Первообразной функции f x является. Решение тригонометрических задач. Изучаем понятие "интеграл"

Урок и презентация на тему: "Первообразная функция. График функции"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
"Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов"

Первообразная функция. Введение

Ребята, вы умеем находить производные функций, используя различные формулы и правила. Сегодня мы будем изучать операцию, обратную вычислению производной. Понятие производной часто применяется в реальной жизни. Напомню: производная – это скорость изменения функции в конкретной точке. Процессы, связанные с движением и скоростью, хорошо описываются в этих терминах.

Давайте рассмотрим вот такую задачу: "Скорость движения объекта, по прямой, описывается формулой $V=gt$. Требуется восстановить закон движения.
Решение.
Мы хорошо знаем формулу: $S"=v(t)$, где S - закон движения.
Наша задача сводится к поиску функции $S=S(t)$, производная которой равна $gt$. Посмотрев внимательно, можно догадаться, что $S(t)=\frac{g*t^2}{2}$.
Проверим правильность решения этой задачи: $S"(t)=(\frac{g*t^2}{2})"=\frac{g}{2}*2t=g*t$.
Зная производную функции, мы нашли саму функцию, то есть выполнили обратную операцию.
Но стоит обратить внимание вот на такой момент. Решение нашей задачи требует уточнения, если к найденной функции прибавить любое число (константу), то значение производной не изменится: $S(t)=\frac{g*t^2}{2}+c,c=const$.
$S"(t)=(\frac{g*t^2}{2})"+c"=g*t+0=g*t$.

Ребята, обратите внимание: наша задача имеет бесконечное множество решений!
Если в задаче не задано начальное или какое-то другое условие, не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения. Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы.

Как называется такая операция?
Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием.
Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.
Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.
Первообразную принято записывать большой буквой $y=F"(x)=f(x)$.

Определение. Функцию $y=F(x)$ называется первообразной функции $у=f(x)$ на промежутке Х, если для любого $хϵХ$ выполняется равенство $F’(x)=f(x)$.

Давайте составим таблицу первообразных для различных функции. Ее надо распечатать в качестве памятки и выучить.

В нашей таблице никаких начальных условий задано не было. Значит к каждому выражению в правой части таблицы следует прибавить константу. Позже мы уточним это правило.

Правила нахождения первообразных

Давайте запишем несколько правил, которые нам помогут при нахождении первообразных. Все они похожи на правила дифференцирования.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Пример.
Найти первообразную для функции $y=4x^3+cos(x)$.
Решение.
Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Тогда первообразной исходной функции будет: $y=x^4+sin(x)$ или любая функция вида $y=x^4+sin(x)+C$.

Правило 2. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, то $k*F(x)$ – первообразная для функции $k*f(x)$. (Коэффициент можем спокойно выносить за функцию).

Пример.
Найти первообразные функций:
а) $y=8sin(x)$.
б) $y=-\frac{2}{3}cos(x)$.
в) $y={3x}^2+4x+5$.
Решение.
а) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=-8cos(x)$.

Б) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=-\frac{2}{3}sin(x)$.

В) Первообразной для $x^2$ служит $\frac{x^3}{3}$. Первообразной для x служит $\frac{x^2}{2}$. Первообразной для 1 служит x. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=3*\frac{x^3}{3}+4*\frac{x^2}{2}+5*x=x^3+2x^2+5x$.

Правило 3. Если $у=F(x)$ - первообразная для функции $y=f(x)$, то первообразная для функции $y=f(kx+m)$ служит функция $y=\frac{1}{k}*F(kx+m)$.

Пример.
Найти первообразные следующих функций:
а) $y=cos(7x)$.
б) $y=sin(\frac{x}{2})$.
в) $y={-2x+3}^3$.
г) $y=e^{\frac{2x+1}{5}}$.
Решение.
а) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная для функции $y=cos(7x)$ будет функция $y=\frac{1}{7}*sin(7x)=\frac{sin(7x)}{7}$.

Б) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная для функции $y=sin(\frac{x}{2})$ будет функция $y=-\frac{1}{\frac{1}{2}}cos(\frac{x}{2})=-2cos(\frac{x}{2})$.

В) Первообразной для $x^3$ служит $\frac{x^4}{4}$, тогда первообразная исходной функции $y=-\frac{1}{2}*\frac{{(-2x+3)}^4}{4}=-\frac{{(-2x+3)}^4}{8}$.

Г) Слегка упростим выражение в степени $\frac{2x+1}{5}=\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}$.
Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет $y=\frac{1}{\frac{2}{5}}e^{\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}}=\frac{5}{2}*e^{\frac{2x+1}{5}}$.

Теорема. Если $у=F(x)$ - первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке Х, то у функции $y=f(x)$ бесконечно много первообразных, и все они имеют вид $у=F(x)+С$.

Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, требовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу С.
Для функции $y=cos(7x)$ все первообразные имеют вид: $y=\frac{sin(7x)}{7}+C$.
Для функции $y=(-2x+3)^3$ все первообразные имеют вид: $y=-\frac{{(-2x+3)}^4}{8}+C$.

Пример.
По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=-3sin(4t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 1,75.
Решение.
Так как $v=S’(t)$, нам надо найти первообразную для заданной скорости.
$S=-3*\frac{1}{4}(-cos(4t))+C=\frac{3}{4}cos(4t)+C$.
В этой задаче дано дополнительное условие - начальный момент времени. Это значит, что $t=0$.
$S(0)=\frac{3}{4}cos(4*0)+C=\frac{7}{4}$.
$\frac{3}{4}cos(0)+C=\frac{7}{4}$.
$\frac{3}{4}*1+C=\frac{7}{4}$.
$C=1$.
Тогда закон движения описывается формулой: $S=\frac{3}{4}cos(4t)+1$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти первообразные функций:
а) $y=-10sin(x)$.
б) $y=\frac{5}{6}cos(x)$.
в) $y={4x}^5+{3x}^2+5x$.
2. Найти первообразные следующих функций:
а) $y=cos(\frac{3}{4}x)$.
б) $y=sin(8x)$.
в) $y={(7x+4)}^4$.
г) $y=e^{\frac{3x+1}{6}}$.
3. По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=4cos(6t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 2.

Цель:

Формирование понятия первообразной.
Подготовка к восприятию интеграла.
Формирование вычислительных навыков.
Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).

Математический анализ - совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.

Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в “малом”.

Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1 .

Пусть (х)`=3х 2 .
Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо (х 3)`=3х 2
Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно.
В качестве f(х) можно взять
f(х)= х 3 +1
f(х)= х 3 +2
f(х)= х 3 -3 и др.

Т.к.производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х 2

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞).
Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример № 1).

Пример № 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на промежутке (0; +), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х -1/2 =1/2х

Пример № 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на промежутке (-п/2; п/2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos 2 3х

Пример № 4. Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х 2 на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х 2

Лекция 2.

Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.

При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.

Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.

Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х 0 . Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.

Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.

Действительно, для произвольного х 1 и х 2 из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать:
f(х 2)- f(х 1)=f`(с) (х 2 - х 1), т.к. f`(с)=0, то f(х 2)= f(х 1)

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.

F 1 (х) = Sin х-1
F 2 (х) = Sin х
F 3 (х) = Sin х+1

Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х 2 +С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Следовательно, 4 = 1 2 +С
С = 3
F(х) = х 2 +3

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что $s(t) = \frac{gt^2}{2} $. В самом деле
$s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt $
Ответ: $s(t) = \frac{gt^2}{2} $

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили $s(t) = \frac{gt^2}{2} $. На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида $s(t) = \frac{gt^2}{2} + C $, где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку $\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt $

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня ($\sqrt{x} $), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для $x \in X $ выполняется равенство F"(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))" = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция $y=\frac{1}{k}F(kx+m) $

Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Методы интегрирования

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл $\textstyle \int F(x)dx $. Сделаем подстановку $x= \varphi(t) $ где $\varphi(t) $ - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Интегрирование выражений вида $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
или:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Линейность:

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Мы убедились в том, что производная имеет многочисленные применения: производная - это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); производная - это угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; производная помогает решать задачи на оптимизацию.

Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи: например, наряду с задачей об отыскании скорости по известному закону движения встречается и задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой u = tg. Найти закон движения.

Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = u"(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна tg. Нетрудно догадаться, что

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили, что На самом деле, задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида произвольная константа, может служить законом движения, поскольку

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например, при t=0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства получаем s(0) = 0+С, т.е.S 0 = С. Теперь закон движения определен однозначно:
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения: например, возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня синус(sinх) и арксинус (аrcsin х) и т.д. Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т.е. процесс отыскания функции по заданной производной - интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у - f(х) «производит на свет» новую функцию у"= f"(x) Функция у = f(х) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у"=f"(х), первичный образ, или, короче, первообразная.

Определение 1. Функцию у = F(х) называют первообразной для функции у = f(х) на заданном промежутке X, если для всех х из X выполняется равенство F"(х)=f(х).

Приведем примеры:

1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для всех х справедливо равенство (х 2)" =2х.
2) функция у - х 3 является первообразной для функции у-Зх 2 , поскольку для всех х справедливо равенство (х 3)" = Зх 2 .
3) Функция у-sinх является первообразной для функции у=соsх, поскольку для всех х справедливо равенство (sinх)" =соsх.
4) Функция являетя первообразной для функции на промежутке поскольку для всех х > 0 справедливо равенство
Вообще, зная формулы для отыскания производных, нетрудно составить таблицу формул для отыскания первообразных.

Надеемся, вы поняли, как составлена эта таблица: производная функции, которая записана во втором столбце, равна той функции, которая записана в соответствующей строке первого столбца (проверьте, не поленитесь, это очень полезно). Например, для функции у = х 5 первообразной, как вы установите, служит функция (см. четвертую строку таблицы).

Замечания: 1. Ниже мы докажем теорему о том, что если у = F(х) - первообразная для функции у = f(х), то у функции у = f(х)бесконечно много первообразных и все они имеют вид у = F(х) + С. Поэтому правильней было бы во втором столбце таблицы всюду добавить слагаемое С, где С - произвольное действительное число.
2. Ради краткости иногда вместо фразы «функция у = F(х) является первообразной для функции y = f(x)», говорят F(х) - первообразная для f(x)».

2. Правила отыскания первообразных

При отыскании первообразных, как и при отыскании производных, используются не только формулы (они указаны в таблице на с. 196), но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Обращаем ваше внимание на некоторую «легковесность» этой формулировки. На самом деле следовало бы сформулировать теорему: если функции у = f(х) и у=g{х) имеют на промежутке X первообразные, соответственно у-F(х) и у-G(х), то и сумма функций у = f(х)+g(х) имеет на промежутке X первообразную, причем этой первообразной является функция у = F(х)+G(х). Но обычно, формулируя правила (а не теоремы), оставляют только ключевые слова - так удобнее для применения правила на практике

Пример 2. Найти первообразную для функции у = 2х + соз х.

Решение. Первообразной для 2х служит х"; первообразной для созх служит sin х. Значит, первообразной для функции у=2х + соз х будет служить функция у = х 2 + sin х (и вообще любая функция вида У = х 1 + sinх + С).
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

Пример 3.

Ре ш е н и е. а) Первообразной для sin х служит -соз х; значит, для функции у = 5 sin х первообразной будет функция у = -5соз х.

б) Первообразной для соз x служит sin x; значит, для функции первообразной будет функция
в) Первообразной для х 3 служит первообразной для х служит первообразной для функции у = 1 служит функция у = х. Используя первое и второе правила отыскания первообразных, получим, что первообразной для функции у = 12х 3 + 8х-1 служит функция
Замечание. Как известно, производная произведения не равна произведению производных (правило дифференцирования произведения более сложное) и производная частного не равна частному от производных. Поэтому нет и правил для отыскания первообразной от произведения или первообразной от частного двух функций. Будьте внимательны!
Получим еще одно правило отыскания первообразных. Мы знаем, что производная функции у = f(кх+m) вычисляется по формуле

Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.
Правило 3. Если у = F(х) - первообразная для функции у = f(х), то первообразной для функции у=f(кх+m) служит функция

В самом деле,

Это и означает, что является первообразной для функции у = f(кх+m).
Смысл третьего правила заключается в следующем. Если вы знаете, что первообразной для функции у = f(х) является функция у = F(х),а.вам нужно найти первообразную функции у = f(кх+m), то действуйте так: берите ту же самую функцию F, но вместо аргумента х подставьте выражение кх+m; кроме того, не забудьте перед знаком функции записать «поправочный множитель»
Пример 4. Найти первообразные для заданных функций:

Решение , а) Первообразной для sin х служит -соз х; значит, для функции у = sin2х первообразной будет функция
б) Первообразной для соз х служит sin х; значит, для функции первообразной будет функция

в) Первообразной для х 7 служит значит, для функции у=(4-5х) 7 первообразной будет функция

3. Неопределенный интеграл

Выше мы уже отмечали, что задача отыскания первообразной для заданной функции у = f(х)имеет не одно решение. Обсудим этот вопрос более детально.

Доказательство. 1. Пусть у = F(х) - первообразная для функции у = f(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняется равенство x"(х) = f(х). Найдем производную любой функции вида у = F(х)+С:
(F(х) +С) = F"(х) +С = f(x) +0 = f(x).

Итак, (F(х)+С) = f(х). Это значит, что у = F(х) +С является первообразной для функции у = f(х).
Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х) есть первообразная у=F(х), то у функции {f = f(x) бесконечно много первообразных, например, любая функция вида у = F(х)+С является первообразной.
2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных.

Пусть у=F 1 (х) и у=F(х) - две первообразные для функции У = f(x)на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: F^ (х) = f(х); F"(х) = f(х).

Рaсмотрим функцию у = F 1 (х) -.F(х) и найдем ее производную: (F, (х) -F(х))" = F[(х)-F(х) = f(х) - f(х) = 0.
Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X (см. теорему 3 из § 35). Значит, F 1 (х)-F(х) =С, т.е. Fх) = F(х)+С.

Теорема доказана.

Пример 5. Задан закон изменения скорости от времени v = -5sin2t. Найти закон движения s = s(t), если известно, что в момент времени t=0 координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).

Решение. Так как скорость - производная координаты как функции от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости, т.е. первообразную для функции v = -5sin2t. Одной из таких первообразных является функция , а множество всех первообразных имеет вид:

Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями, согласно которым, s(0) = 1,5. Подставив в формулу (1) значения t=0, S = 1,5, получим:

Подставив найденное значение С в формулу (1), получим интересующий нас закон движения:

Определение 2. Если функция у = f(х) имеет на промежутке X первообразную у = F(х), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида у = F(х) + С, называют неопределенным интегралом от функции у = f(x) и обозначают:

(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).
В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения.
Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:

Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.

Правило 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Правило 3. Если

Пример 6. Найти неопределенные интегралы:

Решение , а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:

Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования:

В итоге получаем:

б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 8, получим:

в) Для непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.

Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени:

Тогда последовательно находим:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе