Урок по теме «Показательная и логарифмическая функция их свойства и применение».
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
Ø обеспечить усвоение обучающими знаний о показательной функции и логарифмической функции, их свойствах;
Ø формировать умение строить графики показательной и логарифмической функций;
Ø научить выявлять свойства логарифмической функции по графику;
Ø показать практическое значение свойств показательной и логарифмической функции;
Ø создать условия для развития умений получать знания посредством проведения исследовательской деятельности и анализа ситуации.
Задачи урока:
Образовательная :
ознакомить обучающихся с понятиями о показательной и логарифмической функции;
изучить основные свойства этих функций;
повторить определение логарифма, план исследования свойств функции;
вспомнить график и свойства;
сформировать умение строить графики показательной и логарифмической функции;
формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки, способствовать развитию творческой деятельности учащихся.
Развивающая:
Способствовать
развитию сознательного восприятия учебного материала, зрительной памяти, математической речи обучающихся внимания, развитию логического мышления, математической интуиции;
умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях;
обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли;
развивать межпредметную связь
Воспитательная :
Воспитание познавательной активности, воспитать у обучающихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.
Средства обучения: компьютер, классная доска, слайдовая презентация, учебник «Алгебра и начала анализа10-11» под редакцией, чертёжные инструменты, карточки.
Время: 90 мин
План урока
Организационный момент | ||
Актуализация познавательного интереса к изучаемой теме в форме игры | ||
Подготовка к усвоению нового учебного материала. Проблемная ситуация | ||
Усвоение новых знаний. | ||
Первичная проверка понимания учащимися нового материала | ||
Применение показательной функции (сообщения студентов) | ||
Закрепление новых знаний. | ||
Вторая часть урока. Актуализация познавательного интереса к изучаемой теме Логарифмическая функция | ||
Применение логарифмической функции (сообщения студентов) | ||
Итоговое закрепление. Блиц - опрос – графический диктант | ||
Подведение итогов урока. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении |
Ход урока.
1. .Организационный. момент . Проверка готовности обучающихся к уроку. объявление темы, цели и задач урока Вам предстоит сегодня много рассуждать, делать выводы, спорить
2. Актуализация познавательного интереса к изучаемой теме .
Игра «Самая умная на уроке» слайд 4
Эта игра проводится с целью актуализации знаний обучающихся на уроке изучения нового материала.
Обучающимся предлагается в течение 1-2 минут отвечать на вопросы. (листочки розданы заранее). Звание «самой умной на уроке» присваивается тому, кто ответил на большее количество вопросов. (Итог в конце урока - можно приготовить мини - призы)
Вопросы:
1) Независимая переменная (х )
2) Наглядный способ задания функции (графический )
3) График четной функции симметричен относительно оси (Оу )
4) График квадратичной функции называется (парабола )
5) Что обозначают буквой D (область определения )
6) Способ задания функции с помощью формулы (аналитический )
7) График какой функции - прямая (линейной )
9) Свойство функции f(- x) = f(x) (четность )
10) Множество значений, принимаемых независимой переменной (область определения )
11) Что обозначают буквой Е? (область значений )
12) График нечетной функции симметричен относительно (начала координат )
13) О чем речь? Чем выше в гору, тем ниже давление. (убывание )
14) Множество целых чисел обозначается буквой? (Z)
15) Точки пересечения графики функции с осью Ох (нули функции )
16) Множество действительных чисел обозначается буквой? (R )
17) Свойство функции f(- x) = - f(x) (нечетность )
Проверка ответов слайд 5
3. Подготовка к усвоению нового учебного материала. Проблемная ситуация
На сегодняшнем уроке речь вновь пойдёт о функции. С этим важнейшим математическим понятием мы встречаемся на протяжение всего курса изучения математики. Многое о функции мы уже знаем, и многое нам предстоит ещё узнать.
Готовясь к сегодняшнему уроку, вы повторяли определение функции, виды изученных функций, а также схему исследования функции. Итак, вспоминаем основные положения темы «Функция»
Вопросы для беседы:
1. Что такое функция?
2. Основные способы задания функции?
3. Что такое область определения функции?
4. Что такое область значений функции?
5. Какие функции вы знаете? – линейная, прямая (обратная пропорциональность), квадратичная, тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс, котангенс
Подведение итога опроса
Слово «функция» происходит от латинского слова (лат. functio - «исполнение, совершение осуществление»), слайд 6
Более строгое математическое определение функции звучит так: Функция - это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом функции, так как её значения выбираются произвольно, а переменную у называют зависимой, так как значения у зависят от х, вычисляются по определенному правилу f при заданном значении
Зачем же нужно изучать функции ?
Ø -с помощью функций люди описывают различные явления, происходящие в природе и обществе.
Ø -* с помощью линейной функции описывается зависимость пройденного пути от времени движения при равномерном движении (s=s(t) при v=const);
Ø с помощью обратной пропорциональности описывается: зависимость плотности вещества от объёма тела Контрольные работы" href="/text/category/kontrolmznie_raboti/" rel="bookmark">контрольной работе зависит от количества и правильности выполненных заданий, стоимость покупки от количества купленного товара и цен. Одни зависимости носят случайный характер, другие постоянны.
Проблемная ситуация
Как будем называть функции такого вида? Рассмотрим следующие зависимости с лайд 7
Рост древесины
происходит по закону
A=
A0*
akt
A-
изменение количества древесины во времени;
A
0- начальное количество древесины;
t
-время, к, а-
некоторые постоянные.
Давление воздуха
убывает с высотой по закону
:P=
P0*
a-
kh
P
- давление на высоте h, P0
- давление на уровне моря,
а
- некоторая постоянная.
Изменение количества бактерий N=5 t
N -число колоний бактерий в момент времени t
t - время размножения
Что общее объединяет эти процессы? Слайд 7 - схожесть вида формулы, задающей закон у=с·акх
4 . Усвоение новых знаний.
Определение показательной функции . Основные свойства, график показательной функции, экспонента слайд 8 -12
Рассматривая графики на слайде 6 сравнить основания https://pandia.ru/text/80/170/images/image003_2.gif" width="57" height="41 src=">и сделать вывод: Чем больше основание, тем более пологий график.
5 .Первичная проверка понимания учащимися нового материала слайд 14--12
Задание А1 Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию, которая является показательной
Задание А2 Укажите вид графика для функции
слайд 15
https://pandia.ru/text/80/170/images/image010_0.gif" width="69" height="25">Задание А3 Дан график функции. Укажите эту функцию слайд 16
Задание А4 Выберите функцию возрастающую на R слайд 17
Задание А6 Решите уравнения : слайд 19
https://pandia.ru/text/80/170/images/image023.gif" width="323" height="21 src=">
Задание В1 Укажите область значений функции left">
Задание В2 Какое из указанных чисел входит в область значений функции слайд 21
1.2 2. 2 3..3 4. 5
Решение: для любого
Задание В3 Укажите график функции : слайд 22
Ответ: 4
Задание В4 График какой функции изображен на рисунке?
https://pandia.ru/text/80/170/images/image037.gif" width="103" height="45 src=">, где m - масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т. д.
3. Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: (формула). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.
4. Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебания, выражается формулой: 
. Так как множитель е-kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше.
5. Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна: , где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.
Также с помощью показательной функции описываются процессы размножения живых организмов, явления «затухания» и «органического роста».
Данные процессы носят общее название процессов органического изменения величин.
Как видите, во всех приведенных выше исследованиях использовалась показательная функция.
Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции:
Пьер Кюри - 1903 г.
Ричардсон Оуэн - 1928 г.
Игорь Тамм - 1958 г.
Альварес Луис - 1968 г.
Альфвен Ханнес - 1970 г.
Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения, например, функцию е-x используют в задачах, требующих применения биноминального закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона Релея (длина случайного вектора).
Вывод: Показательная функция применяется при описании процессов природы и общества, а также свойства показательной функции применяются при решении математических задач
7. Закрепление новых знаний
а) Устно .(студенты выбирают верный ответ, обосновывая выбор)
1.« Выбери показательную функцию».
а) Функции заранее записаны на доске
; ; ; ; ; ; ; ; ; .
б) . Из предложенного списка функций, возрастающую показательную функцию,
слайде 37 )
2.Верно ли, что показательная функция:
имеет экстремумы;
принимает значение, равное 0;
принимает значение, равное 1;
является чётной;
принимает только положительные значения;
принимает отрицательные значения?
7. Вторая часть урока. Актуализация познавательного интереса к изучаемой теме Логарифмическая функция
а) Повторение понятий степени числа и логарифма числа. слайд 38
б) Предлагается решить студентам задания устной разминки – Морской бой. слайд 39 Называя координаты ячейки и открывая её, считаем логарифмы. В некоторых ячейках есть буквы. После решения всех заданий из этих букв выстраивается фамилия Непер – математик, изобретатель логарифмов. краткая справка о Джоне Непере слайд 40
На слайде 41 появляется портрет великого математика – Леонарда Эйлера и краткая справка о нём.
Вопрос: Как вы думаете в связи с чем появился портрет этого учёного? Определение логарифмической функции – это заслуга Леонарда Эйлера.
8. Определение логарифмической функции слайд 42
Определение взаимно-обратной функции, взаимное расположение графиков взаимно-обратной функции .
Показательная и логарифмические функции являются взаимно-обратными.
График логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой у = х.
Студентам предлагается сделать эскизы графиков при a > 1 для https://pandia.ru/text/80/170/images/image072.gif" width="68" height="23 src="> (1 вариант) и (2вариант). Правильность табличных результатов и графиков проверяется с помощью слайд 44.
На слайде 45 задание по графику определить функцию
Студентам предлагается сделать эскиз графика функции Астрономия" href="/text/category/astronomiya/" rel="bookmark">астрономии :
Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график:
Рис 4 –Величина блеска звёзд
Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной - показания приборов.
По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.
Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль.
Рис 5 Логарифмическая спираль
Спираль, по определению - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(j), где r - радиус-вектор спирали, j - угол, откладываемый на полярной оси, f(j) - некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону (, где a произвольное положительное число).
Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали.
Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.
Но форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и например: ракушки многих улиток, рога козлов, паутина паука, семечки подсолнуха.
В физике тоже есть немало примеров применения логарифмической функции и логарифмов.
Например, подобно оценки блеска звезд, оценивается громкость шума. Единицей громкости служит «бел», практически его десятая доля – децибел. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела и т. д. – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая сила этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Разности громкости в 1 бел соответствует отношение силы шумов 10. Это значит, что выраженная в белах громкость шума, равна десятичному логарифму его физической силы.
Заметим, что в физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов показательная, логарифмическая функции, экспонента и логарифмы применяются очень широко, но как правило не как описание отдельного процесса или комплекса процессов, а входят в состав сложных уравнений и систем уравнений и формул, описывающих данный процесс.
Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике: Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным.
Задача. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 1,5 раза? Решение на слайде 60
Логарифмическая функция крайне важна в экономике, физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов, астрономии и др. Форма логарифмической спирали присуща многим природным объектам
Построить график логарифмической функции
10. Итоговое закрепление. Блиц - опрос – графический диктант, чтобы проверить себя, на сколько каждый понял изученный материал (слайд 62) . Необходимо ответить только «да» или «нет». Проверяется сразу.
Вопросы:
1. Ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.
2. Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.
3. Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая, а область значений этой функции – промежуток
4. Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма.
5. Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1; 0).
6. Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по-другому расположенная в координатной плоскости.
7. Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма.
8. Логарифмическая и показательная функции не являются функциями общего вида.
9. Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при а > 1 и наоборот при 0 < a < 1 .
Проверка: да, да, нет, да, нет, да, нет, да, нет. слайд 63
11.Домашнее задание : Учебник, стр.216-218, 229-231 – учить правила
№ 000(а, б),№ 000(б, в), № 000(а, в).
12. Подведение итогов и результатов работы на уроке (рефлексия).
Рефлексия
1. О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока и, что теперь вам стало ясно?
2. Что нового вы узнали о логарифмической и показательной функциях и их приложениях?
3. Какая информация вас заинтересовала?
4. С какими трудностями вы столкнулись при решении нестандартных заданий?
5. Понравился ли вам сегодняшний урок?
6. Вы считаете, что урок прошел плодотворно, с пользой.
7. Вы научились и можете помочь другим.
8. Вы считаете, что научились, но вам еще нужна помощь.
9. Вы считаете, что было трудно на уроке.
10. Оцениваю тестовую работу, работу по карточкам, устную работу, сообщение, работу у доски
На этом уроке мы поговорим о показательной и логарифмической функциях. Их обычно изучают вместе, так как они взаимно обратные. Мы поговорим о применении этих функций, о том, почему именно эти функции выделены для изучения.
Показательная функция используется при описании всех явлений, которые мы называем лавинообразными процессами. Если сказать четче, то это процессы, где изменение величины пропорционально уже имеющемуся количеству величины (чем больше, тем больше меняется; чем меньше, тем меньше меняется).
Примером такого процесса является размножение бактерий. Рассмотрим такую задачу. В стакане есть одна бактерия. Каждую секунду она делится на две бактерии, новые бактерии так же каждую секунду делятся на две и т.д. За минуту весь стакан был заполнен бактериями. Сколько бактерий было в стакане за секунду до этого?
Хочется сказать, что было заполнено чуть меньше целого стакана, где-то , но правильный ответ: половина стакана. Если заполнена половина стакана, то через секунду каждая бактерия разделится на части, и они заполнят весь стакан. Как видим, первая половина стакана заполнялась секунд, а вторая половина заполнилась лишь за секунду.
Таяние ледников
Наверняка все слышали о проблеме таяния льдов на планете. Почему возникают такие процессы оледенения и, наоборот, потепления? Они были и раньше, хотя сейчас говорят, что ключевое влияние на их скорость оказывает деятельность человека. Есть разные гипотезы, но это не так важно.
Важнее то, что уменьшение количества льда увеличивает количество поглощаемой солнечной энергии. То есть, чем меньше становится льда, тем быстрее он будет таять. Процесс экспоненциальный, или, по-другому, самовызывающийся, самоподпитывающийся.
Такой процесс описывается показательной функцией (или экспонентой) : (Рис. 1). - основание, , , а - показатель степени, изменяющаяся величина.
Рис. 1. График функции
Еще один пример показательной функции, который многим знаком, - сложные проценты
. Если мы кладем деньги в банк под фиксированный процент, при этом деньги не снимаем, а процент начисляется на всю имеющуюся сумму, то сумма, которую мы получим через периодов: 
, где - начальный вклад, - процентная ставка, - количество пройденных периодов (лет, месяцев и т.п.). Сначала сумма будет расти медленно, но затем рост ускорится.
Еще один хороший пример. Если возвести в степень, то мы получим приблизительно , а вот в степени , это практически . Если представить этот пример в виде процентов, то в первом случае начисляется в день, тогда за год сумма увеличится в раз. А во втором случае снимается один процент в день, тогда через год почти ничего не останется.
При этом одной из характерных особенностей показательной функции является то, что до при такой схеме сумма уменьшиться не может. Похожий пример из ядерной физики - период полураспада. У радиоактивных элементов есть период полураспада, например, за лет масса вещества уменьшится в раза (Рис. 2).
Рис. 2. Таблица периодов полураспада некоторых элементов
То есть если мы имели килограмм вещества, то за первые лет уйдет грамм вещества (достаточно много), а за следующие лет - уже грамм и т.д. А потом будет период, где за лет уйдет около грамма вещества. Это пример убывающей экспоненты.
Если рассмотреть множество всех функций и выделить среди них те, которые обладают следующим свойством: , то оно будет выполнено для показательных функций: 
.
Мы рассмотрели функцию и то, как зависит от , а как будет зависеть от ? Для описания этой зависимости вводят обратную функцию - логарифм . , логарифм - это показатель степени.
Пример, который поможет понять, что такое логарифм, следующий. Пусть у нас есть коробочек, в одной из них монета. За какое наименьшее количество вопросов (с ответом «да/нет») можно ее найти? В данном случае можно сделать это за вопроса. С каждым ответом можно в раза уменьшить количество вариантов, спрашивая, например, «Нужная коробка в левой/правой половине?» То есть после первого вопроса остается варианта, после второго - , а после третьего мы точно знаем расположение нужной коробки.
Похожий алгоритм используется в компьютерной игре «Акинатор» , где джин за небольшое количество вопросов называет загаданного вами персонажа. В очень большом количестве случаев, особенно когда загадывается известная личность, он справляется со своей задачей. Кажется, что количество различных персонажей огромное и угадать их слишком сложно. Но алгоритм этой программы основан на свойствах логарифмической функции. Выбираются вопросы, позволяющие отсекать наиболее обширные категории (например, мужчина/женщина). Тогда ответ на вопрос в раза уменьшит количество вариантов.
Ещё одна похожая игра называется игрой Бар-Кохбы . По легенде, это был военачальник, который послал лазутчика в лагерь противника. Его захватили враги и отрезали ему язык, чтобы он не мог говорить. Лазутчику удалось сбежать, он многое видел, но рассказать не мог. Тогда Бар-Кохба придумал выход из ситуации: задавал вопросы, а шпион только кивал головой, отвечая «да/нет». Таким образом Бар-Кохба сумел узнать нужную информацию.
До появления инженерных калькуляторов и компьютеров логарифмы использовали также для вычисления значений различных выражений: для этого применяли так называемую логарифмическую линейку (Рис. 3).
Рис. 3. Логарифмическая линейка
Принцип её работы основан на свойстве логарифма: . То есть для логарифмической функции верно следующее: .
Где встречаются логарифмы
Предположим в городе действует группа злоумышленников, которая заложила бомбу. В эту группу внедрён агент, которому звонит полицейский. Но агент находится в окружении бандитов и не может просто передать информацию о расположении бомбы. Поэтому он говорит, что ему звонит жена, на все вопросы можно отвечать лишь «Нет, дорогая» или «Да, дорогая».
Чтобы при таких условиях все же передать место расположения бомбы, можно сделать следующее: разделить город на квадрата (Рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
После этого за таких вопросов можно определить нужный квадрат, каждый раз уменьшая количество вариантов вдвое. Например, вопросом «Это квадрат ?» и т.д.
Если увеличить количество ответов до трех («Да, дорогая», «Нет, дорогая, «Не знаю, дорогая», то тогда для квадратов будет достаточно вопросов ().
Еще один хороший пример, в котором мы сталкиваемся с логарифмами, - то, как мы слышим. Если бы наши органы слуха работали по линейному закону, то, для того чтобы услышать шорох змеи, нам бы пришлось глохнуть от раскатов грома. Или наоборот: если бы мы не глохли от грома, то совсем не слышали бы шорох змеи. Хотя для выживания человеку нужно слышать и то, и то. Поэтому наш слух описывается логарифмической шкалой, то есть увеличение громкости на одно и то же число ( дБ), не приводит к такому же росту нашего восприятия этого звука (Рис. 5).
Определение Функция, заданная формулой y = a x (где а>0, а1), называется показательной функцией с основанием а Показательная функция 0, а1), называется показательной функцией с основанием а Показательная функция"> 0, а1), называется показательной функцией с основанием а Показательная функция"> 0, а1), называется показательной функцией с основанием а Показательная функция" title="Определение Функция, заданная формулой y = a x (где а>0, а1), называется показательной функцией с основанием а Показательная функция"> title="Определение Функция, заданная формулой y = a x (где а>0, а1), называется показательной функцией с основанием а Показательная функция">
График показательной функции График функции График функции y = a x при a > 1 График функции График функции y = a x при 0 1 График функции График функции y = a x при 0 1 График функции График функции y = a x при 0 1 График функции График функции y = a x при 0 1 График функции График функции y = a x при 0 title="График показательной функции График функции График функции y = a x при a > 1 График функции График функции y = a x при 0
Показательная функция. Построение графика показательной функции 1 x y c b=a c y = a x a >1 a>1 возрастающая Если основание a>1, то функция возрастающая 1 a>1 возрастающая Если основание a>1, то функция возрастающая"> 1 a>1 возрастающая Если основание a>1, то функция возрастающая"> 1 a>1 возрастающая Если основание a>1, то функция возрастающая" title="Показательная функция. Построение графика показательной функции 1 x y c b=a c y = a x a >1 a>1 возрастающая Если основание a>1, то функция возрастающая"> title="Показательная функция. Построение графика показательной функции 1 x y c b=a c y = a x a >1 a>1 возрастающая Если основание a>1, то функция возрастающая">
Показательная функция. x y 1 y = a x 0
3 Свойство При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0"> 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0"> 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0" title="3 Свойство При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0"> title="3 Свойство При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0">
Решение уравнений Пример 1. Решите уравнение 7 x-2 = 3 49 Преобразуем 3 49 по определению степени с рациональным показателем 49=7 2, следовательно 3 49=7 2/3, следовательно данное уравнение можно записать в виде 7 x-2 = 7 2/3, так как основания равны, то и показатели можно сравнить x-2 = 2/3, то есть x = 8/3 Показательная функция
Решение уравнений Пример 2. Решим уравнение 5 x 2 -2x-1 = 25 Заметив, что 25 = 5 2 перепишем уравнение в виде 5 x 2 -2x-1 = 5 2, так как основания равны, то и показатели можно сравнить x 2 -2x-1 = 2. данное квадратное уравнение имеет два корня 3 и -1. Показательная функция
Решение уравнений Пример 3. Решим уравнение 6 x+1 +35*6 x-1 =71 Заметим, что 6 x+1 =6 x-1+2 =6 x-1 *6 2 =36*6 x-1, следовательно данное уравнение перепишем в виде 36*6 x-1 +35*6 x-1 =71, 6 x-1 (36+35)=71, то есть 6 x-1 =1, или 6 x-1 =6 0 следовательно x-1=0, или x=1. Показательная функция
Решение уравнений Пример 4. Решим уравнение 4 x -5*2 x +4=0. Cделаем замену t=2 x,заметим, что 4=2 2 и 4 х =(2 2) х = (2 х) 2 получим квадратное уравнение t 2 -5t+4=0. Корнями этого уравнения являются числа 1 и 4. Вернемся к нашей замене 2 x = 1 и 2 x = 4. 2 x = 1 = 2 0, следовательно х=0 2 x = 4 = 2 2, следовательно х=2 Показательная функция
6 3 Так как основание больше нуля (6>0), то функция возрастает. Данное неравенство можно переписать в виде х 2 +2х>3, решая которое получаем ответ х (-;-3) (1;). Показательная функция" title="Решение неравенств Пример 2. Решим неравенство 6 х 2 +2х >6 3 Так как основание больше нуля (6>0), то функция возрастает. Данное неравенство можно переписать в виде х 2 +2х>3, решая которое получаем ответ х (-;-3) (1;). Показательная функция" class="link_thumb"> 20 Решение неравенств Пример 2. Решим неравенство 6 х 2 +2х >6 3 Так как основание больше нуля (6>0), то функция возрастает. Данное неравенство можно переписать в виде х 2 +2х>3, решая которое получаем ответ х (-;-3) (1;). Показательная функция 6 3 Так как основание больше нуля (6>0), то функция возрастает. Данное неравенство можно переписать в виде х 2 +2х>3, решая которое получаем ответ х (-;-3) (1;). Показательная функция"> 6 3 Так как основание больше нуля (6>0), то функция возрастает. Данное неравенство можно переписать в виде х 2 +2х>3, решая которое получаем ответ х (-;-3) (1;). Показательная функция"> 6 3 Так как основание больше нуля (6>0), то функция возрастает. Данное неравенство можно переписать в виде х 2 +2х>3, решая которое получаем ответ х (-;-3) (1;). Показательная функция" title="Решение неравенств Пример 2. Решим неравенство 6 х 2 +2х >6 3 Так как основание больше нуля (6>0), то функция возрастает. Данное неравенство можно переписать в виде х 2 +2х>3, решая которое получаем ответ х (-;-3) (1;). Показательная функция"> title="Решение неравенств Пример 2. Решим неравенство 6 х 2 +2х >6 3 Так как основание больше нуля (6>0), то функция возрастает. Данное неравенство можно переписать в виде х 2 +2х>3, решая которое получаем ответ х (-;-3) (1;). Показательная функция">
Решение систем уравнений Решим систему уравнений 2 х + 2 у = х-у = 3 Из второго уравнения видно, что 2х - у =1 откуда видно, что у = 2х – 1, подставив это выражение в первое уравнение, получаем 2 х + 2 2х – 1 = 12, преобразуем его, 2 х + 2 2х *2 -1 = 12, заменив 2 х на t, получим квадратное уравнение t+t 2 /2=12, или t 2 +2t-24=0, корни которого -6 и 4. вернувшись к замене получаем уравнения 2 х = 4=2 2, откуда х = 2. Уравнение 2 х = - 6 решений не имеет. Подставив х = 2 в уравнение у = 2х – 1 получаем, что у = 3. Ответ: (2;3) Показательная функция
Определение Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b. a log a b = b – основное логарифмическое тождество, где b > 0, a > 0, a 1 Логарифмы 0, a > 0, a 1 Логарифмы"> 0, a > 0, a 1 Логарифмы"> 0, a > 0, a 1 Логарифмы" title="Определение Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b. a log a b = b – основное логарифмическое тождество, где b > 0, a > 0, a 1 Логарифмы"> title="Определение Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b. a log a b = b – основное логарифмическое тождество, где b > 0, a > 0, a 1 Логарифмы">
0 (a 1) и любых положительных x и y выполняются равенства: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a (x*y) = log a x + log a y 4. log a (x/y) = log a x – log a y 5. log a x p = p*log a x 6. log a p x = (1/p)*log a x 7. log a b = " title="Свойства При любом a > 0 (a 1) и любых положительных x и y выполняются равенства: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a (x*y) = log a x + log a y 4. log a (x/y) = log a x – log a y 5. log a x p = p*log a x 6. log a p x = (1/p)*log a x 7. log a b = " class="link_thumb"> 25 Свойства При любом a > 0 (a 1) и любых положительных x и y выполняются равенства: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a (x*y) = log a x + log a y 4. log a (x/y) = log a x – log a y 5. log a x p = p*log a x 6. log a p x = (1/p)*log a x 7. log a b = 1/log b a Переход к новому основанию можно выполнить при помощи свойства log a x =log b x /log b aЛогарифмы Логарифм х по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg x 0 (a 1) и любых положительных x и y выполняются равенства: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a (x*y) = log a x + log a y 4. log a (x/y) = log a x – log a y 5. log a x p = p*log a x 6. log a p x = (1/p)*log a x 7. log a b = "> 0 (a 1) и любых положительных x и y выполняются равенства: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a (x*y) = log a x + log a y 4. log a (x/y) = log a x – log a y 5. log a x p = p*log a x 6. log a p x = (1/p)*log a x 7. log a b = 1/log b a Переход к новому основанию можно выполнить при помощи свойства log a x =log b x /log b aЛогарифмы Логарифм х по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg x"> 0 (a 1) и любых положительных x и y выполняются равенства: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a (x*y) = log a x + log a y 4. log a (x/y) = log a x – log a y 5. log a x p = p*log a x 6. log a p x = (1/p)*log a x 7. log a b = " title="Свойства При любом a > 0 (a 1) и любых положительных x и y выполняются равенства: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a (x*y) = log a x + log a y 4. log a (x/y) = log a x – log a y 5. log a x p = p*log a x 6. log a p x = (1/p)*log a x 7. log a b = "> title="Свойства При любом a > 0 (a 1) и любых положительных x и y выполняются равенства: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a (x*y) = log a x + log a y 4. log a (x/y) = log a x – log a y 5. log a x p = p*log a x 6. log a p x = (1/p)*log a x 7. log a b = ">
Пример 1 Найдем значение log 2 32, заметим, что 2 5 = 32, то есть для того чтобы получить 32 нужно 2 возвести в 5 степень. Следовательно log 2 32 = 5. Найдем значение log 5 0,04, заметим, что 0,04 = 1/25 = 1/5 2 = 5 -2, поэтому log 5 0,04 = -2 Логарифмы
Пример 3 Найдем х, такое, что log 8 х = 1/3. Воспользовавшись основным логарифмическим тождеством мы получим, что х = 8 log 8 х = 8 1/3 = 3 8 = 2 Найдем х, такое, что log х 8 = - 3/4. Воспользовавшись определение м логарифма, мы получим, что х - 3/4 = 8, чтобы избавиться от степени в левой части, возведем обе части в степень - 4/3. (х - 3/4) - 4/3 = 8 - 4/3, следовательно х = 8 - 4/3 = (1/8) 4/3 Логарифмы
Пример 4 Найдем log 0,3 7. воспользуемся свойством перехода к новому основанию. log 0,3 7 = lg 7/lg 0,3. С помощью таблиц найдем приближенное значение lg 7 0,8451, а lg 0,3 - 0,5229. Следовательно получаем log 0,3 7 = 0,8451/ (- 0,5229) = -1,6162 Логарифмы
Пример 5 Известно, что log 2 5 = a и log 2 3 = b. Выразим log через a и b. Воспользуемся свойством логарифма произведения log = log 2 (3*5 2 *2 2) = log log log Воспользовавшись 5 свойством и определением логарифма получаем log = log log log 2 2 = = a + 2b + 2 Логарифмы
Пример 6 Выразим логарифм выражения 8а 3 7b 4 через log 2 a и log 2 b. (коротко говоря прологарифмируем данное выражение по основанию 2.) Воспользуемся 3 основным свойствам логарифмов. log 2 (8а 3 7b 4)= log 2 (2 3 а 3 b 4/7)= log log 2 а log 2 b 4/7 =3 log log 2 а + (4/7) log 2 b= 3+ 3 log 2 а + (4/7) log 2 b, так как log 2 2 = 1 по определению логарифма. Логарифмы
Пример 7 Найдем х, если log 5 x = log 5 7+2log 5 3-3log 5 2. Воспользовавшись 3, 4, 5 свойствами преобразуем правую часть выражения. log 5 7+2log 5 3-3log 5 2= log 5 7+log log = = log 5 (7*3 2 /2 3) = log 5 (7*9/8) = log 5 63/8. Вернувшись к заданию несложно заметить, что log 5 x = log 5 63/8, так как основания логарифмов равны, то следовательно и подлогарифмические выражения должны быть равны, то есть х = 63/8 = 7,875 Логарифмы
Пример 8 Найдем значение выражения (lg72 - lg9) (lg28 - lg7) Преобразуем сначала числитель дроби, пользуясь свойствами логарифмов lg72 - lg9=lg72/9 =lg8 = =lg2 3 =3lg2. Теперь преобразуем знаменатель lg28 - lg7=lg28/7=lg4=lg2 2 =2lg2. Вернемся к нашему заданию и разделим числитель на знаменатель. 3lg2 3 2lg2 2, сократив дробь на lg2 Логарифмы
Основные свойства 1. Область определения функции – множество всех положительных чисел R +, то есть D(log a)=R + 2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел. 3. Логарифмическая функция на всей числовой прямой возрастает, если основание a > 1, и убывает на всей числовой прямой если основание 0 1, и убывает на всей числовой прямой если основание 0
Построение графика График функции График функции y = log a x при a > 1 График функции График функции y = log a x при 0 1 График функции График функции y = log a x при 0 1 График функции График функции y = log a x при 0 1 График функции График функции y = log a x при 0 1 График функции График функции y = log a x при 0 title="Построение графика График функции График функции y = log a x при a > 1 График функции График функции y = log a x при 0
1, то функция возрастающая, следовательно график идет вверх Построение графика функции Логарифмическая функция 0 х у b abab y = log a x при a > 1 1" title="Если основание a > 1, то функция возрастающая, следовательно график идет вверх Построение графика функции Логарифмическая функция 0 х у b abab y = log a x при a > 1 1" class="link_thumb"> 39 Если основание a > 1, то функция возрастающая, следовательно график идет вверх Построение графика функции Логарифмическая функция 0 х у b abab y = log a x при a > 1 1 1, то функция возрастающая, следовательно график идет вверх Построение графика функции Логарифмическая функция 0 х у b abab y = log a x при a > 1 1"> 1, то функция возрастающая, следовательно график идет вверх Построение графика функции Логарифмическая функция 0 х у b abab y = log a x при a > 1 1"> 1, то функция возрастающая, следовательно график идет вверх Построение графика функции Логарифмическая функция 0 х у b abab y = log a x при a > 1 1" title="Если основание a > 1, то функция возрастающая, следовательно график идет вверх Построение графика функции Логарифмическая функция 0 х у b abab y = log a x при a > 1 1"> title="Если основание a > 1, то функция возрастающая, следовательно график идет вверх Построение графика функции Логарифмическая функция 0 х у b abab y = log a x при a > 1 1">
Пример 1 Решим уравнение log 2 (x 2 +4x+3)=3 По определению логарифма получаем выражение (x 2 +4x+3)=3 2, после преобразований получаем квадратное уравнение x 2 +4x-5=0, после решения которого получаем корни 1 и -5, следовательно эти числа являются корнями данного уравнения. Они также удовлетворяют неравенству x 2 +4x+3>0, так как подлогарифмическое выражение должно быть по определению положительным. Логарифмическая функция
0, так как подлогарифмическое выражение должно быть по определению положительным. Логарифмическая функция">
0 и x+1>0, то есть x>-1(ОДЗ). Для них равносильно неравенство 2x+3=x+1, так как основания равны. Решая его получаем x=-2, но -2 не больше -1 (не удовлетворяет ОДЗ), с" title="Пример 2 Решим уравнение log 5 (2x+3)=log 5 (x+1) Это уравнение определено при 2x+3>0 и x+1>0, то есть x>-1(ОДЗ). Для них равносильно неравенство 2x+3=x+1, так как основания равны. Решая его получаем x=-2, но -2 не больше -1 (не удовлетворяет ОДЗ), с" class="link_thumb"> 43 Пример 2 Решим уравнение log 5 (2x+3)=log 5 (x+1) Это уравнение определено при 2x+3>0 и x+1>0, то есть x>-1(ОДЗ). Для них равносильно неравенство 2x+3=x+1, так как основания равны. Решая его получаем x=-2, но -2 не больше -1 (не удовлетворяет ОДЗ), следовательно уравнение не имеет корней. Логарифмическая функция 0 и x+1>0, то есть x>-1(ОДЗ). Для них равносильно неравенство 2x+3=x+1, так как основания равны. Решая его получаем x=-2, но -2 не больше -1 (не удовлетворяет ОДЗ), с"> 0 и x+1>0, то есть x>-1(ОДЗ). Для них равносильно неравенство 2x+3=x+1, так как основания равны. Решая его получаем x=-2, но -2 не больше -1 (не удовлетворяет ОДЗ), следовательно уравнение не имеет корней. Логарифмическая функция"> 0 и x+1>0, то есть x>-1(ОДЗ). Для них равносильно неравенство 2x+3=x+1, так как основания равны. Решая его получаем x=-2, но -2 не больше -1 (не удовлетворяет ОДЗ), с" title="Пример 2 Решим уравнение log 5 (2x+3)=log 5 (x+1) Это уравнение определено при 2x+3>0 и x+1>0, то есть x>-1(ОДЗ). Для них равносильно неравенство 2x+3=x+1, так как основания равны. Решая его получаем x=-2, но -2 не больше -1 (не удовлетворяет ОДЗ), с"> title="Пример 2 Решим уравнение log 5 (2x+3)=log 5 (x+1) Это уравнение определено при 2x+3>0 и x+1>0, то есть x>-1(ОДЗ). Для них равносильно неравенство 2x+3=x+1, так как основания равны. Решая его получаем x=-2, но -2 не больше -1 (не удовлетворяет ОДЗ), с">
0 и x1(ОДЗ), так как х является основанием логарифма. Тогда можно перейти к уравнению, по определению логарифма x 2 -2x+2= х, р" title="Пример 3 Решим уравнение log x (x 2 -2x+2)=1. Этому уравнению удовлетворяют такие числа x, для которых выполнены условия x>0 и x1(ОДЗ), так как х является основанием логарифма. Тогда можно перейти к уравнению, по определению логарифма x 2 -2x+2= х, р" class="link_thumb"> 44 Пример 3 Решим уравнение log x (x 2 -2x+2)=1. Этому уравнению удовлетворяют такие числа x, для которых выполнены условия x>0 и x1(ОДЗ), так как х является основанием логарифма. Тогда можно перейти к уравнению, по определению логарифма x 2 -2x+2= х, решая которое получаем корни 1 и 2, но x1, следовательно решением нашего уравнения является число х=2 Логарифмическая функция 0 и x1(ОДЗ), так как х является основанием логарифма. Тогда можно перейти к уравнению, по определению логарифма x 2 -2x+2= х, р"> 0 и x1(ОДЗ), так как х является основанием логарифма. Тогда можно перейти к уравнению, по определению логарифма x 2 -2x+2= х, решая которое получаем корни 1 и 2, но x1, следовательно решением нашего уравнения является число х=2 Логарифмическая функция"> 0 и x1(ОДЗ), так как х является основанием логарифма. Тогда можно перейти к уравнению, по определению логарифма x 2 -2x+2= х, р" title="Пример 3 Решим уравнение log x (x 2 -2x+2)=1. Этому уравнению удовлетворяют такие числа x, для которых выполнены условия x>0 и x1(ОДЗ), так как х является основанием логарифма. Тогда можно перейти к уравнению, по определению логарифма x 2 -2x+2= х, р"> title="Пример 3 Решим уравнение log x (x 2 -2x+2)=1. Этому уравнению удовлетворяют такие числа x, для которых выполнены условия x>0 и x1(ОДЗ), так как х является основанием логарифма. Тогда можно перейти к уравнению, по определению логарифма x 2 -2x+2= х, р">
2. По определению подлогарифмическое выражение равно основанию в степени -2, то есть 5-2x=(1 / 3) -2, но в нашем случае неравенство, поэтому учитывая, что функция убывающая (основание 1 / 3 " title="Пример 4 Решим неравенство log 1 / 3 (5-2x)>-2. По определению подлогарифмическое выражение равно основанию в степени -2, то есть 5-2x=(1 / 3) -2, но в нашем случае неравенство, поэтому учитывая, что функция убывающая (основание 1 / 3 " class="link_thumb"> 45 Пример 4 Решим неравенство log 1 / 3 (5-2x)>-2. По определению подлогарифмическое выражение равно основанию в степени -2, то есть 5-2x=(1 / 3) -2, но в нашем случае неравенство, поэтому учитывая, что функция убывающая (основание 1 / 3 -2. По определению подлогарифмическое выражение равно основанию в степени -2, то есть 5-2x=(1 / 3) -2, но в нашем случае неравенство, поэтому учитывая, что функция убывающая (основание 1 / 3 "> -2. По определению подлогарифмическое выражение равно основанию в степени -2, то есть 5-2x=(1 / 3) -2, но в нашем случае неравенство, поэтому учитывая, что функция убывающая (основание 1 / 3 "> -2. По определению подлогарифмическое выражение равно основанию в степени -2, то есть 5-2x=(1 / 3) -2, но в нашем случае неравенство, поэтому учитывая, что функция убывающая (основание 1 / 3 " title="Пример 4 Решим неравенство log 1 / 3 (5-2x)>-2. По определению подлогарифмическое выражение равно основанию в степени -2, то есть 5-2x=(1 / 3) -2, но в нашем случае неравенство, поэтому учитывая, что функция убывающая (основание 1 / 3 "> title="Пример 4 Решим неравенство log 1 / 3 (5-2x)>-2. По определению подлогарифмическое выражение равно основанию в степени -2, то есть 5-2x=(1 / 3) -2, но в нашем случае неравенство, поэтому учитывая, что функция убывающая (основание 1 / 3 ">
Пример 5 Решим уравнение log 5 2 x-log 5 x-3=0. Воспользуемся свойством log a p x = (1/p)*log a x, так как 5=5 1 / 2, то log 5 x=2log 5 x, тогда введем новую переменную log 5 x=t и получим уравнение t 2 -2t-3=0. Решением его являются числа 3 и -1. вернемся к подстановке log 5 x=3 и log 5 x=-1, то есть x=5 3 и x=5 -1, или х=125 и х= 1 / 5 Логарифмическая функция
Пример 6 Решим систему уравнений lg(y-x)=lg2 log 2 x-4=log 2 3-log 2 y Первое уравнение равносильно y-x=2, y=2+x во втором 4=log 2 16, следовательно воспользовавшись свойством логарифма отношения получим log 2 (x/16)=log 2 (3/y), оно равносильно уравнению x/16= 3/y, причем x>0, y>0, подставив в него y=2+x, получим x(x+2)=48, откуда х 2 +2х-48=0, решая его получим х=-8 и х=6, но так как x>0, то ответ х=6, а у=2+6=8. Логарифмическая функция
0, y>0, подставив в него y=2+x, получим x(x+2)=48, откуда х 2 +2х-48=0, решая его получим х=-8 и х=6, но так как x>0, то ответ х=6, а у=2+6=8. Логарифмическая функция">
Размер: px
Начинать показ со страницы:
Транскрипт
1
Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства В практике часто используются функции y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x и т. д., т. е. функция вида y=a x, где a - заданное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени - заданное число. Функция, заданная формулой y=a x (где a>0,a 1), называется показательной функцией с основанием a. Сформулируем основные свойства показательной функции: 1. Область определения - множество R действительных чисел. 2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел. 3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0
2
2) для случая 0
3
График функции y=(1 2x), также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ox Если x>0 и возрастает, то график быстро приближается к оси Ox (не пересекая ее); если x<0 и убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции y=a x, если 0 4
q a p 4. a 4 = 1 a 4. Если p q -обыкновенная дробь (p>0,q 1) и a>0, то под a p q понимают p q, т.е. aq= a p = = 7 5,a = = (4 3) 2 =4 2 =16 Обрати внимание! Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа (это оговорено в определении). Так что запись вида (8) 1 3 считается в математике лишенной смысла. Если p -обыкновенная дробь (q 1) и a>0, то под q a p q понимают 1, т.е. a p q = 1,a>0 p aq Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений, которые приводятся в следующих теоретических материалах данного раздела. 3. Функционально-графический метод Метод основан на использовании графических иллюстраций или какихлибо свойств функций. В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем, находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения. 1. Решить уравнение 5 x =6 x Построим в одной системе координат графики функций y=5 x и y=6 x p aq 4 5
Они пересекаются в одной точке (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению y=5 x, и уравнению y=6 x. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения, поскольку y=5 x возрастающая функция, а y=6 x убывающая функция. Итак, уравнение 5 x =6 x имеет единственный корень x=1. 2. Решить уравнение: (1 3)x =3; Построив в одной системе координат графики функций y=(1 3)x и y=3, 5 6
замечаем (см. рис.), что они имеют одну общую точку (-1; 3). Значит, уравнение (1 3)x =3; имеет единственный корень x= 1. Итак, из уравнения (1 3)x =(1 3)-1 мы получили x= Метод уравнивания показателей Так как равенство a t =a s, где a>0,a 1 справедливо тогда и только тогда, когда t=s, то верно следующее утверждение: Показательное уравнение a f(x) =a g(x) (где a>0, a 1) равносильно уравнению f(x)=g(x). 1. Решить уравнение: 2 2x 4 =64 Представив 64 как 2 6, перепишем заданное уравнение в виде 2 2x 4 =2 6 Это уравнение равносильно уравнению 2x 4=6, откуда находим: x=5 2. Решить уравнение: (13) 2x 3,5 = 13; Представим 13 как, перепишем заданное уравнение в виде (13) 2x 3,5 =(13) 0,5. Это уравнение равносильно уравнению 2x 3,5=0,5, откуда находим: x=2. 6 7
5. Метод введения новой переменнойия: Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем. Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения, получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения. Рассмотрим способ подстановки на примерах. Решить уравнение: 9 x 4 3 x 45=0. Заменой 3 x =t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 4t 45=0. Решая это уравнение, находим его корни: t 1 =9, t 2 = 5, откуда 3 x =9, 3 x = 5. Уравнение 3 x =9 имеет корень x=2, а уравнение 3 x = 5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения. x=2. Решить уравнение: 4 x +2 x+1 24=0 Заметив, что 4 x =(2 2) x =2 2x, а 2 x+1 =2 2 x, перепишем заданное уравнение в виде (2 x)2+2 2 x 24=0. Введем новую переменную y=2 x ; тогда уравнение примет вид y 2 +2y 24=0. Решив квадратное уравнение относительно y, находим: y 1 =4, y 2 = 6. Но y=2 x значит, нам остается решить два уравнения: 2 x =4; 2 x = 6. Из первого уравнения находим x=2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях x выполняется неравенство 2 x >0. Ответ: Показательные неравенства Показательными неравенствами называют неравенства вида a f(x) >a g(x), где a - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: - для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее аргумента - для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. 7 8
Показательная функция y=a x возрастает при a>1 и убывает при 0 9
Это неравенство равносильно неравенству того же смысла 2x 4>6, т.к. основание равно 2>1 (a>1), откуда находим x>5. Показательное неравенство a f(x) >a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла f(x) 10
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом, вместо log 10 b пишут lgb. Логарифм по основанию е, где е - иррациональное число, приближенно равное 2,7, называют натуральным логарифмом. Вместо log e b пишут lnb. 8. Основное логарифмическое тождествоя: Определение логарифма можно еще записать так: a log a b =b, где b>0, a>0, a 1. Это равенство называют основным логарифмическим тождеством log 13 2 =2 9. Логарифмическая функция, ее свойства и график Функцию, заданную формулой y=log a x, называют логарифмической функцией с основанием a. (a>0, a 1) 10 11
Основные свойства логарифмической функции: 1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел. D(f)=(0;+); 2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел. E(f)=(;+); 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>1 или убывает при 0 12
2. y=log1 x основание 0<1/3<1 3 x /3 1/9 y=log13x Логарифмическая функция y=log a x и показательная функция y=a x, где (a>0,a 1), взаимно обратны. 12 13
10. Основные свойства логарифмов Рассмотрим основные свойства логарифмов, которые часто применяются при вычислениях, при решении логарифмических уравнений и неравенств. Свойства, приведенные ниже, выполняются если a>0,a 1,b>0,c>0,r - любое действительное число. 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел log a (bc)=log a b+log a c 1.log 3 45=log 3 (9 5)=log 3 9+log 3 5=2+log 14
2.log 6 4+log 6 9=log 6 36=2 3.lg2+lg5=lg(2 5)=lg10=1 2. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя log a bc=log a b log a c 1. log log1 3=log =log Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени log a b r =rlog a b 1.log =17log 2 2=17 1= Формулы перехода от одного основания логарифма к другому Если a>0,a 1,b>0,c>0,c 1, то верно равенство log a b= log c b log c a 1.log 2 3= lg3 lg2 2.log 3 2= log 7 2 log 7 3 Если a>0,a 1,b>0,b 1, то верно равенство log a b= 1 log b a log 7 2= 1 log 2 7 Если a>0,a 1,b>0,r 0, то верно равенство log a b=log a r b r 1.log 5 3=log Решение логарифмических уравнений по определению логарифма Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в основании логарифма), называются логарифмическими. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение log a x=b, где основание a>1,a 1, а выражение, стоящее под знаком логарифма, x>0. 14 15
Для любого действительного b это уравнение имеет единственное решение x=a b Решить уравнение log 2 x=3 Решение. Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): x>0, т.к. под знаком логарифма должно быть положительное выражение. Для решения данного уравнения, достаточно воспользоваться определением логарифма, то есть представить число x как степень основания 2 логарифма, причем показатель степени равен 3. log 2 x=3 x=2 3 x=8 Найденное значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения. Ответ: x=8 Решить уравнение log 3 (x 2 +72)=4 Решение. ОДЗ: x2+72>0 x R По определению логарифма получаем x 2 +72=3 4 x 2 +72=81 x =0 x 2 9=0 (x 3)(x+3)=0 x 1 =3, x 2 = 3 Ответ: x 1 =3, x 2 = 3 Решить уравнение: lg(x+1)+lg(x+4)=1. Решение. По свойству логарифма преобразуем левую часть ОДЗ lg(x+1)(x+4)=1 { x + 1 > 0 x + 4 > 0 lg(x+1)(x+4)=lg10 (x+1)(x+4)=10 { x > 1 x > 4 15 16
x 2 +5x+4=10 x (1;+) x 2 +5x+4 10=0 x 2 +5x 6=0 По теореме Виета x1 + x2 = 5 { x1 x2 = 6 x 1= 6, x 2 =1 x= 6 не является корнем этого уравнения, т.к. не принадлежит ОДЗ. Ответ: x=1 13. Потенцирование Решение логарифмических уравнений типа log a f(x)=log a g(x) сводится к решению уравнения f(x)=g(x). Это следует из монотонности логарифмической функции. Потенцирование это переход от уравнения вида log a f(x)=log a g(x) к уравнению f(x)=g(x), где a - отличное от единицы положительное число, f(x) и g(x) - элементарные алгебраические функции, f(x)>0, g(x)>0. Для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения f(x)=g(x) и среди полученных выбрать те, которые принадлежат ОДЗ уравнения log a f(x)=log a g(x) В случае, если уравнение f(x)=g(x) решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение. Реши уравнение: log 5 (x+1)=log 5 (2x 3) Решение. Находим ОДЗ: { x + 1 > 0 2x 3 > 0 { x > 12 2x > 3 { x > 1 x > 1,5 x (1,5;+) Решаем уравнение x+1=2x 3 x 2x= 3 1 x= 4 x=4 принадлежит интервалу x (1,5;+), значит, является корнем исходного логарифмического уравнения. Ответ: x=4 16 17
14. Метод введения новой переменнойия: Уравнения вида f(log a x)=0 решаются с помощью подстановки t=log a x, которая приводит уравнение к виду f(t)=0. Если t корень уравнения f(t)=0, то после возвращения к подстановке t=log a x, можно найти корень исходного логарифмического уравнения, т.е. x=a t (аналогично находятся и другие корни, если они есть). 15. Логарифмирование: Уравнения вида 2 x =3; x log 3 x 2 =27 решаются логарифмированием обеих частей уравнения. логарифмирование это переход от уравнения f(x)=g(x) к уравнению log a f(x)=log a g(x) Рассмотрим на примерах. Реши уравнение 2 x =3 Решение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 log 2 2 x =log 2 3 xlog 2 2=log 2 3, т.к. log a b r =r log a b x 1=log 2 3 x=log 2 3 Ответ: x=log 2 3 Реши уравнение: x log 3 x 2 =27 Решение. ОДЗ: { x > 0 x 1 x (0;1) (1;+) Прологарифмируем обе части по основанию 3 log 3 x(log 3 x 2)=log 3 27 (log 3 x 2) log 3 x=3, т.к. log a b r =rlog a b Пусть log 3 x=t (t 2) t=3 t 2 2t 3=0 По теореме Виета t1 + t2 = 2 { t1 t2 = 3 t 1=3, t 2 = 1 17 18
Вернемся к обозначенному log 3 x=3 x 1 =3 3 =27 log 3 x= 1 x 2 =3 1 =1/3 Оба значения принадлежат ОДЗ. Ответ:1/3; Логарифмические неравенства Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции. Поэтому решение неравенств вида log a f(x)>log a g(x) сводится к решению соответствующих неравенств для функций f(x) и g(x). Обрати внимание! Если основание a>1, то переходят к неравенству f(x)>g(x) (знак неравенства не меняется), т.к. в этом случае логарифмическая функция возрастающая. Если основание 0 19
x (2,5;+) x (2,5; +) { x (; 3) 2,5 3 Ответ:x (2,5;3) Решить неравенство log 0,5 (x 2) log 0,5 (2x 12) Решение. ОДЗ: { x 2 > 0 2x 12 > { x > 2 2x > 12 { x > 2 x>6, x (6;+) x > 6 log0,5(x 2) log0,5(2x 12) x 2x x 12 x 2x 12+2 x 10 x 10 x }
