По графику функции y ax2 bx c. Графики квадратичной функции и коэффициенты квадратного трёхчлена

Методическая разработка урока алгебры в 9 классе.

Плохой учитель преподносит истину, хороший учит её добывать.

А.Дистервег

Учитель : Нетикова Маргарита Анатольевна, учитель математики ГБОУ школа №471 Выборгского района Санкт- Петербурга.

Тема урока: «График функции y = ax 2 »

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цель: научить учащихся строить график функцииy = ax 2 .

Задачи:

Обучающие: сформировать умение строить параболу y = ax 2 и установить закономерность между графиком функции y = ax 2

и коэффициентом а.

Развивающие: развитие познавательных умений, аналитического и сравнительного мышления, математической грамотности, способности обобщать и делать выводы.

Воспитывающие: воспитание интереса к предмету, аккуратности, ответственности, требовательности к себе и другим.

Планируемые результаты:

Предметные: уметь по формуле определять направление ветвей параболы и строить её с помощью таблицы.

Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения и работать в парах, в коллективе.

Метапредметные: уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию.

Педагогические технологии: элементы проблемного и опережающего обучения.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, раздаточные материалы.

1.Формула корней квадратного уравнения и разложение квадратного трёхчлена на множители.

2.Сокращение алгебраических дробей.

3.Свойства и график функции y = ax 2 , зависимость направления ветвей параболы, её «растяжения» и «сжатия» вдоль оси ординат от коэффициента a .

Структура урока.

1.Организационная часть.

2.Актуализация знаний:

Проверка домашнего задания

Устная работа по готовым чертежам

3.Самостоятельная работа

4.Объяснение нового материала

Подготовка к изучению нового материала (создание проблемной ситуации)

Первичное усвоение новых знаний

5.Закрепление

Применение знаний и умений в новой ситуации.

6.Подведение итогов урока.

7.Домашнее задание.

8.Рефлексия урока.

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «График функции y = ax 2 »

Этапы урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

1.Организационная часть

1 минута

Создание рабочего настроения в начале урока

Здоровается с учениками,

проверяет их подготовку к уроку, отмечает отсутствующих, записывает на доске дату.

Готовятся к работе на уроке, приветствуют учителя

Регулятивные:

организация учебной деятельности.

2.Актуализация знаний

4 минуты

Проверить выполнение домашнего задания, повторить и обобщить изученный на прошлых уроках материал и создать условия для успешного выполнения самостоятельной работы.

Собирает тетради у шести учеников (выборочно по два с каждого ряда) для проверки домашнего задания на оценку (приложение 1), затем работает с классом на интерактивной доске

(приложение 2) .

Шесть учащихся сдают на проверку тетради с домашним заданием, затем отвечают на вопросы фронтального опроса (приложение 2) .

Познавательные:

приведение знаний в систему.

Коммуникативные:

умение прислушиваться к мнению окружающих.

Регулятивные:

оценивание результатов своей деятельности.

Личностные:

оценивание уровня усвоения материала.

3.Самостоятельная работа

10 минут

Проверить умение раскладывать на множители квадратный трёхчлен, сокращать алгебраические дроби и описывать некоторые свойства функций по её графику.

Раздаёт учащимся карточки с индивидуальным дифференцированным заданием (приложение 3) .

и листочки для решения.

Выполняют самостоятельную работу, самостоятельно выбирая уровень сложности упражнений по баллам.

Познавательные:

Личностные:

оценивание уровня усвоения материала и своих возможностей.

4.Объяснение нового материала

Подготовка к изучению нового материала

Первичное усвоение новых знаний

Создание благоприятной обстановки для выхода из проблемной ситуации,

восприятия и осмысления нового материала,

самостоятельного

прихода к правильному выводу

Итак, вы умеете строить график функции y = x 2 (графики заранее построены на трёх досках). Назовите основные свойства этой функции:

3. Координаты вершины

5. Промежутки монотонности

Чему в данном случае равен коэффициент при x 2 ?

На примере квадратного трёхчлена вы видели, что это совершенно не обязательно. Каким он может быть по знаку?

Приведите примеры.

Как будут выглядеть параболы с другими коэффициентами, вам предстоит узнать самим.

Лучший способ изучить

что-либо–это открыть самому.

Д.Пойа

Делимся на три команды (по рядам), выбираем капитанов, которые выходят к доске. Задание для команд написано на трёх досках, соревнование начинается!

В одной системе координат построить графики функций

1 команда:

а)y=x 2 б)y= 2x 2 в)y= x 2

2 команда:

а)y= - x 2 б)y=-2x 2 в)y= - x 2

3 команда:

а)y=x 2 б)y=4x 2 в)y=-x 2

Задание выполнено!

(приложение 4) .

Найдите функции, обладающие одинаковыми свойствами.

Капитаны советуются со своими командами.

От чего это зависит?

А чем же эти параболы всё-таки различаются и почему?

От чего зависит «толщина» параболы?

От чего зависит направление ветвей параболы?

Будем условно называть график а) «исходным». Представьте себе резинку: если её растягивать, она становится тоньше. Значит, график б) получен растяжением исходного графика вдоль оси ординат.

Как получен график в)?

Значит, при x 2 может стоять любой коэффициент, который влияет на конфигурацию параболы.

Вот и тема нашего урока звучит так:

«График функции y = ax 2 »

1. R

4. Ветви вверх

5. Убывает на (-

Возрастает на $.

Решение.
Построим график данной функции, выделим требуемый промежуток и найдем самую нижнюю и самую высокую точки нашего графика.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3$.
$y_{в}=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
В точке с координатами $(3;13)$ построим параболу $y=-x^2$. Выделим требуемый промежуток. Самая нижняя точка имеет координату -3, самая высокая точка - координату 13.
$y_{наим}=-3$; $y_{наиб}=13$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Без построения графика функции $y=-3x^2+12x-4$ ответьте на следующие вопросы:
а) Укажите прямую, служащую осью параболы.
б) Найдите координаты вершины.
в) Куда смотрит парабола (вверх или вниз)?
2. Построить график функции: $y=2x^2-6x+2$.
3. Построить график функции: $y=-x^2+8x-4$.
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^2+4x-3$ на отрезке $[-5;2]$.

Тема урока: Функция y=aи её свойства.

Тип урока : Изучение нового материала.

Цели урока :

Задачи урока:

Формировать:

умение применять свойства квадратичной функции;

умение строить графики функции;

умения сформулировать свойства квадратичной функции;

умения высказывать свое мнение, делать выводы;

Развивать: мышление, память, умение осуществлять самостоятельную деятельность на уроке.

Методы обучения

по источнику знаний: беседа, упражнения;

по характеру познавательной деятельности: поисковый, объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.

Формы обучения : фронтальная.

Этапы урока :

Организационный момент (1 мин).

Актуализация опорных знаний и способов действий (5 мин).

Изучение нового материала (15 мин).

Первичное применение нового материала (20 мин).

Постановка домашнего задания (1 мин).

Подведение итогов урока (3 мин).

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Организационный момент

Здравствуйте ребята, присаживайтесь.

Учащиеся рассаживаются, слушают учителя.

Актуализация опорных знаний и способов действий

Итак, начнем. Откройте тетради, запишите число, классная работа.

Сегодня на уроке мы будем изучать новый материал. Перед тем, как перейти к новой теме, ответьте на несколько вопросов.

Учитель задаёт ученикам вопросы

- Что такое функция?

Что называют графиком функции?

С какими видами функции вы знакомы?

Что называется линейной функцией?

Что называется квадратичной функцией?

С каким видом квадратичной функции вы уже работали?

Как это функция получилась и как она называется?

Сегодня вы познакомитесь с новым видом квадратичной функции. Поэтому записываем новую тему: «Функция и её свойства».

Записывают в тетради число, классная работа.

Отвечают на вопросы учителя

- Функция – зависимость одной переменной величины от другой.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты – соответствующим значениям функции.

С линейной и квадратичной.

Линейной функцией называется функция вида .

- Квадратичная функция – это функция , где – заданные действительные числа, – действительная переменная.

Это функция называется параболой. Так как квадратичная функция имеет вид , то парабола получилась при коэффициентах

Записывают новую тему в тетрадь

Изучение нового материала

При а=1 формула принимает вид . Мы уже сказали, что графиком этой функции является парабола. Поэтому построим график функции .

Записываем задача №1:

Построить график функции .

Давайте вызовем кого - нибудь к доске.

Как для любой другой функции, мы составляем таблицу значений.

Какой график у нас получился?

, то мы заметим, что при одном и том же х значение функции в 2 раза больше значения функции . Это значит, что каждую точку графика можно получить из точки графика с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. Следовательно, график функции получается растяжением графика функции от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.

Следующая задача:

Построить график функции

К доске пойдёт ….

Учитель вызывает к доске ученика

Решаем также по аналогии с предыдущим примером.

Теперь по данным точкам построим график.

Соединим точки плавной кривой.

Если мы сравним графики функций , то мы заметим, что каждую точку графика можно получить из точки графика функции с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Следовательно, график функции получается сжатием графика функции к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.

Как вы считаете, какими будут графики ?

Куда тогда будут направлены ветви параболы графика ?

После всех решенных примеров, какой вывод мы можем сделать по функции ?

Теперь поговорим о свойствах функции .

На доске записаны графики функции, по ним учитель рассказывает свойства

1)Если a0, то функция принимает положительные значения при ; если a принимает отрицательные значения при ; значение функции равно 0 только при х=0.

2)Парабола симметрична относительно оси координат.

3) Если a0, то функции возрастает при и убывает при если a убывает при и возрастает при .

Слушают учителя

Задача №1: Построить график функции .

Решают вместе с учителем.

У нас получилась парабола.

Записывают первое задание в тетрадь

Задача №2: Построить график функции

Решают вместе с учителем.

Один из учеников выходит к доске

Они будут симметричными, так как график будет иметь противоположные значения графика .

Ветви параболы будут направлены вниз.

График функции также является параболой. При a0 ветви направлены вверх, при a

Слушают учителя

Первичное применение нового материала

А теперь попробуем на практике применить полученные знания. Открываем учебники на стр. 161 и записываем в тетради номера.

Учитель вызывает учеников к доске для решения заданий

Разберем устно №596. Определить направление ветвей параболы:

Записываем в тетрадь №597 (1,3): На одной координатной плоскости построить графики функций

Учитель вызывает ученика к доске

Открывают учебники и записывают номер в тетрадь

Ученики у доски решают задания

Устно проговаривают решение задачи

1) - вверх, т. к. a0

2) - вверх, т. к. a0

3) - вниз, т. к. a

4) -вниз, т. к. a

Один из учеников выходит к доске

Постановка домашнего задания

Учитель сообщает домашнее задание.

Наш урок подошел к концу. Запишите домашнее задание.

Учитель записывает домашнее задание на доске.

П 37 стр. 157. Выучить свойства.

№595(2): На миллиметровой бумаге построить график функции . По графику приближенно найти значения х, если у=9; 6; 2; 8; 1,3.

№597 (2,4): На одной координатной плоскости построить графики функций

Используя графики, выяснить, какие из этих функций возрастают на промежутке .

Записывают домашнее задание.

Подведение итогов урока

Что мы изучили на уроке?

Все ли вам было понятно?

На этом наш урок закончен. Ученики, которые выходили к доске, подойдите ко мне с дневниками. До свидания!

Учащиеся отвечают на вопросы:

Мы изучили новый вид квадратичной функции и её свойства.

Прощаются с учителем. Подходят с дневниками.

Рассмотрим выражение вида ах 2 +вх+с, где а, в, с - действительные числа, а отлично от нуля. Это математическое выражение известно как квадратный трехчлен.

Напомним, что ах 2 - это старший член этого квадратного трехчлена, а - его старший коэффициент.

Но не всегда у квадратного трехчлена присутствуют все три слагаемые. Возьмем для примера выражение 3х 2 + 2х, где а=3, в=2, с=0.

Перейдем к квадратичной функции у=ах 2 +вх+с, где а, в, с - любые произвольные числа. Эта функция является квадратичной, так как содержит член второй степени, то есть х в квадрате.

Довольно легко построить график квадратичной функции, например, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата.

Рассмотрим пример построения графика функции у равно -3х 2 - 6х + 1.

Для этого первое, что вспомним, схему выделения полного квадрата в трехчлене -3х 2 - 6х + 1.

Вынесем -3 у первых двух слагаемых за скобки. Имеем -3 умножить на сумму х квадрат плюс 2х и прибавить 1. Добавив и отняв единицу в скобках, получаем формулу квадрата суммы, которую можно свернуть. Получим -3 умножить на сумму (х+1) в квадрате минус 1 прибавить 1. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, выходит выражение: -3 умноженное на квадрат суммы (х+1) прибавить 4.

Построим график полученной функции, перейдя к вспомогательной системе координат с началом в точке с координатами (-1; 4).

На рисунке из видео эта система обозначена пунктирными линиями. Привяжем функцию у равно -3х 2 к построенной системе координат. Для удобства возьмем контрольные точки. Например, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). При этом отложим их в построенной системе координат. Полученная при построении парабола является необходимым нам графиком. На рисунке это красная парабола.

Применяя метод выделения полного квадрата, мы имеем квадратичную функцию вида: у = а*(х+1) 2 + m.

График параболы у = ах 2 + bx + c легко получить из параболы у=ах 2 параллельным переносом. Это подтверждено теоремой, которую можно доказать, выделив полный квадрат двучлена. Выражение ах 2 + bx + c после последовательных преобразований превращается в выражение вида: а*(х+l) 2 + m. Начертим график. Выполним параллельное перемещение параболы у = ах 2 , совмещая вершину с точкой с координатами (-l;m). Важно то, что х= -l, а значит -b/2а. Значит эта прямая является осью параболы ах 2 + bx + c, ее вершина находится в точке с абсциссой х нулевое равно минус в, деленное на 2а, а ордината вычисляется по громоздкой формуле 4ас - b 2 /. Но эту формулу запоминать не обязательно. Так как, подставив значение абсциссы в функцию, получим ординату.

Для определения уравнения оси, направления ее ветвей и координат вершины параболы, рассмотрим следующий пример.

Возьмем функцию у = -3х 2 - 6х + 1. Составив уравнение оси параболы, имеем, что х=-1. А это значение является координатой х вершины параболы. Осталось найти только ординату. Подставив значение -1 в функцию, получим 4. Вершина параболы находится в точке (-1; 4).

График функции у = -3х 2 - 6х + 1 получен при параллельном переносе графика функции у = -3х 2 , значит, и ведет себя аналогично. Старший коэффициент отрицателен, поэтому ветви направлены вниз.

Мы видим, что для любой функции вида y = ах 2 + bx + c, самым легким является последний вопрос, то есть направление веток параболы. Если коэффициент а положительный, то ветви - вверх, а если отрицательный, то - вниз.

Следующим по сложности идет первый вопрос, потому что требует дополнительных вычислений.

И самый сложный второй, так как, кроме вычислений, еще необходимы знания формул, по которым находятся х нулевое и у нулевое.

Построим график функции у = 2х 2 - х + 1.

Определяем сразу - графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как старший коэффициент равен 2, а это положительное число. По формуле находим абсциссу х нулевое, она равна 1,5. Для нахождения ординаты вспомним, что у нулевое равно функции от 1,5, при вычислении получим -3,5.

Вершина - (1,5;-3,5). Ось - х=1,5. Возьмем точки х=0 и х=3. у=1. Отметим данные точки. По трем известным точкам строим искомый график.

Для построения графика функции ах 2 + bx + c необходимо:

Найти координаты вершины параболы и отметить их на рисунке, потом провести ось параболы;

На оси ох взять две симметричные, относительно оси, параболы точки, найти значение функции в этих точках и отметить их на координатной плоскости;

Через три точки построить параболу, при необходимости можно взять еще несколько точек и строить график по ним.

В следующем примере мы научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции -2х 2 + 8х - 5 на отрезке .

По алгоритму: а=-2, в=8, значит х нулевое равно 2, а у нулевое - 3, (2;3) - вершина параболы, а х=2 является осью.

Возьмем значения х=0 и х=4 и найдем ординаты этих точек. Это -5. Строим параболу и определяем, что наименьшее значение функции -5 при х=0, а наибольшее 3, при х=2.

ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Решение.

График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если Значение определяет ординату вершины параболы. Если то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если меньше нуля, то ниже. Таким образом, получаем, ответ: A - 4, Б - 1, В - 2, Г - 3.

Ответ: 4123.

Ответ: 4123

y = ax 2 + bx + c a и c .

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 431

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c .

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 143

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c a и c .

Графики

Коэффициенты

Решение.

c x c Таким образом, графикам соответствуют следующие коэффициенты: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 321

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c .

Графики

Коэффициенты

Решение.

Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c соответствует значению функции в точке x = 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 4, Б - 2, В - 3.

Ответ: 423.

Ответ: 423

На рисунках изображены графики функций вида y=ax +bx+c . Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

Решение.

График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если . Значение определяет ординату вершины параболы. Если , то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если , то ниже. Таким образом, получаем ответ: A - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 321.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 231.

Ответ: 231

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А	Б	В

Решение.

Ответ: 123.

Ответ: 123

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 1, В - 3.

Ответ: 213.

Ответ: 213

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

A	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 3, В - 1.

Ответ: 231.

Ответ: 231

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Ответ: 123.

Ответ: 123

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Ответ: 123.

Ответ: 123

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Рейтинг: