предположим сначала, что множитель m есть число целое, например m = 3 (a, b, c – какие угодно числа). Согласно определению умножения на целое число можно написать (ограничиваясь для простоты тремя слагаемыми):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

На основании сочетательного закона сложения мы можем в правой части опустить все скобки; применяя же переместительный закон сложения, а потом снова сочетательный, мы можем, очевидно, переписать правую часть так:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Значит, распределительный закон в этом случае подтверждается.

Деление дроби на натуральное число

Разделы: Математика

Тип урока: ОНЗ (открытие новых знаний – по технологии деятельностного метода обучения).

Вывести приемы деления дроби на натуральное число;
Сформировать способность к выполнению деления дроби на натуральное число;
Повторить и закрепить деление дробей;
Тренировать способность к сокращению дробей, анализу и решению задач.

Оборудование демонстрационный материал:

1. Задания для актуализации знаний:

2. Пробное (индивидуальное) задание.

1. Выполните деление:

2. Выполните деление, не выполняя всю цепочку вычислений: .

При делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.

Если числитель делится на натуральное число, то при делении дроби на это число можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить прежним.

I. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.

Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности («надо»);
Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»);
Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу»).

Организация учебного процесса на этапе I.

Здравствуйте! Я рада видеть вас всех на уроке математики. Надеюсь, это взаимно.

Ребята, какие новые знания вы приобрели на прошлом уроке? (Делить дроби).

Верно. Что вам помогает выполнять деление дробей? (Правило, свойства).

Где эти знания нам необходимы? (В примерах, уравнениях, задачах).

Молодцы! Вы хорошо справились с заданиями на прошлом уроке. Хотите и сегодня открыть сами новые знания? (Да).

Тогда – в путь! А девизом урока возьмём высказывание «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!».

II. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.

Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания. Зафиксировать эти способы вербально (в речи) и знаково (эталон) и обобщить их;
Организовать актуализацию мыслительных операций и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;
Мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;
Предъявить индивидуальное задание для пробного действия и проанализировать его с целью выявления нового учебного содержания;
Организовать фиксацию образовательной цели и темы урока;
Организовать выполнение пробного действия и фиксацию затруднения;
Организовать анализ полученных ответов и зафиксировать индивидуальные затруднения в выполнении пробного действия или его обоснования.

Организация учебного процесса на этапе II.

Фронтально, с использованием планшетов (индивидуальных досок).

1. Сравните выражения:

(Эти выражения равны)

Что интересного вы заметили? (Числитель и знаменатель делимого, числитель и знаменатель делителя в каждом выражении увеличились в одно и то же число раз. Т.о., делимые и делители в выражениях представлены дробями, равными между собой).

Найдите значение выражения и запишите на планшете. (2)

Как записать это число в виде дроби?

Как вы выполнили действие деления? (Дети проговаривают правило, учитель вывешивает на доску буквенные обозначения)

2. Вычислите и запишите только результаты:

3. Сложите полученные результаты и запишите ответ. (2)

Как называется число, полученное в задании 3? (Натуральное)

Как вы думаете, сможете ли дробь разделить на натуральное число? (Да, постараемся)

Попробуйте это выполнить.

4. Индивидуальное (пробное) задание.

Выполните деление: (только пример а)

По какому правилу вы выполнили деление? (По правилу деления дроби на дробь)

А теперь разделите дробь на натуральное число более простым способом, не выполняя всю цепочку вычислений: (пример б). Даю вам на это 3 секунды.

У кого не получилось выполнить задание за 3 секунды?

У кого получилось? (Нет таких)

Почему? (Не знаем способа)

Что получили? (Затруднение)

А как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Делить дроби на натуральные числа)

Верно, откройте тетради и запишите тему урока «Деление дроби на натуральное число».

Почему эта тема звучит как новая, ведь вы уже умеете делить дроби? (Нужен новый способ)

Верно. Сегодня установим приём, упрощающий деление дроби на натуральное число.

III. Выявление места и причины затруднения.

Организовать восстановление выполненных операций и зафиксировать (вербальную и знаковую) место – шага, операции, где возникло затруднение;
Организовать соотнесение действий учащихся с используемым способом (алгоритмом) и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостает для решения исходной задачи такого типа.

Организация учебного процесса на этапе III.

Какое задание вы должны были выполнить? (Разделить дробь на натуральное число, не проделывая всю цепочку вычислений)

Что вызвало у вас затруднение? (Не смогли решить за короткое время быстрым способом)

Какую цель мы ставим перед собой на уроке? (Найти быстрый способ деления дроби на натуральное число)

Что вам поможет? (Уже известное правило деления дробей)

IV. Построение проекта выхода из затруднения.

Уточнение цели проекта;
Выбор способа (уточнение);
Определение средств (алгоритм);
Построение плана достижения цели.

Организация учебного процесса на этапе IV.

Вернёмся к пробному заданию. Вы сказали, что делили по правилу деления дробей? (Да)

Для этого заменили натуральное число дробью? (Да)

Какой шаг (или шаги), на ваш взгляд, можно пропустить?

(На доске открыта цепочка решения:

Проанализируйте и сделайте вывод. (Шаг 1)

Если нет ответа, то подводим через вопросы:

Куда попал натуральный делитель? (В знаменатель)

Числитель изменился при этом? (Нет)

Так какой шаг можно «опустить»? (Шаг 1)

Умножить знаменатель дроби на натуральное число.
Числитель не изменяем.
Получаем новую дробь.

V. Реализация построенного проекта.

Организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний;
Организовать фиксацию построенного способа действия в речи и знаков (с помощью эталона);
Организовать решение исходной задачи и зафиксировать преодоление затруднения;
Организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе V.

А теперь выполните пробный пример новым способом быстро.

Теперь вы смогли выполнить задание быстро? (Да)

Объясните, как вы это сделали? (Дети проговаривают)

Значит, мы получили новое знание: правило деления дроби на натуральное число.

Молодцы! Проговорите его в парах.

Затем один ученик проговаривает классу. Фиксируем правило-алгоритм словесно и в виде эталона на доске.

Введите теперь буквенные обозначения и запишите формулу для нашего правила.

Ученик записывает на доске, проговаривая правило: при делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.

(Все пишут формулу в тетрадях).

А теперь ещё раз проанализируйте цепочку решения пробного задания, обратив особое внимание на ответ. Что сделали? (Числитель дроби 15 разделили (сократили) на число 3)

Что это за число? (Натуральное, делитель)

Так как еще можно разделить дробь на натуральное число? (Проверить: если числитель дроби делится на это натуральное число, то можно числитель разделить на это число, результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним)

Запишите этот способ в виде формулы. (Ученик записывает на доске проговаривая правило. Все записывают формулу в тетрадях.)

Вернёмся к первому способу. Можно им пользоваться в случае, если a:n? (Да, это общий способ)

А когда второй способ удобно применять? (Когда числитель дроби делится на натуральное число без остатка)

VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении типовых задач с их проговариванием во внешней речи (фронтально, в парах или группах).

Организация учебного процесса на этапе VI.

Вычисли новым способом:

№363 (а; г) – выполняют у доски, проговаривая правило.
№363 (д; е) – в парах с проверкой по образцу.

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на новый способ действия;
Организовать самопроверку на основе сопоставления с эталоном;
По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию усвоения нового способа действия.

Организация учебного процесса на этапе VII.

Вычисли новым способом:

Учащиеся проверяют по эталону, отмечают правильность выполнения. Анализируются причины ошибок и ошибки исправляются.

Учитель спрашивает тех учащихся, кто допустил ошибки, в чём причина?

На этом этапе важно, чтобы каждый учащийся самостоятельно проверил свою работу.

Перед решением задания 8) рассмотреть пример из учебника:

IX. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке;
Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения выполнения требований, известных учащимся;
Организовать оценивание учащимися собственной деятельности на уроке;
Организовать фиксацию неразрешённых затруднений на уроке как направления будущей учебной деятельности;
Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Организация учебного процесса на этапе IX.

Ребята, какое новое знание вы сегодня открыли? (Научились делить дробь на натуральное число простым способом)

Сформулируйте общий способ. (Говорят)

Каким способом, и в каких случаях можно пользоваться ещё? (Говорят)

В чём преимущество нового способа?

Достигли ли мы поставленной нами цели урока? (Да)

Какие знания вы использовали для достижения цели? (Говорят)

Всё ли у вас получилось?

В чём были затруднения?

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Умножение дроби на натуральное число

Умножение смешанных чисел

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Действия с дробями

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко - два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью - НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби - число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

Найти НОК знаменателей дробей;
Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;

Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби - число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби - число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок - дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби - число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби - число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби - число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД - это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

А НОК - это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

НОД (20 и 30) = 10

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

Получили красивый ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

НОД для (105 и 150) равен 15

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

обратным числа 3 является дробь
обратным числа 4 является дробь

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Простое число умножить на дробь. Умножение дроби на целое число. Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения

Как умножать десятичные дроби

Умножение дробей

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Умножение дроби на натуральное число

Умножение смешанных чисел

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Как умножить дробь на целое число правило

Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Общие принципы умножения десятичных дробей

Умножение десятичных дробей столбиком

Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.

Умножение десятичной дроби на натуральное число

Умножение десятичной дроби на 10, 100, …

Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число

Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.

Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Умножение трех и большего количества дробей

Популярное:

Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Умножение трех и большего количества дробей

Умножение дробей

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Умножение дроби на натуральное число

Умножение смешанных чисел

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Умножение смешанных чисел: правила, примеры, решения.

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанного числа и натурального числа

Умножение дробных чисел

Деление дроби на натуральное число

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Умножение дроби на число.

Умножение смешанных дробей.

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Умножение дроби на натуральное число

Умножение смешанных чисел

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Действия с дробями

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение дроби на число

Умножение дробей

Представление целого числа в виде дроби

Обратные числа

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Умножение смешанных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Многоэтажные дроби.