При слове «геометрия» у нас из глубин памяти всплывают цилиндры, треугольники, гипотенузы, биссектрисы углов, «найдите площадь фигуры», грифельные доски и ломающийся мел. Проблема в том, что все, приходящее на ум, - это язык для описания крайне узкого набора явлений окружающего мира. Дома, может быть, иногда и близки к параллелепипеду, но деревья - не цилиндры, горы - не конусы, а форму облака непонятно с чем и сравнить.

Если мы приглядимся внимательно, то в окружающем нас мире эта школьная геометрия (мы будем называть ее евклидовой) описывает не столь уж и многое. И в большинстве своем описывает формы, созданные человеком (оцените круговую логику - неудивительно, что дом, построенный с помощью евклидовой геометрии, успешно можно этой геометрией описать). Но как быть со всем остальным миром, как можно описать форму дерева или очертания острова, форму комка земли или ветвящуюся структуру бронхов?

Этим вопросом ученые задавались давно, но, поскольку не находили убедительного ответа, записывали эти формы в «неупорядоченные», «монструозные», «неисследуемые». Глобальный перелом произошел только в 1960–1970-х годах, когда французский математик Бенуа Мандельброт придумал и развил свою теорию фракталов. Это была новая, фрактальная геометрия, взявшая за объект исследования все то неровное, изломанное и шершавое, что нас окружает (то есть почти все). И Мандельброт нашел в сложных формах природы свой удивительный порядок.

На фото красным отмечены формы, описываемые фрактальной геометрией.
Синим, описываемые эвклидовой геометрией.
То же разделение работает
 и для пары рукотворный/нерукотворный.

Бенуа Мандельброт
(1924–2010)


Французский математик. Основатель фрактальной геометрии. Во время войны уехал из Франции в Америку и остался там. Долгое время был изгоем и не признавался широкими научными кругами, но в конце 1970-х годов обрел признание и славу одного из самых оригинальных математиков. В 1977 году выпустил книгу «Фракталы: форма, случай и размерность», в 1982 году вышло переиздание - культовая книга «Фрактальная геометрия природы». В течение 35 лет работал в компании IBM.

Впервые о том, что не стоит записывать в неупорядоченное то, что мы не можем описать евклидовой геометрией, высказался еще Ричард Бентли, британский ученый XVII века:

«Вся красота относительна... Мы не должны думать, что берега океана искажены и деформированы, потому что они не похожи на ровную стену; и мы не должны думать, что горы имеют неправильную форму, потому что они не являются правильными пирамидами или конусами; и мы не должны думать, что звезды неумело расположены на небе, раз они находятся на разном расстоянии от нас. Это не природные неточности - они кажутся такими только по нашему капризу».

Примеры фрактального построения растений

Мандельброт вводит термин «фрактал»

Бенуа Мандельброт, наш главный герой, придумал и впервые употребил термин «фрактал» (от лат. fractus - изломанный) совсем недавно - в 1975 году. Nomen est numen, вспоминает Мандельброт латинское выражение: «назвать - значит понять». С этого момента можно вести отсчет современной фрактальной геометрии.
Приблизительное определение фрактала таково: это самоподобная фигура (часть похожа на целое), чье фрактальное измерение больше топологического.
Что такое фрактальное измерение и чем оно отличается от топологического (это обычное, евклидово измерение, где 0 - точка, 1 - линия, 2 - плоскость, 3 - объемная фигура), мы разберемся позже. Сейчас нам важно только то, что любая часть фрактала похожа на весь фрактал в целом. Так, отдельная ветка на дереве напоминает по строению все дерево, а часть листа папоротника - весь лист.
Похожие объекты многократно всплывали в истории математики, но именно Мандельброт объединил разрозненные события в одну стройную систему - теорию неровностей и шероховатостей. Она описывала некоторый порядок в формах, до того считавшихся неупорядоченными. В форме облака, в строении дерева или очертании береговой линии Мандельброт находит измеряемые параметры - законы упорядоченности в хаосе.

Историческое отступление: любовь
к целым числам

Причина, по которой фрактальная геометрия возникла так поздно, конечно, заключается, среди прочего, в отсутствии до 70-х годов ХХ века нормальных вычислительных мощностей. Также она может быть обусловлена историческим и околорелигиозным наследием евклидовой геометрии.Ключевыми фигурами в геометрии еще со времен Платона, считавшего их строительным материалом этого мира, считались пять фигур: тетраэдр (четыре грани, рис. 1), куб (шесть), октаэдр (восемь), додекаэдр (12, рис. 2) и икосаэдр (20). Другие формы находились вне плоскости изучения геометрии. В лучшем случае они считались тенями - неточными воплощениями идеальных божественных фигур. В худшем - просто отбрасывались как патологические.
В простых пропорциях целых чисел искали отблески небесной гармонии и строители готических соборов, считая, что «музыка сфер» крайне гармонична, так как использует именно простые пропорции. При таком взгляде иррациональные пропорции дерева, например, не обладали божественной гармонией - только ее отблесками.
Это последствия антропоцентричного мышления. Простые музыкальные аккорды, приятные нашему слуху, имеют простые пропорции -> значит, и небеса построены на этих пропорциях, ведь это отражение высшей гармонии, -> значит, и все остальное надо измерять, отталкиваясь от этих пропорций.
К сожалению, эти пропорции отражают разве что устройство человеческого уха и психики. Шум листвы - это не кварта, а песня соловья строится не по нами определенным нотам. Открытие Мандельброта понадобилось, чтобы показать, что в изломанных формах природы есть значительно более сложный и интересный порядок.
Самый близкий его пример - прямо у вас в груди. Сердечный ритм имеет ярко фрактальную структуру. В нас отблеск не божественной простоты и гармонии, которую мы выдумали сами, а изначального хаоса этой вселенной.

Открытие Мандельброта: бесконечные острова

Одно из самых ранних открытий ученого - бесконечная длина береговой линии любого острова. Именно так. Но как же так, спросим мы? Что за глупость? Давайте успокоимся
и посмотрим на наши измерительные приборы, говорит нам наш герой:
Оказывается, если наша линейка длиной в 100 м - вокруг острова поместятся 19 штук,
и длина его береговой линии будет 1900 м. Если наша линейка длиной в 10 м, она сможет промерить более мелкие впадины и бухты - на береговой линии поместятся 242 штуки,
а длина береговой линии составит 2420 м. Если мы возьмем линейку в 1 мм, то сможем промерить каждый камушек - длина береговой линии при таком измерении будет
5423 м - втрое больше первой величины.

Условные измерительные линейки длинной
в 100м, 10м и 1мм.

Какая же длина правильная, спросим мы? «Никакая, длина береговой линии бесконечна», - усмехнется Бенуа. Чем меньше будет наша линейка, тем больше будет длина. При линейке, стремящейся к нулю, длина линии будет бесконечной для любого острова, хоть для Цейлона, хоть для крошечного острова Сипадан.
Мандельброт задался вопросом, как сравнить два острова, если очевидно, что они разные. И ввел новую величину - фрактальную размерность (на самом деле это переосмысленная им размерность Хаусдорфа).
Фрактальная размерность - мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. Размерность у фрактального объекта всегда больше топологической (обычной) размерности и может быть (чаще всего и является) дробной.

Еще один важный сдвиг (для меня - самый важный) происходит в наших представлениях о том, что такое простые вещи, а что такое сложные.

Пример кривой Пеано.
Здесь показан порядок обхода квадратиков 1-6 уровня.

О простом и сложном в природе.
Почему папоротник проще сферы

В нашем повседневном представлении самыми простыми кажутся вещи, наиболее просто описываемые евклидовой геометрией. Стол - это просто. Бетонный куб - еще проще. Стальной шар кажется самой воплощенной простотой (есть даже анекдот про «один сломал, другой потерял», в массовом сознании металлический шар - неделимый предмет).
Но тогда зададимся вопросом, почему большинство простых вещей сделаны человеком? Почему деревья, рыбы, грибы или легкие человека - не правильные сферы или кубы, ведь природа, идеальный оптимизатор, должна была найти максимально простую форму.
На самом деле формы живой природы действительно довольно простые, надо только взглянуть на них совсем с другой стороны - развернуться на 180°.
Чтобы совсем запутаться и забыть о наших привычных представлениях о простом и сложном, давайте рассмотрим самую известную из фрактальных форм - множество Мандельброта. Оно задается крошечной формулой:

Даже капли дождя -
не идеальные сферы. Они даже
не «каплевидной формы» - скорее похожи на пельмени.
Нас снова обманули, как
с кедровыми орехами, которые
на самом деле сосновые семечки.

Но вот в чем подвох: если мы проделаем эту операцию бесконечное количество раз -
мы получим бесконечно сложное множество. То есть мы получим объект, части которого можно приближать и приближать, в нем будут все новые и новые формы. В каждой точке этого объекта содержится целый мир причудливых форм, и в каждой точке этих миров
те же бесконечности.
Как с этим разобраться? Формула проще некуда (удовлетворяет наше евклидово представление о простоте), а сам объект - бесконечно сложный. Мандельброт предлагает взглянуть на это скорее со стороны алгоритма, чем со стороны конечного объекта (ведь его и нет как такового во фрактале, он бесконечно строится), - описывать не сложность объекта, а сложность процесса построения.


И тут оказывается, что причудливые природные формы крайне просты. Снова возьмем папоротник - он растет из споры, в каждой клетке которой должно быть записано, какой формы должно быть готовое растение.
Представьте себе, какой длинной будет формула, описывающая финальную форму папоротника со всеми его изломами и разветвлениями - со стороны формы папоротник очень сложен.
Но для его построения не обязательно знать, что должно получиться - достаточно знать простой алгоритм ветвления.
И только это простое правило и записать, с двумя маркерами - сейчас включить, сейчас выключить.


Дело даже не в сложности описания. Форму финального растения в принципе нельзя описать - она подвержена вариации, мы никогда не знаем, каким в точности вырастет наш папоротник, подход со стороны алгоритмов - единственно возможный.
Со стороны описания алгоритма построения оказалось возможным изучать, описывать и моделировать (!) формы гор, бронхов, кровеносной системы и излучин рек. Формы, к которым раньше было даже не подступиться, благодаря Мандельброту оказались вполне понимаемыми.

В пример понимания простоты / сложности с точки зрения алгоритмов Мандельброт приводит фрактальную кривую Коха.
Притом что она выглядит сложной, алгоритм ее построения, как пишет Мандельброт, на самом деле проще, чем алгоритм построения окружности. Со стороны алгоритмов (с той стороны, с которой на это дело смотрит природа вокруг нас) эта кривая - более простая форма.

Кривая Коха

Мне всегда помогает аналогия с кулинарным рецептом. Представьте, что в кулинарной книге перечислено все, что должно быть в супе: 234 кусочка картошки (и размер каждого из них), 134 кусочка лука (и размеры), 23 кусочка мяса. Вот так же нам бы пришлось описывать финальную форму папоротника. Вместо этого мы описываем алгоритм - порежьте, нарубите, покрошите. И у нас все равно получается суп, пусть и с вариациями - в одной кастрюле 234 куска, в другой - 219 кусков картошки. Высчитывая алгоритм ветвления папоротника, можно получить слегка разные, но все же папоротники.
Тому, как с помощью цепей обратных связей и градиентов концентрации создаются законы развития жизни, посвящена книга прекрасного русского биолога Александра Маркова «Рождение сложности» , которую я настоятельно рекомендую прочесть.

Заключение

Мы совсем немного углубились в тему фрактальной геометрии - основной геометрии живой природы. Я буду считать свою работу успешно выполненной, если при взгляде на дерево перед домом вы вспомните, что дерево и дом описываются разной геометрией. Дерево - снизу вверх, геометрией фракталов и алгоритмов, описывающей как сделать. Дом - сверху вниз, сперва он был вычерчен в финальном своем виде архитектором. Такая геометрия описывает, что сделать, а не как.
Чем больше я смотрю на это, тем больше мне хочется говорить и узнавать про фрактальную геометрию, про которую я толком еще ничего не знаю, а теперь, надеюсь, толком ничего не знаете и вы. Ведь это язык, на котором говорит живой мир, благодаря которому мои легкие наполняются кислородом, а кровеносные сосуды несут кровь к рукам.
И чем больше я об этом узнаю, тем сложнее и многограннее кажется мне этот мир.
В одной книге про бабочек автор сравнивал увлечение ими с добавлением себе в жизнь еще одного измерения. Могу подтвердить - так и есть. Параллельно с жизнью городской улицы со снующими людьми у вас добавляется измерение, в котором вон та свежевылупившаяся боярышница летит над крышами машин вот к той рябине - откладывать на свое кормовое растение яйца. Точно так же шрифтовые дизайнеры погружаются в измерение городских шрифтов, а профессиональный электрик наверняка видит отдельное измерение в системе проводов, опутывающих здание.
Также и фрактальная геометрия, открытая Бенуа Мандельбротом, добавляет в наш мир еще одно измерение - типизируемых, описываемых, сложных ломаных форм, которые до этого были не названы и сливались с окружающей действительностью. Теперь же, названные и описанные, они отделились от общей массы, чтобы мы могли разглядеть их во всей красе. Чудеса там, куда ты пристально вгляделся.
Спасибо Мандельброту, открывшему для нас новый, прекрасный и подвижный мир фракталов, по которому мы делаем только первые шаги. Действительно, nomen est numen, назвать - значит узнать.



Постскриптум

Надо признать, что не везде в мире господствует евклидова геометрия. Рон Эглэш, исследуя африканскую архитектуру и обычаи, обнаружил там огромное количество скрытых ранее фракталов. Сперва в очевидных местах - в узорах. Потом в чуть менее в очевидных - в прическах. А потом и в совсем неочевидных - даже в построении деревень он обнаружил самоподобие.
Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги - дома, внутри которых еще маленькие круги - дома духов.
Я могу предположить, что это последствия близости жителей этих племен к природе - они переняли именно ее законы. Так, для жителя этой деревни ветка с дерева, я думаю, будет казаться более простым предметом, чем стальной шар. «Ветка - она вот, пошел, сломал, а шар где я достану и как сделаю?» - может подумать он.

Некоторые типы

фрактальной

организации

поселений

Материалы по теме

Бенуа Мандельброт
«Фрактальная геометрия природы»
Первое, что я рекомендовал бы прочесть незамедлительно, - классическая книга основоположника фрактальной геометрии, вышедшая в 1982 году. Она до сих пор остается центральным ознакомительным трудом по теме.
Сложность: ⅘
Требуемая математическая подготовка:
выше среднего.

Глейк Д. Хаос 
«Создание новой науки»
Еще одна классическая книга по теме, рассказывающая, как в 70-е годы медленно зарождается новая наука - теория хаоса. Главные герои - молодые ученые Лоренц, Фейгенбаум, Мандельброт, поглощенные и очарованные новым миром хаоса, который перед ними открывается. Это книга, после чтения которой я понял, что же такое эффект бабочки, открытый Лоренцом и, соответственно, почему так сильно врут прогнозы погоды (виноваты не синоптики, они стараются, виновата сильная зависимость от начальных условий). Великая книга.
Сложность: ⅗

ФИЛЬМЫ
NOVA «Фракталы. Поиски новых размерностей»
Неплохой документальный фильм - обзорная экскурсия по миру фракталов, от прически Мандельброта до антенны в вашем мобильном.
Сложность: ⅕
Требуемая математическая подготовка:
не требуется.

BBC «Тайный код жизни»
Трехсерийная документалка BBC про математические законы нашего мира. Почему соты - шестигранники (эффективное заполнение пространства), а периодические цикады появляются каждые 17 лет (важно, что это простое число). Немного про нормальное распределение и про форму вирусов. Не блестяще, но можно посмотреть.
Сложность: ⅕

ЛЕКЦИИ
Лекция Бенуа Мандельброта на TED
Великий мастер фракталов, похожий на Йоду, за год до своей смерти рассказывает, как ему открылась фрактальная геометрия.
Есть русские субтитры.
Сложность: ⅕
Требуемая математическая подготовка: 
не требуется.
Лекция Рона Эглэша про фракталы в Африке
Эглэш объясняет, как он открыл фрактальные структуры в строении африканских деревень, узоров племен и устройств дворцов знати. Есть русские субтитры.
Сложность: ⅕
Требуемая математическая подготовка:
не требуется.

Бабочки, конечно, ничего не знают о змеях. Зато о них знают птицы, охотящиеся на бабочек. Птицы, плохо распознающие змей, чаще становятся...

  • Если octo на латыни «восемь», то почему октава содержит семь нот?

    Октавой называется интервал между двумя ближайшими одноименными звуками: до и до, ре и ре и т. д. С точки зрения физики «родство» этих...

  • Почему важных особ называют августейшими?

    В 27 году до н. э. римский император Октавиан получил титул Август, что на латыни означает «священный» (в честь этого же деятеля, кстати,...

  • Чем пишут в космосе

    Известная шутка гласит: «NASA потратило несколько миллионов долларов, чтобы разработать специальную ручку, способную писать в космосе....

  • Почему основа жизни - углерод?

    Известно порядка 10 миллионов органических (то есть основанных на углероде) и лишь около 100 тысяч неорганических молекул. Вдобавок...

  • Почему кварцевые лампы синие?

    В отличие от обычного стекла, кварцевое пропускает ультрафиолет. В кварцевых лампах источником ультрафиолета служит газовый разряд в парах ртути. Он...

  • Почему дождь иногда льет, а иногда моросит?

    При большом перепаде температур внутри облака возникают мощные восходящие потоки. Благодаря им капли могут долго держаться в воздухе и...

    • Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

    Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

    В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

    Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов «Почему?» многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос «Почему?», на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.

    Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.

    ⇡ Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии

    Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

    Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

    Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

    Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

    При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

    Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

    Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.

    Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).

    Гастон Жюлиа (всегда в маске — травма с Первой мировой войны)

    Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

    Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

    Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

    Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

    Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF .

    ⇡ Лорен Карпентер: искусство, созданное природой

    Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

    Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

    В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

    Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

    Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.

    Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.

    Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.

    Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму

    Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.

    Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.

    Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.

    В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.

    ⇡ Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше

    За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак — ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком — отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.

    Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.

    Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

    Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.

    Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей

    Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.

    Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

    В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.

    ⇡ Фрактальные измерения: умом не понять

    Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера.

    Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.

    Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина

    Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.

    На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.

    Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.

    В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.

    ⇡ Фрактал в браузере

    Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman . В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.

    В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.

    ⇡ XaoS: фракталы на любой вкус

    Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS . Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.

    XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.

    ⇡ Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор

    По сравнению с другими генераторами изображений фракталов имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL.

    Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.

    Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.

    ⇡ Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов

    Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи.

    А еще этот фрактал можно съесть

    Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D . Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».

    Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта.

    Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм.

    Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры. В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации.

    Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики — OBJ и STL. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica — специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.

    В последнее время работа над проектом Incendia несколько затормозилась. На данный момент автор ищет спонсоров, которые помогли бы ему развивать программу.

    Если вам не хватает фантазии нарисовать в этой программе красивый трехмерный фрактал — не беда. Воспользуйтесь библиотекой параметров, которая находится в папке INCENDIA_EX\parameters. С помощью файлов PAR вы сможете быстро найти самые необычные фрактальные формы, в том числе и анимированные.

    ⇡ Aural: как поют фракталы

    Мы обычно не рассказываем о проектах, работа над которыми только ведется, однако в данном случае мы должны сделать исключение, уж очень это необычное приложение. Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.

    Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов — достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот. Послушать, как звучат фракталы, и .

    Фракталы: музыкальная пауза

    Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая (при использовании в некоммерческих целях) предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение (создание производных произведения), чтобы приспособить его к своим задачам.

    У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы.

    ⇡ Заключение

    Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.

    В главах 6 и 7, призвав на помощь геоморфологию, мы ввели кривые Коха и Пеано, однако объекты наиболее значительных приложений теории фракталов находятся в несколько иных областях. Неспешно подбираясь к основным течениям в науке, мы рассмотрим в этой главе (и в двух последующих) два вопроса исключительной древности, важности и сложности.

    Распределение звезд, галактики, скопления галактик и тому подобные материи издавна завораживают как любителей, так и специалистов, однако кластеризация до сих пор остается на периферии астрономии, да и всей астрофизики в целом. Главная причина заключается в том, что никто так и не в состоянии объяснить, почему распределение материи подчиняется иррегулярным иерархическим законам - по крайней мере, в определенном диапазоне масштабов. Во многих трудах, посвященных этой теме, можно встретить упоминание о феномене кластеризации, однако в серьезных теоретических исследованиях ее, как правило, поспешно заметают под ковер, утверждая, что галактики распределены вполне однородно - в масштабе, превышающем некий большой, но неопределенный порог.

    Рассматривая ситуацию с менее фундаментальных позиций, можно сказать, что нежелание иметь дело с иррегулярным проистекает из отсутствия инструментов для его математического описания. От статистики требуется выбрать между двумя допущениями, из которых только одно можно счесть тщательно исследованным (асимптотическую однородность). Стоит ли удивляться, что результаты, мягко говоря, неубедительны?

    Вопросы, однако, таковы, что от них трудно отмахнуться. Я считаю совершенно необходимым - параллельно с продолжением попыток объяснить кластеризацию - найти способ описать ее и смоделировать реальность чисто геометрическими средствами. Рассматривая эту тему с фрактальных позиций на протяжении нескольких глав настоящего эссе, мы рассчитываем с помощью недвусмысленных моделей показать, что полученные свидетельства предполагают такую степень кластеризации, которая далеко выходит за пределы, поставленные для нее существующими моделями.

    Эту главу следует считать вводной: здесь мы познакомимся с одной весьма влиятельной теорией образования звезд и галактик, предложенной Хойлом, с основной формальной моделью их распределения, которой мы обязаны Фурнье д"Альбу (эта модель также известна как модель Шарлье), и, что самое важное, получим некоторые эмпирические данные. Мы покажем, что и теорию, и данные можно интерпретировать в рамках понятия о масштабно-инвариантной фрактальной пыли. Я настаиваю на том, что распределение галактик и звезд включает в себя некую зону самоподобия, внутри которой фрактальная размерность удовлетворяет неравенству . Кроме того, здесь вкратце изложены теоретические причины, согласно которым можно ожидать , и, как следствие, обсуждается вопрос, почему наблюдаемая величина составляет .

    Анонс. В главе 22 мы воспользуемся фрактальными инструментами для улучшения нашего понимания смысла космологического принципа, рассмотрим, как его можно и нужно модифицировать, и узнаем, почему такая модификация непременно требует случайности. Обсуждение скоплений в рамках усовершенствованной модели мы отложим до глав 22, 23 и с 32 по 35.

    МОЖНО ЛИ ГОВОРИТЬ О ГЛОБАЛЬНОЙ плотности МАТЕРИИ?

    Начнем с тщательного рассмотрения концепции глобальной плотности материи. Как и в случае береговых линий, здесь все, на первый взгляд, выглядит очень простым, однако на деле очень быстро - и весьма интересно - запутывается. Для определения и измерения плотности начинают с массы , сосредоточенной внутри сферы радиуса с центром, совпадающим с центром Земли. Так оценивается приблизительная плотность, определяемая как

    .

    После этого величину устремляют к бесконечности, а глобальная плотность определяется как предел, к которому сходится в этом случае приблизительная плотность.

    Однако обязательно ли глобальная плотность сходится к положительному и конечному пределу? Если так, то скорость такого схождения оставляет желать лучшего, и это еще мягко сказано. Более того, оцеки предельной плотности, будучи рассмотрены во временной перспектив ведут себя довольно странно. По мере того как увеличивалась глубина наблюдаемой в телескоп Вселенной, приблизительная плотность на удивление систематически уменьшалась. Согласно де Вокулеру , уменьшение всегда было . Наблюдаемый показатель мно меньше 3 - в наилучшем приближении .

    Де Вокулер выдвинул тезис о том, что поведение величины приблизительной плотности отражает реальность, имея в виду, что . Эта формула вызывает в памяти классический результат для шара радиуса , вложенного в евклидово пространство размерности , - объем такого шара . В главе 6 мы встречались с такой же формуле для кривой Коха, с той лишь разницей, что показателем там была не евклидова размерность , а дробная фрактальная размерность. А в главе 8 мы получили формулу для канторовой пьи на временной оси (здесь ).

    Все эти прецеденты заставляют (причем весьма настойчиво) предположить, что показатель де Вокулера представляет собой не что иное, как фрактальную размерность.

    ВХОДЯТ ЛИ ЗВЕЗДЫ В ДИАПАЗОН МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ?

    Очевидно, что диапазон масштабной инвариантности, в котором удовлетворяет неравенству , не должен включать в себя объекты с явно определенными границами - такие, например, как планеты. А вот входят ли в него звезды? Согласно данным, полученным Уэбби ком и приведенным в , массу Млечного Пути внутри сферы рад уса вполне можно представить в виде , где величина экстраполируется с галактик. Мы, однако, продолжим наше обсуждение исключительно в галактических терминах.

    СУЩЕСТВУЕТ ЛИ У ДИАПАЗОНА МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ ВЕРХНИЙ ПОРОГ?

    Вопрос о том, насколько далеко в сторону очень больших масштабов простирается диапазон, внутри которого , весьма противоречив, причем в последнее время он снова привлек к себе внимание. Многие авторы либо прямо заявляют, либо подразумевают, что этот диапазон допускает существование внешнего предела, соответствующего размерам скоплений галактик. Другие авторы выражают свое несогласие с этим мнением. Де Вокулер утверждает, что «кластеризация галактик и, возможно, всех остальных форм материи является доминатной характеристикой структуры Вселенной во всех доступных наблюдению масштабах, причем нет никаких указаний на какое бы то ни было приближение к однородности; средняя плотность вещества неуклонно падает по мере того, как принимаются во внимание все большие объемы пространства, и у нас нет экспериментально подтвержденных оснований полагать, что эта тенденция не распространяется на значительно большие расстояния и меньшие значения плотности».

    Дебаты между этими двумя школами, безусловно, весьма интересны и важны - для космологии, но не для нашего эссе. Даже если диапазон, в котором , имеет границы с обеих сторон, само его существование достаточно значительно для того, чтобы оправдать самое тщательное исследование.

    В любом случае Вселенная (совсем как тот клубок ниток, о котором мы говорили в главе 6) располагает, по всей видимости, целым рядом различных эффективных размерностей. Если начать с масштабов порядка радиуса Земли, то первой встретившейся нам размерностью будет 3 (такова размерность твердых тел с четкой границей). Далее размерность падает до 0 (так как материя рассматривается как скопление изолированных точек). Далее идет весьма интересный участок, характеризуемый некой нетривиальной размерностью, удовлетворяющей неравенству . Если масштабно-инвариантная кластеризация продолжается до бесконечности, то на этом последнем значении ряд эффективных размерностей и заканчивается. Если же существует конечный внешний порог, то к списку добавляется четвертый интервал размерностей, внутри которого точки теряют свою индивидуальность, и у нас на руках оказывается однородный газ, т. е. размерность снова возвращается к 3.

    Самым же наивным представлением является то, согласно которому галактики распределены во Вселенной приблизительно однородно. В этом случае последовательность размерностей D сводится к трем значениям: 3, 0 и опять 3.

    < Общая теория относительности утверждает, что при отсутствии материи локальная геометрия пространства стремится стать плоской и евклидовой, в то время как присутствие материи переводит ее в локально риманову. Здесь мы можем говорить о глобально плоской Вселенной, размерность которой равна 3 с локальными значениями . Такой тип возмущений описан в , довольно туманной работе, автор которой приводит (с. 312) пример построения кривой Коха (см. главу 6), не ссылаясь при этом на самого Коха.

    ВСЕЛЕННАЯ ФУРНЬЕ

    Нам остается лишь построить фрактал, который удовлетворял бы правилу , и посмотреть, как он будет согласовываться с общепринятыми взглядами на Вселенную. Первая подробно описанная модель такого рода была предложена Э. Э. Фурнье д"Альбом (см. главу 40). Хотя книга Фурнье представляет собой по большей части художественный вымысел, замаскированный под научное исследование, в ней все же содержится несколько чрезвычайно интересных соображений, которые мы вскоре обсудим. Сначала же, как мне кажется, следует описать структуру, предложенную Фурнье.

    Начинаем построение с правильного восьмигранника, проекция которого представлена в центре рис. 141. Проекция показывает четыре угла квадрата, диагональ которого составляет 12 «единиц», и центр этого квадрата. Однако у восьмигранника есть еще две точки над и под нашей плоскостью на перпендикуляре, проведенном через центр квадрата, на одинаковом расстоянии в 6 «единиц» от этого центра.

    Далее каждая точка заменяется шаром радиуса 1, который мы будем рассматривать как «звездный агрегат нулевого порядка». Наименьший шар, содержащий в себе все 7 первоначальных шаров, назовем «звездным агрегатом первого порядка». Агрегат второго порядка получается увеличением агрегата первого порядка в раз и заменой каждого из новых шаров радиуса 7 копией агрегата первого порядка. Аналогичным образом, агрегат третьего порядка получается увеличением агрегата второго порядка в раз и заменой каждого из шаров копией агрегата второго порядка. И так далее.

    Короче говоря, при переходе между соседними порядками агрегации как число точек, так и радиус шаров увеличивается в раз. Следовательно, для всякого значения , которое является радиусом какого-либо агрегата, функция , определяющая количество точек, содержащихся в шаре радиуса , имеет вид . Для промежуточных функция принимает меньшие значения (достигая ), однако, согласно общей тенденции, .

    Возможно также интерполировать агрегаты нулевого порядка последовательными этапами до агрегатов порядка -1, -2 и т. д. На первом этапе заменим каждый агрегат нулевого порядка копией агрегата первого порядка, уменьшенной в отношении 1/7, и так далее. При таком построении отношение остается истинным для все меньших значений . После бесконечной экстра- и интерполяции мы получаем самоподобное множество размерности .

    Кроме того, размерность объекта в 3-пространстве вовсе не обязывает его непременно быть прямой линией да и любой другой спрямляемой кривой. Ему даже не обязательно быть связным. Каждая размерность совместима с любой меньшей либо равной по величине топологической размерностью. В частности, топологическая размерность бесконечной в обе стороны вселенной Фурнье равна 0, так как она является вполне несвязной «пылью».

    РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ: ФРАКТАЛЬНАЯ ГОМОГЕННОСТЬ

    Шаг от геометрии к распределению массы представляется мне как нельзя более очевидным. Если каждый звездный агрегат нулевого порядка нагрузить единичной массой, то масса внутри шара радиуса идентична величине , а следовательно, . Кроме того, чтобы получить агрегаты порядка -1 из агрегатов нулевого порядка, необходимо разбить шар, который мы считали однородным и обнаружить, что он состоит из семи меньших шаров. На этом этапе правило распространяется и на радиусы, меньшие единицы.

    Рассматривая полученное распределение массы по всему 3-пространству, мы видим, что оно чрезвычайно неоднородно, хотя на фрактале Фурнье ему в однородности нет равных. (Вспомните рис. 120.) В частности, любые две геометрически одинаковые части вселенной Фурнье содержат одинаковые массы. Предлагаю такое распределение массы называть фрактально гомогенным.

    < Предыдущее определение сформулировано в терминах масштабно-инвариантных фракталов, но концепция фрактальной гомогенности в общем случае гораздо шире. Она применима к любому фракталу, для которого положительна и конечна хаусдорфова мера в размерности . Фрактальная гомогенность требует, чтобы масса, содержащаяся в множестве, была пропорциональна хаусдорфовой мере этого множества.

    ВСЕЛЕННАЯ ФУРНЬЕ КАК КАНТОРОВА ПЫЛЬ. РАСШИРЕНИЕ Д0

    Я надеюсь, что читателя не сбило с толку небрежное употребление фрактальной терминологии в начальных разделах этой главы. Очевидно, что Фурнье, сам того не осознавая, шел путем, параллельным пути своего современника Кантора. Основная разница заключается в том, что конструкция Фурнье вложена в пространство, а не в интервал на прямой. Для вящего усиления сходства достаточно заменить шарообразные агрегаты Фурнье на блоки (заполненные кубы). Каждый агрегат нулевого порядка становится блоком, длина стороны которого равна 1, и включает в себя 7 меньших агрегатов со стороной 1/7: центр одного из них совпадает с центром исходного куба, а остальные шесть касаются центральных подквадратов на гранях исходного куба.

    Ниже мы рассмотрим, как получил значение из фундаментального физического феномена Фурнье, и как к тому же результату пришел Хойл. С геометрической же точки зрения, случай является особым, даже если на протяжении всего построения придерживаться формы восьмигранника и значения . Так как шары не перекрывают друг друга, величина может принимать любое значение в интервале от 3 до бесконечности, в результате чего получаем закон , где на всем интервале от 0 до .

    МОДЕЛЬ ШАРЛЬЕ И ДРУГИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ ВСЕЛЕННЫЕ

    Вышеописанные построения не избежали ни одного из недостатков, характерных для первых фрактальных моделей. Сильнее всего бросается в глаза то, что модель Фурнье, подобно модели кривой Коха в главе 6 и модели канторовой пыли в главе 8, до гротескности правильна. Для исправления ситуации Шарлье предложил предоставить и возможность переходить с одного иерархического уровня на другой, принимая значения и .

    Репутация Шарлье в научных кругах была столь высока, что, несмотря на все его щедрые похвалы Фурнье, высказанные на всех ведущих языках науки того времени, даже исходную модель вскоре стали приписывать знаменитому интерпретатору, а не никому не известному автору. Новая модель широко обсуждалась в то время, особенно в . Более того, она привлекла внимание весьма влиятельного Эмиля Бореля, чьи комментарии в очень проницательны, хотя и несколько суховаты. Однако с той поры, если не считать нескольких судорожных попыток вытащить ее на свет, модель Шарлье пребывает в забвении (не очень убедительные причины такого забвения изложены в , с. 20-22 и 408-409). Тем не менее, умирать она упорно не желает. Основная идея к сегодняшнему дню была уже много раз открыта разными исследователями независимо друг от друга, особенно рекомендую заглянуть в . (А еще см. раздел ПОЛЬ ЛЕВИ в главе 40.) Наиболее важным я, однако, считаю тот факт, что фрактальная основа вселенной Фурнье имплицитно присутствует в рассуждениях о турбулентности и галактиках в работе (см. главу 10) и в модели галактического генезиса, предложенной Хойлом в (ее мы рассмотрим чуть ниже).

    Главная фрактальная составляющая присутствует и в моих моделях (см. главы с 32 по 35).

    В этом свете возникает вопрос: может ли модель распределения галактик не быть фракталом с одним или двумя порогами? Думаю, что нет. Если мы согласны с тем, что распределение должно быть масштабно-инвариантным (причины необходимости этого изложены в главе 11), и с тем, что множество, на котором концентрируется материя, не является стандартным масштабируемым множеством, у нас не остается иного выбора, кроме признания фрактальности этого множества.

    Принимая во внимание важность масштабной инвариантности, нетрудно понять, почему немасштабируемое обобщение Шарлье модели Фурнье было с самого начала обречено. < Оно, кстати, позволяет величине изменяться в зависимости от то в пределах двух границ, и . Вот и еще одна тема для обсуждения: эффективная размерность не обязательно должна иметь одно-единственное значение, это значение может плавать между верхним и нижним пределами. К этой теме мы еще вернемся в главе 15.

    ПОЧЕМУ ФУРНЬЕ ОЖИДАЛ D = 1?

    Обсудим теперь весьма впечатляющую аргументацию, которая привела Фурнье к выводу, что показатель должен быть равен 1 (см. , с. 103). Эта аргументация сама по себе является серьезным доводом в пользу того, чтобы имя ее автора не было забыто.

    Рассмотрим галактический агрегат произвольного порядка с массой и радиусом . Отбросив бесплодные сомнения и применив к данному случаю формулу для объектов, обладающих сферической симметрией, допустим, что гравитационный потенциал на поверхности сферы равен ( - гравитационная постоянная). Звезда, падающая на нашу Вселенную, сталкивается с ее поверхностью на скорости .

    Согласно Фурнье, из того факта, что ни одна доступная наблюдению звезда не движется со скоростью, превышающей 1/300 от скорости света, можно вывести очень важное заключение. Масса, содержащаяся внутри мирового шара, возрастает прямо пропорционально его радиусу, а не объему, или, иными словами, плотность вещества внутри мирового шара обратно пропорциональна площади его поверхности... Поясним последнее утверждение - потенциал на поверхности сферы всегда одинаков, так как он прямо пропорционален массе вещества внутри сферы и обратно пропорционален расстоянию от центра. Как следствие, звездные скорости, близкие к скорости света, не являются распространенным явлением в любой части Вселенной.

    СТВОРАЖИВАНИЕ ПО ХОЙЛУ; КРИТЕРИЙ ДЖИНСА

    Иерархическое распределение фигурирует и в теории Хойла (см. ), согласно которой галактики и звезды образуются посредством каскадного процесса, причем начинается этот процесс с однородного газа.

    Рассмотрим газовое облако массы , нагретое до температуры и распределенное с однородной плотностью внутри шара радиуса . Как показал Джине, при возникает «критическая» ситуация. (Здесь - постоянная Больцмана, a - числовой коэффициент.) Находясь в критическом состоянии, первичное газовое облако нестабильно и неизбежно должно сжаться.

    Хойл постулирует, что (а) величина достигает критического значения где-то в самом начале, (б) сжатие прекращается, когда объем газового облака уменьшается до 1 /25 от первоначального объема, и (в) каждое облако на этом этапе распадается на пять меньших облаков с одинаковыми размерами, массами и радиусами . То есть процесс приходит к тому же месту, на каком начался: результатом его является нестабильное состояние, за которым следует второй этап сжатия и разделения, затем - третий и т. д. Створаживание прекращается лишь тогда, когда облака становятся настолько непрозрачными, что задерживают образующееся при сжатии газа тепло внутри.

    Как и в различных других областях, в которых встречаются подобные каскадные процессы, я предлагаю и к этому случаю применить общую терминологию, т. е. пять облаков мы будем называть творогом, а сам каскадный процесс - створаживанием. Как я уже упоминал при введении последнего термина, я просто не мог удержаться от аллюзий с галактиками.

    Фурнье ради удобства графического изображения своей модели вводит , Хойл же утверждает, что физически обоснованным является значение . Детализация геометрической иллюстрации Фурнье выходит за всякие - разумные или необходимые - рамки. Высказывания Хойла относительно пространственной структуры творога, напротив, довольно туманны. Детальной реализации модели Хойла нам придется подождать до главы 23, где мы рассмотрим случайное створаживание. Как бы то ни было, упомянутые расхождения не имеют принципиального значения: главным является тот факт, что , т. е. показатель должен стать неотъемлемой частью нашего построения, если мы хотим, чтобы створаживание завершалось тем же состоянием, с которого оно начиналось, - а именно, нестабильностью Джинса.

    Кроме того, если длительность первого этапа принять за 1, то, согласно данным по газовой динамике, длительность того этапа составит . Следовательно, общая длительность всего процесса, состоящего из бесконечного количества этапов, не превышает 1,2500.

    ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПОДХОДОВ ФУРНЬЕ И ХОЙЛА К ВЫВОДУ D = 1

    На границе нестабильного газового облака, удовлетворяющего критерию Джинса, скорость и температура связаны соотношением , так как равно и (Фурнье), и (Джине). Вспомним теперь о том, что в статистической термодинамике температура газа прямо пропорциональна среднеквадратической скорости его молекул. Значит, из комбинации критериев Фурнье и Джинса можно предположить, что на границе облака скорость падения макроскопического объекта прямо пропорциональна средней скорости его молекул. Тщательный анализ роли температуры в критерии Джинса непременно покажет, что эти два критерия эквивалентны. < Вероятнее всего, аналогия распространяется и на справедливость отношения внутри галактик, о чем сообщает Валленквист в .

    ПОЧЕМУ D = 1, 23, А НЕ D = 1?

    Расхождение между эмпирическим значением и теоретическим значением Фурнье и Хойла поднимает важную проблему. П. Дж. Э. Пиблс рассмотрел ее в 1974 г. с позиций теории относительности. В его труде получили исчерпывающее освещение физический и статистический (но не геометрический) аспекты упомянутой проблемы.

    ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ НЕБА

    Небо - это проекция Вселенной. Для получения этой проекции каждая точка Вселенной сначала описывается сферическими координатами , и , а затем координата заменяется на 1. Если Вселенная представляет собой фрактал с размерностью , а начало системы отсчета принадлежит этой самой Вселенной (см. главу 22), то структура проекции, как правило, определяется следующей альтернативой: подразумевает, что проекция покрывает некую ненулевую область неба, в то время как означает, что сама проекция имеет фрактальную размерность . < Как показано на рис. 141 и 143, «правило» не лишено исключений, обусловленных структурой фрактала и/или/ выбором точки отсчета. О таких правилах часто говорят «истинно с вероятностью 1».

    ЗАМЕЧАНИЕ ПО ПОВОДУ ЭФФЕКТА ПЫЛАЮЩЕГО НЕБА (НЕВЕРНО НАЗЫВАЕМОГО ПАРАДОКСОМ ОЛЬБЕРСА)

    Правило из предыдущего раздела имеет непосредственное отношение к мотивации, побуждавшей различных исследователей (включая Фурнье) открывать собственные варианты фрактальной Вселенной. Они понимали, что такие вселенные геометрически «отменяют» эффект пылающего неба, который еще часто (но неверно) называют парадоксом Олъберса. Если допустить, что распределение небесных тел равномерно (т. е. во всех масштабах), то небо над нами должно быть почти равномерно освещено и ночью, и днем, причем яркость этого освещения должна быть сравнима с солнечной.

    Парадокс этот физиков больше не интересует, будучи сведен на нет теорией относительности, теорией расширяющейся Вселенной и другими соображениями. Однако его кончина имела занятный побочный эффект: многочисленные комментаторы принялись цитировать свои излюбленные объяснения эффекта пылающего неба - одни в надежде оправдаться за пренебрежительное отношение к кластеризации, другие же, напротив, напрочь отрицая ее реальность. Очень странная, надо сказать, точка зрения. Даже если предположить, что кластеризация галактик никак не связана с отсутствием эффекта пылающего неба, она все равно существует - и требует надлежащего изучения. К тому же, как мы увидим в главе 32, концепция расширяющейся Вселенной совместима не только со стандартной, но и с фрактальной гомогенностью.

    Эффект пылающего неба объясняется очень просто. Поскольку количество излучаемого звездой света прямо пропорционально площади ее поверхности, количество света, достигающее наблюдателя, находящегося от звезды на расстоянии , должно быть , но площадь видимой поверхности звезды также . Таким образом, отношение количества света к видимому сферическому углу не зависит от . Кроме того, если распределение звезд во Вселенной равномерно, то практически любое направление взгляда рано или поздно встретит какую-нибудь звезду. Следовательно, небо освещено звездным светом равномерно и выглядит пылающим. (Лунный диск в этом случае образует исключительно темную область - по крайней мере, при отсутствии атмосферной диффузии.)

    Если же допустить, что Вселенная фрактальна и что ее размерность , то парадокс разрешается сам собой. В этом случае проекция Вселенной на небесный свод является фрактальным множеством той же размерности , т. е. множеством нулевой площади. Даже если звезды имеют ненулевой радиус, большая часть направлений уходит в бесконечность, не встречая на своем пути ни одной звезды. Если смотреть вдоль этих направлений, то мы увидим только черноту ночного неба. Если за интервалом, в котором , следует интервал, в котором , то фон неба будет не строго черным, но чрезвычайно слабо освещенным.

    На эффект пылающего неба обратил внимание еще Кеплер вскоре после того, как Галилей в «Звездном послании» благожелательно отозвался об идее безграничной Вселенной. В своей «Беседе со звездным посланцем» (1610) Кеплер высказал следующее возражение: «Нимало не колеблясь, Вы заявляете, что взгляду доступны более 10000 звезд... Если это так и если [звезды] той же природы, что и наше Солнце, то почему все эти солнца в совокупности не превосходят наше Солнце в яркости?... Может быть их затмевает эфир? Ни в малейшей степени... Совершенно очевидно, что наш мир никоим образом не может принадлежать беспорядочному рою из бесчисленных иных миров» (см. , с. 34-35).

    Вывод был довольно спорный, однако об аргументации не забыли - свидетельством тому может служить замечание Эдмунда Галлея (сделанное им в 1720 г.): «Я слышал еще об одном возражении, которое гласит, что если бы число неподвижных звезд было более чем конечным, то весь свод их видимой сферы сплошь светился бы». Позднее это возражение обсуждалось де Шезо и И. Г. Ламбертом, однако авторство его приписали большому другу Гаусса немецкому астроному Ольберсу. Термин «парадокс Ольберса», которым с тех пор называют это противоречие, скандален, но симптоматичен. Результаты наблюдений, попавшие в разряд «не подлежащих классификации» (см. с. 51), часто приписываются первому же представителю Официального Большинства, который украсит их вполне классифицируемой оберткой, пусть даже и временной. Обсуждение предмета в исторической перспективе можно найти в .

    ЗАМЕЧАНИЕ О НЬЮТОНОВСКОМ ТЯГОТЕНИИ

    Преподобный Бентли все донимал Ньютона одним наблюдением, тесно связанным с эффектом пылающего неба: если распределение звезд однородно, то сила, с какой они действуют друг на друга, бесконечна. Можно добавить, что их гравитационный потенциал также бесконечен. И что любое распределение, в котором , даст при больших бесконечный потенциал во всех случаях, кроме . Современная теория потенциала (теория Фростмана) подтверждает тот факт, что между ньютоновским тяготением и значением существует некая особенная связь. Полученный Фурнье и Хойлом показатель также следует отнести к проявлениям этой связи. < Положение Фурнье о том, что «гравитационный потенциал на поверхности сферы всегда одинаков», является центральным в современной теории потенциала. ». Квадрат отношения скоростей, постулированный Фурнье, равен - как раз в середине упомянутого интервала.

    АГГЛЮТИНИРОВАННАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ ВСЕЛЕННАЯ?

    Многие исследователи полагают, что можно объяснить образование звезд и других небесных объектов с помощью восходящего каскада (т. е. постепенной агглютинации сильно рассеянных частиц пыли во все большие куски), не желая ничего слышать о нисходящем каскаде а 1а Хойл (т. е. постепенной фрагментации очень больших и рассеянных масс на все меньшие части).

    Похожая альтернатива возникает в связи с каскадами, постулированными в теории турбулентности (см. главу 10). Ричардсонов каскад протекает по нисходящей ко все более мелким вихрям, однако в процессе могут участвовать и восходящие каскады (см. главу 40, раздел ЛЬЮИС ФРАЙ РИЧАРДСОН). Таким образом, можно надеяться, что взаимоотношения между нисходящими и восходящими каскадами получат вскоре надлежащее объяснение.

    ФРАКТАЛЬНЫЕ МАССИВЫ ТЕЛЕСКОПОВ

    Вряд ли можно найти более подходящий завершающий штрих для этой дискуссии, чем замечание относительно инструментов, с помощью которых производится наблюдение галактик. Дайсон предлагает для улучшения качества наблюдения заменять большие одиночные телескопы массивами из малых телескопов. Диаметр каждого из малых телескопов должен составлять около 0,1м (размер наименьшего оптически существенного атмосферного возмущения), их центры должны образовывать фрактально иерархическую схему, а соединение между телескопами обеспечат интерферометры Карри. Грубый анализ приводит к выводу, что в качестве подходящего значения размерности следует взять 2/3. Вот заключение самого Дайсона: «Трехкилометровый массив из 1024 десятисантиметровых телескопов, соединенных между собой 1023 интерферометрами, - не самое практичное на сегодняшний день предложение. [Я выдвинул его] в качестве теоретической идеи, чтобы показать, что здесь, в принципе, можно сделать».

    ОБЗОР СЛУЧАЙНЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИК

    Если верить тому, что можно эффективно описать распределение галактик с помощью нечаянно обнаруженных фрактальных моделей, не отличающихся ни сложностью, ни универсальностью, не стоит удивляться, что намеренно фрактальные случайные модели могут снабдить нас гораздо более эффективными описаниями. Начнем с того, что мы сможем значительно лучше понять створаживание Хойла, рассмотрев его в надлежащем окружении, т. е. среди случайных фракталов (см. главу 23). Еще большей значимостью обладают, на мой взгляд, разработанные мною случайные модели, о которых мы поговорим в главах с 32 по 35. Один из доводов в пользу рассмотрения нескольких моделей заключается в том, что за улучшение качества описания приходится «платить» возросшей сложностью. Второй довод - каждая модель строится на особой фрактальной пыли, каждая из которых заслуживает отдельного рассмотрения. Рассмотрим вкратце эти модели в логическом порядке.

    Примерно в 1965 г. я задался целью снабдить соотношение при соответствующей моделью, в которой «центр Вселенной» отсутствовал бы как понятие. Впервые я достиг этой цели с помощью модели случайного блуждания, описываемой в главе 32. Затем, в качестве альтернативы, я разработал модель трем, сущность которой заключалась в том, что из пространства вырезалась некая совокупность взаимно независимых и размещенных случайным образом трем случайного радиуса, причем верхняя граница радиуса могла достигать верхнего порога , который мог быть конечным или бесконечным.

    Поскольку обе модели были выбраны исключительно из соображений формальной простоты, меня приятно удивило наличие у них прогнозирующей ценности. Мои теоретические корреляционные функции оказались в хорошем согласии с подобранными по кривым функциями, приведенными у Пиблса (см. , с. 243-249). < Точнее, два моих приближения совпали на двухточечной корреляции, случайные блуждания дали хорошую трех- и плохую четырехточечную корреляции, а сферические тремы оказались на высоте во всех известных корреляциях.

    К сожалению, примеры, генерируемые этими моделями, выглядят совершенно нереалистично. Воспользовавшись понятием, которое я разработал специально для этой цели и о котором расскажу в главе 35, можно сказать, что мои ранние модели демонстрируют неприемлемые лакунарные свойства. В случае модели трем этот недостаток можно исправить, введя более сложные формы трем. Для модели случайного блуждания я использовал менее лакунарный «субординатор».

    Таким образом, изучение скоплений галактик значительно стимулировало развитие фрактальной геометрии. В настоящее же время диапазон применений фрактальной геометрии при исследовании скоплений галактик значительно расширился, выйдя далеко за рамки тех генеральных уборок и отладок, что мы предприняли в этой главе.

    ОГРАНЕННЫЕ АЛМАЗЫ, ПОХОЖИЕ НА ЗВЕЗДЫ

    Распределение алмазных залежей в земной коре очень напоминает распределение звезд и галактик на небесном своде. Представьте себе большую карту мира, на которой каждая алмазная копь, каждое богатое месторождение - разрабатываемое сейчас или уже заброшенное - отмечено булавкой. Рассматривая карту с достаточно большого расстояния, мы увидим, что плотность распределения булавок чрезвычайно неравномерна. Тут и там разбросано несколько отдельных булавок, однако большая часть концентрируется в немногочисленных благословенных (или проклятых) областях. Поверхность земли внутри этих областей, в свою очередь, вовсе не вымощена равномерно алмазами. Взглянув на каждую из них вблизи, мы вновь увидим, что большая часть территории остается пустой, в то время как немногочисленные рассеянные подобласти демонстрируют значительно возросшую концентрацию алмазов. Этот процесс можно продолжать на протяжении нескольких порядков величины.

    Не возникает ли у вас неодолимого желания применить в этом контексте концепцию створаживания? Со своей стороны скажу, что подобная модель существует, предложил ее де Вис, а рассмотрим мы ее в главе 39 в разделе НЕЛАКУНАРНЫЕ ФРАКТАЛЫ.

    В книге Фурнье к этой иллюстрации предлагается следующее пояснение: «Мультивселенная, построенная по принципу креста или восьмигранника, не является планом нашего мира, но помогает показать возможность существования бесконечного ряда подобных последовательных вселенных без возникновения эффекта «пылающего неба». Количество материи в каждой мировой сфере прямо пропорционально ее радиусу. Это условие является необходимым для соблюдения законов тяготения и излучения. В некоторых направлениях небо выглядит совершенно черным - несмотря на то, что ряд вселенных бесконечен. «Мировым числом» в данном случае является , а не , как в реальном мире». вместо . Построение продолжено на один этап дальше, чем это возможно на рис. 141.

    Экология познания. Познавательно: Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений. Фрактал (от лат. fractus, «сломанный, разбитый») – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

    Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений. Фрактал (от лат. fractus, «сломанный, разбитый») – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

    Действительно ли Вселенная бесконечна или просто очень велика? Есть ли у Вселенной центр? Есть ли у неё границы? Их нет, так же, как нет центра и границ у фрактала. Представьте себе, что всё вокруг – фрактал. И мы тоже часть этого фрактала.Бесконечное самоподобие.

    Расширяющаяся вокруг нас Вселенная – не единственная, нас могут окружать миллиарды других вселенных. Возможно, наш мир представляет собой лишь часть Мультимира -гипотетического множества всех возможных параллельных вселенных. Существуют гипотезы, что вселенные Мультимира могут быть с разными законами физики и разным количеством пространственных измерений.

    Большинство учёных признают, что Вселенная имеет фрактальную структуру: планетарные системы объединены в галактики, галактики в кластеры, кластеры всуперкластеры и так далее. Ранее учёные полагали, что распределение материи можно считать непрерывным, начиная с объектов размером около 200 миллионов световых лет. Данные о более чем 900 тысячах галактик и квазаров показали, что непрерывность отсутствует и при масштабе в 300 миллионов световых лет.

    Полученные выводы противоречат основам теории Большого Взрыва, согласно которой в первые моменты после рождения Вселенной материя была распределена равномерно и непрерывно.

    Ряд учёных полагают, что за время, прошедшее с момента Большого Взрыва, под действием гравитации фрактальные структуры вселенского масштаба не могли успеть образоваться.

    Сегодня не существует одной математической модели или теории, которая могла бы описать каждый аспект Вселенной. Теория бесконечной вложенности материи - фрактальная теория – это альтернативная философская и космологическая теория, не входящая в стандартные академические области науки. В настоящее время теории фрактальной Вселенной не существует. Как считают исследователи, опираясь на теорию относительности Эйнштейна, создание такой теории возможно. Если академическая наука признает, что материя во Вселенной распределена в виде фрактала, потребуется пересмотр практически всех существующих моделей Вселенной.

    Фракталы воплощают принцип повторения – копий, в изобилии присутствующих в природе. Это геометрические формы, которые выглядят одинаково при любой степени приближения. Фрактальная геометрия не есть «чистая» геометрическая теория. Это концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по-новому видеть мир.

    То, что материя делится до бесконечности, утверждали ещё Аристотель, Декарт иЛейбниц. В каждой частице, какой бы малой она ни была, «есть города, населённые людьми, обработанные поля, и светит солнце, луна и другие звёзды, как у нас» – утверждал греческий философ Анаксагор в своём труде о гомеомериях в V веке до нашей эры.

    Основной постулат легендарной «Изумрудной Скрижали» Гермеса Трисмегиста гласит:«То, что находится внизу, аналогично тому, что находится вверху». Этот принцип принят за аксиому последователями герметической философии, которые утверждали аналогию между микро и макро мирами.

    Сакральные учения всех древних цивилизаций пронизывает идея существования гармоничной Вселенной. Египетская богиня истины и порядка Маат представляла собой воплощение принципа естественного порядка вещей. Греки, учившиеся у египтян, связали с цивилизацией слово «космос», переводимое как «вышивка» и выражающее гармонию и красоту «самоподобия». Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же элементы. Все они могут быть описаны в виде математических уравнений.

    Принципы сакральной геометрии, в основе которой лежат фракталы, «платоновы тела», спираль Золотого сечения, числоФи, в равной мере присущи и человеку, и цветку, и звёздам. Всё, что существует в реальном мире, является фракталом: кровеносная система, кроны и листья деревьев, облака и молекула кислорода.

    Исследования, связанные с фракталами, меняют привычные представления об окружающем нас мире. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства объектов. Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

    Мы не можем описать камень, участок ландшафта, поверхность моря, скалу или границы острова с помощью прямых линий, кругов и треугольников. Здесь нам приходят на помощь фракталы. С помощью фракталов эти структуры можно моделировать, создавать, что и используется в различных компьютерных программах.


    Когда мы всматриваемся во фрактальную форму, то видим одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии. Природа есть неразрывная паутина.

    Фрактальная геометрия – геометрия природы. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. «Самоподобие» можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга.

    Фрактальная геометрия предопределяет формы молекул и кристаллов, которые составляют наши тела и Космос. Фактически она есть ключ к пониманию Вселенной.

    Фрактальная структура – это генетический код Вселенной. опубликовано

    Присоединяйтесь к нам в