Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:

  1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример - функция y = |x | в точке (0; 0).
  2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k - угловой коэффициент. Касательная - не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)

Здесь f ’(x 0) - значение производной в точке x 0 , а f (x 0) - значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x ) = (x 3)’ = 3x 2 ;
Подставляем в производную x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие - укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x ) = (2sin x + 5)’ = 2cos x ;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет - просто мы наткнулись на точку экстремума.

На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой.

Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами:

а) точкой, лежащей на плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок прямых).

В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач:

1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым коэффициентом.

Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем . Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(сравните с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f "(x) и f "(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f "(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f "(a)(x – a).

Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения.

Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной .


В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:

  • касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);
  • касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).

Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ­ 6 (рис. 2).


2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

  • касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);
  • касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Но, с другой стороны, f "(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a 2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение касательной;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение. Из условия f "(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение касательной.

Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи.

1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.

Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем

Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен .

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

1. – абсцисса второй точки касания.
2.
3.
4.
– уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k 1 k 2 = – 1.

2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций

Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).

1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции
2.
3. f "(c) = c.
4.

Так как касательные общие, то

Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.

Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных.

3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x 2 + bx + c?

Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x 2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x 2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p 2 .

Составим и решим систему уравнений

Ответ:

Условие

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение

$\text{работа}=\text{производительность}\cdot \text{время}$

Так как в задаче ничего не сказано о том, чему равна величина забора, то примем ее за единицу.

Игорь и Паша красят забор за 9 часов:

\[\left({{v}_{1}}+{{v}_{2}} \right)\cdot 9=1;\]

Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов:

\[\left({{v}_{3}}+{{v}_{2}} \right)\cdot 12=1;\]

а Володя и Игорь — за 18 часов:

\[\left({{v}_{1}}+{{v}_{3}} \right)\cdot 18=1;\]

Получаем систему уравнений:

\[\begin{align}& \left\{ \begin{align}& {{v}_{1}}+{{v}_{2}}=\frac{1}{9}, \\ & {{v}_{3}}+{{v}_{2}}=\frac{1}{12}, \\ & {{v}_{1}}+{{v}_{3}}=\frac{1}{15}. \\ \end{align} \right. \\ &\\ \end{align}\]

Просуммируем левые и правые части данных трех уравнений, получим:

\[{{v}_{1}}+{{v}_{2}}+{{v}_{3}}=\frac{1}{8};\]

Чтобы найти время $t$, за которое мальчики покрасят забор, работая втроем, решим уравнение:

$\left({{v}_{1}}+{{v}_{2}}+{{v}_{3}} \right)\cdot t=1;$ $\frac{1}{8}\cdot t=1;$ $t=8.$

Приведём ещё одно решение

За один час Игорь и Паша красят 1/9 забора, Паша и Володя красят 1/12 забора, а Володя и Игорь — за 1/18 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили бы:

\[\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{9}{39}=\frac{1}{4}\] забора.

Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 4 часа. Поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 8 часов.

Примечание Дмитрия Гущина

Заметим, что за 36 часов Игорь и Паша могут покрасить 4 забора, Паша и Володя — 3 забора, а Володя и Игорь — 2 забора. Работая вместе, за 36 часов они могли бы покрасить 9 заборов. Следовательно, один забор два Игоря, два Паши и два Володи могут покрасить за 4 часа. Поэтому, работая втроем, Игорь, Паша и Володя покрасят забор за 8 часов.

Прототип Задания B14 (№99617 )

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Решение

Пусть x (минут) - время, за которое пропалывает грядку одна Даша.

Примем всю прополотую грядку за 1. Тогда 1/20 - скорость, с которой Маша пропалывает грядку (т.е. за 1 минуту Маша пропалывает 1/20 часть грядки). 1/x - скорость, с которой Даша пропалывает грядку.

Так как Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, то составим и решим уравнение:

12*(1/x +1/20)= 1,

1/x +1/20 = 1/12,

1/x = 1/12 - 1/20,

1/x = 1/30 -> x = 30, т.е. Даша пропалывает одна грядку за 30 минут.

Прототип Задания B14 (№99616 )

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение

Примем покрашенный забор за 1.

Пусть x - скорость, с которой красит забор Игорь, y - скорость, с которой красит забор Паша, z- скорость с которой красит забор Володя.

Так как Игорь и Паша красят забор за 9 часов, то

Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, значит

И так как Володя и Игорь красят забор за 18 часов, то получаем еще одно уравнение:

Совместная скорость Игоря, Паши и Володи равна (x+y+z). Значит, время, за которое они покрасят забор, работая втроем равно 1/(x+y+z). Таким образом нам нужно найти величину 1/(x+y+z).

Перепишем все три уравнения в следующем виде:

Сложим все уравнения:

x+y+y+z+x+z = 1/9+1/12+1/18,

т.е.работая втроем мальчики покрасят забор за 8 часов.

Прототип Задания B14 (№99615 )

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение

Примем бак за 1. Тогда, так как первый насос наполняет бак за 20 минут, то скорость, с которой он наполняет бак равна 1/20 (т.е. за минуту первый насос наполняет 1/20 бака). Скорость второго насоса равна 1/30, а третьего - 1/60 (так как третий насос наполняет бак за 1 час, т.е. за 60 минут).

Совместная скорость наполнения бака тремя насосами равна: 1/20+1/30+1/60 = 1/10.

Тогда 1:(1/10) = 1/0,1 = 10 (минут) - время, за которое наполнят бак три насоса, работая одновременно.

Прототип Задания B14 (№99614 )

Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение

Примем заказ за 1. Так как один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов, то скорость первого мастера равна 1/12, а скорсть второго - 1/6. Совместная скорость двух мастеров (т.е. скорость выполнения заказа, когда оба мастера работают вместе) равна 1/12+1/6 = 1/4 = 0,25.

Тогда 1:(1/4) = 1/0,25 = 4 (часа) - время, которое потребуется обоим мастерам, чтобы выполнить заказ, работая вместе.

Прототип Задания B14 (№99613 )

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение

Пусть x (часов) - время, которое работали рабочие вместе . Примем весь заказ за 1. Так как каждый из двух рабочих может выполнить заказ за 15 часов, то скорость выполнения заказа каждым из двух рабочих равна 1/15. А совместная скорость (когда оба рабочих рабтают вместе) равна 1/15+1/15 = 2/15.

Так как один из рабочих работала сам 3 часа до того, как они стали работать вместе, то составим и решим уравнение:

3*1/15+x*2/15 = 1,

3/15+x*2/15 = 1,

x = (4/5):(2/15),

x = (4/5)*(15/2),

Получили, что 6 часов рабочие работали вместе и еще по условию задачи 3 часа работал один рабочий. Поэтому для выполнения всего заказа потребовалось 6+3 = 9 часов.

Прототип Задания B14 (№99612 )

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение

36 секунд = 36/3600 = 0,01 часа,

700 метров = 0,7 км.

Пусть x - длина скорого поезда.

Общая скорость поездов равна 65 + 35 = 100 км/ч.

Оба поезда вместе прошли расстояние, равное сумме их длин, т.е. (x+0,7) км.

И так как время, за которое скорый поезд прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам, т.е. 0,01 часа, то составим и решим уравнение.

Решение задач на совместную работу. Задание 11

Задачи на работу делятся на два типа:

  • задачи, в которых выполняется - эти задачи решаются аналогично задачам на движение.
  • задачи на совместную работу.

Если в задаче встречаются слова "выполнили работу вместе" или слова "совместная работа", значит это задача на совместную работу.

В этой статье я подробно остановлюсь на алгоритме решения задач на совместную работу.

1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:

  • объем работы,
  • время,
  • производительность,

которые связаны между собой формулой:

объем работы=производительность время.

2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем равным 1.

3. Вводим два неизвестных:

х - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) первым

y - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) вторым.

(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)

Производительность кого-то (или чего-то) первого

И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность

совместная производительность равна

Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для :

1 . Задание 11 (№ 99617)

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша - за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Про Машу нам все известно: время её работы равно 20, следовательно, её производительность равна .

Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда её производительность равна .

Тогда совместная производительность равна

Объем работы примем равным 1.

Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:

Решим его:

2 . Классическая задача на совместную работу:

Задание 11 (№ 99619)

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

1. Введем неизвестные:

х - время заполнения резервуара первой трубой

y - время заполнения резервуара второй трубой

Производительность первой трубы

Производительность второй трубы

Совместная производительность

2. Примем объем резервуара равным 1.

3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.

По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:

Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:

Получили систему уравнений:

Не подходит по смыслу задачи.

3 . Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я показываю решение такой задачи:

Задание 11 (№ 99616)

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь - за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?



4. И, наконец, видеорешение такой задачи:
Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй 16, а третий 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий - 11?