ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§ 16. Частные виды параллелограмма.

Прямоугольник.

388. В прямоугольнике перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам, соответственно равны 4 см и 6 см. Определить периметр этого прямоугольника.

389. В прямоугольнике диагонали образуют угол, равный 50°. Определить углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

390. Перпендикуляр, проведённый из вершины прямого угла прямоугольника к его диагонали, делит прямой угол в отношении 2: 3. Определить:
а) углы, образованные диагоналями со сторонами прямоугольника;
б) угол, образованный проведённым перпендикуляром со второй диагональю.

391. Построить прямоугольник:
а) по двум его смежным сторонам;
б) по диагонали и углу, образованному диагональю со стороной;
в) по стороне и диагонали;
г) по диагонали и углу между диагоналями.

392. 1) Если в четырёхугольнике три внутренних угла прямые, то его противоположные стороны параллельны. Доказать.

2*) Доказать, что если в четырёхугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является прямоугольником.

393. Биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник. Доказать.

394. Из четырёх попарно равных планок связана рамка прямоугольной формы. Достаточно ли для проверки правильности изготовления рамки проверить равенство её диагоналей?

Разные задачи.

395. 1) Для определения расстояния АВ, которое нельзя измерить непосредственно, на местности построили прямые углы BAD и ABC с вершинами в точках А иВ
(черт. 142) и на сторонах углов отложили равные отрезки AD и ВС. Доказать, что расстояние между точками А и В равно расстоянию между точками D и С.

2) Как на местности измерить расстояние между точками А и В, используя свойство сторон параллелограмма? Приведите примеры.

396. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

397. 1) Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника, равной 6 см, проведены прямые, параллельные его катетам. Определить вид полученного четырёхугольника и найти его диагонали.

2) В треугольнике ABC Z.C = 90°, АС = ВС = 5 см; через точку К, взятую на стороне АВ, проведены прямые, параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося четырёхугольника.

3) В прямоугольном треугольнике ABC / С = 90° и CD_|_ AB, из точки D (черт. 143) проведены отрезки DL и DK, перпендикулярные катетам треугольника. Доказать, что расстояния между точками С и D и точками К и L равны.

398. Между сторонами острого угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он был перпендикулярен к одной из сторон данного угла.

399. 1) Найти точку, которая была бы удалена на расстояние а от данной точки и от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

2) Найти точку, одинаково удалённую от сторон данного угла и находящуюся на расстоянии а от данной прямой.

400. Провести биссектрису угла, вершина которого находится вне чертежа.

401. 1) Построить треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из них.

2) Построить треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и углу, который образует с этой стороной высота, проведённая к другой стороне.

3) Построить треугольник по углу и двум высотам, проведённым к сторонам этого угла.

402. 1) Построить параллелограмм по высоте, равной 4 см, стороне, равной 5 см, и диагонали, равной 6 см.

2) Построить треугольник по стороне, равной 5 см, высоте, равной 4 см, проведённой к этой стороне, и медиане, равной 6 см, проведённой к другой стороне.

3) Построить параллелограмм по двум диагоналям и высоте.

Ромб.

403. 1) Из каких двух равных треугольников можно сложить ромб?

2) Из каких четырёх равных треугольников можно сложить ромб?

404. В ромбе одна из диагоналей равна его стороне.

а) Чему равны углы ромба?

б) Найти углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.

405. Углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами, относятся, как 2: 3. Определить углы ромба.

406. 1) Высоты, проведённые из вершины ромба, образуют угол в 30°. Найти: а) углы ромба; б) углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.

2) Высоты, проведённые из вершины ромба, образуют угол в 120°.
Найти: а) углы ромба;
б) углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.

407. В ромбе высота, проведённая из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найти: а) углы ромба;
б) периметр ромба, если меньшая его диагональ равна 20 мм.

408. Достаточно ли для проверки того, что данный четырёхугольный кусок материи имеет форму ромба, проверить совпадение краёв куска при сгибании его по каждой диагонали?

409. 1) Доказать, что всякий параллелограмм, у которого одна из диагоналей делит его угол пополам, есть ромб.

2) Если в четырёхугольнике ABCD диагонали являются биссектрисами всех его углов, то этот четырёхугольник - ромб. Доказать.
Указание. Сначала рассмотреть треугольники ABC и CDА, а затем треугольники BCD и ABD.

410. Построить ромб:
а) по стороне и диагонали;
б) по двум диагоналям;
в) по стороне и прилежащему углу;
г) по высоте и диагонали;
д) по углу и диагонали, проходящей через вершину этого угла;
е) по диагонали и противолежащему ей углу.

411. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а боковая сторона равна 14 см. Построить треугольник, симметричный данному относительно середины его основания, и определить периметр и меньшую диагональ полученного четырёхугольника.

412. Пользуясь только линейкой с параллельными краями, провести перпендикуляр к отрезку через его середину (длина отрезка больше ширины линейки).
Указание. Пользуясь только двусторонней линейкой, построить ромб, одной из диагоналей которого является данный отрезок, а высота равна ширине линейки (черт. 144).

413. Пользуясь только линейкой с параллельными краями, провести перпендикуляр к прямой через данную на ней точку.
Указание. Построить ромб, диагональ которого лежит на данной прямой и делится в данной точке пополам.

414* . По схемам раздвижного кронштейна и раздвижной решётки, данным на чертеже 145, объяснить, почему точки А, В, С, D всегда располагаются на одной прямой.

415. Из каких двух равных треугольников можно сложить квадрат? Из каких четырёх равных треугольников можно сложить квадрат (два решения)?

416. Достаточно ли для проверки того, что данный четырёхугольник - квадрат, проверить равенство и перпендикулярность его диагоналей?

417. Доказать, что всякий ромб, у которого диагонали равны, есть квадрат.

418. Середины сторон квадрата последовательно соединены. Определить вид полученной фигуры.

419. Построить квадрат: а) по данной его стороне а ; б) по данной его диагонали b .

420. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены, как указано на чертеже 146, равные отрезки АА 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 ; точки A 1 , В 1 , С 1 и D 1 последовательно соединены. Доказать, что полученный четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 является квадратом.

421. Диагональ квадрата равна 12 см. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определить вид и периметр полученного четырёхугольника.

422. Дан квадрат, сторона которого равна 1 м; его диагональ служит стороной другого квадрата. Найти диагональ второго квадрата.

423. Диагональ квадрата равна 6 м. Его сторона служит диагональю второго квадрата. Определить сторону второго квадрата.

424. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найти периметр квадрата, если катет треугольника равен а .

425*. Доказать, что если диагонали четырёхугольника равны, делят его углы пополам и взаимно перпендикулярны, то такой четырёхугольник есть квадрат. Какое условие является лишним?

Свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми.

426. В треугольнике ABC АВ=12 см, АС = 24см. Сторона ВС разделена на 4 равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ. Найти отрезки этих прямых, заключённые внутри треугольника, и отрезки, полученные на стороне АС.

427. Используя свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми, на прямых решить задачу 387.

428. Для того чтобы резделить полосу шириной АВ на несколько, например на пять, одинаковых полос, масштабную линейку расположили так, как это указано на чертеже 147, и отметили точки, соответствующие сантиметровым делениям.

Затем через отмеченные точки провели прямые, параллельные краю полосы. Почему отрезок АВ разделился этими параллельными прямыми на пять равных частей?

Средняя линия треугольника.

429. Раствор АВ полевого циркуля (черт. 148) обычно равен 1 м или 2 м. Найти длину распорки MN, придающей ему жёсткость, если она соединяет середины ножек циркуля.

430. 1) Стороны треугольника относятся, как 3:4:5, периметр его равен 60 см. Найти периметр и стороны треугольника, вершины которого находятся в серединах сторон данного треугольника.

2) Стороны треугольника относятся, как 7:8:9. Периметр треугольника, вершинами которого служат середины его сторон, равен 24 см. Найти стороны данного треугольника.

431. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см. Каждая диагональ параллелограмма разделена на четыре равные части, и точки, делящие диагонали в отношении 1:3 и 3:1, последовательно соединены (черт. 149), Найти вид полученного четырёхугольника и вычислить его периметр.

432. Середины сторон произвольного четырёхугольника соединены так, как это показано на чертеже 150. Найти длины этих отрезков, если не пересекающая их диагональ равна 24 см.

433. В четырёхугольнике ABCD АВ = ВС и CD = AD. Середины сторон четырёхугольника последовательно соединены. Доказать, что полученный четырёхугольник является прямоугольником.

434. 1) Прямые, проведённые через вершины А, В и С треугольника ABC параллельно противолежащим сторонам, образуют треугольник A 1 B 1 C 1 , стороны которого делятся точками А, В и С пополам. Доказать.

2) Найти стороны треугольника, построенного, как указано в предыдущей задаче, если АВ = 6 см, ВС = 12 см, АС = 15 см.

435. Через точку М, данную внутри угла ABC, провести прямую, отрезок которой, заключённый между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

436. Через вершину угла С треугольника ABC проведена вне его прямая (черт. 151); проекции сторон АС и ВС на проведённую прямую равны 10 см и 6 см. Найти проекции на эту прямую всех медиан треугольника.

437. Объяснить, как, пользуясь свойством средней линии треугольника, можно определить расстояние между двумя точками Aи В, одна из которых недоступна (черт. 152).Как должна быть выбрана третья точка (точка С)? Обязательно ли угол А должен быть прямым?

438. В прямоугольнике меньшая сторона равна 20 см и образует с диагональю угол, равный 60°. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены. Определить вид и периметр полученного четырёхугольника.

439. В треугольнике ABC MN - средняя линия (черт. 153). через точку В проведён отрезок BD до пересечения с продолжением стороны АС (точка D). На какие части делится отрезок BD продолжением средней линии MN?

440* На чертеже 154 BD - высота треугольника ABC, BK = KD и AL = LC,
MN || АС. Доказать, что отрезок РQ, параллельный высоте BD, делится отрезком KL пополам. Какое условие яаляется лишним?

389. 25° и 65°. 390. а) 36° и 54°; б) 18°. 397. 1) 3 см; 2) 10 см. 404 . а) 60° и 120°; б) 30° и 60°. 405. 72° и 108°. 406. 1)30° и 150°; б) 15° и 75°; 2) а) 60° и 120°; б) 30° и 60°. 407. а) 60° и 120°; б) 80 мм. 411. 56 см и 11 см. 421. 48 см. 422. 2 м. 423. 3 м. 424. 2 а . 426. 3 см, 6 см, 9 см, 6 см. 429. 0,5 м или 1 м. 430. 1) 30 см, 7,5 см, 10 см, см12,5 см;
2) 14 см, 16 см, 18 см. 431. 14 см. 432. 12 см, 12 см. 436. 2 см, 11 см, 13 см. 438. 80 см

Посмотрел видео? Пройди тест:

Письменное решение

Смотри решения других разделов Геометрия 8 класс:

Описание задания 413 (А)

Задание 413 на построение. Как строить перпендикуляры и откладывать отрезки заданной величины, — описано в 4 параграфе 2 главы учебника.
Построение прямоугольника по двум смежным сторонам в пункте а) нужно начать с построения перпендикуляра для того, чтобы получить прямой угол. На его сторонах нужно отложить заданные отрезки – стороны прямоугольника. Таким образом, получатся три вершины прямоугольника. 1-я – вершина угла, 2-я и 3-я – концы отрезков. А чтобы получить 4-ю вершину нужно было бы провести параллельные сторонам угла прямые через концы отрезков, то есть, построить, как минимум, еще 2 перпендикуляра. Но используя свойства прямоугольника, построение можно выполнить проще. Посмотрите, как это сделано в нашем видео.
Подробное объяснение заданий на видео только у нас!

Описание задания 413 (Б)

При построении прямоугольника по стороне и диагонали – задание 413 б) – нужно учесть свойства прямоугольника: 1. его диагонали равны, 2. все его углы прямые (см. 3 параграф 5главы учебника). Вторая сторона прямоугольника не известна, но две смежные стороны с диагональю образуют прямоугольный треугольник, который можно построить по известному катету и гипотенузе. Для этого нужно построить прямой угол, отложить на одной из его сторон известный катет, а затем из конца отрезка-катета провести окружность радиуса, равного гипотенузе. Пересечение окружности со второй стороной прямого угла и даст 3-ю вершину треугольника. А поскольку по данному катету и гипотенузе можно построить единственный прямоугольный треугольник, то и наш прямоугольник, состоящий из 2-х равных треугольников, тоже будет единственным, который можно построить по известной стороне и диагонали. Безошибочное решение заданий из учебника

Описание задания 413 (В)

В задании 413 пункт в) при построении прямоугольника нужно учесть его свойства: диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам (см. 3 параграф 5 главы учебника). Как построить угол, равный заданному, отложить отрезок и построить середину отрезка описано в 4 параграфе 2 главы учебника.
Заданная диагональ и угол между диагоналями единственным образом определяют прямоугольник, который можно построить по этим условиям, поскольку, строя вершины прямоугольника, фактически мы строим 4 треугольника по заданным двум сторонам и углу между ними. А так как такие треугольники можно построить единственным образом, то и прямоугольник, состоящий из них, будет единственным. Объяснение правильного решения заданий по

Полезное

Делай ГДЗ по другим предметам с нами:
Узнай больше про автора учебника:


Прочитай раздел, посмотри короткое видео объяснение темы на странице:

Треугольник на заданном отрезке, используя отрезок, как основание. Для этого сначала постройте квадрат со стороной, равной отрезку, проведите в нем диагонали. Теперь постройте биссектрисы при диагоналях (на рисунке биссектрисы указаны синим), на пересечении биссектрис вершина , стороны которого равны радиусу окружности, описанной восьмиугольника.

Постройте окружность с центром в вершине треугольника. Радиус окружности равен стороне треугольника. Теперь разведите циркуль на , равное величине заданного отрезка. Отложите это расстояние на окружности, начиная от любого конца отрезка. Соедините все полученные точки в восьмиугольник.

Если же задана окружность, в которую должен быть вписан восьмиугольник, то построения будут еще проще. Постройте две перпендикулярные друг другу осевые линии, проходящие через центр окружности. На пересечении осевых и окружности получатся четыре вершины будущего восьмиугольника. Осталось поделить расстояние между этими точками на дуге окружности пополам, чтобы получить еще четыре вершины.

Правильный треугольник - тот, у которого все стороны обладают одинаковой длиной. Исходя из этого определения, построение подобной разновидности треугольник а является нетрудной задачей.

Вам понадобится

  • Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

Инструкция

Обратите внимание

В правильном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.

Полезный совет

Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это означает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Любой правильный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное утверждение не верно.

Восьмиугольник – это, по своей сути, два квадрата, смещенных относительно друг друга на 45° и соединенных на вершинах единой линией. А потому, для того чтобы правильно изобразить такую геометрическую фигуру, необходимо твердым карандашом очень аккуратно, по правилам начертить квадрат или круг, с которыми и проводить дальнейшие действия. Описание ориентировано на длину стороны, равной 20 см. А значит, при расположении чертежа учитывайте, чтобы вертикальная и горизонтальная линии длиной 20 см умещались на листе бумаги.

Вам понадобится

  • Линейка, прямоугольный треугольник, транспортир, карандаш, циркуль, лист бумаги

Инструкция

Способ 1. Начертите внизу горизонтальную линию длиной 20 см. Затем с одной стороны отметьте транспортиром угол, который 90°. То же самое можно сделать с помощью треугольника. Проведите вертикальную линию и отметьте 20 см. Проделайте те же самые манипуляции с другой стороны. Соедините две полученные точки горизонтальной линией. В результате получилась геометрическая – .

Для того чтобы построить второй (смещенный) квадрат, понадобится центр фигуры. Для этого разделите каждую сторону на 2 части. Соедините сначала 2 точки параллельных верхней и нижней сторон, а потом точки боковых сторон. Проведите через центр квадрата 2 прямые линии, перпендикулярные относительно друг друга. Начиная от центра, отмерьте на новых прямых длину по 10 см, что в итоге даст 4 прямые линии. Соедините 4 полученные наружные точки между собой, в результате чего получится второй квадрат. Теперь каждую точку из 8 полученных углов соедините между собой. Таким образом, будет начерчен .

Способ 2. Для этого понадобится циркуль, и транспортир. От центра листа с начертите круг диаметром 20 см (радиус 10 см). Через центральную точку проведите прямую линию. Затем начертите вторую перпендикулярную ей линию. То же самое можно выполнить с помощью транспортира или прямого треугольника. В результате круг будет поделен на 4 равные части. Далее каждый из сегментов разделите еще на 2 части. Для этого также можно воспользоваться транспортиром, отмеряя 45° или прямоугольным треугольником, который приложите острым углом в 45° и проведите лучи. От центра на каждой прямой линии отмерьте по 10 см. В результате получатся 8 «лучиков», которые соедините между собой. В результате получится восьмиугольник.

Способ 3. Для этого так же начертите круг, проведите через середину линию. Затем возьмите транспортир, поставьте его на центр и отмеряйте углы, учитывая, что каждый сегмент имеет в центре угол 45° . После этого на полученных лучах отмерьте длину в 10 см. и соедините их между собой. Восьмиугольник .

Полезный совет

Делайте чертеж твердым карандашом, побочные линии на котором затем легко можно будет удалить

Правильный восьмиугольник – это геометрическая фигура, у которой каждый угол составляет 135˚, и все стороны между собою равны. Эта фигура очень часто применяется в архитектуре, к примеру, при постройке колон, а также при изготовлении дорожного знака STOP. Как же нарисовать правильный восьмиугольник?

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

  1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
  2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
  3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

  1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
  2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

  1. Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
  2. Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
  3. характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
  4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

  • Конгруэнтные основания.
  • Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
  • Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

  1. Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
  2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

  • В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
  • Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

  1. Тетраэдр.
  2. Гексаэдр.
  3. Октаэдр.
  4. Додекаэдр.
  5. Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

  1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
  2. Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
  3. Все межгранные углы равны 90.
  4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
  5. Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

  1. Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
  2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
  3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
  4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

  1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
  2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

  1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
  2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
  3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

  1. Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
  2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
  3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

  1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
  2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 60*. Правильные многогранники.

Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани - правильные конгруэнтные многоугольники, а все его многогранные углы конгруэнтные и правильные.

Из определения следует, что у правильного многогранника все двугранные углы конгруэнтны, все плоские углы конгруэнтны и все его ребра конгруэнтны. Можно доказать теорему:

В любой правильный многогранник можно вписать сферу, и около любого правильного многогранника можно описать сферу, причем центры этих сфер совпадают.

Общий центр вписанной и описанной сфер правильного многогранника называется центром этого многогранника.

Границей правильного многогранника является замкнутая поверхность, которая представляет собой объединение всех его граней.

Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции (в V в. до н. э.). Первые упоминания о них были у Платона, с тех пор они и получили название пяти Платоновых тел. Знаменитая книга «Начала» Евклида начиналась описанием построения правильного треугольника и заканчивалась описанием пяти правильных многогранных тел.

Правильные многогранники до сего времени сохранили свои греческие названия.

1. Куб. Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы своими уравнениями шесть плоскостей: х = 0 и х = а , у = 0 и у = а , z = 0 и z = а . Рассмотрим пересечение шести полупространств: х > 0 и х < а , у > 0 и у < а , z > 0 , z < а .

Легко видеть, что пересечением шести полупространств будет куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 191).

Граница этого многогранника состоит из шести конгруэнтных квадратов; многогранные углы при каждой вершине трехгранные и конгруэнтные, все плоские углы его конгруэнтны и все двугранные углы конгруэнтны. Следовательно, полученный многогранник правильный. Он называется правильным гексаэдром или кубом («гексаэдр» в переводе с греческого означает «шестигранник»). Отметим, что любой параллелепипед - гексаэдр.

2. Правильный тетраэдр. У куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 вершины А, B 1 , С, D 1 не лежат в одной плоскости, а следовательно, являются вершинами некоторого тетраэдра. Легко видеть, что границей полученного тетраэдра АB 1 СD 1 являются четыре конгруэнтных правильных треугольника (рис. 192):

/\ AB 1 C /\ ACD 1 /\ AD 1 B 1 /\ B 1 CD 1

(так как все их стороны являются диагоналями конгруэнтных квадратов). Многогранные углы при каждой вершине тетраэдра трехгранные и конгруэнтные; все плоские углы и все двугранные углы конгруэнтны. Следовательно, полученный многогранник правильный. Он называется правильным тетраэдром.

3. Правильный октаэдр. В прямоугольной системе координат построим шесть точек:

А(а ; 0; 0), В(0; а ; 0), С(-а ; 0; 0), D(0; -а ; 0), M(0; 0; а ) и N(0; 0; -а ).

Каждая тройка точек (M, А, В), (М, В, С), (M, С, D), (M, D, A), (N, А, В), (N, В, C),
(N, C, D) и (N, D, А) определяет плоскость (рис. 193).

Пересечением восьми полупространств, ограниченных плоскостями (МАВ), (МВС),..., (NDA) и содержащих точку О, будет восьмигранник MABCDN. Граница его состоит из восьми правильных конгруэнтных треугольников (стороны их конгруэнтны, как гипотенузы конгруэнтных прямоугольных треугольников). Все его многогранные углы четырехгранные, правильные и конгруэнтные. Следовательно, полученный восьмигранник правильный. Такой восьмигранник называется правильным октаэдром («октаэдр» означает «восьмигранник»). Октаэдры бывают и неправильные, например правильная четырехугольная бипирамида (рис. 194) (у правильной четырехугольной бипирамиды все грани - равнобедренные треугольники) .

4. Правильный икосаэдр. Граница этого многогранника состоит из двадцати правильных конгруэнтных треугольников (рис. 195).

Правильный икосаэдр имеет двенадцать конгруэнтных пятигранных правильных углов. Все его двугранные углы конгруэнтны, и все его плоские углы конгруэнтны («икосаэдр» в переводе с греческого означает «двадцатигранник»).

5. Правильный додекаэдр. Граница этого многогранника состоит из двенадцати правильных конгруэнтных пятиугольников (рис. 196).

Правильный додекаэдр имеет двадцать конгруэнтных трехгранных правильных углов. Все его двугранные углы конгруэнтны и все плоские углы конгруэнтны («додекаэдр» в переводе с греческого означает «двенадцатигранник»).

Доказано, что правильных выпуклых многогранников только пять.