Закон больших чисел
Ранее было отмечено, что нельзя предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина, так как мы не можем учесть все обстоятельства, от которых зависит это событие. Однако в некоторых случаях можно указать вероятность такого события.
Опыт подсказывает нам, что события, вероятность наступления которых мала, редко происходят, а события, имеющие вероятность, близкую к единице, почти обязательно происходят. Принцип, заключающийся в том, что маловероятные события на практике рассматриваются как невозможные, носит название “принципа практической невозможности маловероятных событий”. События, происходящие с вероятностями, весьма близкими к единице, считаются практически достоверными (принцип практической достоверности). Сколь мала или сколь велика должна быть вероятность события, зависит от практического применения, от важности этого события.
Следовательно, одной из основных задач теории вероятностей является установление закономерностей, происходящих с вероятностями близкими к единице. Эти закономерности должны учитывать совместное влияние большого числа независимо (или слабо зависимо) действующих факторов. При этом каждый фактор в отдельности характеризуется незначительным воздействием. Всякое предложение, устанавливающее отмеченные выше закономерности, называется законом больших чисел. Законом больших чисел, по определению проф. А.Я. Хиничина, следует назвать общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая.
Некоторые конкретные условия, при которых выполняется закон больших чисел, указаны в теоремах Чебышева, Бернули, Пуассона и Ляпунова.
Лемма Маркова. Неравенство и теорема Чебышева. Теоремы Бернулли и Пуассона
Лемма Маркова. Пусть Х - случайная величина, принимающая лишь неотрицательные значения. Тогда можно получить следующее неравенство:
(τ > 0
любое).
(4.1)
Доказательство . Для определенности предположим, что Х - непрерывная случайная величина с плотностью f(х). По определению математического ожидания получаем
.
.
Оба слагаемых в правой части не отрицательны, в силу условий леммы, поэтому
,
но теперь x ≥ τ, и следовательно,
Таким образом,
Так как τ > 0, получим
Рассмотрим теперь случайную величину Х, имеющую математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X). Оценим вероятность события, заключающегося в том, что отклонение Х - М(Х) не превысит по абсолютной величине положительного числа ε. Оценка указанной вероятности получается с помощью неравенства Чебышева.
Неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева . Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше, чем , то есть
.
(4.2)
Доказательство . Приведем доказательство для дискретной (конечной) случайной величины Х:
|
x k +1 |
|||||||
|
p k +1 |
p n |
Рассмотрим случайную величину . Тогда ее ряд распределения имеет вид
|
│Х – M (X )│ |
│х 1 – M (X )│ |
│х 2 – M (X )│ |
│x k – M (X )│ |
│x k +1 – M (X )│ |
│x n – M (X )│ |
||
|
p k +1 |
p n |
Не ограничивая общность рассуждения, можно предположить, что первые к значений случайной величины меньше заданного ε, а остальные значения не меньше ε. Тогда на основании теоремы сложения вероятностей получим следующую формулу:
.
(4.3)
Чтобы найти , запишем формулу D(X) в виде
Опуская в правой части этого равенства первую сумму и заменяя во второй сумме меньшей величиной ε, получим неравенство
Из этого неравенства следует:
.
(4.4)
Подставляя правую часть (4.4) в (4.3), окончательно получим
что и требовалось доказать.
Рассмотрим достаточно большое число n независимых случайных величин Х1, Х2, … Хn. Если дисперсии их ограничены числом C, то событие, заключающееся в том, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым, является почти достоверным. Это предложение, относящиеся к закону больших чисел, доказал П.Л. Чебышев.
Теорема Чебышева . Если Х1, Х2, … Хn попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их не превышают постоянного числа С, то как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства
будет как угодно близка к единице, если число n случайных величин достаточно велико.
Используя понятие предела, можно в условиях теоремы записать:
.
Вместо
последней записи часто кратко говорят, что суммы 
сходятся
по вероятности к нулю, которое записываются так, указывая над стрелкой р
.
Доказательство . Рассмотрим случайную величину , которая, по сути, является средней арифметической этих величин. Случайная величина Х есть линейная функция независимых случайных величин Х1, Х2, … Хn. На основании свойств математического ожидания и дисперсии можно записать:
По условию теоремы D(Xi) ≤ С, поэтому
.
Теперь можно воспользоваться неравенством Чебышева:
Переходя к пределу при , будем иметь:
.
Так как вероятность не может быть больше единицы, этот предел равен единице, что и требовалось доказать.
Из теоремы Чебышева следует утверждение, заключающиеся в том, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, утрачивает случайный характер и становится детерминированной величиной.
Пример 4.1. Дисперсия каждой из 6250 независимых случайных величин не превосходит 9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит 0,6.
Решение . Согласно теореме Чебышева искомая вероятность Р не меньше . По условиям задачи C = 9, n = 6250, ε = 0,6, следовательно, в соответствии с выражением (4.5) Р ≥ 0,996.
Отметим некоторые важные частные случаи теоремы Чебышева.
Теорема Бернулли . Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р. Тогда каково бы ни было ε > 0,
,
(4.6)
где m/n - частость (относитетельная частота) появления события А.
Доказательство . Для доказательства рассмотрим случайную величину Хi = mi, являющуюся числом наступления события А в I испытании, так что m = m1 + m2 +…+ mi +…+ mn, и случайные величины mi попарно независимы. Ранее было показано, что М(mi) = p и D(mi) = pq. Так как pq ≤ 1/4, то дисперсии случайных величин mi ограничены одним и тем же числом С = 1/4, следовательно, получаем все условия, при которых справедлива теорема Чебышева и окончательно получим
,
(4.7)
Пример 4.2. На предприятии, выпускающем кинескопы, 0,8 всей продукции выдерживает гарантийный срок службы. С вероятностью, превышающей 0,95, найти пределы, в которых находится доля кинескопов, выдерживающих гарантийный срок, из партии 8000 кинескопов.
Решение . Применяем теорему Бернулли при n = 8000, Р ≥ 0,95, р = 0,8 и q = 0,2. Подставляя данные p, q и n в формулу (4.7)
найдем ε=0,02. Раскрывая модуль в соотношении (4.6), из неравенства получим
или 6240 < m < 6560.
Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний появление события А в k-ом испытании равна рk, то
(4.8)
где m есть случайная величина, равная числу появлений события А в первых n испытаниях.
Доказательство
. Пусть случайная величина Хк = mk означает
число появления события А в k-м испытании. Тогда 
, и случайные
величины mk попарно независимы. Таким образом, теорема Пуассона является
частным случаем теоремы Чебышева. На основании свойств математического
ожидания и дисперсии случайной величины 
получим
следующие формулы:
,
где черта над вероятностями означает их средние значения.
Подставляя эти формулы в неравенство Чебышева (4.5), получаем неравенство, выражающее теорему Пуассона:
,
(4.9)
и переходя к пределу, при n, стремящимся к бесконечности, окончательно получим
Пример 4.3. Произведено 900 независимых испытаний, причем в 450 из этих испытаний вероятность появления события А равна 2/3, в 200 - 0,5, в 160 - 0,3 и в 90 - 0,4. Найти оценку вероятности того, что частость или относительная частота появления события А отклоняется по абсолютной величине от средней вероятности не больше, чем на 0,1.
Решение . Применяем теорему Пуассона. Находим :
Подставляя в правую часть неравенства (4.9)
значения , ε и n, получим Р ≥ 0,97.
Теорема Бернулли является частным случаем теоремы Пуассона.
В самом деле, если вероятность появления данного события в каждом испытании постоянна: р1 = р2 = … = рn = р, то = р и = pq.
Замечание. В тех случаях, когда вероятность появления события в каждом испытании не известна, за верхнюю границу дисперсии принимают C = 1/4, т.е.
.
Теорема Лапласа
Теоремы
Чебышева, Бернулли, Пуассона устанавливают нижнюю границу вероятности, что
часто бывает недостаточно. В некоторых случаях важно знать достаточно точное
значение вероятности. Этому требованию отвечают так называемые предельные
теоремы закона больших чисел, указывающие асимптотические формулы для
вероятностей неравенства 
относительно
n случайных величин Xi.
Мы уже знаем, что вероятность неравенства вычисляется по интегральной теорема Лапласа, а именно
,
Следовательно, достаточно точным выражением теоремы Бернулли является интегральная теорема Лапласа. Асимптотическую формулу для теоремы Чебышева доказал его ученик А.М. Ляпунов. Приведем теорему Ляпунова, доказательство которой мы провели в 4-х лекции.
Центральная предельная теорема
Теорема Ляпунова. Рассмотрим n независимых случайных величин Х1, Х2,…,Хn, удовлетворяющих условиям:
1) все величины имеют определенные математические ожидания и конечные дисперсии;
2) ни одна из величин не выделяется резко от остальных по своим значениям.
Тогда при неограниченном возрастании n распределение случайной величины приближается к нормальному закону.
Таким образом, имеем следующую асимптотическую формулу:
,
(4.10)
где 
.
Пример 4.4. Дисперсия каждой из 400 независимых случайных величин равна 25. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит 0,5.
Решение . Применим теорему Ляпунова. По условию задачи n = 400, D(Xi) = 25, следовательно, и ε = 0,5. Подставляя эти данные в формулу получим t = 2 откуда Р = Ф(2) = 0,9545.
В заключение приведем доказательство неравенства Чебышева для непрерывных случайных величин.
Лемма (неравенство Чебышева) . Для любого e e
Что и требовалось доказать.
Неравенство Чебышева
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Неравенство Чебышева |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
Теорема. Пусть (W,F,P) - неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ вероятностное пространство и X - неотрицательная случайная величина, тогда для всякого e > 0 справедливо неравенство
(1)
Доказательство. Пусть случайная величина X представляется в виде
X = X ×I(X ³ e) + X × I(X < e) ³ XI (X ³ e) ³ eI (X³e),
где I(А) - индикатор события.
По этой причине, используя свойства математических ожиданий,
, отсюда
- это первое неравенство Чебышева.
Следствия. В случае если X - произвольная случайная величина, то для e>0
(2)
(3)
(3) - второе неравенство Чебышева в нецентрированной форме.
(4)
(4) - второе неравенство Чебышева в центрированной форме.
Пример. Дана случайная величина X с математическим ожиданием m x и дисперсией s x 2 =D x . Оценить вероятность того, что X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на 3s x .
Решение . Полагая в неравенстве Чебышева (формула (4)) e=3s x имеем:
ᴛ.ᴇ. вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений не должна быть больше 1/9. Это оценка сверху - верхняя граница вероятностного отклонения. Стоит сказать, что для нормальной случайной величины вероятностное отклонение =0,003.
Примечание. На практике имеем дело со случайными величинами, значения которых редко выходят за пределы m x ±3s x (“правило трех сигм").
Неравенство Чебышева - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Неравенство Чебышева" 2017, 2018.
Закон больших чисел. В широком смысле слова закон больших чисел означает, что при большом числе случайных экспериментов средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности (т.е. событие имеет... .
Случайный характер величины проявляется в том, что нельзя предвидеть, какое именно из своих значений она примет в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые мы не в состоянии. Поскольку о каждой случайной величине мы располагаем весьма... .
ТЕОРЕМЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА, ПОНЯТИЕ О ЗАКОНЕ Если случайная величина Х с математическим ожиданием М(Х) = А может принимать только неотрицательные значения, то при любом e >0 справедливо... .
Если известна дисперсия случайной величины, то с ее помощью можно определить отклонение этой случайной величины на определенное значение от математического ожидания, причем оценка вероятности отклонения будет зависеть от дисперсии, а не от закона распределения....
Теорема. Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство:
☺ Доказательство
проведем для дискретной СВ Х. Расположим
ее значения в порядке возрастания, из
которых часть значений
будут не более числа А, а другая часть
-
будут больше А, т.е.
Запишем выражение для математического ожидания М(Х): ,
где
- вероятности того, что СВ Х примет
значения соответственно
.
Отбрасывая первые
k неотрицательных слагаемых (напомним,
что все
),
получим:.
Заменяя в неравенстве
значения
меньшим числом А, получим более сильное
неравенство:или
.
Cумма вероятностей
в левой части полученного неравенства
представляет собой сумму вероятностей
событий
,
т.е. вероятность события Х>А. Поэтому
.☻
Т.к. события Х > А и Х ≤ А противоположные, то заменяя Р(Х > А) выражением 1 - Р(Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова:
.
Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.
Пример . Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.
Решение
.
а) По условию М(Х) = 300. По формуле
:
т.е. вероятность того, что число вызовов
превысит 400, будетне
более
0,75.
б) По формуле
:
т.е.
вероятность того, что число вызовов не
более 500, будетне
менее
0,4.
Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
Теорема
.
Для любой случайной величины, имеющей
математическое ожидание и дисперсию,
справедливо неравенство Чебышева:
,
где а = М(Х), е > 0.
☺ Применим
неравенство Маркова в форме
к случайной величине
,
взяв в качестве положительного числа
.
Получим:
.
Т.к. неравенство
равносильно
неравенству
,
а
есть
дисперсия случайной величины Х, то из
неравенства получаем доказываемое
неравенство. ☻
Учитывая, что
события
и
противоположны, неравенство Чебышева
можно записать и в другой форме:
.
Неравенство Чебышева
применимо для любых случайных величин.
В форме
оно устанавливаетверхнюю
границу
,
а в форме
-нижнюю
границу
вероятности рассматриваемого события.
Запишем
неравенство Чебышева в форме
для некоторых случайных величин:
а) для СВ Х = m,
имеющей биноминальный закон распределения
с математическим ожиданием а = М(Х) = nр
и дисперсией D(X) = npq:
.
б) для частости
события в n независимых испытаниях, в
каждом из которых оно может произойти
с одной и той же вероятностью
и имеющей дисперсию
:
.
3амечание
.
Если М(Х) > А или
,
то правые части неравенств Маркова и
Чебышева в форме соответственно
и
будутотрицательными
а в форме
и
будутбольше
1
.
Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к тривиальному результату: вероятность события больше отрицательного числа либо меньше числа, превосходящего 1.
Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
Теорема
.
Если дисперсии n независимых случайных
величин
ограничены одной и той же постоянной,
то при неограниченном увеличении числа
n средняя арифметическая случайных
величин сходится по вероятности к
средней арифметической их математических
ожиданий
,
т.е.
☺ По условию ,, где С - постоянное число.
Получим неравенство
Чебышева в форме
для средней арифметической случайных
величин, т.е. для
.
Найдем математическое ожидание М(Х) и оценку дисперсии D(Х):
(Здесь использованы
свойства математического ожидания и
дисперсии и, в частности, то, что случайные
величины
независимы, а следовательно, дисперсия
их суммы равна сумме дисперсий.)
Запишем неравенство
для случайной величины
:
Т.к. по доказанному
,
то
,
Следовательно .
в пределе при n →
∞ величина
стремится к нулю, и получим доказываемую
формулу. ☻
Подчеркнем смысл теоремы Чебышева. При большом числе n случайных величин практически достоверно, что их средняя величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины, т.е. практически перестает быть случайной.
Следствие
.
Если независимые случайные величины
имеют одинаковые математические
ожидания, равные а, а их дисперсии
ограничены одной и той же постоянной,
то:
,
Теорема Чебышева и ее следствие имеют большое практическое значение. Например, страховой компании необходимо установить размер страхового взноса, который должен уплачивать страхователь; при этом страховая компания обязуется выплатить при наступлении страхового случая определенную страховую сумму. Рассматривая частоту/убытки страхователя при наступлении страхового случая как величину случайную и обладая известной статистикой таких случаев, можно определить среднее число/средние убытки при наступлении страховых случаев, которое на основании теоремы Чебышева с большой степенью уверенности можно считать величиной почти не случайной. Тогда на основании этих данных и предполагаемой страховой суммы определяется размер страхового взноса. Без учета действия закона больших чисел (теоремы Чебышева) возможны существенные убытки страховой компании (при занижении размера страхового взноса), либо потеря привлекательности страховых услуг (при завышении размера взноса).
Неравенства Чебышёва
Во введении к разделу обсуждалась задача проверки того, что доля дефектной продукции в партии равна определенному числу. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений являются полезными неравенства, впервые примененные в теории вероятностей великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821-1894) и потому носящие его имя. Эти неравенства широко используются в теории математической статистики, а также непосредственно применяются в ряде практических задач принятия решении. Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений не известен. Они применяются также в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений.
Первое неравенство Чебышева. Пусть Х – неотрицательная случайная величина (т.е. для любого ). Тогда для любого положительного числа а справедливо неравенство
Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых . Получим, что
. (9)
Для всех слагаемых в правой части (9) , поэтому
Из (9) и (10) следует требуемое.
Второе неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина. Для любого положительного числа а справедливо неравенство
.
Это неравенство содержалось в работе П.Л.Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и опубликованной в следующем году.
Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину У = (Х – М(Х)) 2 . Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа b , как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство
.
Положим b = a 2 . Событие { Y > b } совпадает с событием {| X – M (X )|> a }, а потому
что и требовалось доказать.
Пример 11 . Можно указать неотрицательную случайную величину Х и положительное число а такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.
Достаточно рассмотреть . Тогда М(Х) = а, М(Х)/а = 1 и Р(а> a ) = 1, т.е. P (X > a ) = M (X )| a = 1.
Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей.
Пример 12. Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех а ? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число а , что первое неравенство Чебышёва является строгим.
Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно 0. В первом случае возьмем положительное а , меньшее положительного числа М(Х), например, положим а = М(Х)/ 2. Тогда М(Х)/а больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями примера 11.
Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. Для такой случайной величины левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0 при любом положительном а .
Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины Х ? А требование положительности а ? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, поскольку иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной.
Лекция 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.
Несмотря на то, что заранее нельзя предсказать, какое из возможных значений примет случайная величина в результате опыта, при некоторых условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин становится закономерным. Иными словами, при очень большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых это может происходить. Эти условия указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел , важнейшей из которых является теорема Чебышева. Для доказательства теоремы Чебышева используется неравенство Чебышева , которое мы сейчас рассмотрим.
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем , т.е.
Пример .
Номинальное значение диаметра втулки равно 5 мм, а дисперсия, из-за погрешностей изготовления, не превосходит 0,01. Оценить вероятность того, что размер втулки будет отличаться от номинала не более чем на 0,5 мм.
Решение:
По неравенству Чебышева
Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения . Например, если мы захотим выяснить, какова вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на 3 среднеквадратических отклонения, то неравенство Чебышева даст нам верхнюю границу этого значения 1/9 @ 0,111. В то же время, например для нормального распределения вероятность такого отклонения намного меньше - 0,0027 (правило трех сигм).
Теорема Чебышева .
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число e, вероятность выполнения неравенства
будет как угодно близка к единице при достаточно большом числе n. Иначе говоря
Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что для достаточно большого числа независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Доказательство . Введем в рассмотрение новую случайную величину – среднее арифметическое случайных величин
Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания, получим
Применяя к величиненеравенство Чебышева, имеем
Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим
Так как по условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, то
Таким образом
Подставляя правую часть последнего неравенства в (1) (отчего оно может быть только усилено), получим
Отсюда, переходя к пределу при и учитывая, что вероятность не может превосходить единицы, получим доказательство:
В важном частном случае, когда случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание (обозначим его a) формула, выражающая теорему Чебышева, принимает вид
Сущность теоремы Чебышева такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному
постоянному числу
или – в частном случае, к числу . Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются .
Пусть производится процесс измерения некоторой величины. Будем рассматривать результаты каждого измерения как случайные величины . Если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (т.е. величины попарно независимы), а случайные величины имеют одинаковое математическое ожидание и их дисперсии ограничены, то, применяя теорему Чебышева, получим, что при достаточно большом n среднее арифметическое результатов измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины (математического ожидания a).
На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.
