Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.
Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.
Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.
В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы
Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:
Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.
Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило
Находим модули чисел:
|4| = 4
|1| = 1
Сравниваем найденные модули:
4 > 1
Отвечаем на вопрос:
4 > 1
Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:
Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Например, сравним числа −3 и −1
Находим модули чисел
|−3| = 3
|−1| = 1
Сравниваем найденные модули:
3 > 1
Отвечаем на вопрос:
−3 < −1
Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.
Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой
Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.
Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2
Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».
Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса
Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.
Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет , чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.
Пример 1.
Сравнить рациональные числа
Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем
Пример 2.
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули:
Пример 3. Сравнить числа 2,34 и
Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что 2,34 больше, чем
Пример 4. Сравнить рациональные числа и
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Пример 5.
Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем
Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и
Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем
Пример 7 . Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403
Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль
Находим модули чисел
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403
Пример 8. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.
Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.
Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256
Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256
поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256
15,4 > 2,1256
Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа
154000 > 21256
Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.
Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей
Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.
А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2
−0,152 > −15,2
Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:
В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7
−3,4 > −3,7
Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и
Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.
Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
РАЗРАБОТКА УРОКА
учителя математики МОУ гимназии № 35 г.о. Тольятти
Чертищевой Т.А.
Предмет: математика
Класс: 6
Тема урока: Сравнение рациональных чисел
Цели урока:
Образовательные: Познакомить учащихся с правилами сравнения
рациональных чисел, понимать связь отношений больше и
меньше с расположением точек на числовой прямой
формировать умение сравнивать рациональные числа.
Развивающие: Развивать математическую речь, интеллектуальную
восприимчивость, критическое мышление, способность
само-оценивания учебной деятельности.
Воспитательные : формировать сознательное отношение к учебе; развивать
чувство коллективизма и чувство партнерства;
ответственности; уважение к учителю, товарищам.
Тип урока: Объяснение нового материала
Оборудование: экран, проектор, ноутбук, магнитная доска, копировальная
бумага, таблицы «З-Х-У», цветные лепестки ромашки Блума.
Современные образовательные технологии, применяемые на уроке:
1. Проблемно- диалогическая технология.
2. Здоровье- сберегающая технология.
3. Технология развития критического мышления.
4.Технология само- развивающего обучения.
5. Личностно-ориентированные технологии.
Ход урока
Этап 1 . Вводно-мотивационная часть.
Учитель. Наш урок хочу начать словами знаменитого американского
Математика Дьердя Пойа (1887-1985):
« Лучший способ изучить что –либо это открыть самому».
Сегодня мы продолжим работу с рациональными числами и попытаемся сами сделать открытия, вывести новые правила для работы с рациональными числами.
Благодаря числам можно доказать все что угодно. Для этого нам предстоит в ходе урока поработать в исследовательской мастерской и узнать много нового.
Этап 2 . Актуализация учебного материала.
УВМ 1. (Учебно-воспитательный момент).
Задача: Повторить правила сравнения натуральных чисел; десятичных
дробей; обыкновенных дробей.
Учащимся предлагаются задания устного характера на повторение пройденного материала.
СУМ: (Содержание учебного материала)
№1. Сравнить пары чисел, используя правила:
1) 3,7 и 4,02; 2) 0,72 и 0,81; 3) 153 и 149; 4) 2/3 и 1; 5) 5/4 и 1;
6) 2/3 и 5/4; 7) 1/2 и 1/3; 8) 4/7 и 4/9; 9) 2/3 и 3/5.
№2. Можно ли сравнить числа? По какому правилу?
0 1 1,5 5
Результат: Правила сравнения натуральных чисел; десятичных дробей;
обыкновенных дробей, сравнение чисел с помощью числовой прямой.
УВМ 2. Постановка проблемы. (Проблемно-диалогическая технология)
Задача: Выявить и сформулировать проблему темы.
Учитель. Сейчас нам предстоит работа в исследовательской мастерской.
Давайте сравним следующие числа и попробуем вывести новые правила, а так же обозначить тему нашего урока.
СУМ: Самостоятельно сравните следующие числа, записанные на доске:
1) 2 и -5; 2) -11 и -9; 3)-132 и -163.
Что мы получили в результате сравнения первой пары чисел?
Сколько мнений в классе? (2)
Почему? (не знаем правило сравнения чисел с разными знаками)
А вы смогли выполнить сравнение 2 и 3 пары чисел? (затрудняемся)
Почему? Чем они отличаются от первой пары чисел? (тем, что в них сравнивают только отрицательные числа)
Так чего же мы еще не знаем?
Тогда как сформулируем тему урока? (сравнение рациональных чисел).
Результат: Выявленная проблема, постановка темы урока.
УВМ 3. Графическая организация и логико-смысловое структурирование материала. (Технология развития критического мышления, применение стратегии « До и после»)
Задача: Построить таблицу « З-У-Х» (знаю – хочу знать –узнал)
Учитель. Итак, ребята, наши мнения разделились, давайте составим таблицу
« З-У-Х».
У каждого ребенка на парте находится заготовка таблицы, в которой они самостоятельно заполняют только первый и второй столбцы.
ЗНАЮ
ХОЧУ ЗНАТЬ
УЗНАЛИ
Учитель. Сейчас мы с вами заполним первый и второй столбцы таблицы.
К третьему столбцу мы вернемся в конце урока.
Несколько учащихся озвучивают свои записи в таблице, затем совместно с учениками формулируется общеобразовательная цель урока.
Результат: Структурирование учебного материала темы и постановка дидактической цели урока учащимися.
Этап 3 . Объяснение нового материала.(Личностно-ориентированные технологии)
Учитель.Вернемся к нашей проблеме и попробуем найти пути ее решения. Сейчас вам предстоит работа в парах. Подумайте какое правило из тех, что мы вспомнили позволит вам сравнить любые числа, и в том числе эти.
УВМ 1. Открытие учащимися новых знаний.
Задача: Вывести правила сравнения рациональных чисел.
СУМ: Сравните числа
5 -3 0 7
Вопросы:
Что можно сказать о расположении числа 7 на прямой?
Что можно сказать о расположении положительных чисел на числовой
прямой?
Кто сформулирует правило сравнения положительных и отрицательных чисел?
Кто сформулирует правило сравнения отрицательных чисел с помошью
числовой прямой?
Всегда ли это удобно? (нет, мы не сможем с помощью числовой прямой
сравнить, например -132 и -163)
Что мы должны сделать? (вывести правило, которое позволит нам сравнивать
без числовой прямой)
Сравните расстояния от точки О до данных точек.
Что вы заметили?
Чем является такое расстояние от начала отсчета до данной точки?
Кто готов сформулировать правило сравнения отрицательных чисел?
Молодцы! Оказывается мы сами без учебника можем выводить различные
правила.
Результат: . Правила сравнения рациональных чисел в виде таблиц на доске.
УВМ 2. Объявляется валео-пауза.Упражнение « Вкрути лампочку». Встали прямо, спина ровно. Поднять правую руку, потянуться к « лампочке» и вкрутить ее, опустили руку. Аналогично с левой рукой. Лампочка горит ярко, зажмурить глаза, лампочка погасла-открыть глаза. (повторить 2 раза.)
Результат: Снятие напряжения с мышц глаза
Этап 4. Первичное закрепление знаний и умений. (Технология
саморазвивающего обучения)
УВМ 1. Работа с учебником.
Задача: Организовать первичное усвоение и закрепление знаний нового
материала.
СУМ: № 952 (а). Сравнить числа с нулем: -0,7 ; 6,13 ; -1/8; 2,75.
№ 954. Сравнить: а) 2,6 и -1,3; б) -3,9 и -0,1; в) 3,5 и -3,7; г) -2,4 и -2,6.
№1. Прокомментируйте сравнение пар чисел: 1) 35,6> -37,4;
2) -11,7< - 11,4; 3) -2,49> -2,056; 4) -17,09< 13,4.
Результат: Алгоритм сравнения рациональных чисел.
УВМ 2. Самостоятельная работа с самопроверкой, самооценкой и
определением личного уровня знаний.
Задача: Выявить уровень знаний по теме.
Учащиеся выполняют работу через копировальную бумагу. После выполнения работы один экземпляр сдают учителю, а другой оставляют у себя для проверки.
Проверка работы идет по « ключу» через проектор, где так же указаны уровни
оценивания:
1 уровень - выполнены верно все задания;
2 уровень -допущена одна ошибка;
3 уровень -допущено более двух ошибок.
СУМ: 1 вариант.
Сравните числа: 1) 5/6 и – 1 - ; 2) -2 - и 0; 3) -2,5 и 1,27; 4) 0 и 1,79;
11 8
5) -13,42 и –13,75; 6) -0,49 и -0,049.
2 вариант.
Сравните числа: 1) -7/9 и 1 - ; 2) 0 и -3 - ; 3) 1,13 и -2,94 4) 2,65 и 0;
5) -17,09 и – 17,75; 6) -1,096 и -1,96.
Результат: Самооценка учащимися результатов своей работы и выявление
уровня знаний по теме.
Этап 5. Подведение уроков. (Техника использования вопросов в
разнообразных ситуациях, личностно-ориентированные технологии)
УВМ 1. Составить ромашку Блума
Задача: Научиться правильно и разнообразно задавать вопросы по теме.
Дети делятся на 6 групп и на цветных лепестках формулируют по одному оценочному вопросу по теме урока, в которых первая часть вопроса уже указана, обращаясь к вывешенным в виде таблиц на доске правилам. В итоге на доске вывешивается получившаяся ромашка и каждая группа ребят задает остальным учащимся свой вопрос и оценивает ответ.
СУМ: Допишите формулировку вопроса.
То есть вы говорите, что. . .? (положительное числобольшелюбого
отрицательного числа)
Если мы правильно поняли, то …? (из двух отрицательных чисел большим считают то…)
Я могу ошибиться, но по-моему вы сказали, что…? (положительное число больше нуля)
Вы действительно думаете, что …? (отрицательные числа меньше нуля)
Как вы думаете, а из двух отрицательных чисел меньшим будет …?
Что изменилось бы в решении, если бы в условии А(а) и В(в),где а< в изменить на условие а >в.
Результат: Сформулированы основные вопросы по теме « Сравнение
рациональных чисел».
Этап 6. Рефлексивно-оценочный
Задача: Оценить свою работу
Учитель. Давайте вернемся к нашей таблице и заполним 3 столбец.
После этого на доске высвечивается таблица для оценки работы учащихся
Я УЗНАЛ…
МНЕ БЫЛО ТРУДНО…
МНЕ ПОНРАВИЛОСЬ…
МНЕ БЫЛО ИНТЕРЕСНО…
Результат: Оценка деятельности учащихся на уроке.
Дифференцируемое домашнее задание.
Домашнее задание предлагается учащимся выбрать самостоятельно исходя из своего уровня знаний по теме.
1 уровень: №997, №980(к-м);
2 уровень: №996, №980(ж-и);
3 уровень: №995, №990.
Спасибо за урок!
Сравнение рациональных чисел. Сравнение рациональных чисел - это сравнение чисел положительных и отрицательных, целых и дробных (обыкновенные дроби и десятичные дроби). Из двух рациональных чисел больше то, которому на числовой оси соответствует точка, расположенная правее. Всякое положительное число больше 0. Всякое отрицательное число меньше 0. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Любое положительное число больше любого отрицательного числа.
Слайд 6 из презентации «Понятие рационального числа» . Размер архива с презентацией 236 КБ.Математика 6 класс
краткое содержание других презентаций«Правила сравнения дробей» - Трактор. Трехметровое бревно. Найдем время. Решение урока. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Бассейн. Правила сравнения дробей. Сравнение дробей с единицей. Сравнить дроби. Сравнение дробей с одинаковыми числителями. Знаменатель. Сравнение. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями. Числитель. Автобус. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Большая шестерня.
«Сложение с разными знаками» - Устная работа. Как сравнить десятичные дроби. Прибыль. Правила сложения чисел с разными знаками. Вычислить устно. Сложение чисел с разными знаками. Когда возникли отрицательные числа. Игра в кости. Рассмотрим следующие задачи. Какие числа называются отрицательными. Решение.
«Решето Эратосфена» - Другим учителем Эратосфена в Александрии был философ Лизний. Заключение. Сколько столетий уже искали - нет! Что такое Решето Эратосфена? Решето Эратосфена. Никто не может сказать. Нет такой формулы, а Решето есть. Немного истории об Эратосфене. Но - как ни странно - ничего подобного: формулы нет!
«Пушкин и математика» - Сколько рыбы поймал старик за два дня. Сказка о рыбаке и рыбке. Сказка о мертвой царевне и семи богатырях. Устная работа. Вычислите устно. Выполните действия, результаты найдите в таблице и отгадайте зашифрованные слова. Чтобы узнать название следующей сказки, надо открыть три сейфа, ответив правильно на три вопроса. Найдите значение выражения. В свете есть иное диво: море вздуется бурливо, закипит, подымет вой, хлынет на берег пустой.
«Единицы измерения величин» - Единицы измерения. Единицы площади. Единицы времени. Единицы длины. Задачи на единицы длины. Размеры аквариума. В каком веке было отменено крепостное право в России. Единицы объёма. Длина тела карликовой обезьянки. Задачи на соотношение единиц времени.
«Простые числа в математике» - Решето Эратосфена. Устный счёт. Исследование. Тест. Простые и составные числа. Решение задач. Числа, которые имеют только два делителя. Историческая справка. Даны числа. Определение.
