• При любом виде проекции отрезок прямой переходит в отрезок прямой (в вырожденном случае - когда отрезок лежит на проекционном луче - в точку); прямая может перейти в прямую или в луч.
• Это свойство заметно упрощает приложение проекции в изобразительных целях, особенно в техническом черчении, когда объект содержит много прямолинейных элементов. В последнем случае достаточно спроецировать концы отрезков и соединить их на чертеже прямыми.
• Эллипс или окружность переходят в эллипс (в вырожденном случае - в отрезок или окружность).

Проекция из произвольного пространства на его подпространство [ | ]

Проекция в этом смысле (упомянутая во введении в пункте 2) - широко применяется в линейной алгебре (подробнее, см.: Проекция (линейная алгебра)), но на практике не только в достаточно абстрактных контекстах, но и при работе с векторами любой природы, размерности и степени абстракции, и даже в элементарной геометрии, а также - очень широко - при использовании прямолинейных координат (как прямоугольных или аффинных).

Отдельно следует упомянуть проекцию точки на прямую и проекцию вектора на прямую (на направление).

Ортогональная проекция на прямую и на направление [ | ]

Чаще всего используется ортогональная проекция.

Термин проекция в этом смысле употребляется и в отношении самой операции проецирования, и в отношении её результата (при операции проецирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).

Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в трёхмерном пространстве, и в пространстве любой размерности.

Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроецировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.

Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.

Неортогональная проекция на прямую и на направление [ | ]

Неортогональная проекция используется реже, к тому же даже при использовании, особенно в элементарных контекстах, этот термин не всегда используется.

Проще всего неортогональную проекцию на прямую можно задать, задав саму эту прямую и плоскость (в двумерном случае - вместо плоскости другую прямую, в случае n -мерного пространства - гиперплоскость размерности (n -1)), пересекающую прямую. Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию.

В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением). Поэтому собственно для неортогональной проекции надо потребовать, чтобы эта ортогональность отсутствовала.

Для неортогональной проекции вектора на прямую и на направление определения получаются, исходя из приведённого определения проекции точки, прямо аналогично тому, как это было описано в параграфе об ортогональной проекции.

• Надо, правда, иметь в виду, что по умолчанию под проекцией вектора на прямую или на направление понимается всё же ортогональная проекция.

Тем не менее понятие неортогонального проецирования может быть полезным (по крайней мере, если не бояться терминологической путаницы) для введения косоугольных координат и работы с ними (через них может быть в принципе довольно легко определено понятие координат точки и координат вектора в этом случае).

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования.

Если центр проекций при центральном аппарате проецирования перенести в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными. Отсюда аппарат параллельного проецирования состоит из плоскости проекций П и направления Р. При центральном проецировании проецирующие лучи выходят из одной точки, а при параллельном проецировании — параллельны между собой.

В зависимости от направления проецирующих лучей параллельное проецирование может быть косоугольным, когда проецирующие лучи наклонены к плоскости проекций, и прямоугольным (ортогональным), когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Рассмотрим пример косоугольного параллельного проецирования.

Построим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не П1. Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А и В, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив параллельные проекции А1 и В1 мы получим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ.

Аналогично можно построить параллельную проекцию А1В1С1D1 четырёхугольника ABCD на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не перпендикулярных П1.

Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А, В, C, D, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1, В1, С1, D1 точек A, B, C, D. Соединив параллельные проекции А1, В1, С1, D1 мы получим параллельную проекцию А1В1С1D1 четырёхугольника ABCD.

Свойства проекций при параллельном проецировании:

Первые шесть свойств центрального проецирования справедливы и для параллельного проецирования. Перечислим ещё несколько свойств присущих параллельному проецированию:

1. Проекции параллельных прямых параллельны.

Из рисунка видно, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 и DD 1 образуют две параллельные плоскости a и b . Эти две плоскости пересекаются с П 1 . Следовательно, линии пересечения их А 1 В 1 и С 1 D 1 будут параллельны.

2. Если точка делит длину отрезка в отношении m:n , то проекция этой точки делит длину проекции отрезка в том же отношении.

Пусть точка С принадлежит отрезку АВ , причем |АС| : |СВ| = 2: 1 . Построим параллельную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ . Точка С 1 А 1 В 1 . Проведём АC’ || А 1 C 1 и CB’ || C 1 B 1 , получим два подобных треугольника АCC’ и CBB’ . Из их подобия следует пропорциональность сторон: |АC| : |СВ| = |AC’| : |CB’| , но |CB’| = |С1В1| , а |AC’| = |А 1 C 1 | , отсюда |АC| : |СВ| = |А 1 С 1 | : |C 1 B 1 | .

3. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется без искажения.

Возьмём треугольник АВС и спроецируем его на две параллельные плоскости проекций П 1 ‘ и П 1 . Так как длины отрезков равны |А 1 А 1 ‘| = |В 1 В 1 ‘| = |С 1 С 1 ‘| и отрезки параллельны, то четырёхугольники А 1 А 1 ‘ В 1 В 1 ‘, В 1 В 1 ‘ С 1 С 1 ‘, С 1 С 1 ‘А 1 А 1 ‘ являются параллелограммами. Следовательно, противоположные стороны их равны по длине |А 1 В 1 | = |А 1 ‘ В 1 ‘|, |В 1 С 1 | = |В 1 ‘ С 1 ‘|, |А 1 С 1 | = |А 1 ‘ С 1 ‘| , а значит, треугольники равны.

Аналогично, тоже самое можно доказать и для любой другой плоской фигуры. Параллельное проецирование, в отличие от центрального, обладает меньшей наглядностью, но обеспечивает простоту построения и большую взаимосвязь с оригиналом.

Параллельное проецирование

Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость. В этом отношении центрально проекционные чертежи не являются наиболее удобными. Поэтому большим распространением пользуется способ параллельного проециро­вания для построения изображений пространственных фигур.

Задаём некоторую плоскость П′ , являющуюся плоскостью проекций, и направление проецирования s , не параллельное плоскости проекций П′ в соответствии с рисунком 1.2.2. Для проецирования какой-либо точки А пространства проводим через неё про­ецирующую прямую АА′ , параллельную направлению проецирования s . Точка пересечения А′ проецирующей прямой с плоскостью П′ являетсяпараллельной проекцией точки А на плоскость П′ .

Рисунок 1.2.3 – Параллельная проекция параллельных в пространстве

Построив для прямых АВ и CD проецирующие плоскости AА¢В¢B и CС¢D¢D , заметим, что эти плоскости параллельны, как плоскости, имеющие уг­лы с соответственно параллельными сторонами (AB||CD ; BВ¢ ||DD¢ ). Поэтому проецирующие плоскости пересекают плоскость проекций П" по двум парал­лельным между собой прямым.

2) Отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, со­храняется в параллельной проекции .

Пусть АВ и CD – отрезки, лежащие на параллельных прямых. Построим их проекции на плоскость П¢ при направлении проецирования s (рисунок 1.2.3). Про­ведём в проецирующих плоскостях отрезки А¢В1 и С¢D1 , соответственно парал­лельные и равные отрезкам АВ и СD . Треугольники А¢B¢B1 и С¢D¢D1 являются подобными, т.к. их соответственные стороны параллельны. Отсюда

Отсюда следует, что отношение, в котором точка В делит отрезок АС. со­храняется в проекции для точки В′, делящей отрезок А"С′.

Рисунок 1.2.4 – Деление отрезка в заданном соотношении при параллельном проецировании

Рассматриваемые вопросы:

• 1. Понятие о проецировании
• 4. Метод Монжа
• 5. Аксонометрическая проекция

Понятие о проецировании. Изображения предметов на чертежах получают проецированием. Проецирование есть процесс построения изображения предмета на плоскости при помощи проецирующих лучей. В результате этого процесса получается изображение, называемое проекцией .

Слово «проекция» в переводе с латинского означает бросание вперед, вдаль. Проекцию можно наблюдать, рассматривая тень, отбрасываемую предметом на поверхность стены при освещении этого предмета источником света. компьютерный графика проецирование эскизирование

Под проецированием подразумевается процесс, в результате которого получаются изображения (проекции на плоскости), т.е. когда через характерные точки фигуры проводятся лучи до пересечения их с плоскостью, и полученные точки от пересечения лучей с плоскостью соединяют прямыми или кривыми линиями соответствующим образом.

Центральное (коническое) проецирование. В пространстве будет плоскость П1, назовем ее плоскостью проекции или картинной плоскостью. Возьмем какую-либо точку S, не принадлежащую плоскости проекции П1. Назовем ее центром проекции (Рис. 19).

Чтобы спроецировать фигуру АВС, называемую оригиналом, надо провести из точки S через точки А, В, С прямые, называемые проецирующими лучами, до пересечения их с плоскостью П1 в точках А1, В1, С1. Соединив их последовательно прямыми линиями, получим фигуру А1В1С1. Это будет центральная проекция А1В1С1 данной фигуры АВС на плоскость проекции П1.

Рис.19.

Параллельное (цилиндрическое) проецирование. При параллельном проецировании, как и в случае центрального проецирования, берут плоскость проекций П1, а вместо центра проекций S задают направление проецирования.

Задаем направление проецирования S не параллельно плоскости П1, считая, что точка S - центр проецирования - удалена в бесконечность. Оригинал проецирования та же фигура АВС, расположенная в пространстве. Чтобы спроецировать фигуру АВС, проводим через точки А, В, С параллельно направлению проецирования S проецирующие лучи до пересечения их с плоскостью проекцией П1 в точках А1,В1,С1. Точки А1,В1,С1 соединим прямыми линями, получим фигуры А1В1С1; это будет параллельная проекция фигуры АВС на плоскость П1. Таков процесс параллельного проецирования (Рис. 20).

Рис.20.

Если оригиналом является прямая линия, то все проецирующие лучи точек этой прямой будут располагаться в одной плоскости, называемой проецирующей плоскостью.

Плоскость Р, проходящая через проецирующие прямые ВВ1 и СС1, пересекает плоскость проекции П1 по прямой. Эту прямую можно рассматривать как проекцию прямой, заданной точками В и С. В зависимости от направления проецирования S к плоскости проекций параллельное проецирование разделяют на прямоугольные (ортогональные) и косоугольные проецирование (Рис. 21).

Рис.21 Прямоугольное и косоугольное проецирование

Прямоугольное проецирование , когда направление проецирования S с плоскостью проекций составляет прямой угол (Рис. 21а).

Косоугольное проецирование , когда направление проецирования составляет с плоскостью проекции угол меньше 90 ?(Рис. 21б).

Метод Монжа . Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого Гаспара Монжа, изданном в 1799 г.

Прямоугольное проецирование есть частный случай параллельного проецирования. Метод ортогональных проекций называют методом Монжа . Этот метод является наиболее распространенным при составлении технических чертежей. Он не дает наглядности изображения, но зато является простым и удобным при выполнении чертежа и дает высокую точность. Метод Монжа - это прямоугольная параллельная проекция на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Такой комплекс двух связанных между собой ортогональных проекций выявляет положение проецируемого предмета в пространстве. Изложенный Монжем метод обеспечивает выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей (рисунок 22).

Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным из слов древнегреческого языка, обозначающих «прямой» и «угол». В дальнейшем изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях. На рисунке 22 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой П1, расположена горизонтально; другая, обозначенная буквой П2, -- вертикально. Эту плоскость называют фронтальной плоскостью проекций, плоскость П1 называют горизонтальной плоскостью проекций . Плоскости проекций П1, и П2 образуют систему П1, П2.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций . Ось проекций разделяет каждую из плоскостей П1, и П2 на полуплоскости. Для этой оси будем применять обозначение х или обозначение в виде дроби П2 / П1.

Рис.22.

Аксонометрическая проекция . Если предмет с отнесенными к нему осями прямоугольных координат расположить перед плоскостью проекций и проецировать параллельными лучами на одну плоскость, которую в этом случае называют картинной, то получают аксонометрическую проекцию.

На рис. 23 показаны куб, отнесенные к нему оси прямоугольных координат х0,у0,z0, плоскость проекций Р и аксонометрическое изображение куба.

Рис.23. Образование аксонометрических проекций: а и б - фронтальной диметрической; в и г - изометрической

Аксонометрия - слово греческое, в переводе означает измерение по осям. При построении аксонометрических проекций размеры откладывают вдоль осей х,у,z.

Аксонометрические проекции достаточно наглядны, поэтому в ряде случаев они применяются для пояснения прямоугольных проекций сложных машин и механизмов и их отдельных деталей. При аксонометрическом проецировании фигура связывается с пространственной системой координатных осей, затем эту фигуру с осями координат проецируют на одну плоскость. Эту плоскость называют плоскостью аксонометрических проекций.

Аксонометрические проекции, полученные прямоугольным проецированием фигуры с координатными осями, называют прямоугольными, а полученные при косоугольном проецировании - косоугольными.

Плоскостью проекций называют плоскость, на которой получают проекцию предмета.

Частный случай центрального проецирования с центром проекций, находящимся в бесконечности (в несобственной точке O ). Осуществляется связкой лучей заданного направленияS (рис. 2).

Аппарат параллельного проецирования:

  плоскость проекций;

S - направление проецирования;

[O  A ][O  B ] S

A  = [OA ]  - параллельная проекция точки А на плоскость;

l  = (AA  BB ) -параллельная проекция прямой на плоскость .

Обратимости нет. Одна центральная проекция точки не позволяет судить о положении точки в пространстве. А = D

Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекций, в общем случае, с искажением. Характер искажений зависит от аппарата проецирования и положения проецируемой фигуры относительно плоскости проекций.

В частности, при параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (искажаются линейные и угловые величины). Некоторые свойства фигуры сохраняются на ее проекции.

Сохраняющиеся в проекции свойства фигуры называются независимыми или ИНВАРИАНТНЫМИ. Эти инвариантные свойства часто называют сокращенно: инварианты.

Инварианты параллельного проецирования

Проекция точки есть точка (рис. 1; рис.2)

Проекция прямой есть прямая (рис. 1; рис.2)



3 . Проекция точки, принадлежащей прямой, принадлежит проекции.

этой прямой (рис. 1; рис.2)

Проекция точки пересечения прямых определяется пересечением проекций этих прямых (рис. 3)

Проекции взаимно параллельных прямых взаимно параллельны (рис. 4)

Отношение длин отрезков взаимно параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 4)

СЛЕДСТВИЕ: если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то проекция отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 5)

7 . Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру (рис. 6)

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

1. Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором напраление проецирования перпендикулярно плоскости проекций (рис. 7)

В дальнейшем безоговорочно используется ортогональное проецирование.

В ортогональном проецировании сохраняются все свойства параллельного проецирования. Кроме того, для ортогонального проецирования справедлива теорема о проецировании прямого угла (смотри тему №6) и применим способ определений расстояния между точками (т.е. длины отрезка, смотри тему №3), называемый способом прямоугольного треугольника.

Рис. 7

БОЛЕЕ ПОДРОБНО...

Положение предмета в пространстве определяют четыре его точки, не лежащие в одной плоскости. Изображение пространственного предмета на чертеже сводится к построению проекций множества точек этого предмета на плоскости R (называемой плоскостью проекций) при помощи прямых линий (проецирующих лучей), проходящих через точки предмета и направленных к центру проецированияS .

Однако, чтобы построить проекцию предмета, не обязательно строить все его точки. Достаточно найти лишь проекции характерных точек (вершин, ребер и т.п.), которые затем соединить соответствующей линией.

Проецирующие лучи в совокупности образуют проецирующую поверхность . Так, при проецировании прямой АВ проецирующей поверхностью является плоскость АВba (рис.).

Линия пересечения ab проецирующей плоскости с плоскостьюR представляет собой проекцию прямойAB , которая слагается из проекций отдельных ее точек.

Проекция подобна тени, отброшенной от предмета, освещенного лампой или солнцем.

При проецировании кривой линии в первом случае проецирующие лучи образуют коническую поверхность с вершиной в точке S , получаетсяк оническое(перспективное) изображение кривой (рис. 2). Во втором случае конус проецирующих лучей превращается в цилиндр и коническое изображение переходит вцилиндрическое (параллельное) (рис. 2). Проекция кривой линии рассматривается при этом как линия пересечения проецирующей поверхности с плоскостьюR .

В перспективе предмет изображается таким, каким он представляется глазу наблюдателя. Хрусталик глаза является центром проецирования. Каждому из нас знакомо следующее явление: если смотреть вдоль полотна железной дороги, нам кажется, что рельсы как бы сближаются между собой и на горизонте сходятся в одну точку (центр), а опоры, расположенные вдоль путей, уменьшаются по мере удаления.

Параллельное проецирование - частный случай перспективы. Суть параллельного проецирования заключается в следующем: если условно удалить центр проецирования в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными.

Так, чтобы построить параллельную проекцию треугольника ABC (рис.), нужно задать:R - плоскость проекций (не параллельную и не совпадающую с направлением проецирующих лучей);S - направление проецирующих лучей (направление проецирования).

Далее, через характерные точки предмета проводят проецирующие лучи Аа ,Вb иСс параллельно направлению проецирования, а затем находят точкиa ,b и с их пересечения с плоскостьюR . Эти точки - искомые параллельные проекции точекА ,В иС заданного треугольника.

Проекция abc - линия пересечения проецирующей призматической поверхности с плоскостьюR . Форма и размеры параллельной проекции какого-либо предмета при заданном направлении проецирования зависят только от выбора направления плоскости проекций и не зависят от ее удаления от предмета. Треугольник, расположенный в плоскостиR 1 , параллельной плоскости проекций, проецируется равным заданному. В этом случаеab =AB ,bc =BC ,ac =AC .

В зависимости от угла наклона проецирующего луча к плоскости проекций параллельное проецирование делится на два вида: прямоугольное и косоугольное.

ПРЯМОУГОЛЬНЫМ (или ортогональным) проецирование называется в том случае, когда направление проецирования выбрано перпендикулярным плоскости проекций. В другом случае оно называетсяКОСОУГОЛЬНЫМ .

При прямоугольном проецировании (рис. 7) величина коэффициента искажения не может превышать единицы.

В косоугольных проекциях (рис. 5) коэффициент искажения (К =ab /AB ) данного отрезкаАВ может принимать любые числовые значения в зависимости от наклона отрезка и проецирующих лучей к плоскости проекций. В частности, если направление отрезка совпадает с направлением проецирования, то проекцией этого отрезка будет точка, а коэффициент искажения равен нулю.

В параллельном проецировании сохраняются основные свойства перспективы, а именно:

1) проекция точки есть точка;

2) проекция прямой в общем случае будет прямая;

3) каждой точке, принадлежащей какой-либо линии, соответствует проекция этой точки на проекции данной линии.

Кроме того, параллельное проецирование имеет еще ряд (только ему присущих) свойств:

4) если точка лежит на отрезке прямой, то проекция этой точки делит проекцию отрезка в том же отношении, в каком

точка делит отрезок, т.е. AC /CB =ас /cb (рис. 5);

5) проекцией пересекающихся отрезков будут также пересекающиеся отрезки, а точка их пересечения будет проекцией точки пересечения данных отрезков (рис. 3);

6) проекции параллельных отрезков параллельны, одного направления, а их отношение равно отношению длин отрезков, т.е. ab cd иAB /CD =ab /cd (рис. 4);

при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется прямым углом только в том случае, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая не является проецирующим лучом (теорема о проецировании прямого угла) .