Программа

курса "Стохастические дифференциальные уравнения"

лектор А.В.Булинский

(кафедра высшей математики МФТИ)

Некоторые задачи , приводящие к стохастическим аналогам обыкновенных дифференциальных уравнений (стохастические модели, возникающие в физике, технике, биологии и финансовой математике).

Вспомогательный математический аппарат. Условное математическое ожидание и его свойства (линейность, "телескопичность", неравенство Иенсена и др.). Фильтрованные вероятностные пространства. Моменты остановки, их свойства, примеры. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы с дискретным и непрерывным временем. Фундаментальные неравенства. Теоремы о сходимости. Локальные мартингалы и семимартингалы. Разложение Дуба-Мейера. Непрерывные и квадратично интегрируемые мартингалы.

Броуновское движение (винеровский процесс), его различные конструкции. Поведение траекторий: недифференцируемость с вероятностью единица, локальные максимумы, точки роста. Броуновское семейство. Варианты марковского и строго марковского свойства броуновского движения (семейства). Применения к решению граничных задач (проблема Дирихле). Формула Фейнмана-Каца. Локальное время броуновского движения, аддитивные функционалы. Векторное броуновское движение. Процессы Бесселя. Фрактальное броуновское движение.

Стохастическое исчисление. Построение интеграла Ито, свойства интеграла (в том числе мартингальность интеграла Ито с переменным верхним пределом). Интеграл Стратоновича. Связь между двумя видами стохастического интеграла. Интегрирование по семимартингалу. Формула Ито замены переменных и ее дальнейшие обобщения. Примеры.

Стохастические дифференциальные уравнения. Сильные и слабые решения. Проблемы существования и единственности решений (в сильном и слабом виде). Результаты Скорохода, Ятамада и Ватанабе. Решение уравнения Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека. Марковское свойство сильного решения стохастического дифференциального уравнения. Теорема Энгельберта- Шмидта. Преобразование Камерона-Мартина-Гирсанова как метод построения слабых решений. Мартингальная проблема Струка-Варадана, связь со стохастическими дифференциальными уравнениями. Различные подходы к изучению диффузионных процессов.

Применения стохастических дифференциальных уравнений. Проблемы фильтрации (фильтр Калмана-Бьюси). Задача об оптимальной остановке. Стохастическое управление. Диффузионная модель цены акций: от модели Башелье к модели Самюэлсона. Опционы, справедливая цена. Формула Блэка-Шоулса. Оптимальные инвестиции и потребление.

Дальнейшие исследования. Понятие о квантовых стохастических дифференциальных уравнениях и марковской эволюции открытых квантовых систем. Проблематика стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений.

Литература

1. Оксендал Б. Стохастические дифференциальные уравнения. МЦМИО, 2002.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики, т.1,2. М:Фазис, 1998.

3. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов, т.1,2. М:Физматгиз, 1994.

4. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М:Физматлит, 2003.

5. Kallenberg O. Foundations of Modern Probability. Springer, New York, 1997.

6. Karatzas I., Shreve S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, New York, 1997.

7. Parthasarathy K.R. An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Birkhauser, Basel, 1992.

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) - дифференциальное уравнение , в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название - случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ - уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс (более подробно см. ).

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения , сделанными независимо Марианом Смолуховским ( г.) и Альбертом Эйнштейном ( г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее ( г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена , хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум . Вторая распространенная форма - уравнение Фоккера-Планка , которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Пусть , и пусть

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

для

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и -непрерывное решение , такое что - адаптированный процесс к фильтрации , генерируемое и , , и

Применение стохастических уравнений

Физика

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

где - набор неизвестных, и - произвольные функции, а - случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если - константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум - проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа . В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка . Уравнение Фоккера-Планка - дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло . Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Теория вероятностей и финансовая математика

Биология

Химия

Ссылки

  • Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

  • Adomian George Stochastic systems. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983.
  • Adomian George Nonlinear stochastic operator equations. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
  • Adomian George Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
  • Øksendal Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. - Berlin: Springer, 2003. - ISBN ISBN 3-540-04758-1
  • Teugels, J. and Sund B. (eds.) Encyclopedia of Actuarial Science. - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523–527.
  • C. W. Gardiner Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. - Springer, 2004. - P. 415.
  • Thomas Mikosch Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. - Singapore: World Scientific Publishing, 1998. - P. 212. - ISBN ISBN 981-02-3543-7
  • Bachelier, L., Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0 , 1900. - ISBN In English in 1971 book "The Random Character of the Stock Market" Eds. P.H. Cootner

Решение стохастических дифференциальных уравнений проиллюстрируем следующими примерами.

Пример 7.1. Процесс x(t) арифметического броуновского движения определяется начальным условием x(0)=x 0 и стохастическим дифференциальным уравнением

Решение. Применяя определение (7.3), получим

Пример 7.2. Процесс геометрического броуновского движения аналогично определяется начальным условием x(0 )=x 0 и стохастическим дифференциальным уравнением

Решение. Рассмотрим процесс

применяя к которому формулу дифференцирования Ито, получим

то есть h(t ) является процессом арифметического броуновского движения, поэтому в силу примера 7.1 его можно записать в виде

,

тогда в силу замены (7.9) процесс x(t ) представим в виде

.

Так как, , то окончательно запишем

.

следовательно

,

поэтому в силу замены (7.10) можно записать

Пример 7.4. Для процесса броуновского моста

.

Решение. В этом уравнении выполним замену

Применяя формулу дифференцирования Ито, получим

следовательно

,

поэтому в силу замены (7.11) можно записать

,

следовательно

поэтому в силу (7.12) можно записать

.

Найдём математическое ожидание и дисперсию этого процесса

,

в частности, получим

Так как приращения винеровского процесса на непересекающихся интервалах независимы, их математические ожидание равны нулю, а дисперсии равны длинам этих интервалов, то

,

и, в частности,

В силу равенств (7.14) и (7.13) можно говорить, что броуновский мост соединяет в среднем квадратическом точки и , что оправдывает название этого диффузионного случайного процесса.


Литература

1. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. – М.: Изд-во «Наука», 1969. – 512 с.

2. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.– 448 с.

3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 3-е, испр. и доп. – М. : КомКнига, 2005. – 400 с.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. – 448 с.

5. Маталыцкий М.А. Элементы теории случайных процессов: Учеб. пособие. – Гродно: ГрГУ, 2004. – 326 с.

6. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. – М.:ФИЗМАТЛИТ,2002. – 320 с.



7. Назаров А.А., Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов: учеб. пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 204 с.

8. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2004.

9. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. – М.: Сов. Радио, 1971.


Введение. 1

Глава 1. Элементы теории случайных процессов. 2

Определение и описание случайного процесса. 2

Задачи для самостоятельного решения. 5

Статистические средние характеристики случайных процессов. 8

Стационарные случайные процессы.. 10

Свойства функции корреляции. 11

Эргодические случайные процессы.. 14

Задачи для самостоятельного решения. 16

Глава 2. Цепи Маркова с дискретным временем.. 21

Основные определения. 21

Цепи Маркова с дискретным временем.. 22

Классификация состояний цепи Маркова с дискретным временем.. 26

Структура периодического замкнутого класса. 29

Классификация состояний цепи Маркова по асимптотическим свойствам переходных вероятностей 30

Эргодические теоремы для цепей Маркова. 31

Вероятностно-временные характеристики цепи Маркова. 33

Задачи для самостоятельного решения. 38

Глава 3. Цепи Маркова с непрерывным временем.. 46

Дифференциальные уравнения Колмогорова. 48

Финальные вероятности. 51

Время перехода из одного состояния в другое. 52

Статистический смысл финальных (стационарных) вероятностей. 53

Время пребывания цепи Маркова в j -ом состоянии. 53

Процессы гибели и размножения. 55

Процесс чистого размножения. 57



Простейший поток. 57

Основные вероятностные характеристики простейшего потока. 60

Задачи для самостоятельного решения. 64

Глава 4. Элементы теории массового обслуживания. 70

Система массового обслуживания, основные определения и классификация. 70

Система M/M/1/¥ (с очередью) 74

Система M/M/N.. 75

Задачи для самостоятельного решения. 77

Глава 5. Непрерывные марковские процессы.. 83

Определение диффузионного случайного процесса. 84

Обратное уравнение Колмогорова. 85

Прямое уравнение Колмогорова. Уравнение Фоккера-Планка. 86

Некоторые частные случаи уравнения Фоккера-Планка. 86

Допредельная модель диффузионного процесса. 89

Глава 6. Стохастические интегралы.. 91

Стохастический интеграл в форме Ито. 91

Особенность стохастического интеграла в форме Ито. 91

Стохастический интеграл в форме Стратановича. 92

Связь интегралов Ито и Стратановича. 93

Глава 7. Стохастические дифференциальные уравнения. 94

Определение стохастических дифференциальных уравнений. Свойства их решений. 94

Формула дифференцирования Ито. 96

Решение стохастических дифференциальных уравнений. 97

Поведение многих реальных систем подвержено флуктуациям и в этом смысле не описывается строгими детерминированными законами. В качестве примеров можно указать броуновское движение, колебания стрелки гальванометра, флуктуации в электрических цепях и т. д. В таких случаях говорят о стохастических процессах, в которых рассматриваются вероятности реализации тех или иных конкретных условий. При этом уравнения, определяющие свойства системы, становятся уравнениями для случайных переменных, т.с. стохастическими уравнениями.

Различают три основных типа стохастических дифференциальных уравнений в соответствии с формами, в которых случайные элементы входят в уравнение:

  • 1) случайные начальные условия;
  • 2) случайные действующие силы;
  • 3) случайные изменения коэффициентов уравнения, зависящих от параметров системы.

Типичный пример уравнения первого типа - это уравнение движения частицы, определяемое законами, когда случайный элемент обусловлен только неопределенностью начальных условий.

Во втором случае задается стохастический процесс, определяющий случайную действующую на систему силу. Типичный пример - броуновское движение частицы под действием случайных сил.

В третьем случае параметры системы представляют собой случайные переменные. Например, электрическая цепь, в которой случайным образом меняется емкость конденсатора.

Разумеется, возможны ситуации, когда случайные элементы возникают в результате комбинации различных действующих причин. В качестве примера, позволяющего проиллюстрировать описываемую проблему без детального анализа различных вероятностных моментов, рассмотрим стохастическое уравнение первого порядка:

которое описывает одномерное движение классической частицы под действием силы трения, пропорциональной скорости v(t)> и некоторой «случайной» силы, описываемой функцией u(t).

Отметим, что несмотря на то, что уравнение (1) формально выглядит как второй закон Ньютона и в этом смысле является «точным» для механического поведения классической частицы, в действительности оно является модельным, так как в нем использовано модельное выражение для силы сопротивления движению в сплошной среде.

Формальное решение уравнения (1) записывается в виде

однако случайный, непредсказуемый характер поведения функции u(t) делает невозможным обычный путь решения этого уравнения, связанный с вычислением входящего в выражение (2) интеграла.

Для дальнейшего решения задачи следует задать ансамбль реализаций случайной силы u(t) и провести усреднение всех фигу- рируемых в (2) величин по этому ансамблю. Обозначая средние значения угловыми скобками, получим

Простейший ансамбль реализаций случайной величины - это так называемый «белый шум», при котором справедливы соотношения


где 6(т) - 6-функция Дирака. Соотношения (4) соответствуют независимым случайным значениям величины u(t) в разные моменты времени. В случае «белого шума» (4) уравнение (3) дает т.е. средняя скорость частицы убывает со временем по экспоненциальному закону. Рассмотрим теперь (v 2 (f)). Учитывая равенство

с помощью (2) и (4) получим

При стремлении / ->

к величине, равной кТ/т , где к - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура. Поэтому С/2а = кТ/т, и соотношение (7) переписывается в виде

Равновесие практически устанавливается при значениях времени / » 1 / а. Приближение (4) используется при описании процессов типа броуновского движения, когда зависящая от скорости сила вязкого трения существует и в отсутствие флуктуаций воздействия среды на частицу, a u(t) описывает чисто случайную силу.

Теперь рассмотрим зависимость от времени координаты х броуновской частицы. Считая х(0) = 0, имеем

Для при этом получаем следующее выражение:

С помощью соотношений (2) и (4) для (v(s)v(p )) имеем:


Учитывая соотношения (4) и (8), корреляционной функции (v(s)v(p)) можно придать вид

после чего для (х 2 (/)) имеем

Выражение для среднего значения квадрата смещения частицы оказывается разным в двух предельных случаях больших (/ » 1 /а) и малых (/ / а) времен. С помощью (13) находим

Из (14) следует, что на больших временах броуновская частица движется стохастически. Наоборот, при малых временах, как следует из (15), система обнаруживает «динамическое поведение», хотя это поведение соответствует не отдельной частице, а некоторому усредненному образу, так как речь идет не о х 2 (/), а о среднем значении этой величины.

Отметим, что два последовательных характерных этапа эволюции системы, соответствующие формулам (14) и (15), возникают при использовании в уравнении (1) силы сопротивления, пропорциональной скорости. Сама такая сила устанавливается спустя некоторый промежуток времени / с, по истечении которого можно представить результат взаимодействия выделенной частицы с окружающими частицами как некоторую усредненную постоянно действующую силу. Поэтому в соотношении (15) более правильным будет записать t c На временах, меньших t c , поведение выбранной частицы описывается чисто динамически. В принятом подходе t c выступает именно как феноменологический параметр, оценить или вычислить который можно только в рамках более детальной модели.

При более общем подходе к описанию стохастических систем и, в частности, к описанию броуновского движения вводят представление о функциях распределения р(х 0 , / 0 |х, г), определяющих вероятность обнаружить броуновскую частицу в интервале (х, x + dx) в момент /, при условии, что в момент / 0 она была в точке Xq. (Для простоты опять рассматривается одномерное движение.) Функция распределения считается нормированной:

Кроме того, эта функция удовлетворяет начальному условию, поэтому

Вероятности переходов, взятые для последовательных промежутков времени, считаются независимыми, поэтому произведение

соответствует вероятности обнаружить частицу в момент времени t + dt в области (х, x + dx), если в момент / 0 она находилась в точке х 0 , а в момент/ - в области (х", х" + dx"). Проинтегрировав по всем промежуточным состояниям х" в момент /, получаем вероятность р(дсо, / 0 |х, t + dt). Поэтому

Это - уравнение Смолуховского (нелинейное интегральное уравнение). Оно служит основой для вывода линейного дифференциального уравнения Фоккера-Планка, широко используемого при рассмотрении свойств стохастических систем - динамических систем с флуктуирующими параметрами. Обобщение рассмотрения на трехмерный случай не представляет особого труда и приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Широкое распространение при изучении стохастических явлений самой различной природы получило так называемое master equation - управляющее уравнение

В этом соотношении w, - вероятность нахождения системы в состоянии, характеризуемом набором характеристик / (квантовых чисел, если речь идет о физической системе), Ру - вероятность перехода в единицу времени из состояния j в состояние /: Ру > 0. В теоретической физике уравнение (19) называется уравнением кинетического баланса Паули, а вероятности w, трактуются как диагональные элементы статистического оператора в собственном представлении.

Почти «очевидное» из интуитивных соображений, это уравнение может быть обосновано с помощью достаточно строгих соображений или выведено на основе других уравнений, например с помощью уравнения С мол ухо вс кого. Действительно, представим вероятность р(х", /| х, t + dt) в виде

где первое слагаемое в правой части характеризует вероятность частице остаться через dt в точке х", а второе - вероятность перейти за то же время dt в точку х. Учитывая условие нормировки (16), легко с помощью (20) получить соотношение

Подставляя (20) в уравнение Смолуховского (18), с учетом (21) приходим к соотношению

Из соотношения (22) непосредственно следует дифференциальное уравнение

которое в точности соответствует уравнению (19).

Управляющее уравнение (19) сохраняет нормировку распределения вероятностей и является уравнением релаксационного типа: описываемая этим уравнением система с течением времени необратимо рслаксирует к некоторому не зависящему от времени стационарному состоянию. Выбор того или иного модельного представления для вероятностей переходов /* позволяет использовать это уравнение для описания самых различных стохастических процессов. В частности, уравнение Паули содержит в себе в качестве частного случая кинетическое уравнение Больцмана и некоторые его квантовые обобщения.

Для удобства математического исследования этого уравнения оно переписывается в матричном виде для вектора состояния W с компонентами ш,:

где А - матрица перехода с элементами

При вещественных вероятностях переходов /* матрица Л эрмитова, т.е. ее собственные значения вещественны, а собственные векторы ортогональны. Формальное решение уравнения (24) записывается в виде

где W(0) - вектор состояния в начальный момент времени. Свойство эрмитовости матрицы Л позволяет легко доказать релаксационный характер уравнения (19).

Задачи и упражнения

  • 1. Покажите, что v(t), определяемое формулой (2), является решение уравнения (1).
  • 2. Докажите справедливость соотношений (6) и (7).
  • 3. Получите соотношение (12).
  • 4. Получите формулу (13) для (х 2 (/)}.
  • 5. Используя (13), докажите соотношения (14) и (15).
  • 6. Используя соотношения (5) и (9), найдите величину (*(/)) и проанализируйте результат в двух предельных случаях: at и я/»1. Сравните с соотношениями (14) и (15).
  • 7. Получите соотношение (22).

Специальность: Прикладная математика и информатика и Прикладная математика и информатика

Целью дисциплины «Стохастические дифференциальные уравнения и их применение» является получение знаний в области теории случайных процессов, знакомство студентов с численными методами решения стохастических дифференциальных уравнений, получение представления о генераторах случайных чисел, и изучение возможности распараллеливания программ, используя среду OpenMP.

Курс предполагает, что полученные теоретические знания в области теории случайных процессов и навыки параллельного программирования слушатели могут в дальнейшем использовать при решении прикладных задач нелинейной динамики сосредоточенных и распределенных систем при учете шумов и флуктуаций.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:

– базовые алгоритмы вычислительной математики для решения задач стохастической динамики, условия их применимости.

Уметь :

– определять и профессионально реализовывать необходимые для решения прикладных задач стохастической динамики вычислительные алгоритмы, анализировать полученные результаты;

– профессионально разрабатывать и использовать программное обеспечение для решения прикладных задач;

Проводить процедуры корректности работы реализуемых численных методов.

Владеть :

– вычислительными методами нелинейной динамики;

– современными инструментальными вычислительными средствами.

Тема 1. Вычислительные методы для сосредоточенных динамических систем с шумовыми источниками.

Тема 2. Численное исследование неавтономных динамических систем с шумовыми источниками.

Тема 3. Численное исследование распределенных систем с шумовыми источниками.

Выполнение практических заданий на следующие темы

  • «Исследование характеристик генераторов случайных чисел»
  • «Распараллеливание в среде OpenMP»
  • «Численное моделирование вероятностных и временных характеристик джозефсоновского контакта»
  • «Индуцированные шумом эффекты изменения характеристик генерации нелинейных систем (резонансная активация, когерентный и стохастический резонанс, шумо-индуцированное увеличение времени возникновения отклика)»

Литература

а) основная литература:

  1. А.Н. Малахов, Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований, Москва, Советское радио, 1978).
  2. К.В. Гардинер, Стохастические методы в естественных науках, Москва, "Мир", 1986.
  3. В.И. Тихонов, М.А. Миронов, Марковские процессы, Москва, Советское радио, 1977.
  4. Л.А. Понтрягин, А.А. Андронов, А.А. Витт, О статистическом рассмотрении динамических систем, Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1933. - Т. 3, № 3. - С. 165-180.
  5. А.Н. Малахов, Флуктуации в автоколебательных системах, M.: Наука, 1968, с. 660.

б) дополнительная литература:

  1. A.N. Malakhov, A.L. Pankratov, Evolution times of probability distributions and averages - Exact solutions of the Kramers" problem, Adv. Chem. Phys., 121, 357-438 (2002).

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы

http://www.df.unipi.it/~mannella/papers/algorithms/SDE_on_a_computer.pdf

Описание стандарта OpenMP. http://parallel.ru/tech/tech_dev/openmp.html