1. (f(h(x))) " = f" (h(x)) x ∙ h"(x)

2. (sin x) " = cos x

3. (cos x) " = - sin x

4. (tg x) " = 1/cos 2 x

5. (ctg x) " = 1/sin 2 x

6. (a x) " = a x ∙ ln a

7. (е x) " = е x

8. (ln x) " = 1/x

9. (log a x) " = 1/ x ∙ ln a а

10. (arcsin x) " = 1/

11. (arccos x) " = -1/

12. (arctg x) " = 1/ 1+x 2

13. (arcctg x) " = -1/1+x 2

Пример. Вычислите производную

y = sin 3 (1-x 2)

y"= (sin 3 (1-x 2))"* (sin (1-x 2))"* (1-x 2)" = 3 sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2) * (-2x) =

6x * sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2)

Определение. Пусть функция y = f(x), x Є(a;b) дифференцируема в некоторой точке x o Є(a;b), т.е. в точке x o существует предел lim Δf(x o) / Δx = f"’ (x o)

Отсюда имеем Δ f(x o) / Δx = f’(x o) + α , где α - величина бесконечно малая при Δ x→0, т.е. lim α = 0

Значит Δ f(x o) = f"" (x o) ∙ Δx + α∙ Δx.

Второе слагаемое бесконечно малое при Δx→0, поэтому d f(x o)= f " (x o)∙ Δx или

Пример. Вычислите дифференциал функции y = x 2 + cos 3x - 5

Dy = (x 2 + cos 3x – 5)"dx = (2x – 3 sin 3x) dx.

Определение. Дифференциальная функция f(x) , определенная на некотором промежутке x, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех x из этого промежутка F"(x) = f(x) или d F(x) = f(x) * dx

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке x, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

∫ f(x) dx = f(x) + C, где F(x) - первообразная

C– производная постоянная.

Для вычисления неопределенного интеграла существует таблица основных интегралов (см.учебник Математика для техникумов И.И.Валуцэ), стр.251).

Пример. Найти

1. ∫(4x 3 – 6x 2 + 2x + 3)dx = ∫4x 3 dx - ∫6x 2 dx + ∫2xdx + ∫3dx = 4 x 4 /4 – 6 x 3 /3 + 2 x 2 /2 +

2. ∫(5x 4 – 8/cos 2 x + 3√x + 1) dx = ∫ 5x 4 dx – ∫8/cos 2 x * dx + ∫3√x dx + ∫dx =

5 * x 5 /5 – 8 * tg x + 3 x 3/2 / 3/2 + x + C = x 5 - 8 tg x + 2x√x + x + C.

3. ∫2 3x * 3 x dx = ∫(2 3 * 3) x dx = ∫ 24 x dx = 24 x / ln 24 + C.

Определение. Приращения F(b) – F (a) любой из первообразных функций f(x) + C при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом от а до b функции f(x), и обозначается f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a), и называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пример. Вычислить



1. ∫ (x 2 – 3x + 7)dx = ( x 3 - 3/2 x 2 + 7x) | = (1/3 * 2 3 – 3/2 * 2 2 + 7*2) – (1/3 *(-1) 3 -

3/2 (-1) 2 + 7*(-1)) = 19,5

Определение. Фигура ограниченная графиком функции y = f(x), отрезком и прямыми х = а и х = b называется криволинейной трапецией.

S= ∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

Пример. Вычислить площадь фигуры ограниченной y = ½ x 2 + 1 y = 0 x = -2 x = 3


S= ∫ (1/2 x 2 + 1) dx = (1/6 x 3 + x) | = (1/6 * 3 3 +3) -

- (1/6 (-2) 3 – 2) = 10 5/6


Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции. Такое уравнение называется дифференциальным.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x, y, y" , y"", .....y (h)) = 0

2x + y – 3y"= 0 y" 2 – 4 = 0, sin y"= cos xy, y"" = 2x являются дифференциальными уравнениями.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называются наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

xy" + y – 2 = 0 – уравнение первого порядка

y"" + 7y"- 3y = 0 – уравнение третьего порядка

Определение 3. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y") = 0

y"= f(x, y) – уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Определение 4. Всякое отдельно взятое решение дифференциального уравнения называется его частным решением.

Определение 5. Функция, заданная формулой y = (e (x,C) или y = y(x,C) – представляет общее решение дифференциального решения F(x, y, y") = 0 или

Задача Коши. При решении конкретных задач часто необходимо выделить из всей совокупности решений дифференциального уравнения то частное решение, которое является ответом на поставленный вопрос. Для того чтобы из всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую, задают так называемые начальные условия.

В случае дифференциальных уравнений первого порядка y" = f(x, y) под начальным условием для его решения y = y(x) понимают условия, состоящие в том, что y = y o при х = х о т.е. y (х о) = y o , где x o и y o - заданные числа (начальные данные), такие, что при х = х о и y = y o функция f(x, y) имеет смысл, т.е. существует f(x о, y о).

Определение 6. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение y = y(x) уравнения y" = f(x, y), удовлетворяющее при заданных начальных данных (x о, y о) начальному условию

y (х о) = y o , или, в другой записи, y х=х0 = y o , где x о, y о – заданные числа.

Определение 7. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид: y"= f 1 (x) f 2 (y) или

dy/f 2 (y) = f 1 (x) dx.

Теорема: Если существуют интегралы ∫dy/f 2 (y) и ∫ f 1 (x) dx, то общий интеграл уравнения с разделенными переменными задается уравнением

F 2 (y) = F 1 (x) + C, где F 2 (y) и F 1 (x) – некоторые первообразные соответственно функций 1/f 2 (y) и f 1 (x).

При решении дифференциальных уравнения с разделяющими переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом:

1) разделить переменные (с учетом условий, когда это можно делать);

2) интегрируя почленно полученные уравнения с разделенными переменными, найти его общий интеграл;

3) выяснить, имеет ли уравнение решения, не получающиеся из общего интеграла;

4) найти частный интеграл (или решение), удовлетворяющий начальным условиям (если это требуется).

Пример. Найти частное решение уравнения 2yy" = 1-3x 2 если y o = 3 при x o =1

Это уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах:

Отсюда 2y * dy = (1-3 x 2) dx

Интегрируем обе части последнего равенства, найдем ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x 2) dx получаем у 2 = x – x 3 + C. Подставив начальные значения y o = 3 x o =1 найдем

С: 9 = 1-1+С т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет y 2 = x – x 3 + 9 или

x 3 + y 2 – x – 9 = 0

Тема 1.4. Ряды.

Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида

а 1 + а 2 + …а n + ………., где а 1 , а 2 , ……а n – числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.

Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования Σ , а

именно а 1 + а 2 + …а n + ……….= Σ a n

Определение 2. Числа а 1 ,а 2, …а n , …..называются членами ряда; а n – называется общим членом ряда.

Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частных сумм S 1 , S 2 , S 3 .........S n , ...... сходится, т.е. если существует конечный предел

Число S называется суммой ряда. Если Lim S n не существует или Lim S n = ∞, то ряд

h →∞ h →∞

называется расходящимся и ему не приписывается никакое числовое значение.

Теорема 1. Если ряд сходится, то его общий член а n стремится к нулю.

Если Lim а n ≠ 0 или этот предел не существует, то ряд расходится.

Теорема 2. Пусть дан ряд а 1 + а 2 + …а n + ……….,с положительными членами.

а n + 1 а n + 1

Допустим, что Lim существует и Lim = Р

h →∞ а n h →∞ а n

1) если Р<1, то ряд сходится

2) если Р>1, то ряд расходится.

Определение 3. Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются закономерными.

Определение 4. Закономерный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

|а 1 | + |а 2 | + …+ | а n | + ………., составленный из модулей его членов.

Определение 5. Ряд а 1 + а 2 + …а n + ………., называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд |а 1 | + |а 2 | + …+ | а n | + ………., составленный из модулей его членов, расходится.

Определение 6. Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно (а 1 + а 2 + а 3 – а 4 +…..+(-1) n +1 *

Теорема 3. Знакочередующимся ряд сходится, если:

1) его члены убывают по модулю,

а 1 ≥ а 2 ≥ … ≥а n ≥ ……..

2) его общий член стремится к нулю,

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенством 0≤ S ≤a 1

Определение 7. Пусть u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) ... - некоторая последовательность функций.

Выражение вида Σ u n (x) = u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) + называется функциональным рядом.

Определение 8. Функциональный ряд называется сходящимся в точке x o , если

числовой ряд Σ u n (x o) = u 1 (x o), u 2 (x o),.....u n (x o) + ......

полученный из функционального ряда подстановкой x = x o , является сходящимся рядом. При этом называется точкой сходимости ряда.

Определение 9. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Σ a n (x-x o) n = a o + a 1 (x-x o), a 2 (x-x o) 2 ,.....a n (x-x o) n + ......

где х – независимая переменная, х o - фиксированное число, а o , а 1 , а 2 , … а n ….. – постоянные коэффициенты.

Раздел 2.1. Основы дискретной математики.

Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

Множество – основное понятие а теории множеств, которое вводится без определения. О множестве известно как минимум то, что оно состоит из элементов.

Множество А называется

является элементом В (рис.1)

рисунок 1

Способы задания множеств:

1. Перечислением, т.е. списком своих элементов.

2. Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.

3. Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы.

Задать различными способами множество N всех натуральных чисел 1, 2, 3…..

а) списком множество N задать нельзя ввиду его бесконечности.

б) порождающая процедура содержит два правила:

1) 1 Î N ; 2) если n Î N, то n + 1 Î N

в) описание характеристического свойства элементов множества N:

N = {х; х – целое положительное число}

Операции над множествами.

1. Объединением множеств А и В называется

множество состоящее из всех тех элементов,

которые принадлежат хотя бы одному из множеств

А, В. (рисунок 2)

Рисунок 2

2. Пересечением множеств А и В называется

множество, состоящее из всех тех и только тех элементов,

которые принадлежат и А и В. (рисунок 3)

Рисунок 3

3. Разностью множеств А и В называется множество

всех тех и только тех элементов А, которые

Рисунок 4

4. Дополнением (до В) множества А называется В

А
множество всех элементов, не принадлежащих А (рис.5)

Рисунок 5

Осуществить операции над множествами А= {a, b, c, d} и B = {c,d,f.g,h}

A U B ={a, b, c, d, e, f.g,h}

A ∩ B = {c, d}

Операции дополнения над множествами А и В не могут быть выполнены т.е. универсальное множество не определено.

Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые упарные и бипарные отношения.

Отношения можно задать:

Списком;

Матрицей.

Свойства отношений.

Пусть R - отношение на множестве М, R ≤ М х М, тогда:

1. R – рефлексивно, если имеет место а R а для любого а Î М.

2. R – антирефлексивно, если ни для каждого а Î М не выполняется а R а.

3. R – симметрично, если а R b влечет bRа.

4. R – антисемметрично, если aRb и bRa влекут a=b, т.е. ни для каких различающихся элементов a и b (a≠b) не выполняется одновременно aRb и bRa .

5. R– транзитивно, если aRb и bRa влекут aRc.

Тема 2.2 Основные понятия теории графов

Графические представления в широком смысле – любые наглядные отображения исследуемой системы, процесса, явления на плоскости. К ним могут быть отнесены рисунки, чертежи, графики зависимостей характеристик, план-карты местностей, блок-схемы процессов, диаграммы и т.п.

Графические представления – удобный способ иллюстрации содержания различных понятий, относящихся к другим способам формализованных представлений.

Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы.

Теория графов имеет огромные приложения, так как ее язык, с одной стороны, нагляден и понятен, а с другой – удобен в формальном исследовании.

Графические представления в узком смысле – это описание исследуемой системы, процесса, явления средствами теории графов в виде совокупности двух классов объектов: вершин и соединяющих их линий – ребер или дуг.

Определение: графом Д называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между элементами которых определено отношение инцидентности – каждое ребро е Е инцидентно равно двум вершинам v", v"" V, которые оно соединяет.

Так же о теории графов, об элементах графов, ознакомится с видами графов и рассмотреть операции над ними, вы можете изучая раздел 3 «Теория графов», стр.195-214 в учебнике для ХХ1 века под редакцией Г.И.Москинова «Дискретная математика».

Для самостоятельного изучения темы 3.1. Основы теории вероятностей и математической статистики. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Темы 3.2. Случайная величина, ее функция распределения. Темы 3.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Можно использовать следующую литературу: В.С.Щипачева «Основы высшей математики», а так же И.П.Натансон. Краткий курс высшей математики или Н.В.Богомолов Практическое занятие по математике.

Во всех приведенных ниже формулах буквами u и v обозначены дифференцируемые функции независимой переменной x : , , а буквами a , c, n - постоянные:

1.

3.

4.

5.

6.

Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций:

8.

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7а.

8а.

9а.

11а.

12а.

13а.

16а.

17а.

При решении приведенных ниже примеров сделаны подробные записи. Однако следует научиться дифференцировать без промежуточных записей.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5, 7 и 8:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим

Пример 3. Найти производную функции и вычислить ее значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 7а и 10, имеем

.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Применяя формулы 3, 5, 7а, 11, 16а, получим

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Дифференцируем данную функцию по формулам 6, 12, 3 и 1:

Пример 6. Найти производную функции и вычислить ее значение при .

Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов :

Теперь дифференцируем по формулам 3, 16а, 7 и 1:

.

Вычислим значение производной при .

Пример 7. Найти производную функции и вычислить ее значение при .

Решение. Используем формулы 6, 3, 14а, 9а, 5 и 1:

.

Вычислим значение производной при :

.

Геометрический смысл производной.

Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию .

Если функция дифференцируема в точке х , то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке (х 0 , у 0), равен значению производной функции при х = х 0 , т.е. .

Уравнение этой касательной имеет вид

Пример 8 . Составить уравнение касательной к графику функции в точке А (3,6).

Решение. Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:

х = 3:

Уравнение касательной имеет вид

, или , т.е.

Пример 9. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х=2 .

Решение. Сначала найдем ординату точки касания . Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.


; .

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке , имеет вид . Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:

.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х = 2:

Уравнение касательной таково:

, , т.е.

Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону s=s(t ), то за промежуток времени (от момента t до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени .

Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения пути к приращению времени , когда приращение времени стремиться к нулю:

.

Следовательно, производная пути s по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:

.

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функции равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х :

Пример 10. Закон движения точки по прямой задан формулой (s - в метрах, t - в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути s по времени t :

,

Итак, скорость движения точки в конце первой секунды равна 9 м/с.

Пример 11. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону , где v 0 - начальная скорость, g - ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени t . Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если v 0 = 40 м/с?

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени t равна производной пути s по времени t:

.

В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:

, , , , с.

За 40/g секунд тело поднимается на высоту

, м.

Вторая производная.

Производная функции в общем случае является функцией от х . Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .

Второй производной функции называется производная от ее первой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов - , , . Таким образом, .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:

или ,

Пример 12. .

Решение. Сначала найдем первую производную

Пример 13. Найти вторую производную функции и вычислить ее значение при х=2 .

Решение. Сначала найдем первую производную:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Вычислим значение второй производной при х=2 ; имеем

Физический смысл второй производной.

Если тело движется прямолинейно по закону s = s(t) , то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:

Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная - ускорение того же процесса.

Пример 14. Точка движется по прямой по закону . Найти скорость и ускорение движения .

Решение. Скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути s по времени t, а ускорение - второй производной пути s по времени t . Находим:

; тогда ;

; тогда

Пример 15. Скорость прямолинейного движения пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении). Доказать, что это движение происходит под действием постоянной силы.

Решение. По закону Ньютона , сила F, вызывающая движение, пропорциональна ускорению, т.е.

или

Согласно условию, . Дифференцируя это равенство, найдем

Следовательно, действующая сила .

Приложения производной к исследованию функции .

1) Условие возрастания функции : Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная больше ноля, т. е. y = f(x) f’(x) > 0 . Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует острый угол с положительным направлением к оси оХ.

2) Условие убывания функции : Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно убывает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная меньше ноля, т. е.

y = f(x)↓ f’(x)Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует тупой угол с положительным направлением оси оХ)

3) Условие постоянства функции: Дифференцируемая функция y = f(x) постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная равна нулю, т. е. y = f(x) - постоянна f’(x) = 0 . Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции параллельна оси оХ, т. е. α = 0)

Экстремумы функции.

Определение 1 : Точку х = х 0 называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x)> f(x 0)

Определение 2: Точку х = х 0 называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x) < f(x 0).

Определение 3: Точку минимума или максимума функции называют точкой экстремума . Значение функции в этой точке называют экстремальным.

Замечания : 1. Максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением функции;

2. Функция может иметь несколько максимумов или минимумо;

3. Функция, определённая на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.

5) Необходимое условие экстремума: Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х = х 0 , то в этой точке производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками 1 рода .

6) Достаточные условия существования экстремума функции: Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри этого промежуткак ритическую точку 1 рода х = х 0 , то:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х 0 f’(x) < 0, а при x> x 0 f’(x) > 0, то х = х 0 является точкой минимума функции y = f(x);

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х 0 f’(x) > 0, а при x> x 0

f’(x) < 0, то х = х 0 является точкой максимума функции y = f(x);

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и справа и слева от точки х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет.

Промежутки убывания или возрастания функции называются промежутками монотонности.

Определение1: Кривая у = f(x) называется выпуклой вниз на промежутке а < х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется выпуклой вверх на промежутке а < х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 2: Промежутки, в которых график функции обращён выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Достаточное условие выпуклости кривой. График дифференцируемой функции Y = f(x) является выпуклым вверх на промежутке а < х <в, если f”(x) < 0 и выпуклым вниз , если f”(x) > 0.

Определение 1: Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II рода .

Определение 2: Точка графика функцииY = f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположенных направлений этого графика, называется точкой перегиб.

точка перегиба

Пример : Дана функция у = х 3 - 2х 2 + 6х - 4.Исследовать функцию на промежутки монотонности и точки экстремума. Определить направление выпуклости и точки перегиба.

Решение: 1. Найдем область определения функции: D(y) = ;

2. Найдем первую производную: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Решим уравнение: y’ = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, то данное уравнение не имеет решения, следовательно точек экстремуму нет. y’ , то функция возрастает на всей области определения.

4. Найдем вторую производную:y” = 6x - 4;

5. Решим уравнение: y” = 0, 6x - 4 = 0, х =

Ответ: ( ; - ) - точка перегиба, функция выпукла вверх при х и выпукла вверх при х

Асимптоты.

1. Определение : Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график данной функции.

2. Виды асимптот :

1) Вертикальные асимптоты . График функции y = f(x) имеет вертикальную асимптоту, если . Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а

2) Горизонтальные асимптоты . График функции y = f(x) имеет горизонтальную асимптоту, если . Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = b.

Пример 1 : Для функция y = найдите асимптоты.

3) Наклонные асимптоты. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если . Значения k и b вычисляются по формулам: k = ; b = .

Решение: , то y = 0 - горизонтальная асимптота;

(т. к. х - 3 ≠ 0, х ≠3), то х = 3 - вертикальная асимптота. ,т. е. k = 0, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Пример 2 : Для функции y = найдите асимптоты.

Решение: x 2 - 25 ≠ 0 при x ≠ ± 5, то х = 5 и х = - 5 являются горизонтальными асимптотами;

y = , то кривая не имеет вертикальной асимптоты;

k = ; b = , т. е. y = 5x - наклонная асимптота.

Примеры построения графиков функций .

Пример 1 .

Исследовать функцию и построить график функции у = х 3 - 6х 2 + 9х - 3

1. Найдём область определения функции: D(y) = R

у(- х) = (- х) 3 - 6·(- х) 2 + 9·(-х) - 3 = - х 3 - 6х 2 - 9х - 3 = - (х 3 + 6х 2 + 9х + 3), т. е.

(у = х 5 - х 3 - нечетная, у = х 4 + х 2 - четная)

3. Не является периодической.

4. Найдем точки пересечения с осями координат: если х = 0, то у = - 3 (0; - 3)

если У = 0, х найти затруднительно.

5. Найдем асимптоты графика функции: Вертикальных асимптот нет, т.к. нет значений х, при которых функция неопределенна; у = , т. е. горизонтальных асимптот нет;

k = , т. е. наклонных асимптот нет.

6. Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y’= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - критические точки 1 рода.

Определим знаки производной: y’(0) = 9 > 0; y’(2) = - 3 < 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - точка максимума; y min = y(3) = - 3, (3; - 3) - точка минимума, функция у при х и у .

7. Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба:

y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - критическая точка 1 рода.

Определим знаки второй производной: y”(0) = - 12 < 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - точка перегиба, функция выпукла вверх при х и выпукла вниз при х .

8. Дополнительные точки:

х - 1
у - 19

9. Построим график функции:

Исследовать функцию и построить график функции у =

1. Найдём область определения функции: 1 - х ≠ 0, х ≠ 1, D(y) = .

2. Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной: ,

у(- х) ≠ у(х) - не является чётной и у(- х) ≠ - у(х) - не является нечётной

3. Не является периодической.

4. Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0, то у = - 2; у = 0, , то , т. е. (0; - 2); ().

5. Найдем асимптоты графика функции: т.к. х ≠ 1,то прямая х = 1 - вертикальная асимптота;

Дифференцирование – это вычисление производной.

1. Формулы дифференцирования.

Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.

1) Начнем с формулы (kx + m)′ = k.
Ее частными случаями являются формулы x ′ = 1 и C′ = 0.

В любой функции вида у = kx + m производная равна угловому коэффициенту k.

Например, дана функция у = 2х + 4. Ее производная в любой точке будет равна 2:

(2 х + 4)′ = 2 .

Производная функции у = 9 х + 5 в любой точке равна 9 . И т.д.

А давайте найдем производную функции у = 5х . Для этого представим 5х в виде (5х + 0). Мы получили выражение, похожее на предыдущее. Значит:

(5х )′ = (5х + 0)′ = 5.

Наконец, выясним, чему равна x ′.
Применим прием из предыдущего примера: представим х в виде 1х + 0. Тогда получим:

x ′ = (1х + 0)′ = 1.

Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу из таблицы:

(0 · x + m)′ = 0.

Но тогда получается, что m′ тоже равна 0. Пусть m = C, где C – произвольная постоянная. Тогда мы приходим к еще одной истине: производная постоянной равна нулю. То есть получаем еще одну формулу из таблицы.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Таблица производных элементарных функций

Определение 1

Вычисление производной называют дифференцированием .

Обозначают производную $y"$ или $\frac{dy}{dx}$.

Замечание 1

Для нахождения производной функции согласно основным правилам дифференцирования превращают в другую функцию.

Рассмотрим таблицу производных. Обратим внимание на то, что функции после нахождения их производных преобразуются в другие функции.

Исключение составляет лишь $y=e^x$, превращающаяся сама в себя.

Правила дифференцирования производной

Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования и доказательство производной произведения, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.

1. Постоянная выносится за знак производной

$C$ – постоянная (константа).

Пример 1

Продифференцировать функцию $y=7x^4$.

Решение.

Находим $y"=(7x^4)"$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

используя таблицу, необходимо находить значение производной степенной функции:

$=7 \cdot 4x^3=$

Преобразуем результат к принятому в математике виду:

Ответ: $28x^3$.

2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

Пример 2

Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x$.

Решение.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x)"=$

применим правило дифференцирования производной суммы и разницы:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt{x^2})"+(\frac{4}{x^4})"-(11\cot x)"=$

отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^{\frac{a}{b}}$;

вынесем все постоянные за знак производной:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^{\frac{2}{5}})"+(4x^{-4})"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^{\frac{2}{5}})"+4(x^{-4})"-11(\cot x)"=$

разобравшись с правилами дифференцирования, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;

мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}}+12x^{-5}-11 \cdot \frac{-1}{\sin^2 x}=$

преобразуем к виду, принятому в математике:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$

Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби.

Ответ : $1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$.

3. Формула производной произведения функций:

$(uv)"=u" v+uv"$.

Пример 3

Продифференцировать функцию $y=x^{11} \ln x$.

Решение.

Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:

$y"=(x^{11} \ln x)"=(x^{11})" \ln x+x^{11} (\lnтx)"=11x^{10} \ln x+x^{11} \cdot \frac{1}{x}=11x^{10} \ln x-\frac{x^{11}}{x}=11x^{10} \ln x-x^{10}=x^{10} (11 \ln x-1)$.

Ответ : $x^{10} (11 \ln x-1)$.

4. Формула производной частной функции:

$(\frac{u}{v})"=\frac{u" v-uv"}{v^2}$.

Пример 4

Продифференцировать функцию $y=\frac{3x-8}{x^5-7}$.

Решение.

$y"=(\frac{3x-8}{x^5-7})"=$

по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:

$=\frac{(3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)"}{(x^5-7)^2} =$

применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:

$=\frac{3(x^5-7)-5x^4 (3x-8)}{(x^5-7)^2} =\frac{3x^5-21-15x^5+40x^4}{(x^5-7)^2} =\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$ .

Ответ: $\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$.

Пример 5

Продифференцируем функцию $y=\frac{x^7-2x+3}{x}$.

Решение.

Функция y является частным двух функций, поэтому можно применить правило вычисления производной частного, но в таком случае получим громоздкую функцию. Для упрощения данной функции можно почленно разделить числитель на знаменатель:

$y=\frac{x^7-13x+9}{x}=x^6-13+\frac{9}{x}$.

Применим к упрощенной функции правило дифференцирования суммы и разности функций:

$y"=(x^6-13+\frac{9}{x})"=(x^6)"+(-13)"+9(x^{-1})"=6x^5+0+9 \cdot (-x^{-2})=$

$=6x^5-\frac{9}{x^2}$.

Ответ : $6x^5-\frac{9}{x^2}$.